乘法公式经典题型及拓展

乘法公式

一、复习:

(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2 ② 符号变化，x y x y x 2y 2 x 2y 2

③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2a b 2a b 4a 2b 2 ⑤ 换式变化，xy z m xy z m

xy 2z m 2

x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zm zm m 2 x 2y 2z 22zm m 2

⑥ 增项变化，x y z x y z

x y 2z 2 x y x y z 2 x 2xy xy y 2z 2 x 22xy y 2z 2

⑦ 连用公式变化，x y x y x 2y 2

x 2y 2x 2y 2 x 4y 4

⑧ 逆用公式变化，x y z 2x y z 2 x y z x y z x y z

x y z

2x 2y 2z 4xy 4xz

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+

∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-

例3：计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×4=56。

例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048

+1）+1 =24096 =161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032 （2）1982

解：（1）10321003 2

10022100332 100006009 10609

（2）19822002 2

20022200222 400008004 39204

例8．计算 （1）a 4b 3c a 4b 3c （2）3x y 23x y 2 解：（1）原式a 3c 4b a 3c 4b a 3c 2

4b 2

a 26ac 9c 216

b 2 （2）原式3x y 23x y 29x 2 y 24y 49x 2y 24y 4

例9．解下列各式

（1）已知a 2b 213，ab 6，求a b 2，a b 2的值。 （2）已知a b 27，a b 24，求a 2b 2，ab 的值。

（3）已知a

a 1a

2

b

2，求22

2

a b ab +-的值。

（4）已知1

3x x

-=，求44

1

x x +

的值。 分析：在公式a b 2a 2b 22ab 中，如果把a b ，a 2b 2和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。 解：（1）∵a 2b 213，ab 6

a b 2a 2b 2

2ab 132625 a b 2a 2

b 22ab 1326 1

（2）∵a b 2

7，a b 2 4 a 22ab b 27 ① a 2

2ab

b 2 4 ②

①②得 2a 2b 211，即22112

a b +=

①②得 4ab

3，即34

ab =

（3）由a

a 1a 2

b 2 得a b 2

()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22

112222

a b =-=⨯-=

（4）由13x x -=，得19x x 2

⎛⎫-= ⎪

⎝⎭ 即22129x x +-= 2

2111x x ∴+= 221121x x 2

⎛⎫∴+= ⎪⎝

⎭ 即4412121x x ++= 4

41119x x +=

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？ 分析：由于123412552

23451121112 34561361192

…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。 解：设n ，n 1，n 2，n 3是四个连续自然数

则n n 1n 2n 3 1 n n 3n 1n 2 1 n 23n 22n 23n 1

n 23n n 23n 2 1 n 23n

12

∵n 是整数， n 2，3n 都是整数 n 23n 1一定是整数

n 23n 1是一个平方数 四个连续整数的积与1的和必是一个完全

平方数。

例11．计算 （1）x 2x 12

（2）3m n p 2

解：（1）x 2x 12

x 22x 2122 x 2x 2x 212x 1x 4x 212x 32x 2

2x

x 42x 33x 22x 1

（2）3m n p 23m 2

n 2p 223m n 23m p 2n p 9m 2n 2p 26mn 6mp 2np 分析：两数和的平方的推广 a b c 2 a b c 2 a b 22a b c

c 2 a 22ab b 22ac 2bc c 2

a 2

b 2

c 2

2ab 2bc 2ac 即a b c 2a 2b 2c 2

2ab 2bc 2ac

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去