三角函数的奇偶性与单调性

3.3三角函数的奇偶性与单调性

【知识网络】1．正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性； ２．正弦、余弦、正切函数的的单调性． 【典型例题】

［例1］(1) 已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝ （ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 (1)A 提示：由题意可知，()()(0)0f x f x f -=-=可得得a=0 （2）函数()tan 4f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的单调增区间为( ) A ．,,22k k k Z ππππ⎛

⎫-+∈ ⎪⎝

⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈

C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭

D ．3,,44k k k Z ππππ⎛

⎫-+∈ ⎪⎝⎭

(2)C 提示：令2

4

2

k x k π

π

π

ππ-

<+

<+

可得

（3）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期 是π，且当]2

,

0[π

∈x 时，x x f sin )(=，则)3

5(

π

f 的值为 ( ) A.2

1-

B.23

C. 23-

D. 21

(3)B 提示：5(

)(2)()()sin 333332

f f f f ππππππ=-+=-=== （4）如果()sin()2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ．

(4)－２ 由()()(0)0f x f x f -=-=可得 （５）已知函数()y f x =满足以下三个条件：

① 在[0,

]2

π

上是增函数 ②以π为最小正周期 ③是偶函数

试写出一满足以上性质的一个函数解析式 ． (5)()cos 2f x x =- 提示：答案不唯一，如还可写成()sin f x x =等

［例2］判断下列函数的奇偶性

（１）()sin 2tan f x x x =-； (2 ) 1sin cos ()1sin cos x x

f x x x

+-=

++；

(3 ) ()cos(sin )f x x =； (4 ) ()f x = 解：（1）

()f x 的定义域为()2

x k k Z π

π≠+

∈，故其定义域关于原点对称，

又()sin(2)tan()sin 2tan ()f x x x x x f x -=---=-+=-

()f x ∴为奇函数

（2）

2

x π

=

时，1sin cos 2x x ++=，而1sin cos 02

x x x π

=-

++=时,，

()f x ∴的定义域不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数。 （3）

()f x 的定义域为R ，又()cos(sin())cos(sin )()f x x x f x -=-==

()f x ∴为偶函数。

（4） 由lgcos 0x ≥得cos 1x ≥，又cos 1x ≤ cos 1x ∴=，故此函数的定义域为 2()x k k Z π=∈，关于原点对称，此时()0f x = ()f x ∴既是奇函数，又是偶函数。

［例3］已知:函数()()x x x f cos sin log 2

1-=． (1)求它的定义域和值域； (2)判断它

的奇偶性； (3)求它的单调区间； （4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.

解:(1).由0cos sin >-x x 04sin 2>⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-⇒

πx ππππ+<-<∴k x k 242 ()

k Z ∈ ∴定义域为()Z k k k ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛

++,452,42ππππ,

(]

2,04sin 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ∴值域为.,21⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡+∞-

(2). 定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数

（3） sin cos 04x x x π⎛

⎫-=-> ⎪⎝

⎭

()f x ∴的递增区间为35[2,2)()44k k k Z ππ

ππ++∈ 递减区间为3(2,2]()44

k k k Z ππ

ππ++∈

(4).

()()()12

2log sin 2cos 2f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎣⎦()12

log sin cos x x =-()f x =

()f x ∴是周期函数,最小正周期T π2=.

［例4］已知函数2

2

()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间．

解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224x x f x x x x x π

-+=

++=++=++

∴当224

2

x k π

π

π+

=+

,即()8

x k k Z π

π=+

∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8

x x R x k k Z π

π∈=+∈.

(II) ()2)4

f x x π

=++

由题意得: 222()2

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-≤+

≤+

∈

即: 3()88

k x k k Z ππ

ππ-

≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88

k k k Z ππ

ππ-+∈.

【课内练习】

1．函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称的充要条件是 （ ）

A ．φ=2k π－π6 ，k ∈Z

B ．φ=k π－π

6 ，k ∈Z

C ．φ=2k π－π3 ，k ∈Z

D ．φ=k π－π

3 ，k ∈Z

1．D 提示：()sin(2))2sin(2)3

f x x x x π

ϕϕϕ=+++=++

令3

k π

ϕπ+

=可得

2．在ABC ∆中，2

π>

C ，若函数)(x f y =在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是

（A ）)(cos )(cos B f A f > （B ）)(sin )(sin B f A f >

（C ）)(cos )(sin B f A f > （D ）)(cos )(sin B f A f < 2．C 提示：根据002

2

2

A B A B π

π

π

<+<

<<

-<

得所以sin sin(

)cos 2

A B B π

<-=