组合数学---多项式定理及组合恒等式

沈晶第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式二项式定理多项式定理牛顿二项式定理组合恒等式证明Pascal 公式对于满足1≤k ≤n -1的所有整数k 和n证法1：直接计算方法（略）证法2：令S 是n 个元素的集合任取一个元素用x 表示S 的k -组合的集合可划分为不包含x 的k -组合和包含x 的k -组合则⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛111k n k n k n Blaise Pascal⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-k n 1⎪⎭⎫⎝⎛--11k n =+第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式二项式定理多项式定理牛顿二项式定理组合恒等式证明设n 是正整数，对任意x , y 有证法一：数学归纳法（略）证法二：(x+y)n =(x+y)∙(x+y)∙…∙(x+y)n 个x +y 相乘，每个x +y 在相乘时有两种选择，x 或y 由乘法法则可知，乘积中共有2n 项，并且每一项都可以写成x k y n-k 的形式，k = 0, 1, …, n对于项x k y n-k ，是在k 个x +y 中选择了x ，其余n -k 个x +y 选择了y 而得到的，从n 个x +y 中选取k 个选择x 的选法数为C (n ,k )，所以该项系数为C (n ,k )。

定理得证。

()k n k nk ny x k n y x -=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0二项式系数推论1推论2()n k nk nx n n x n n x k n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∑= 1010()()()n n k nk knx n n x n n x k n x 110110-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑= 二项式定理y=1推论1 x = -x推论3推论4n n n n n 210=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()01210=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n n 元集合的所有子集个数是2nn 元集合的偶子集个数与奇子集个数相等例1在(3a -2b )18的展开式中求a 5b 13的系数求a 8b 9的系数例2证明例3甲在星期二时问乙再过10100天是星期几？nk nk k n 320=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=()13523518-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0=）（二项式定理：1,2==y x （星期六）第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式二项式定理多项式定理牛顿二项式定理组合恒等式证明多项式定理设n 是正整数，则对一切实数x 1, x 2, …, x m 有有多少个不同的乘积项?乘积项的系数和是多少？()mm n m n n n n n n m nm x x x n n n n x x x 2121212121!!!!∑=+++⋅=+++多项式系数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n m 1nm mm n mn n n n n n m x x x n n n n 21212121∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=证明对于n 个因子中的每一个，选取m 个数x 1, x 2,…,x m 中的一个并形成乘积。

用这种方法得到的结果共有m n 项，并且每一项都可以写成的形式，其中n 1,,n 2,,…n m 是非负数，且其和为n 。

通过选择n 个因子中的n 1个为x 1，剩下的n -n 1个因子中的n 2个为x 2,…,剩下的n-n 1-…-…n m -1个因子中的n m 个为x m ,得到项。

由乘法原理得到该项出现的次数为m n m n n x x x (2)121m n mn n x x x ...2121!!!!...2111211m m m n n n n n n n n n n n n n ⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-例3在(2x -3y +5z )6的展开式中，x 3yz 2项的系数是多少？解：()()235322136⋅-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式二项式定理多项式定理牛顿二项式定理组合恒等式证明设α是一个实数。

则对于所有满足0≤|x |<|y |的x 和y其中()k k k y x k y x -∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=+ααα0()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛0!110100 k k k k k k αααα 扩展二项式系数牛顿推论1推论2 ()kk x k x x y ∑∞=α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛α=+<=01 1,1时，当()k n k nk y x k n y x n -=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=0)(αα正整数时当?20如何计算k k k x n k k n ∑∞=-⋅-+-=0)!1(!)!()1(kk k xk n n k n k n ∑∞=⋅+⋅-+⋅-+-=0!)1()2()1()1( 牛顿二项式定理推论3证明()()k k k n x k k n x ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+0111牛顿二项式定理：当α= -n, y = 1()kk nx k n x ∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+01kk xk k n n n ∑∞=+--⋅⋅--⋅-=0!)1()1( kk k xk k n n n ∑∞=-+⋅⋅+⋅-=0!)1()1()1( k k k x n k n n n k n k n ∑∞=-⋅-⋅⋅+⋅-+⋅-+-=0)!1(!)!1()1()2()1()1( kk k x k k n ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=01)1(牛顿二项式定理推论4推论 5推论6()()()+-+++-=-=+∑∞=-kkkk kx x x x x 111121()k k nx k k n x ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-011推论3中x = -x 时()...1121+++=--x x x 推论3中n = 1时推论4中n = 1时第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式二项式定理多项式定理牛顿二项式定理组合恒等式证明等式1等式2证明：从n 名女同学和n 名男同学中，选出n 名同学组成一个社团，其中一人担任社团主席，且必须由女同学担任，问有多少种选法？⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛r n n r n ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛112221222n n n n n n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n n k k n k n n k n k k n k 112等式3证明：从n 个物体中取出r 个的组合数？1：组合中含a 1,再从a 2, a 3,..., a n 中取出r -1个2：组合中不含a 1,但含a 2,从a 3,...,a n 中取出r -1个3：组合中不含a 1,a 2,但含a 3,从a 4...,a n 中取出r -1个......n -r +1：组合中不含a 1,...,a n-r ,但含a n-r+1,从a n-r+2,... a n 中取出r -1个⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11131211r r r n r n r n r n等式4证明：从n 个候选人中，选出l 个常委，再选出r 位政治局常委，选法的个数？⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛r n r l r n r n r l ln等式5等式6等式7nnnnnn2210=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+11nrmrnmrnmrnm⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+11mmnmmnmmnmnm等式8证明：某班有n 名同学，要选出k 位班委会成员，再选1名作书记，这名书记不可以是班委会成员，问有多少种不同的方案？⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛k n k n n k n 1等式9证明：从n 名同学中选出k 位组成班委，在k 位班委中选1人做班长，问有多少种方法？⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛11k n kk n k n等式10 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=l m n m k l n k m mk 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=m l n m m l n m l n m k l n k m mk 1100⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=l m n m l n n m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m l n n m m l n n m l n n m 110例4试用组合学论证法证明恒等式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-11-11121212121t t t t n n n n n n n n n n n n n n n n考考你一个比萨店做广告，说它可提供500多种比萨。

当地消费者保护署对此表示怀疑。

在这家比萨店，下面陷料的任意组合都有可能成为一种比萨：意大利辣香肠，蘑菇，胡椒粉，橄榄，香肠，凤尾鱼，意大利腊肠，洋葱，咸肉。

这家比萨店在它的广告中说实话了吗？本讲结束。