浅谈高中数学教学中的“数”与“形”

浅谈高中数学教学中的“数”与“形” 摘要: 在数学教学中没有任何东西比几何图形更能直观的让学生去理解，产生兴趣。通过

数形结合思想就把代数上的“数”与几何上的“形”结合起来，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，对题目中的条件和结论，既分析其代数含义，又挖掘其几何背景，在代数和几何的结合上寻找解题思路。使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。 关键词： 数形结合 集合 函数 方程 不等式 三角函数 解析几何 线性规划

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好，隔裂分家万事非。”，寥寥数语把数形结合说得淋漓尽致。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是将图形问题转化为代数问题，如有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。“以形助数” 就是借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：

一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题． 例1：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的人数分别为28，25，15，同时参加数、理 小组的8人，同时参加数、化 小组的6人，同时参加理、化 小组的7人，问：同时参加数、理、化 小组的有多少人？

分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：48)()()()()()()(CBAnCBnCAnBAnCnBnAn 即：48)(768152528CBAn ∴1)(CBAn，即同时参加数理化小组的有1人．

图1 2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题． 当几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观，例如：

例2：已知集合)(,3|,31|RaaxaxBxxA。

⑴若BA，求a的范围。 ⑵若AB，求a的范围。 分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使BA，由包含于的关系可知

集合B应该覆盖集合A，从而有:331aa,这时a的值不可能存在（图2①）

要使AB，当a >0时集合A应该覆盖集合B,应有成立1330aaa ，01a即。 当0a时,B,显然AB成立.故AB时的取值范围为:1a（图2②）

二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

例3：定义在R上的函数yfx()在()，2上为增函数，且函数yfx()2的图象的对称轴为x0，试比较)1(f，)1(f，)2(f，)3(f的大小。

C（化） A（数） B（理） 。 a 。3a

3a －１ 3 3a3a3a① 。 。 －１ ３ a 3a

② 分析：函数)2(xfy的图象是由fx()的图象向左平移2个单位而得到的，又知fx()2的图象关于直线x0（即y轴）对称，故可推知，fx()的图象关于直线x2对称，由fx()在()，2上为增函数，可知fx()在)2(，上为减函数，因此易比较出函数值的大小，这四个函数值的大小关系为：)2()3()1()1(ffff。

例4：已知关于x的方程mxx542有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为 。 分析：直接是很难求解的。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。

解：设myxxxxy2221,5454。又1y为偶函数，当0x时，

1)2(54221xxxy。我们可先作出当0x时的函数图象，即y轴右侧的部分。又根据偶函数性质作出y轴左侧的部分。这样，我们得到函数5421xxy，my2的图象如右图所示：

由图可知51m。 三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

例5：若关于x的方程xkxk2230的两根都在区间(－1，3）内，求k的取值范围。 yx-13

解：由yfx()的图象可知，要使两根都在区间（－1，3）内，只需ff()()1030，，fbafk()()20，321a

b同时成立，解得

10k，故k()10，。 说明：fxxkxk()223，其图象与x轴交点的横坐标就是方程fx()0

的根，根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。其他函数和方程也可以类似得出解决的方法。 例6：若x()12，时，不等式()logxxa12恒成立，则a的取值范围为（ ）。 解：令yxyxa1221()log，，若a1，两函数图象如下图（一）所示，显然当x()12，时，要使yy12，只需使log()a2212，即a2。 综上可知，当12a时，不等式()logxxa12对x()12，恒成立

若01a，两函数图象如右图（二）所示，显然当x()12，时，不等式()logxxa12恒不成立。

四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 例7：求下列函数的定义域 1 xycossinlg 2 xxycossin

解: 1若使函数有意义,则0cossinx。1cos0,1cos1xx.利用余弦函数的简图 得原函数的定义域为

Zkkxkx,222

2

.

2若使函数有意义,则0cossinxx。在同一坐标系中画出2,0上

xysin和xycos的图像,如右图所示：

由图像知,原函数的定义域为

Zkkxkx,2452

4

。

说明：解三角不等式,利用三角函数线和图像很方便、直观，要注意利用数形结合的思想。

例8：求函数yxxsincos22的值域。

解：yxxsincos22的形式类似于斜率公式yyyxx2121，yxxsincos22表示过两点PPxx022()(cossin)，，，的直线的斜率。 由于点P在单位圆xy221上（见右图） 显然，kykPAPB00 。

设过P0的圆的切线方程为ykx22()，

则有||22112kk，解得k473。

即kkPAPB00473473， 473473y 函数值域为[]473473，。 五、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

例9：如果实数x、y满足等式22410xyx，那么 的最大值为（ ）。

分析：初看此题，形式上是一道代数题，站在代数的角度看，令人茫然无措，对关系式22410xyx的转P

0 y

X C

xyOPA

BP0(2,-2)

xyxy化，很自然地与圆的方程联系起来，而 恰为点（x，y）与原点连线的斜率，这便把问题与“形”结合起来。问题相当于如下的几何问题：动点P（x，y）在圆C上运动，求直线OP的斜率的最大值。

观察图形易得：当P在第一象限，并且OP与圆C相切时，OP的斜率最大，这时，

223tan3.2(3)PCPCOPPOCOP



即OP的斜率的最大值为3。 例10：解方程2261061010xxxx。

分析：原方程可变形为101)3(1)3(22xx。我们会联想到解析几何中椭圆的概念。令12y，则有10)3()3(2222yxyx。它是以

)0,3(1F，)0,3(2F为焦点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程，即1162522yx。 所以，当12y时，得1545x，即为原方程的解。 六、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

例11：已知变量x、y满足条件1,0,290,xxyxy 求xy的最大值。

分析：本题实质是线性规划问题，运用图像画平面区域，再求线性目标函数的最值。

解：如图所示，可行域为图中阴影部分（包括边界线），则z=xy在A点

处取得最大值，由0290xyxy得A（3，3），故最大值为3＋3=6.