高考复习数学(北师大版)第7章 第2节 空间图形的基本关系与公理
2021年高考数学一轮复习第7章立体几何第讲空间图形的基本关系与公理知能训练轻松闯关文北师大版
2021年高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间图形的基本关系与公理知能训练轻松闯关文北师大版1．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．2．(xx·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD 的充要条件是( )A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．3．(xx·高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.4.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：选D.因为ABγ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．5．(xx·昆明质检)已知A、B、C、D是空间四个点，甲：A、B、C、D四点不共面，乙：直线AB和直线CD不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为A、B、C、D四点不共面，则直线AB和直线CD不相交，反之，直线AB和直线CD不相交，A、B、C、D四点不一定不共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．6．(xx·郑州模拟)如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A.连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，所以A1，C1，A，C四点共面，所以A1C平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．所以A，M，O三点共线．7.(xx·郑州模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是____________．解析：如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH 与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．答案：②③④8．如图所示，在三棱锥A BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD . 答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD9．在图中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以在图②④中GH 与MN 异面． 答案：②④ 10.如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，则AO 与A ′C ′所成角的度数为________． 解析：连接AC .因为A ′C ′∥AC ，所以AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC (或其补角)． 因为OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB ′C ′C ， 所以OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ， 所以OC ⊥平面ABO .又OA 平面ABO ，所以OC ⊥OA .在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2，sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，所以∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. 答案：30°11．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小． 解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.1．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．解析：如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．答案：242.如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α.因为A∈α，B∈α，E∈α，所以平面α即为平面ABE，所以P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角．因为∠BAC＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ， 所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF＝2＋2－32×2×2＝14， 所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.3.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面． 理由如下：由BE 綊12FA ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．。
高三一轮复习7.2 空间图形的基本关系与公理
空间图形的基本关系与公理
【2015年高考考纲下载】
1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的
位置关系的简单命题.Fra bibliotek考点梳理
一､知识结构
1．空间图形的公理 两点 在一个平面内，那么这 (1)公理1：如果一条直线上的_____ 条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个 (2)公理2：经过_________________ 平面(即可以确定一个平面)． 一个 公共点，那么它 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_____ 们有且只有一条通过这个点的公共直线．
考向二
空间中两直线的位置关系
【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别 为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[审题视点] 还原成正四面体来判断．
解析
如图所示，GH与EF为异面直线，
BD与MN为异面直线，GH与MN成60° 角，DE⊥MN. 答案 ②③④
空间中两直线位置关系的判定，主要是异
面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法 或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线
情况．
平行 、_____ 相交 两种情况． (2)平面与平面的位置关系有_____
(3) 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两 相等或互补 ． 个角___________
【助学· 微博】 一个理解 异面直线概念的理解
2021高考总复习文数(北师大版)课件：空间图形的基本关系与公理
文字语言 平行于同一条直线的两条直 公理 4 线_平__行_______
等角 定理
空间中，如果两个角的两条边 分别对应平行，那么这两个角 相等或互补
图形语言
符号语言
若 a∥b，b∥c，则 __a_∥__c_____
若 AO∥A′O′，BC∥ __B_′O__′ _____，则∠AOB ＝∠A′O′B′，∠AOC 和∠A′O′B′互补
若 A∈l，B∈l，A∈α，B ∈α，则 l α
文字语言
如果两个不重合的平面 _有__一__个__公__共__点______，那么它 公理 3 们__有__且__只__有____一条通过这 个点的公共直线
图形语言
符号语言
若 A∈α，A∈β，则 __α_∩__β_＝__l，__且__A_∈__l______
2．空间图形的公理及等角定理
文字语言
过不在一条直线上的三点， 公理 1 __有__且__只__有__一个平面(即可以
确定一个平面) 如果一条直线上的 __两__点______在一个平面内，那 公理 2 么这条直线__在__此______平面 内(即直线__在___平__面___内)
图形语言
符号语言 若 A、B、C 三点不共线， 则__存__在______一个平面 α 使 A∈α，B∈α，C∈α
m∥α，n⊥β，则( C)
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
解析：由已知，α∩β＝l，∴l β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C 正确．
5．(教材习题改编)两两相交的三条直线最多可确定________个平面． 解析：当三条直线共点且不共面时，最多可确定3个平面． 答案：3
02
课堂·考点突破
平面的基本性质
2021高三数学北师大版(理)：空间图形的基本关系与公理含解析
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．[常用结论]唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a不平行于平面α，且aα，则α内的所有直线与a异面．( )[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材改编1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C[由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．]2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°C[连接B 1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．下列命题正确的是( )A．两个平面如果有公共点，那么一定相交B．两个平面的公共点一定共线C．两个平面有3个公共点一定重合D．过空间任意三点，一定有一个平面D[如果两个平面重合，则排除A，B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点．]4.如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD[(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.]考点1平面的基本性质及应用[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE 平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．四点不共面矛盾，故②是真命题；由②的分析可知③是真命题；④中，平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故④是假命题．]2.如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．[证明](1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG 平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．考点2判断空间两直线的位置关系在直接判断不好处理的情况下，反证法、模型法(如构造几何体：正方体、空间四边形等)和特例排除法等是解决此类问题的三种常用便捷方法．考点3 异面直线所成的角1.平移法求异面直线所成角的一般步骤(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角．(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小．提醒：异面直线所成的角θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 2．坐标法求异面直线所成的角：当题设中含有两两垂直的三边关系时，常采用坐标法．(1)C [法一：(平移法)如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD2＋DD21＝2，DM ＝AD2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB2＋AD2＋DD21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55， 即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 故选C.法二：(坐标法)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，所以AD1→＝(－1,0，3)，DB1→＝(1,1，3)，则由向2．(20xx·全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)②③ [依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC 的直角边长为1.由题意知点B 在平面xOy 中形成的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．设直线a 的方向向量为a ＝(0,1,0)，直线b 的方向向量为b ＝(1,0,0)，CB →以Ox 轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B (cos θ，sin θ，0)，∴AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝2.设直线AB 与a 所成夹角为α，则cos α＝|AB →·a||a||AB →|＝22|sin θ|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22， ∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误．。
高中数学1.4空间图形的基本关系与公理第7课时空间图形的基本关系与公理2作业课件北师大版必修2
所以四边形EFGH为平行四边形． 因此λ＝μ时，四边形EFGH为平行四边形．
(2)若λ≠μ，由(1)知EH∥FG，但EH≠FG， 因此λ≠μ时，四边形EFGH为梯形． (3)因为λ＝μ，所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为EG⊥HF，所以四边形EFGH为菱形． 所以FG＝HG.所以BD＝1＋μ μFG＝3FG， AC＝(λ＋1)HG＝32HG＝32FG.所以BADC＝12.
证明：连接QF，如图， 因为Q，F分别为PD，PC的中点， 所以QF∥DC，且QF＝12DC， 在▱ABCD中，AE∥DC， 且AE＝12DC，所以AE綊QF，
所以四边形AEFQ为平行四边形， 所以AQ∥EF.
13．(13分)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别 是AD，AA1的中点．
第一章 立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理 第7课时 空间图形的基本关系与公理(2)
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标——
1.掌握平行公理及其推论，并能解决一些简单问题. 2.初步学习立体几何中的证明. 3.会求异面直线所成的角.
——基础巩固——
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
3．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°．30°或150°
C．150°
D．以上结论都不对
解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能 确定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°.
4．一条直线与两条平行线中的一条异面，那么它与另一条
直线的位置关系是( C )
①若a⊥b，b∥c，则a⊥c； ②若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交； ③若a，b平行，b，c平行，则a，c也平行．
2016届高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件第7章-第3课时 空间图形的基本关系及公理
(2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ (2)证明 EF∥CH，由此构成平面，再证点 D 在该平面上．
(2)C，D， F，E 四点共面，理由如下： 1 由 BE∥AF 且 BE＝ AF，G 是 FA 的中点知， 2 BE∥GF 且 BE＝GF， 所以四边形 EFGB 是平行四边形， 所以 EF∥BG. 由①知 BG∥CH，所以 EF∥ CH，故 EC， FH 共面． 又点 D 在直线 FH 上，所以 C，D， F，E 四点共面．
直线与平面平行 ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5)空间两平面的位置关系有两种： 两平面平行和两平面相交
．
教材梳理 基础自测
【知识梳理】
2．空间图形的公理及等角定理 文字语言 图形语言 符号语言
两 如果一条直线上的___ 点在一个平面内，那么
公理 1 这条直线上所有的点都 在这个平面内(即直线 若 A∈l， B∈l， A∈α， B∈α，则 l
考点突破 题型透析
考点一 平面的基本性质及其应用
点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上的问题来处理，实质上是 利用公理 3，证明点在两平面的交线上，解题时要注意这种转化思想的运 用．
审题视点 解
(1)证明 BC、GH 平行且相等即可；
(1)证明：由题设知，FG＝GA， FH＝HD， 1 所以 GH∥AD 且 GH＝ AD， 2 1 又 BC∥AD 且 BC＝ AD， 2 故 GH∥BC 且 GH＝BC， 所以四边形 BCHG 是平行四边形．
考点突破 题型透析
考点一 平面的基本性质及其应用
由展开图可知，无盖正方体纸盒的直观图如图所示， 显然 AB 与 CD 异面，连接 AE，由 AE∥CD， 知∠EAB 为异面直线 AB、CD 所成的角，连接 BE， 由△ABE 为等边三角形得∠EAB＝60° ，故选 D.
空间图形的基本关系与公理课件
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】 3.下列四个命题：
①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线； ②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数是( A．4 C．2 ) B．3 D．1
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
解析：
连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过
点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD， AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条． 答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．(2009·湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也 与CC1共面的棱的条数为( A．3 C．5 ) B．4 D．6
∴EF∥CD1.
故E、F、D1、C四点共面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P在平面A1ADD1与平面ABCD的交线DA上，
【阅后报告】
该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，
而第(2)问关键在于证明BM⊥平面A1B1M，这些方法是解决立体问题常用
思路．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．(2010·江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )
高考数学总复习 第七章7.3 空间图形的基本关系与公理 理 北师大版(含详解)
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第七章7.3 空间图形的基本关系与公理练习一、选择题1．如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )．A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M2．如下图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )．A ．15B ．25C ．35D ．453．平面α∥平面β，直线a ⊂α，给出下列四个命题： ①a 与β内的所有直线平行； ②a 与β内的无数条直线平行； ③a 只与β内的一条直线平行； ④a 与β无公共点．其中正确的命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )． A ．若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥βB ．若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线C ．若α∩β＝m ，n ∥m ，且n α，n β，则n ∥α且n ∥βD ．若α⊥β，m ∥n ，n ⊥β，则m ∥α5．已知直线l ，m ，平面α，β，则下列命题中假命题是( )． A ．若α∥β，l ⊂α，则l ∥β B ．若α∥β，l ⊥α，则l ⊥β C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若α⊥β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则m ⊥β6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )．A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A－BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题7．如图，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有__________．8．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.其中假命题的序号是__________．9．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F 与平面ABCD的交线．11．如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.(1)当AD＝2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)若PC与AD所成的角为45°，求几何体P－ABCD的体积．12．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．参考答案一、选择题1．D 解析：∵AB ⊂γ，M ∈AB ， ∴M ∈γ.又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上． 同理可知，点C 也在γ与β的交线上． 2．D 解析：连接D 1C ，AC ，易证A 1B ∥D 1C ， ∴∠AD 1C 即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．设AB ＝1，则AA 1＝2，AD 1＝D 1C ＝5，AC ＝2，∴cos ∠AD 1C ＝5＋5－22×5×5＝45.3．B 解析：①③错误，②④正确． 4．C 解析：∵n ∥m ，m ⊂α，n ⊄α， ∴n ∥α；同理可知n ∥β.故C 正确．5．C 解析：若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m 或l 与m 异面，故C 是假命题． 6．D 解析：由AC ⊥平面DBB 1D 1，可知AC ⊥BE ，故A 正确． 由EF ∥BD ，EF ⊄平面ABCD ，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确．A 到平面BEF 的距离即A 到平面DBB 1D 1的距离为22， 且S △BEF ＝12BB 1×EF ＝定值，故V A －BEF 为定值，即C 正确． 二、填空题7．②④ 解析：①③中，GM ∥HN ，所以G ，M ，N ，H 四点共面，从而GH 与MN 共面； ②④中，根据异面直线的判定定理，易知GH 与MN 异面．8．①③④ 解析：①中的m ，n 可以平行、相交或异面，是假命题；②是真命题；③中n 可以在α或β内，假命题；④中n 可以不与α，β垂直，假命题．9．60° 解析：分别取PA ，AC ，CB 的中点F ，D ，E ，连接FD ，DE ，EF ，AE ，则∠FDE 是直线PC 与AB 所成角或其补角．设PA ＝AC ＝BC ＝2a ，在△FDE 中，易求得FD ＝2a ，DE ＝2a ，FE ＝6a ，根据余弦定理，得cos ∠FDE ＝2a 2＋2a 2－6a 22×2a ×2a ＝－12，所以∠FDE ＝120°.所以PC 与AB 所成角的大小是60°. 三、解答题10．解：在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ， ∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ， 则P ∈FD 1，P ∈DA .又∵FD 1⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ， ∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线． 如图所示．11．(1)证明：当AD ＝2时，四边形ABCD 是正方形，则BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD .又∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC . ∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .(2)解：PC 与AD 成45°角，AD ∥BC ，则∠PCB ＝45°. ∵BC ⊥AB ，BC ⊥PA ，AB ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB . ∴BC ⊥PB .∴∠CPB ＝90°－45°＝45°. ∴BC ＝PB ＝2 2.∴几何体P －ABCD 的体积为 13×(2×22)×2＝823. 12．(1)解：取CD 的中点G ，连接MG ，NG .因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．。
2021年高考数学 7.2空间图形的基本关系与公理课时提升作业 理 北师大版
2021年高考数学 7.2空间图形的基本关系与公理课时提升作业理北师大版一、选择题1.正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )(A)相交(B)异面(C)平行(D)垂直2.已知命题:①若点P不在平面α内,A,B,C三点都在平面α内,则P,A,B,C四点不在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)33.(xx·信阳模拟)平面α,β的公共点多于两个,则①α,β垂直;②α,β至少有三个公共点;③α,β至少有一条公共直线;④α,β至多有一条公共直线.以上四个判断中不成立的个数为n,则n等于( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l =M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )(A)点A(B)点B(C)点C但不过点M(D)点C和点M5.给出下列命题:①没有公共点的两条直线平行;②互相垂直的两条直线是相交直线;③既不平行也不相交的直线是异面直线;④不同在任一平面内的两条直线是异面直线.其中正确命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.(xx·九江模拟)下列命题中正确的是( )①两条异面直线在同一平面内的射影必相交;②与一条直线成等角的两条直线必平行;③与一条直线都垂直的两条直线必平行;④与同一个平面平行的两条直线必平行.(A)①②(B)①③(C)②④(D)以上都不对7.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列命题,其中正确的命题是( )①P∈a,P∈α⇒aα;②a∩b=P,bβ⇒aβ;③a∥b,aα,P∈b,P∈α⇒bα;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.(A)①②(B)②③(C)①④(D)③④8.平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是m1和n1,给出下列四个命题:①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.已知不共面的四个定点到平面α的距离都相等,则这样的平面α共有( )(A)3个(B)4个(C)6个(D)7个10.(能力挑战题)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )(A)不存在(B)有且只有两条(C)有且只有三条(D)有无数条二、填空题11.已知异面直线a,b所成角为60°,P为空间任意一点,过P点作直线l使l与a,b都成60°角,则这样的直线l有条.12.已知线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别是线段AB,CD的中点,则MN (AC+BD)(填“>”“<”或“=”).13.下列命题中正确的是.①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交平面α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面;④若a不平行于平面α,且a⊈α,则α内的所有直线与a异面.14.(xx·南宁模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,点E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为.三、解答题15.(能力挑战题)(xx·三明模拟)在四棱锥P -ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.答案解析1.【解析】选A.直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.2.【解析】选A.当A,B,C三点都在平面α内,且三点共线时,P,A,B,C四点在同一个平面内,故①错误;三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交,但三条直线不在同一平面内,故②错误;两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形,故③错误.3.【解析】选C.由条件知当平面α,β的公共点多于两个时,若所有公共点共线,则α,β相交;若公共点不共线,则α,β重合.故①不一定成立;②成立;③成立;④不成立.4.【解析】选D.∵ABγ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.5.【解析】选B.没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;互相垂直的两条直线相交或异面,故命题②错;既不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面内的两条直线是异面直线,命题③④正确,故选B.6.【解析】选D.在正方体A′B′C′D′-ABCD中,AA′与B′C′是异面直线,AA′在平面ABCD中的射影是点A,B′C′在平面ABCD内的射影是直线BC,故①错;AB,AD与AA′所成的角都是90°,但AB,AD相交于点A,故②③错;直线A′D′,A′B′都平行于平面ABCD,但它们相交,故④错.7.【解析】选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但aα,∴①错;当a∩β=P时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β过直线a与点P,∴β与α重合,∴bα,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不善于举出反例是致错的主要原因.8.【解析】选 D.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1,AB1,B1C,A1B在底面A1B1C1D1上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1,A1B1.因为A1D1⊥A1B1,而AD1不垂直于AB1,故①不正确;又因为AD1⊥B1C,而A1D1∥B1C1,故②也不正确;因为A1D1与A1B1相交,而AD1与A1B异面,故③不正确;因为A1D1∥B1C1,而AD1与B1C异面,故④不正确.9.【解析】选D.由题意知平面α可以分为两类:一类是在平面α的两侧各有两个点;另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点.如图,三棱锥A-BCD,设E,F,G,H,M分别是AB,AC,AD,CD,BD的中点,过E,F,G三点的平面α满足题意,这样的平面有4个;又过E,F,H,M的平面α也满足题意,这样的平面有3个.故满足题意的平面α共有7个,应选D.10.【思路点拨】以A1D1,EF,CD为棱构造平行六面体解决.【解析】选D.先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a,b,c,与直线a,b,c都相交的直线有无数条”这个结论的正确性.无论两两异面的三条直线a,b,c的相对位置如何,总可以构造一个平行六面体ABCD -A1B1C1D1,使直线AB,B1C1,DD1分别作为直线a,b,c,在棱DD1的延长线上任取一点M,由点M与直线a确定一个平面α,平面α与直线B1C1交于点P,与直线A1D1交于点Q,则PQ在平面α内,直线PM不与a平行,设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a,b,c相交.由于点M的取法有无穷多种,因此在空间同时与直线a,b,c相交的直线有无数条.依题意,不难得知题中的直线A1D1,EF,CD是两两异面的三条直线,由以上结论可知,在空间与直线A1D1,EF,CD都相交的直线有无数条,选D.【变式备选】如图所示,ABCD -A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面【解析】选A.连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C平面ACC1A1.∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.∴A,M,O三点共线.11.【解析】由于l与a,b所成角都是60°,而60°>30°,且120°角的一半也为60°,故这样的直线l有3条.答案:312.【解析】如图所示,四边形ABCD是空间四边形,而不是平面四边形,要想求MN与AC,BD的关系,必须将它们转化到平面来考虑.取AD的中点为G,再连接MG,NG,在△ABD中,M,G分别是线段AB,AD的中点,则MG∥BD,且MG=BD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=AC,又根据三角形的三边关系知,MN<MG+NG,即MN<BD+AC=(AC+BD).答案:<13.【解析】在①中,因为P,Q,R三点既在平面ABC上,又在平面α上,所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上,即P,Q,R三点共线,所以①正确.在②中,因为a∥b,所以a与b确定一个平面α,而l上有A,B两点在该平面上,所以lα,即a,b,l三线共面于α;同理a,c,l三线也共面,不妨设为β,而α,β有两条公共的直线a,l,所以α与β重合,即这些直线共面,所以②正确.在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定7个平面,所以③错.在④中,由题设知,a与α相交,设a∩α=P,如图,在α内过点P的直线l与a共面,所以④错.答案:①②14.【解析】取D1C1的中点G,连接OF,OG,GE.因为点O是底面ABCD的中心,F为AD的中点,所以OFCD,D1GCD,即OFD1G,所以四边形OGD1F为平行四边形.所以D1F∥GO,即OE与FD1所成角也就是OE与OG所成角.在△OGE中,OG=FD1=,GE=,OE=,所以GE2+OE2=OG2,即△GOE为直角三角形,所以cos∠GOE===,即异面直线OE与FD1所成角的余弦值为.答案:【变式备选】(xx·揭阳模拟)如图,正三棱柱ABC -A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是( )(A) (B) (C) (D)2【解析】选B.如图,取AC中点G,连接FG,EG,则FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=BC,故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),在Rt△EFG中,cos∠EFG===.15.【解析】取AB的中点F,连接EF,DF,∵E为PB中点,∴EF∥PA,∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角).在Rt△AOB中,AO=AB·cos30°==OP,∴在Rt△POA中,PA=,∴EF=.∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,∴△ABD为正三角形.又∵∠PBO=60°,BO=1,∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,∴DF=DE=,∴cos∠DEF====.即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.40489 9E29 鸩23245 5ACD 嫍F25393 6331 挱28603 6FBB 澻| 22629 5865 塥33961 84A9 蒩39596 9AAC 骬E21374 537E 卾23969 5DA1 嶡30666 77CA 矊。
北师大版高一数学《空间图形的基本关系与公理》(学生版)
空间图形的基本关系与公理1、空间点与直线的位置关系（1）点A 在直线上l A ∈（2）点A 在直线外l A ∉2、空间点与平面的位置关系（1）点A 在平面α内 α∈A ；（2）点A 在平面α内 α∉A ；3、空间直线与直线的位置关系(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点，a//b ；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点，B c b = ；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4、空间直线与平面的位置关系（1）直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行. 如果直线l 和平面α平行，记作α//l ；（2）直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交. 如果直线l 和平面α相交于点A ，记作A l =α .（3）直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作α≠⊂l . 5、空间平面与平面的位置关系1．两个平面的位置关系（1）两个平面平行——没有公共点．（2）两个平面相交——有一条公共直线（或至少有一个公共点）．a β=且a αβ= ．两个平面平行的画法画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如下图（1），而（2）的画法是不恰当的．4．两个相交平面的画法（1）先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如下图（1）．（2）再画出表示两个平面交线的线段，如下图（2）．（3）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图（2）中表示交线的线段，如下图（3）．（4）画出上图（3）中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图上（4））．6、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点诠释：（1）异面直线具有既不相交也不平行的特点．（2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图⊂，a∥b，不能由a、b不同在平面α内就误认为a与b异面，实际上，由a∥b 甲中，直线a⊂α，直线bβ可知a与b共面，它们不是异面直线．（3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示．（4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示．8、空间图形的公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 第二节 空间图形的基本关系与公理 [考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
1．空间图形的公理 (1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系
共面直线
相交直线
平行直线异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角 ①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．
②范围：0，π2. 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 2
4．定理(等角定理) 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)若直线a不平行于平面α，且aα，则α内的所有直线与a异面．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．(教材改编) 如图7-2-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
图7-2-1 C [连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF， 故∠D1B1C为所求的角， 又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.] 3．在下列命题中，不是公理的是( ) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 3
A [A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是公理．] 4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A [由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．] 5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________． b与α相交或bα或b∥α
空间图形的公理及其应用 如图7-2-2，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
图7-2-2 4
[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1. 2分 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面. 5分 (2)∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P∈直线CE，CE平面ABCD， 得P∈平面ABCD. 8分 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点. 12分 [规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法： (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面． (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． 2．证明点共线问题的常用方法： (1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基 5
本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上． (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． [变式训练1] 如图7-2-3所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12
AD，BE綊12FA，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 【导学号：66482329】
图7-2-3 [解] (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊12AD. 2分 又BC綊12AD， ∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形. 5分 (2)C，D，F，E四点共面，理由如下：
由BE綊12AF，G为FA的中点知BE綊GF， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 8分 由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面. 12分 空间直线的位置关系 (1)(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) 6
A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 (2)(2017·郑州模拟)在图7-2-4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
① ② ③ ④ 图7-2-4 (1)D (2)②④ [(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2
中至少有一条与l相交． (2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．] [规律方法] 1.异面直线的判定方法： (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面． (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． 2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系． 7
[变式训练2] (2017·烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( ) A．①④ B．②③ C．③④ D．①② A [对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，bM，a∥b，则a∥M或aM，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．] 异面直线所成的角
(1)如图7-2-5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.15 B．25
C.35 D．45
图7-2-5 (2)(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面 8
CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( ) A.32 B．22 C．33 D．13 (1)D (2)A [(1)连接BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角． 连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2， 则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5， 在△A1BC1中，由余弦定理得
cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.
(2)设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，