高考数学二轮专题突破高效精练 第3讲 基本初等函数
2020版高考数学二轮复习专题一第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应用练习文苏教版
第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数应用1．已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________． [解析] 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，则3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33α，得α＝－2．故f (x )＝x －2． [答案] f (x )＝x －22．(2019·常州模拟) 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的值域为________． [解析] 由指数函数性质知值域为(0，＋∞)． [答案] (0，＋∞)3．函数y ＝|x |2－|x |－12两个零点的差的绝对值是________． [解析] 令|x |2－|x |－12＝0，得(|x |－4)(|x |＋3)＝0， 即|x |＝4，所以两个零点的差的绝对值是|4－(－4)|＝8． [答案] 84．(2019·绵阳期中)若a ＝30．6，b ＝log 30．2，c ＝0．63，则a ，b ，c 的大小关系为________． [解析] 30．6＞1，log 30．2＜0，0＜0．63＜1，所以a ＞c ＞b ．[答案] a ＞c ＞b5．(2019·山西大学附中期中)有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |．其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．[解析] 分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0，1)内单调递减．[答案] ②④6．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．[解析] 因为2a ＝5b＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2．所以m ＝10．[答案] 107．(2019·南京、盐城高三模拟)已知函数f (x )＝exx－kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程exx－kx ＝0只有一个根，即方程e x x 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝exx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝（x －2）exx3，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞，x →－∞时，g (x )→0，x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e24．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24 8．(2019·高三第二次调研测试)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在[2，4)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x ) －log 5|x |的零点个数为______．[解析] 由f (x ＋4)＝f (x )得奇函数f (x )的最小正周期为4，作出函数f (x )与y ＝log 5|x |的部分图象如图所示，根据图象易知，函数y ＝f (x )与y ＝log 5|x |的图象有5个交点，故函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点个数是5．[答案] 59．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________． [解析] 令t ＝a x(a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13． 又因为a >0，所以a ＝13．②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)． 综上得a ＝13或3．[答案] 13或310．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(五))已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )，g (x )满足g (2－x )＋g (x )＝0．若函数f (x －1)与函数g (x )的图象恰好有2 019个交点，则这2 019个交点的横坐标之和为______．[解析] 由于f (－x )＋f (x )＝2－x －12－x ＋1＋2x －12x ＋1＝0，所以函数f (x )＝2x－12x ＋1为奇函数，从而函数f (x －1)的图象关于点(1，0)对称．由函数g (x )满足g (2－x )＋g (x )＝0，可知g (x )的图象也关于点(1，0)对称，所以函数F (x )＝g (x )－f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，从而这2 019个零点关于点(1，0)对称，由于F (1)＝g (1)－f (0)＝0，所以x ＝1是F (x )的一个零点，其余2 018个零点首尾结合，两两关于点(1，0)对称，和为2 018，故所有这些零点之和为2 019，即函数f (x －1)与函数g (x )的图象的2 019个交点的横坐标之和为2 019．[答案] 2 01911．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1．(1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0，1]上单调递增，求实数m 的取值范围．[解] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4． 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4． ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎪⎨⎪⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0．②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)． 若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1，F （0）＝1－m 2≤0⇒m ≥2； 若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F （0）＝1－m 2≥0⇒－1≤m <－255．综上所述，m 的取值范围为[－1，0]∪[2，＋∞)．12．(2019·南通市高三模拟)某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m 的圆形，并用四根木条将圆分成9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形．现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14 m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6 m ，求窗口ABCD 面积的最大值．[解] (1)当ABCD 为正方形时，四根木条的长度相等，设一根木条长为x m ， 则正方形的边长为21－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝4－x 2m ． 因为S 四边形ABCD >14，所以4－x 2>14，即0<x <152．又四根木条将圆分成9个区域，所以x >2，所以42<4x <215，即四根木条总长的取值范围为(42，215)． (2)设AB 所在木条长为a m ，BC 所在木条长为b m ． 由条件知，2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3．因为a ，b ∈(0，2)，所以b ＝3－a ∈(0，2)，从而a ，b ∈(1，2)． 由于AB ＝21－b 24，BC ＝21－a 24，S 矩形ABCD ＝41－b 24·1－a 24＝4－b 2·4－a 2，因为4－b 2·4－a 2≤8－（a 2＋b 2）2≤8－（a ＋b ）222＝74，当且仅当a ＝b ＝32∈(1，2)时，S 矩形ABCD ＝74，所以窗口ABCD 面积的最大值为74m 2．13．(2019·江苏省高考名校联考(九))某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果．研发人员通过多次试验发现每投放a (1≤a ≤4，a ∈R )克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，6x －3＋2，x ＞4，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．(1)若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(2)如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y (克/升)与时间x (分钟)的函数关系式，其中x 表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污．[解] (1)当一次投放4克洗衣液，即a ＝4时， y ＝4·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ，0≤x ≤4，24x －3＋8，x >4．因为当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用，所以当0≤x ≤4时，由8x ≥16，解得x ≥2，所以此时2≤x ≤4；当x >4时，由24x －3＋8≥16，得x ≤6，所以此时4<x ≤6．综上可得2≤x ≤6．所以若一次投放4克洗衣液，有效去污时间可达4分钟． (2)由(1)得，当4≤x ≤8时，y ＝24x －3＋8＋8(x －4)＝24x －3＋8(x －3)； 当x >8时，y ＝24x －3＋8＋24x －4－3＋8 ＝24x －3＋24x －7＋16． 综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －3＋8（x －3），4≤x ≤8，24x －3＋24x －7＋16，x >8．当4≤x ≤8时，y ＝24x －3＋8(x －3)≥224x －3×8（x －3）＝163，当且仅当x ＝3＋3时等号成立． 又163>16，所以接下来的4分钟能够有效去污． 14．设函数f n (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈N *，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f n (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4，求b 的取值范围． [解] (1)证明：b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f n (x )＝x n＋x －1．因为f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f n (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1<0， 所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′n (x )＝nx n －1＋1>0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的， 所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点． (2)当n ＝2时，f 2(x )＝x 2＋bx ＋c ．对任意x 1，x 2∈[－1，1]都有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x )在[－1，1]上的最大值与最小值之差M ≤4．据此分类讨论如下： ①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2>1，即|b |>2时，M ＝|f 2(1)－f 2(－1)|＝2|b |>4，与题设矛盾．②当－1≤－b2<0，即0<b ≤2时，M ＝f 2(1)－f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f 2(－1)－f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立． 综上可知，－2≤b ≤2．。
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第三讲 基本初等
4．(2016·高考天津卷)已知函数 f(x)＝sin2 ω2x＋12sin ωx－12(ω>0)，
x∈R.若 f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则 ω 的取值范围是( D )
A.0，18
B.0，14∪58，1
C.0，58
D.0，18∪14，58
考[自主突破·提速练]
1．(2016·河南八市联考)若 a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 2 017，
则( C )
A．b>c>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．c>a>b
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
因为 20.3>20＝1,0＝logπ1<logπ3<logππ＝1，log4cos 2 017<log41 ＝0，所以 a>b>c，故选 C.
考点三 函数在实际问题中的应用
试题 解析
考点一 考点二 考点三
5．(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金
投入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，
每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研
发资金开始超过 200 万元的年份是( B )
考点三
※ 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错
考点一
考点一 考点二 考点三
基本初等函数 [经典结论·全通关]
1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小 (1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数 相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较． (2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数， 可以引入中间量或结合图象进行比较． 2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底 数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用 性质求解．
高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用教案
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用[考情分析]基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查．常以选择、填空形式出现．有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断、零点所在区间等方面．近几年全国卷考查较少，但也要引起重视.[真题自检]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若a >b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<b cD ．c a>c b解析：法一：因为0<c <1，所以y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又0<b <a ，所以log c a <log c b ，故选B.法二：取a ＝4，b ＝2，c ＝12，则log 4 12＝－12>log 2 12，排除A ；412＝2>212，排除C ；⎝ ⎛⎭⎪⎫124<⎝ ⎛⎭⎪⎫122，排除D ；故选B. 答案：B2．(2016·高考全国卷Ⅲ改编)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，试比较a ，b ，c 的大小关系．解析：a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523.∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5>4>3，∴c >a >b .基本初等函数[方法结论]1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．[题组突破]1．(2017·河南八市联考)若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 2 017，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．a >b >cD ．c >a >b解析：因为20.3>20＝1,0＝log π1<log π3<log ππ＝1，log 4cos 2 017<log 41＝0，所以a >b >c ，故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝lnxx－e －x2，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增C ．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增解析：要使函数f (x )＝lnxx－e－x2有意义，只需xx－e－x2>0，所以x2x－2e x >0，解得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) .因为f (－x )＝ln －x－x－ex2＝lnxx－e－x2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，排除A 、B.因为f (1)＝ln e －e －12，f (2)＝ln(e2－e －2)，所以f (1)<f (2)，排除C ，故选D. 答案：D3．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 则m 的取值范围是________．解析：令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]4．(2016·高考浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.解析：先求出对数值，再利用指数相等列方程求解． ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b＝b a，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.答案：4 2[误区警示]1．求解与对数函数有关的性质问题时易忽视对数有意义的条件．2．当对数函数，指数函数的底数不确定时要注意分类讨论思想的应用．函数零点实际应用[方法结论]解答函数实际应用问题实质上是利用等价转化思想与构造法，构造函数模型，然后解答．[典例]为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(x∈N*)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可使年利润最大．解析：(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)，y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)．(2)∵10－a>0，故y1为增函数，∴当x＝200时，y1取得最大值1 980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元．y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)，∴当x＝100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元．(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，(1 980－200a)－460＝1 520－200a，且6≤a≤8，当1 520－200a>0，即6≤a<7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；当1 520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当1 520－200a<0，即7.6<a≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润．[类题通法]1．解答实际应用题思维流程为：2．将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型、分式函数模型、指数型函数模型等．[演练冲关]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设甲地调运x 台电脑至B 地，则剩下(6－x )台电脑调运至A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N )．则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，∴y ＝20x ＋960(x ∈N,0≤x ≤6)．若y ≤1 000，则20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，∴0≤x ≤2，x ∈N ，∴x ＝0,1,2，即有3种调运方案． 答案：C2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件该产品需另投入的成本为G (x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，G (x )＝51x ＋10 000x －1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，求该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值．解析：∵每件产品的售价为0.05万元，∴x 千件产品的销售额为0.05×1 000x ＝50x 万元． ①当0<x <80时，年利润L (x )＝50x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且最大值为L (60)＝950万元； ②当x ≥80时，L (x )＝50x －51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950<1 000，∴当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．函数的零点及应用问题函数的零点常考查函数零点的个数判断，零点所在区间及已知零点求参数范围等问题，常与方程不等式等有关知识交汇命题．[典例](1)(2017·贵阳监测)函数y ＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：画出函数y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如图，易知两函数图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数y ＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上有3个零点，故选C.答案：C(2)(2017·武汉调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A. 答案：A(3)(2017·济南诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x －1|，x >0－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程f 2(x )－3f (x )＋a ＝0(a ∈R )有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(0，14)B ．(13，3)C ．(1,2)D ．(2，94)解析：令f (x )＝t ，作出函数f (x )的图象(图略)，由图象可知关于x 的方程f 2(x )－3f (x )＋a ＝0有8个不等的实数根，则关于t 的方程t 2－3t ＋a ＝0在(1,2)上有2个不等的实数根，令g (t )＝t 2－3t ＋a ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫Δ＝9－4a >0g＝a －2>0g ＝a －2>0，解得2<a <94，故选D. 答案：D [类题通法]1．在判断函数零点个数及零点所在区间时常用到等价转化思想与数形结合思想求解时要学会构造两个函数，转化为两函数图象交点，同时在作出函数图象时要力求准确，不可潦草作图． 2．涉及二次方程的根的分布问题常转化为二次函数零点与二次不等式的解集问题．其方法是： (1)分析二次函数的开口方向；(2)当二次方程实根分布在同一区间时，其充要条件是根据区间端点处的函数值的正负建立不等式组求解；(3)当二次方程实根分布在两个不同区间时，其充要条件是根据判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端点处的函数值的正负建立不等式组求解．[演练冲关]1．(2017·西安模拟)设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f (x 0＋12)<33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个D ．67个解析：依题意得sin πx 0＝0，所以πx 0＝k π(k ∈Z )，即x 0＝k ，f (x 0＋12)＝sin[(x 0＋12)π]＝sin(x 0π＋π2)＝cos x 0π＝cos k π，所以|x 0|＋f (x 0＋12)<33，即为|k |＜33－cos k π，当k 为偶数时，|k |<32，则零点有31个；当k 为奇数时，|k |<34，则零点有34个．所以共有31＋34＝65个零点，选C. 答案：C2．(2017·福州质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2x －3，x <2，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则两零点所在的区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析：在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象如图所示，由图易得若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即函数f (x )的图象与直线y ＝k 有两个交点，则k 的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2)和(2，＋∞)内，故选D.答案：D3．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，求n的值．解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.。
高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用一、单项选择题1.(2021·陕西西安月考)函数f (x )=xx 2-1−12的零点个数是( ) A.1 B.2C.3D.42.(2021·福建泉州一模)已知a=32,b=√3√2,c=ln3ln2,则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>bD.a>c>b3.(2021·浙江绍兴二模)函数f (x )=log a x+ax (a>1)的图象大致是( )4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x 的方程9x -2a ·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,52)B.(52,4)C.(52,+∞)D.(4,+∞)5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b-x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f (x )=52有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)={lnx,x≥1,-ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为()A.2B.3C.4D.17.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)={|log3x|,0<x≤√3,1−log3x,x>√3,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)B.-1,-√33C.-1,-23D.-23,-√33二、多项选择题8.(2021·江苏扬州期末)17世纪初,约翰·纳皮尔为了简化计算发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式,两边取常用对数,则有lg N=n+lg a,现给出部分常用对数值(如下表),则下列说法正确的有()A.310在区间(104,105)内B.250是15位数C.若2-50=a×10m(1≤a<10,m∈Z),则m=-16D.若m32(m∈N*)是一个35位正整数,则m=129.(2021·北京延庆模拟)同学们,你们是否注意到?自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=a e x+b e-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.718 28…),对于函数f(x),下列说法正确的是()A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数C.如果ab>0,那么函数f(x)没有零点D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为210.(2021·海南第四次模拟)已知k>0,函数f(x)={-ln(k-x),x<0,ln(k+x),x>0,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域为RC.存在k,使得f(x)在定义域上单调递增D.当k=12时,方程f(x)=1有两个实数根三、填空题11.(2021·北京通州区一模)已知函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),则常数t的一个取值为.12.(2021·山东济宁期末)已知函数f(x)=e x+x2+ln(x+a)与函数g(x)=e x+e-x+x2(x<0)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为.答案及解析1.B 解析 令f (x )=xx 2-1−12=0,即x 2-2x-1=0,解得x=1±√2,经检验x=1±√2是方程f (x )=0的解,故f (x )有两个零点.故选B . 2.C 解析 a=32,b=√3√2=√62,则a>b ,因为a-c=32−ln3ln2=3ln2−2ln32ln2=ln8−ln92ln2<0,所以a<c ,所以b<a<c.故选C .3.A 解析 令g (x )=x+ax ,由于a>1,所以g (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,故f (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,对照题中选项中的图象,知A 选项正确.4.C 解析 令t=3x ,因为方程9x -2a·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,即x>2log 32,则t>32log 32=4,所以函数f (t )=t 2-2at+4有一个大于4的零点,所以f (4)=42-8a+4<0,解得a>52,即实数a 的取值范围是(52,+∞).故选C .5.B 解析 若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B .6.A 解析 当x>1时,2-x<1,所以f (2-x )=-ln[2-(2-x )]=-ln x=-f (x ),当x<1时,2-x>1,所以f (2-x )=ln(2-x )=-f (x ),当x=1时,f (1)=0,所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x ≠1时,原方程可变为f (x )=1x-1,画出函数y=f (x )和y=1x-1的图象(如图所示).由图知,二者仅有两个公共点,设为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为函数y=f (x )和y=1x-1的图象都关于点(1,0)对称,所以点A ,B 关于点(1,0)对称,所以x 1+x 22=1,即x 1+x 2=2.故选A .7.D 解析 令f (x )=t ,则原方程可化为t 2+mt+112=0,画出函数f (x )的图象(如图).由图象可知,若关于x 的方程f 2(x )+mf (x )+112=0有6个解,则关于t 的方程t 2+mt+112=0必须在区间0,12上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得{ 112>0,Δ=m 2-13>0,14+12m +112>0,-m 2∈(0,12),解得m ∈-23,-√33.故选D . 8.ACD 解析 对A,令x=310,则lg x=lg 310=10lg 3=4.77,所以x=104.77∈(104,105),A 正确;对B,令y=250,则lg y=lg 250=50lg 2=15.05,所以y=1015.05∈(1015,1016),则250是16位数,B 错误;对C,令z=2-50,则lg z=lg 2-50=-50lg 2=-15.05,又因为2-50=a×10m (1≤a<10,m ∈Z ),所以10-15.05=a×10m ,则10-15.05-m =a ∈[100,101),所以m=-16,C 正确;对D,令k=m 32,则lg k=lg m 32=32lg m ,因为m 32(m ∈N *)是一个35位正整数,所以34<32lg m<35,则3432<lg m<3532,即1.063<lg m<1.094,所以m=12,D 正确.故选ACD .9.BC解析对A,当a=b时,f(x)=a e-x+a e x,此时f(-x)=a e x+a e-x=f(x),故f(x)为偶函数.故A 错误.对B,当ab<0时,若a>0,b<0,则函数y=a e x在其定义域上单调递增,函数y=be x在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递增;若a<0,b>0,则函数y=a e x在其定义域上单调递减,函数y=be x 在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递减.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数.故B正确.对C,当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+b e-x≥2√ae x·be-x=2√ab>0,当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-a e x-b e-x)≤-2√(-ae x)·(-be-x)=-2√ab<0.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点.故C正确.对D,由ab=1,得b=1a.当a<0,b<0时,函数f(x)=--a e x-1ae-x≤-2√(-ae x)·(-1ae-x)=-2;当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+1a e-x≥2√ae x·1ae-x=2.故ab=1时,函数f(x)没有最小值.故D错误.10.AC解析当x>0时,f(-x)=-ln(k+x)=-f(x),当x<0时,f(-x)=ln(k-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选项A正确;当x>0时,f(x)=ln(k+x)单调递增,且f(x)>ln k,当x<0时,f(x)=-ln(k-x)单调递增,且f(x)<-ln k,f(x)的值域为(-∞,-ln k)∪(ln k,+∞),若k≥1,ln k≥0,此时f(x)的值域不包含0,且f(x)在定义域上单调递增,故选项B错误,选项C正确;对于选项D,若k=12,ln k=-ln 2,而ln 2<1,由前面的分析可知,方程f(x)=1在区间(-∞,0)上没有实数根,在区间(0,+∞)上有一个实数根,故选项D错误.11.2(答案不唯一)解析由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由ln x=0可得x=1,因为函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),所以e>t≥1.所以t可取2.12.(-∞,e)解析由题意得,g(-x)=f(x)在区间(0,+∞)上有解,即e-x=ln(x+a)在区间(0,+∞)上有解,所以函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上有交点.如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象左右平移得到的,当y=ln x的图象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象交于点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e-x=ln(x+a),有1=ln(0+a),得a=e,所以,若函数y=ln x的图象往左平移a个单位长度,且a≥e时,则函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上无交点.将函数y=ln x的图象向右平移时,函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上恒有交点.所以a<e,即a∈(-∞,e).。
江苏高考理科数学二轮讲义：专题一第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数应用 Word版含解析
第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应用[考向导航]考点扫描三年考情考向预测1．基本初等函数的图象与性质第5题江苏高考对初等函数的考查主要载体是二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数，多为中档题；考查函数性质的简单综合运用，此类试题对恒等变形、等价转化的能力有一定的要求，函数与方程、分类讨论、数形结合的数学思想通常会有所体现．函数实际应用题也是高考热点，常以求最值为问题归宿．2．函数与方程第14题第14题3．函数模型第17题1．必记的概念与定理指数函数、对数函数和幂函数的图象及性质(1)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．(2)幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．记住几个常用的公式与结论(1)对数式的五个运算公式log a(MN)＝log a M＋log a N；log aMN＝log a M－log a N；log a M n＝n log a M；a log a N＝N；log a N＝log b Nlog b a．(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0) 提醒：log a M－log a N≠log a(M－N)，log a M＋log a N≠log a(M＋N)．(2)与二次函数有关的不等式恒成立问题①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，b2－4ac<0．②ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0．3．需要关注的易错易混点(1)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．(2)解函数应用题常见的错误：①不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；②在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．基本初等函数的图象与性质[典型例题](1)已知a ＞b ＞1．若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________．(2)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值． 【解析】 (1)由于a ＞b ＞1，则log a b ∈(0，1)，因为log a b ＋log b a ＝52，即log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝12或log a b ＝2(舍去)，所以a 12＝b ，即a ＝b 2，所以a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，所以a ＝2b ，b 2＝2b ，所以b ＝2(b ＝0舍去)，a ＝4．(2)由于a >0，b >0，ab ＝8，所以b ＝8a．所以log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·log 2⎝⎛⎭⎫16a ＝log 2a ·(4－log 2a )＝－(log 2a －2)2＋4， 当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值4． 【答案】 (1)4 2 (2)4指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．[对点训练]1．(·南通市高三模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．[解析] 将(－3，0)，(0，－2)分别代入解析式得log a (－3＋b )＝0，log a b ＝－2，解得a ＝12，b ＝4，从而a ＋b ＝92．[答案] 922．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．[解析] 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )及y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知，－1<x <0，即x ∈(－1，0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．[答案] (－1，0)函数与方程 [典型例题](1)设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，32上零点的个数为__________________________． (2)(·高考江苏卷)设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数．当x ∈(0，2]时，f (x )＝1－（x －1）2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋2），0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0．若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________．【解析】 (1)由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1，2]上的图象如图．令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0，得|cos πx |＝f (x )，两函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎡⎦⎤－12，32上的交点有5个．(2)当x ∈(0，2]时，令y ＝1－（x －1）2，则(x －1)2＋y 2＝1，y ≥0，即f (x )的图象是以(1，0)为圆心、1为半径的半圆，利用f (x )是奇函数，且周期为4，画出函数f (x )在(0，9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数g (x )(x ∈(0，9])的图象，如图，关于x 的方程f (x )＝g (x )在(0，9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g (x )(x ∈(0，1])与f (x )(x ∈(0，1])的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线y ＝k (x ＋2)经过点(1，1)时，k ＝13，当直线y ＝k (x ＋2)与半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)相切时，|3k |k 2＋1＝1，k ＝24或k ＝－24(舍去)，所以k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，24．【答案】 (1)5 (2)⎣⎡⎭⎫13，24判断函数零点个数的方法(1)解方程法：若对应方程f (x )＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[对点训练]3．(·南京四校高三联考)已知周期为4的函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈（－1，1]1－|x －2|，x ∈（1，3]，则方程3f (x )＝x 的根的个数为________．[解析] 作出函数y ＝f (x )的图象及直线y ＝x3如图所示，则两个图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3．[答案] 34．(·苏州市高三调研)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3，3b ＝2，则n ＝________．[解析] f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根．设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ， 故x 0就是两函数交点的横坐标，由2a ＝3，3b ＝2，得a >1，0<b <1．可知f (x )为增函数． 当x ＝－1时，y 1＝1a ＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32，当x ＝0时，y 1＝a 0＝1＞y 2＝b ， 所以－1<x 0<0，所以n ＝－1． [答案] －1函数模型 [典型例题](·高考江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解】 (1)设PO 的延长线交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH ＝10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ， EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ·(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK ＝KN ＝10．连结OG ，令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π6． 当θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k >0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k (sin θcos θ＋cos θ)，θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2． 设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2，则 f ′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)·(sin θ＋1)． 令f ′(θ)＝0，得θ＝π6，当θ∈⎝⎛⎭⎫θ0，π6时，f ′(θ)>0，所以f (θ)为增函数；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，f ′(θ)<0，所以f (θ)为减函数， 因此，当θ＝π6时，f (θ)取到最大值．应用函数模型解决实际问题的一般程序是：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练]5．(·江苏省四星级学校联考)某品牌开发了一种新产品，欲在沿海城市寻找一个工厂代理加工生产该新产品，由于该新产品的专利保护要求比较高，某种核心配件只能从总公司购买并且由总公司统一配送，该厂每天需要此核心配件200个，配件的价格为1．8元/个，每次购买配件需支付运费236元．每次购买来的配件还需支付保密费用(若n 天购买一次，则需要支付n 天的保密费用)，其标准如下：7天以内(含7天)，均按10元/天支付；7天以外，根据当天还未生产时剩余配件的数量，以每天0．03元/个支付．(1)当9天购买一次配件时，求该厂用于配件的保密费用p (元)的值；(2)设该厂x 天购买一次配件，求该厂在这x 天中用于配件的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配件才能使平均每天支付的费用最少．[解] (1)当9天购买一次配件时，该厂用于配件的保密费用p ＝70＋0．03×200×(2＋1)＝88(元)．(2)①当0＜x ≤7时，y ＝1．8×200x ＋10x ＋236＝370x ＋236．②当x ＞7时，y ＝1．8×200x ＋236＋70＋200×0．03×[(x －7)＋(x －8)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，0＜x ≤7且x ∈N *3x 2＋321x ＋432，x ＞7且x ∈N*．设该厂x 天购买一次配件时，平均每天支付的费用为f (x )元，则f (x )＝⎩⎨⎧370＋236x，0＜x ≤7且x ∈N *3x ＋432x ＋321，x ＞7且x ∈N*．当0＜x ≤7时，f (x )＝370＋236x，f (x )是(0，7]上的减函数， 所以当x ＝7时，f (x )有最小值2 8267．当x ＞7时，f (x )＝3x ＋432x ＋321＝3⎝⎛⎭⎫x ＋144x ＋321≥3×2×x ×144x＋321＝393，当且仅当x ＝144x ，即x ＝12时取等号．又2 8267＞393，所以当该厂12天购买一次配件时才能使平均每天支付的费用最少．1．已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．[解析] 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得 α＝－2．故f (x )＝x －2． [答案] f (x )＝x －22．(·常州模拟) 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x的值域为________． [解析] 由指数函数性质知值域为(0，＋∞)． [答案] (0，＋∞)3．函数y ＝|x |2－|x |－12两个零点的差的绝对值是________． [解析] 令|x |2－|x |－12＝0，得(|x |－4)(|x |＋3)＝0， 即|x |＝4，所以两个零点的差的绝对值是|4－(－4)|＝8． [答案] 84．(·绵阳期中)若a ＝30．6，b ＝log 30．2，c ＝0．63，则a ，b ，c 的大小关系为________． [解析] 30．6＞1，log 30．2＜0，0＜0．63＜1，所以a ＞c ＞b ． [答案] a ＞c ＞b5．(·山西大学附中期中)有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |．其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．[解析] 分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0，1)内单调递减．[答案] ②④6．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________．[解析] 因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2．所以m ＝10．[答案] 107．(·南京、盐城高三模拟)已知函数f (x )＝e xx －kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e xx －kx ＝0只有一个根，即方程e x x 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝e xx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝（x －2）e x x 3，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞，x →－∞时，g (x )→0，x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e 24．[答案] ⎝⎛⎭⎫0，e 24 8．(·高三第二次调研测试)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在[2，4)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x ) －log 5|x |的零点个数为______． [解析] 由f (x ＋4)＝f (x )得奇函数f (x )的最小正周期为4，作出函数f (x )与y ＝log 5|x |的部分图象如图所示，根据图象易知，函数y ＝f (x )与y ＝log 5|x |的图象有5个交点，故函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点个数是5．[答案] 59．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________． [解析] 令t ＝a x (a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14． 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13． 又因为a >0，所以a ＝13．②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)． 综上得a ＝13或3．[答案] 13或310．(·江苏省高考名校联考信息卷(五))已知函数f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )，g (x )满足g (2－x )＋g (x )＝0．若函数f (x －1)与函数g (x )的图象恰好有2 019个交点，则这2 019个交点的横坐标之和为______．[解析] 由于f (－x )＋f (x )＝2－x －12－x ＋1＋2x －12x ＋1＝0，所以函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数，从而函数f (x－1)的图象关于点(1，0)对称．由函数g (x )满足g (2－x )＋g (x )＝0，可知g (x )的图象也关于点(1，0)对称，所以函数F (x )＝g (x )－f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，从而这2 019个零点关于点(1，0)对称，由于F (1)＝g (1)－f (0)＝0，所以x ＝1是F (x )的一个零点，其余2 018个零点首尾结合，两两关于点(1，0)对称，和为2 018，故所有这些零点之和为2 019，即函数f (x －1)与函数g (x )的图象的2 019个交点的横坐标之和为2 019．[答案] 2 01911．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1．(1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0，1]上单调递增，求实数m 的取值范围．[解] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4．故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4．①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时， 则必需⎩⎨⎧m 2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0． ②当Δ>0，即m <－255或m >255时， 设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m 2≥1，则x 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1，F （0）＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m 2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F （0）＝1－m 2≥0⇒－1≤m <－255． 综上所述，m 的取值范围为[－1，0]∪[2，＋∞)．12．(·南通市高三模拟)某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m 的圆形，并用四根木条将圆分成9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形．现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6 m ，求窗口ABCD 面积的最大值．[解] (1)当ABCD 为正方形时，四根木条的长度相等，设一根木条长为x m ，则正方形的边长为21－⎝⎛⎭⎫x 22＝4－x 2 m ． 因为S 四边形ABCD >14，所以4－x 2>14，即0<x <152． 又四根木条将圆分成9个区域，所以x >2，所以42<4x <215，即四根木条总长的取值范围为(42，215)．(2)设AB 所在木条长为a m ，BC 所在木条长为b m ．由条件知，2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3．因为a ，b ∈(0，2)，所以b ＝3－a ∈(0，2)，从而a ，b ∈(1，2)．由于AB ＝21－b 24，BC ＝21－a 24， S 矩形ABCD ＝41－b 24·1－a 24＝4－b 2·4－a 2， 因为4－b 2·4－a 2≤8－（a 2＋b 2）2≤8－（a ＋b ）222＝74， 当且仅当a ＝b ＝32∈(1，2)时，S 矩形ABCD ＝74， 所以窗口ABCD 面积的最大值为74m 2． 13．(·江苏省高考名校联考(九))某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果．研发人员通过多次试验发现每投放a (1≤a ≤4，a ∈R )克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，6x －3＋2，x ＞4，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．(1)若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(2)如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y (克/升)与时间x (分钟)的函数关系式，其中x 表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污．[解] (1)当一次投放4克洗衣液，即a ＝4时，y ＝4·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ，0≤x ≤4，24x －3＋8，x >4． 因为当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用，所以当0≤x ≤4时，由8x ≥16，解得x ≥2，所以此时2≤x ≤4；当x >4时，由24x －3＋8≥16，得x ≤6，所以此时4<x ≤6．综上可得2≤x ≤6．所以若一次投放4克洗衣液，有效去污时间可达4分钟．(2)由(1)得，当4≤x ≤8时，y ＝24x －3＋8＋8(x －4)＝24x －3＋8(x －3)； 当x >8时，y ＝24x －3＋8＋24x －4－3＋8 ＝24x －3＋24x －7＋16． 综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －3＋8（x －3），4≤x ≤8，24x －3＋24x －7＋16，x >8． 当4≤x ≤8时，y ＝24x －3＋8(x －3)≥224x －3×8（x －3）＝163，当且仅当x ＝3＋3时等号成立．又163>16，所以接下来的4分钟能够有效去污．14．设函数f n (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N *，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f n (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点；(2)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4，求b 的取值范围．[解] (1)证明：b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f n (x )＝x n ＋x －1．因为f n ⎝⎛⎭⎫12f n (1)＝⎝⎛⎭⎫12n －12×1<0， 所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′n (x )＝nx n －1＋1>0，所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上是单调递增的，所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点．(2)当n ＝2时，f 2(x )＝x 2＋bx ＋c ．对任意x 1，x 2∈[－1，1]都有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x )在[－1，1]上的最大值与最小值之差M ≤4．据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪b 2>1，即|b |>2时，M ＝|f 2(1)－f 2(－1)|＝2|b |>4，与题设矛盾．②当－1≤－b 2<0，即0<b ≤2时， M ＝f 2(1)－f 2⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b 2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f 2(－1)－f 2⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b 2－12≤4恒成立． 综上可知，－2≤b ≤2．。
高考数学二轮复习第一部分专题一第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用习题
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用限时规范训练 A 组——高考热点强化练一、选择题1．(log 32－log 318)÷81－14＝( )A ．－32B ．－6 C.32D ．6解析：原式＝(log 32－log 318)÷8114-＝log 3218÷(34) 14-＝log 319÷3144⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭＝－2÷13＝－6，故选B.答案：B2．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数． 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. 答案：D3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1解析：由幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，α＝12，则幂函数f (x )＝x 12，∴f (2)＝212，∴log 2f (2)＝12.故选A.答案：A4．(2016·高考北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：利用函数的单调性进行判断．A ．考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B.考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调的，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C.考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D.考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误． 答案：C5．函数f (x )＝ln x ＋x －12，则其零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(1,2)解析：∵函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是连续的，且函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上至多只有一个零点．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝ln 34＋14＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫344e <ln 1＝0，f (1)＝12>0，所以函数的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，故选C.答案：C6．已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3，其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0＜x ＜1时，h (x )＝－3，作出图象(图略)，两函数有一个交点即一个零点；当2≤x ＜3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )＜ln 3，此时两函数有一交点，即有一零点，共2个零点． 答案：B7．(2017·唐山模拟)若函数f (x )＝x lg(mx ＋x 2＋1)为偶函数，则m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－1或1D ．0解析：因为函数f (x )为偶函数，则x lg(mx ＋x 2＋1)＝－x lg(－mx ＋x 2＋1)，即mx ＋x 2＋1＝1－mx ＋x 2＋1，整理得x 2＝m 2x 2，所以m 2＝1，所以m ＝±1，故选C.答案：C8．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析：由题意可知，f (x )＝e x－1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1.若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3>－1.解得2－2<b <2＋ 2. 答案：B9．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3，故选C. 答案：C10．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过14，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x－1D ．f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 解析：g (x )＝4x＋2x －2在R 上连续，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2＋12－2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋1－2>0.设g (x )＝4x＋2x －2的零点为x 0，则14<x 0<12.f (x )＝4x －1的零点为x ＝14，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1， f (x )＝e x －1的零点为x ＝0，f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12的零点为x ＝32.∵0<x 0－14<14，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－14<14.故选A.答案：A11．已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14∪(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，14∪(1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14解析：f (x )的定义域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，因而1a <3，所以12a <32.此时t ＝ax 2－x 在[3,4]上为增函数，故需y ＝log a t 为增函数，所以a >1.故选A. 答案：A12．(2017·广西模拟)若关于x 的方程2x 3－3x 2＋a ＝0在区间[－2,2]上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－4,0]∪[1,28) B ．[－4,28] C ．[－4,0)∪(1,28]D ．(－4,28)解析：设函数f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，f ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，x ∈[－2,2]．令f ′(x )>0，则x ∈[－2,0)∪(1,2]，令f ′(x )<0，则x ∈(0,1)，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在[－2,0)，(1,2]上单调递增，又f (－2)＝－28＋a ，f (0)＝a ，f (1)＝－1＋a ，f (2)＝4＋a ，∴－28＋a ≤0<－1＋a 或a <0≤4＋a ，即a ∈[－4，0)∪(1,28]． 答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2 016，f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＝4，则f (2 017)＝________. 解析：设F (x )＝f (x )－2 016，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝a log 21x＋b log 31x＝－(a log 2x ＋b log 3x )＝－F (x )，所以F (2 017)＝－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝－(4－2 016)＝2 012，f (2 017)＝F (2 017)＋2 016＝4 028.答案：4 02814．已知2x ＝3y＝a ，且1x ＋1y＝2，则a 的值为________．解析：由2x ＝3y＝a ，得x ＝log 2a ，y ＝log 3a .由1x ＋1y＝2，得log a 2＋log a 3＝2，所以log a 6＝2，所以a 2＝6.又因为a >0，所以a ＝ 6. 答案： 615．某生产厂商更新设备，已知在未来x (x >0)年内，此设备所花费的各种费用总和y (万元)与x 满足函数关系y ＝4x 2＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为________．解析：y x＝4x ＋64x≥24x ·64x ＝32，当且仅当4x ＝64x，即x ＝4时等号成立．答案：416．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，即y ＝f (x )与y ＝m 有3个不同的交点，作出f (x )的图象和y ＝m 的图象，可得出m 的取值范围是[0,1)．答案：[0,1)B 组——12＋4高考提速练一、选择题1．已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 3a >log 3b ，得a >b ，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故为充分条件；又由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b，得a >b ，但当a <0，b <0时，log 3a ，log 3b 无意义，因此不是必要条件．故选A.答案：A2．(2017·高考北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80 lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093.故选D. 答案：D3．(2017·甘肃模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋1，x <4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋log 25 C.12D.120解析：∵2<log 25<3，∴3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222log 5＋＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫122log 5＝14×15＝120，故选D. 答案：D4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )． 设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确． ∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误．故选C. 答案：C5．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3D ．－1或2解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m >0，解得m ＝2.故选B.答案：B6．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，1)∪(3，＋∞) C ．(1,2)D ．(－∞，2)∪(3，＋∞)解析：x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由题知，当a ∈[－1,1]时，g (a )>0恒成立，则须⎩⎪⎨⎪⎧g－1>0，g 1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.故选B. 答案：B7．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2)B ．[－1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：根据题意，直线y ＝x 与射线y ＝2(x >m )有一个交点A (2,2)，并且与抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上有两个交点B ，C .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋4x ＋2，解得B (－1，－1)，C (－2，－2)．∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上的部分必须包含B ，C 两点，且点A (2,2)一定在射线y ＝2(x >m )上，才能使y ＝f (x )图象与y ＝x 有3个交点，∴实数m 的取值范围是－1≤m <2，故选A.答案：A8．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c .故选C. 答案：C9．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z解析：令t ＝2x＝3y＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1. 则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t 2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3＝lg t lg 9－lg 8lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t 2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5＝lg t lg 25－lg 32lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D. 答案：D10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(0,3)解析：设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a .如图所示，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有2个，故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解，则方程f (x )＝a 的解必有3个，此时0<a <1，故选A.答案：A11．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m ＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．故选B. 答案：B12．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1解析：法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )，∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，则a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C. 答案：C 二、填空题13．(2017·西安八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为________．解析：函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x有2个零点．答案：214．已知x ∈R ，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0，则方程f (x )＝1的所有解之和等于________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π，2sin x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＝1.解得x ＝π6或x ＝5π6或x ＝－1，则其所有解的和为π－1. 答案：π－115．如图所示，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝2x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫32x的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴．若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．解析：由2＝2得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，由2＝x 12得点B (4,2)．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫324＝916，即点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，916，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916 16．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝(x －a )2＋5－a 2在(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2，|a －1|≥|(a ＋1)－a |＝1，因此要使x 1，x 2∈[1，a ＋1]时，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，只要|f (a )－f (1)|≤4即可，即|(a 2－2a 2＋5)－(1－2a ＋5)|＝(a －1)2≤4，解得－1≤a ≤3.又∵a ≥2，∴2≤a ≤3. 答案：[2,3]。
2015届高三数学二轮专项复习课件：专题1 第3讲 基本初等函数Ⅰ
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指数函数、对数函数的图象与性质
已知命题p1：函数y＝2x－2－x 在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命 题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真 命题是( )
③Δ<0 时，f(x)的图象与 x 轴无公共点，方程 f(x)＝0 无实 根，不等式 f(x)>0 的解集为 R，f(x)<0 的解集为∅.
专题一 第三讲
第十五页，编辑于星期五：八点 四十四分。
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1．比较幂值大小时，要正确依据底数相同、指数变化，还 是指数相同，底数变化来区分应用指数函数性质还是幂函数性 质．
[方法规律总结] 1．幂式、对数式等数值比较大小问题，利用同底数、同指 数或同真数等借助于函数单调性或图象求解． 2．含函数符号f的不等式，先化为f(x1)<f(x2)形式，再利用 函数单调性解决． 对于偶函数f(x)，有f(x)＝f(|x|)成立． 3．给出解析式判断函数图象的题目，一般借助于平移、伸 缩、对称变换，结合特殊点(与坐标轴的交点、最高(低)点、两 图象的交点等)作出判断．
专题一 第三讲
第九页，编辑于星期五：八点 四十四分。
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3．指数函数与对数函数的图象与性质
指数函数
对数函数
定义 函数 y＝ax(a>0，a≠1，x 函数 y＝logax(a>0，
∈R)叫指数函数
a≠1，x>0)叫对数函数
值域
(0，＋∞)
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第3讲 基本初等函数
1. 函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为________．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
2. y＝loga(2－ax)(a>0，a≠1)在[0，1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是________．
答案：(1，2)
解析：y＝loga(2－ax)是[0，1]上关于x的减函数，
∴ a＞1，2－a＞01＜a＜2.
3. 不等式13x－1－3x>2的解集为________．
答案：(－∞，0)
4. 设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x>1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是____________．
答案：[0，＋∞)
解析：由题意，x≤1，21－x≤2，解得0≤x≤1或x＞1，1－log2x≤2，解得x＞1.综上x≥0.
5. 若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)
＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．
答案：14
6. 已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1
对x∈[－1，1]恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案：[－1，1]
解析：∵ f(x)是R上的偶函数，且f(2)＝1，
∴ f(2)＝f(－2)＝1；∵ f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(x＋a)≤1对x∈[－1，1]恒
成立，∴ －2≤x＋a≤2，即－2－x≤a≤2－x在x∈[－1，1]上恒成立，∴ －1≤a≤1.
7. 若函数f(x)＝a－x＋x＋a2－2是偶函数，则实数a的值为________．
答案：2
解析：∵ 函数f(x)＝a－x＋x＋a2－2是偶函数，
∴ a－x≥0，x＋a2－2≥0，2－a2≤x≤a，此时要求2－a2≤a，首先定义域关于原点对称，
∴ 2－a2＝－a，∴ a＝2或－1.若a＝－1，2－a2＝1＞－1＝a，故a＝－1(舍去)，∴ a＝2；
当a＝2时，f(x)＝2－x＋x＋2，f(－x)＝x＋2＋2－x＝f(x)，f(x)是偶函数．
8. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，
则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系是________．
答案：f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：∵ f(x－4)＝－f(x)，∴ f(x－4)＝f(x＋4)，∴ 函数周期T＝8.∵ f(x)为奇函
数，在区间[0，2]上是增函数，∴ f(x)在[－2，2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)
＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜
f(11)．
9. 函数y＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)
上，则1m＋2n的最小值为________．
答案：9
解析：函数图象恒过定点(1，2)，从而m＋2n＝1，又mn＞0，∴ 1m＋2n＝m＋2nm＋2m＋4nn＝
5＋2nm＋mn≥9，当且仅当m＝n时取等号，∴ 1m＋2n的最小值为9.
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10. 若不等式(m2－m)2x－12x＜1对一切x∈(－∞，1]恒成立，则实数m的取值范围是
____________．
答案：(2，3)
解析：(m2－m)2x－12x<1，x∈(－∞，－1]恒成立m2－m<12x＋12x，x∈(－∞，－
1]恒成立．设12x＝t，t∈[2，＋∞)，f(t)＝t2＋t＝t＋122－14≥6，故m2－m<6，－2
p为何值时，2M＋m＝3.
解：f(x)＝12px2－x＋3＝12p(x－p)2＋3－p2.
① 当p≤－1时，f(x)在[－1，2]上单调递减，M＝f(－1)＝12p＋4，m＝f(2)＝2p＋1，由
2M＋m＝3，得p＝－12(舍)；② 当－1＜p＜0时，M＝f(p)＝3－p2，m＝f(2)＝2p＋1，由2M＋m
＝3，得p＝2－6，p＝2＋6(舍)；③ 当0＜p＜12时，M＝f(2)＝2p＋1，m＝f(p)＝3－p2，由
2M＋m＝3，得p＝2±23(舍)；④ 当12≤p≤2时，M＝f(－1)＝12p＋4，m＝f(p)＝3－p2，由
2M＋m＝3，得p＝8±66(舍)；⑤ 当p＞2时，M＝f(－1)＝12p＋4，m＝f(2)＝2p＋1，由2M
＋m＝3，得p＝－12(舍)．
综上，当p＝2－6时，2M＋m＝3成立．
12. 已函数f(x)＝1＋x－x.
(1) 求函数f(x)的值域；
(2) 若g(x)＝1－x＋x，判断函数F(x)＝lgf（x）g（x）的奇偶性；
(3) 若函数y＝f(ax)在区间(－1，1)上存在零点，求实数a的范围．
解：(1) 令t＝1＋x，则x＝t2－1，
∵ x∈[－1，＋∞)，∴ t∈[0，＋∞)，
∴ y＝t－(t2－1)＝－t2＋t＋1，∴ y∈－∞，54，即函数f(x)的值域为－∞，54.
(2) 由题意，x∈[－1，1]，F(x)＝lg1＋x－x1－x＋x，
F(－x)＝lg1－x＋x1＋x－x＝lg1＋x－x1－x＋x－1
＝－lg1＋x－x1－x＋x＝－F(x)，
∴ 函数F(x)＝lgf（x）g（x）为奇函数．
(3) 由题意，1＋ax－ax＝0在区间(－1，1)上有解，即1＋ax＝ax，
① a＝0时不合题意；
② a>0时，即1＋ax＝ax在(0，1)上有解，
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∴ a2x2－ax－1＝0，
由图象，a2－a－1>0，解得a>1＋52；
③ a<0时，即1＋ax＝ax在(－1，0)上有解，
∴ a2x2－ax－1＝0，
由图象，a2＋a－1>0，解得a<－1－52.
综上，a∈－∞，－1－52∪1＋52，＋∞.
13. 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1) 若x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；
(2) 解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；
(3) 设函数g(x)＝f′（x），f（x）≥f′（x），f（x），f（x）
a≥x2－2x＋12（1－x）在x∈[－2，－1]时恒成立．
因为x2－2x＋12（1－x）＝1－x2≤32，所以a≥32.
(2) 因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，
所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.
① 当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；
② 当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，
所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；
③ 当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．
(3) 因为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，
g(x)＝f′（x），f（x）≥f′（x），f（x），f（x）＜f′（x）.
① 若a≥－12，则x∈[2，4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，从而g(x)
的最小值为g(2)＝2a＋4；
② 若a＜－32，则x∈[2，4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1，
当－2≤a＜－32时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，
当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，
当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.
③ 若－32≤a＜－12，则x∈[2，4]时，g(x)＝x2＋2ax＋1，x∈[2，1－2a），2x＋2a，x∈[1－2a，4].
当x∈[2，1－2a)时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5；
当x∈[1－2a，4]时，g(x)的最小值为g(1－2a)＝2－2a.
因为－32≤a＜－12，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，
所以g(x)的最小值为4a＋5.
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综上所述，[g(x)]min＝8a＋17，a≤－4，1－a2，－4＜a＜－2，4a＋5，－2≤a≤－12，2a＋4，a≥－12.