构造函数利用导数解决函数问题

构造函数解决不等式问题 例：[2011·辽宁卷]函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2， 则f(x)＞2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 【解析】构造函数G(x)＝f(x)－2x－4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意x∈R，f’(x)>2， 所以G′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数， 又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0， 即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.

训练：

1.已知函数()yfx的图象关于y轴对称,且当(,0),()'()0xfxxfx成

立0.20.22(2)afg，log3(log3)bfg，33log9(log9)cfg,则a,b,c的大小关系是 ( ) A. bac B.cab C.cba D.acb 解：因为函数()yfx关于y轴对称,所以函数()yxfx为奇函数.因为

[()]'()'()xfxfxxfx,所以当(,0)x时,[()]'()'()0xfxfxxfx,函数

()yxfx单调递减,当(0,)x时,函数()yxfx单调递减.因为

0.2122,0131og,3192og,所以0.23013219ogog,所以bac,选A.

2. 已知()fx为R上的可导函数，且xR，均有()()fxfx，则有 A．2013(2013)(0)eff，2013(2013)(0)fef B．2013(2013)(0)eff，2013(2013)(0)fef C．2013(2013)(0)eff，2013(2013)(0)fef D．2013(2013)(0)eff，2013(2013)(0)fef

解：构造函数()(),xfxgxe则2()()()()()()()xxxxfxeefxfxfxgxee， 因为,xR均有()()fxfx，并且0xe，所以()0gx，故函数()()xfxgxe在R上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)gggg，，即20132013(2013)(2013)(0)(0)ffffee，， 也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)efffef，，故选D． 6. 已知函数))((Rxxf满足1)1(f，且)(xf的导函数21)('xf，则212)(xxf的解集为（ ）A. 11xx B. 1xx C. 11xxx或 D. 1xx 解：构造新函数1()()()22xFxfx, 则11(1)(1)()11022Ff， 1'()'()2Fxfx，对任意xR，有1'()'()02Fxfx，即函数()Fx在R上单调递

减，则()0Fx的解集为(1,)，即212)(xxf的解集为(1,)，选D. 3.[2013·绥化一模] 已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝(30.3)·f(30.3)，

b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝)91(log2·f)91(log2，则a，b，c的大小关系是( )

A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b 解：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)关于(0，0)中心对称为奇函数，所以函数g(x)=xf(x)为偶函数．又当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，故g(x)=xf(x)在(－∞，0)上为减函数．由偶函数的性质得函数xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，

又log319>30.3>logπ3>0，所以c>a>b.

例：巳知函数f（x）=13ax2－bx－1nx，其中a，b∈R。（I）当a=3，b=-1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f(e））处的切线方程为2x－3y－e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值； （Ⅲ）当a>0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1>x2≥4，总有

1212

()()1hxhxxx

成立，试用a表示出b的取值范围；

【知识点】导数的综合应用 解：因为2ln,0,fxxxxx，所以2111'21xxfxxxx，

令1'0,12fxx得或，所以f(x)在102，上单调递减，在12，上单调递增， 则f(x)在12x处取得最小值为13ln224f； （Ⅱ）因为21212','333fxaxbfeaebxe所以①， 又因为切点(e，f(e))在直线2x－3y－e=0上，所以切点为,3ee， 所以21133efeaebe②，联立①②解得11,abee. （Ⅲ）由题意，对于任意124xx，总有1122120hxxhxxxx成立， 令321,4,3pxhxxaxbxxx，则函数p(x)在x∈[4，＋∞)上单调递增，所以2'2104,pxaxbx在x上恒成立.构造函数 10,0,Fxaxaxx，则22211'axFxaxx，

所以F(x)在0,aa上单调递减,在,aa上单调递增. (1)当14016aaa即时，F(x)在4,aa上单调递减，在,aa上单调递增. 所以F(x)的最小值为2,22,aFababaa所以得； (2)当1416aaa即时F(x)在(4，＋∞)上单调递增，11244,248bFaba即，综上，当1016a时,ba，当116a时，1,28ba 【思路点拨】本题主要考查的是利用导数求函数的最值及利用导数研究曲线的切线，利用导数求最值一般先判断函数的单调性，再结合单调性确定最值位置，对于由不等式恒成立求参数参数范围问题通常转化为函数的最值问题解答. 变式练习： 1.函数.ln)2()(2xxaaxxf（Ⅰ）当1a时，求曲线)(xfy在点))1(,1f（处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，若)(xf在区间],1[e上的最小值为-2，求a的取值范围； （Ⅲ）若对任意2121),,0(,xxxx，且22112)(2)(xxfxxf恒成立，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）当1a时，xxxfxxxxf132)(,ln3)(2.………2分 因为2)1(,0)1('ff.所以切线方程是.2y …………4分 （Ⅱ）函数xxaaxxfln)2(2)(的定义域是），（0. ………………5分

当0a时，)0(1)2(21)2(2)('2xxxaaxxaaxxf 令0)('xf，即0)1)(12(1)2(2)('2xaxxxxaaxxf， 所以21x或ax1. ……………………7分 当110a，即1a时，)(xf在［1，e]上单调递增， 所以)(xf在［1，e]上的最小值是2)1(f； 当ea11时，)(xf在［1，e]上的最小值是2)1()1(faf，不合题意； 当ea1时，)(xf在（1，e）上单调递减， 所以)(xf在［1，e]上的最小值是2)1()(fef，不合题意………………9分 （Ⅲ）设xxfxg2)()(，则xaxaxxgln)(2， 只要)(xg在），（0上单调递增即可.…………………………10分

而xaxaxxaaxxg1212)('2 当0a时，01)('xxg，此时)(xg在），（0上单调递增；……………………11分 当0a时，只需0)('xg在），（0上恒成立，因为),0(x，只要0122axax， 则需要0a，对于函数122axaxy，过定点（0，1），对称轴041x，只需082aa，即80a. 综上80a. ………………………14分

2. 函数()lnmfxxx，mR（1）求函数的极值；（2）讨论()'()3xgxfx的零点的个数；（3）对()()0,1fbfababa恒成立，求m的取值范围。

解：Rmxxmxmxxfxmxxf∈,0,-x-1)(∴,ln)(22>==′+= .2)(.2ln)()(∴.)(,0)(0)(∴,0)(.0,-x)()1(2的极小值为所以，只有极小值单调递减时，同理，当单调递增；得解时，当xfeeeefxfxfxfexxfexxfxxexfem 没有零点；时，当个零点；有时，只有一个零点；当时，，或当的图像，则由图知大致画出函数在区间上递减，值域为解得同理，令在区间上递增，值域为解得令则，令)(322)(320)(320≤)()32,∞-()(∴,10)().32,0()(∴,100)().-1)(1(-1)(32)1(,∈,0,3-x)(3-x∴,03--x3-)()()2(2332xgmxgmxgmmxgxgxxhxhxxhxxxxhhRmxxxhxmxxmxxfxg

.∞),41(∈41∴41,-∈-0-m∴1-.)∞,0(1)(,1-)(-)(0)3(222时，满足题意所以，当时，二次函数当上恒成立在即时，当mmxxxxxxmxxfabafbfab3.已知函数f(x)=lnx（1）若直线y=x+m与函数f(x)=lnx的图像相切，求实数m的值。（2）证明函数f(x)=lnx与曲线1yxx有唯一的交点。（3）设0babaf(b)-f(a)2的大小，并说明理由