质心运动定理表达式
质心运动定理
物理
例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其质量为m，半径为R。
求 此半圆形铁丝的质心。
y
解 选如图所示的坐标系
半圆对y轴对称，则质心应在y轴上
任取一微元长为dl，质量为dm
dm dl m dl
πR 由质心的位置坐标式，有
y R sin dl Rd
yC
ydl
m
C
d
R
dl
y
O
x
大学
3-3 质心运动定理
物理
3.3.1 质心
z
研究由质量为m1, m2 , mn的质点组成
······· F的外质点dd系Pt 质点系动量定理（微分形式）
C× rc
mi
ri
· F外
d dt
(
mivi )
vi
dri dt
F外
d2 dt 2
(
miri )
以m表示质点系的总质量
rC
yc
ydm m
π
yC
Rsin Rd
0
2 R2
m
m
2R π
第三章 守恒定律
4
大学
物理 3.3.3 质心运动定理
F外
m
d2 dt 2
rC
mac
ac称为质心加速度
质心运动定理
3-3 质心运动定理
d 2
F外 m dt 2 (
miri ) m
rC
mi
mi
m
ri
0
y
x
F外
m
质心
例:已知半圆环质量为M,半径为R 已知半圆环质量为M,半径为R M,半径为 它的质心位置? 求:它的质心位置? 建立坐标系如图, 解:建立坐标系如图 由对称性 x = 0
c
M 线密度 λ = πR
M dm = Rdθ πR
y = R sin θ
πபைடு நூலகம்
0
取dl → dm=λdl dl=Rdθ θ
M ∫ ydm = ∫ R sin θ π R Rdθ = yc = M M π R R 2R = ( cos θ ) = (1 + 1) = 0 π π π
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1
质心
运动员跳水
投掷手榴弹
水平上抛三角板
p = ∑ mi vi = mvc 其中 m = ∑ mi = m1 + m2 + 为质点系的总质量
若令系统总动量 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动. 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点 的运动.
y
设小球质量为 0,则质量和质心坐标分别为: 小球质量为m 则质量和质心坐标分别为: 质量为 大球: 大球: m1 = 64m0 , x1 = 0 , y1 = 0 小球: 小球:m3 = m0 , x3 = R / 2, y3 = R / 4 系统的总质量为 m = m + m2 + m3 = 57m0 1 中球: 中球: m2
drc vc = dt
vc
如何确定这个 点的位置? 点的位置?
∑ =
dri mi vi ∑ mi dt = = m m
dri vi = dt
06-6质心力学定理
V M
C O
的速度) 对 的速度 又 ∵ v ≈ v ′ ( v ′是m对M的速度 1 ∴ m υ ′ 2 + ∆E引 = 0 2 地球参考系不是惯性系⇒ • 地球参考系不是惯性系⇒ 动量守恒不成立 地球参考系仍可正确表示系统的功能 功能关系 • 地球参考系仍可正确表示系统的功能关系
03/2006 S.H.Deng
12
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. 质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. S.H.Deng
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义： 定义：E C = Mgh C
E =
i i i
——质心重力势能 质心重力势能
质点组重力势能 ∑ m gh ——质点组重力势能 M =∑m ∑m h E = ∑ m gh = g ∑ m h = g ∑m ∑m
× m i v iC ) + ∑ (riC × m i v C )
i
S.H.Deng
i
OiBiblioteka C03/200614
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
L = rC × ∑ m i v C + ∑ (riC × m i v iC ) + rC × ∑ (m i v iC ) i i i + ∑ (m i riC ) × v C
质心动量的改变量等于和外力的冲量. 质心动量的改变量等于和外力的冲量.
dv C = 又：M dt
∑F
i
i
即 M aC =
∑F
i
i
——质心运动定理 质心运动定理
质点组总质量与质心加速度的乘 积等于质点组所受到的合外力. 积等于质点组所受到的合外力. S.H.Deng 03/2006
3.3质心运动定理
一 质心
质心运动定理 z
研究由质量为m1 , m2 , mn的质点组成 的质点系
dP F外 质点系动量定理（微分形式） dt d dri F外 ( mi vi ) vi dt dt x 2 d F外 2 ( mi ri ) dt 2 d mi ri 以m表示质点系的总质量 F外 m 2 ( ) dt m mi r i rC m
y
m2
m ri i
c
r1 m1
o
x
y
（x1，y1）
mx1 mx2 x1 x 2 xc 3m 3
x
o
x2
my1 y1 yc 3m 3
●连续体 z r0 Nhomakorabeadm ×C rc m
y
yc ydm m
zc
r dm rC m
x
xC
xdm m
zdm m
例 有质量为2m的炮弹，从地面斜抛出去，它的落地 点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等 的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平 抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心
始终只受重力的作用， 因此，质心的轨迹为 一抛物线，它的落地 点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
质量均匀分布的对称体系，其质心就在它的几何对称中 心上； 重心是物体上各部分所受重力合力的作用点。当物体的体 积远小于地球的体积时，物体的质心与重心的位置重合；
例1
一段均匀铁丝弯成半圆形，其质量为m，半径为R。
求 此半圆形铁丝的质心。 解 选如图所示的坐标系 半圆对y轴对称，则质心应在y轴上 任取一微元长为dl，质量为dm
大学物理力学第六章质心运动定理(一)2024
大学物理力学第六章质心运动定理（一）引言概述：
大学物理力学第六章质心运动定理（一）是研究质点系运动的基本定理之一。
它提供了描述质点系运动的质心运动定理，通过质心的位置和速度来刻画整个质点系的运动状态。
本文将从质心的定义、质心运动的基本性质、运动定理的表达形式、定理的证明过程以及实际应用等五个大点来详细阐述质心运动定理的相关内容。
正文：
一、质心的定义
1. 质心的概念及其物理意义
2. 如何计算质心的位置坐标
二、质心运动的基本性质
1. 质心的速度与质点的速度之间的关系
2. 质心的加速度与质点的加速度之间的关系
3. 质心运动的平稳性及其相关说明
三、质心运动定理的表达形式
1. 质心运动定理的基本公式
2. 质心运动定理的向量形式
3. 质心运动定理的微分形式
四、质心运动定理的证明过程
1. 利用质心的定义和质点系的微分元素进行推导
2. 推导过程中的重要假设和简化处理
3. 将推导结果与实际情况进行对比验证
五、质心运动定理的实际应用
1. 航天器的姿态控制与稳定
2. 运动物体的动量变化分析
3. 天文学中的质心运动定理应用
总结：
本文从质心的定义、质心运动的基本性质、运动定理的表达形式、定理的证明过程以及实际应用等五个大点全面阐述了大学物理力学第六章质心运动定理（一）的相关内容。
这一定理的正确应用，不仅能够帮助我们更好地理解质点系的运动规律，还在实际生活中有着广泛的应用前景，对于提高物体运动控制、动量变化分析、航天器姿态控制等方面都具有重要意义。
通过深入学习和理解质心运动定理，我们能够更好地应用物理学知识解决实际问题，推动科学技术的发展。
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
质心运动定理
d d d M vc = ∑ m v = K = ∑ F (e) dt dt dt
∴ M ac = ∑ ma = ∑ F ( e )
d d M rc = ∑ m r dt dt
M vc = ∑ m v = K ( 1 )
d 2 rc (e) or M (1) 2 = ∑ F dt
2
P2 r sin ω t P1 + P 2
∵ M xc = N x P2 2 N x = ω r cosω t g ∵ M c = N y ( P1 + P2 ) y
P2 2 N y = ( P1 + P2 ) ω r sin ω t g
F 船和小孩
金发小孩重为P 当金发小孩从前 到了后，问船的 位移b为多少? 不计水的阻力。
把质点系的质量集中在 质心，则质心的动量等于 质点系的动量。 为计算刚体的动量提供了方便
质点系的质量与质心 加速度的乘积等于质点系 的所有外力的主矢。
质心运动定理的直角坐标形式
C 质心运动守恒
条件∶ 质点系不受外力作用 或质点系的外力主矢为零。 条件∶质点系受的外力在x轴上 投影的代数和为零 结果∶ 1、质心会处于静止或匀速直线 运动的状态。 2、只有外力能改变质心的运动。 3、内力不能改变质心的运动。 质心沿x轴方向的运动是云速的
x2 =b
y
x' = b +l - b = l 1
金发小孩的坐标为 x
x '2 = 2 a
∑ mx Q(b+ l) + Pb ∴c= x = ∑ m P +Q
o y
∑ mx' Ql + P2a = ∴x' c = m ∑ Q+P
2-(4)质心
i c
x 质心位置是质点位置以
质量为权重的平均值。
二.几种系统的质心 ● 两质点系统 m2 m1 C
·r
●
×
1
r2
·
m1 r1 = m2 r2
连续体
dm
z r rc
0
×C
m
r dm rC m
xdm xC
y
x
……
m
圆环、球，质心为其几何中心。 均匀杆、圆盘、 ● “小线度”物体的质心和重心是重合的。 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 [例]如图示， 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。
m x m
i i
ydm dm
zc
zdm dm
若一个物体由A、B两部分组成，依质心xyz方向表达式 分别改写为
Xc
i
A
m i x i B m i x i
A
m i B m i
A mi xi B mi xi mA mB X A c m A X B c mB mA mB Xc m A mB m A mB
F地月 k 地
m月 r月
2
F月地 k月
m地 r地
2
根据牛顿第三定律，由以上两式得
k月 k地 m 地 m月
其比值应是一个与地球和月球都无关的普适常数，设 其为G,有
k 地 Gm地 k月 Gm月
于是，地、月之间的引力为
F G
m 地 m月 r
2
普适的万有引力定律则可描述为
F G
质点系分动量守恒
则 若合外力分量为0，
相应的质心分速度不变
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质心运动定理表达式
质心运动定理是一种在物理学中使用的定理，它定义了一个物体在受外力作用时，其运动轨迹对于半径等于质心处运动轨迹的投影是什么。
质心运动定理的数学表达式是：速度矢量的和等于两个外力矢量的和乘以质心距离的倒数（P2-P1）。
质心运动定理可以在物理学中应用于多种情况。
例如，在分析多部件系统的运动特性时，可以使用质心运动定理来描述它们之间的运动关系。
比如，可以用质心运动定理来求解车轮系统中每个部件的运动关系，也可以用它来研究悬挂系统中悬挂点与质心之间的运动特性。
此外，质心运动定理还可以用来描述复杂的摩擦力学系统中物体之间的运动特性；还有，它还可用来检验重力势能场和摩擦力场影响的运动特性，以及多体系统中的动力学。
另外，质心运动定理还被广泛应用于船舶分析和控制系统的设计中，并可以用来确定摇杆系统的运动特性，并对船只在自由和受控状态下的运动进行预测和模拟。
总而言之，质心运动定理是一种在多种应用领域都有重要应用的定理，可以用来查明受外力作用时物体的移动历程。
正是有了这个定理，我们才能更加清楚的掌握复杂物理问题，从而做出更好的解决方案。