n阶线性非齐次微分方程的所有解
常微分复习题
1. 如果微分方程 0),,,,()(='n y y y x F Λ左端为未知函数及其各阶导数的（ 一 ）次有理整式，则它称为线性微分方程。
2. 形如（)()(y x f dxdyϕ= ）的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x , 的连续函数。
3. 方程()dy P x y dx=的通解为（ ()P x dxy ce ⎰= ）这里c 是任意的常数。
4. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的充要条件是（M Ny x∂∂=∂∂ ），其中(,),(,)M x y N x y 在区域G 内连续可微。
5. 函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式（ 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- ）对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。
其中L 称为利普希兹常数。
6. 初值问题（3.1），若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则任一非饱和解均可延拓为（ 饱和解 ）。
7. 设初值问题（3.1）满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式（ 00(,,)y x x y ϕ= ）。
8. 如果),(y x f 以及（yy x f ∂∂),( ）在G 内连续，则(3.1)的解),,(00y x x y ϕ=作为 00,,x x y 的函数，在它定义范围内连续可微。
9. 0)()()(1111=++++---x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n Λ称为（ n 阶线性齐次微分方程 ）。
矩阵微分方程
定解问题(4.3)的解为 y (1, 0, 0, , 0) x(t ) (1, 0, 0, , 0)e x(0) y0 y0 ' At , 0)e ( n 1) y0
At
(1, 0, 0,
n阶常系数线性非齐次方 程的定解问题： y
(n) (i )
(n) (i )
a1 y
( n 1)
a2 y
(i ) 0
( n2)
an y 0 (4.3)
y (t )
t 0
y , i 0,1,, n 1
令x1 y, x2 y ' x '1 ,
x '1 x2 , x2 ' x3 , x 'n 1 xn ,
x1n (t , t0 ) x11 (t , t0 ) x12 (t , t0 ) x (t , t ) x (t , t ) x ( t , t ) 0 22 0 2n 0 21 xnn (t , t0 ) xn1 (t , t0 ) xn 2 (t , t0 ) dx(t ) 为方程组 A(t ) x (t )的转移矩阵,有时又称它为基本矩阵。 dt 显然 (t0 , t0 ) I n
dx(t ) 性质1 n阶方阵(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵的 dt dx(t ) A(t ) x(t ) 充要条件是(t , t0 )是定解问题 dt 的解。 x(t ) |t t I n 0
dx(t ) 性质2 设(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵， dt dx(t ) A(t ) x(t ) 则定解问题 dt x(t ) |t t x(t0 ) 0 的解为x(t ) (t , t0 ) x(t0 )。
常系数线性方程
解：设链条线密度为 ρ ，则链条的质量为 100 ρ 。 再设当时刻
t
时，链条的下端距桌面的距离为 x ( t )
则根据牛顿第二定律有：
d2x 100 ρ 2 = ρ gx ， dt
即
d2x g x=0 2 − 。 dt 100
x(0) = 20 ，
x ′(0) = 0 ，
d2x g x=0 2 − 100 dt x (0) = 20， x′(0) = 0
一. 二阶常系数线性齐次方程 一般形式: p,q为常数
y ′′ + py ′ + qy = 0,
(1)
分析 由方程特点可看出: y , y ′, y ′′ 为同一类型函数,
λx y = e 之间相差常数因子. 因此假设 2 λx 将y = e λx 代入(1)得, ( λ + pλ + q )e = 0,
∴ u′′ = 0
λ1 x u = x , 得到另一个线性无关的特解 y 2 = xe 取
则(1)的通解为 y = C1e
λ1 x
+ C 2 xe λ1 x = (C1 + C 2 x )e λ1 x
3.特征根为共轭复根: λ1 = α + iβ , λ 2 = α − iβ ( β ≠ 0)
y1 = e
即y1 , y2 是(1)的两个线性无关的解。
则(1)的通解为
y = C 1e
λ1 x
+ C 2e
λ2 x
2.特征根为二重根 λ1 = λ:2
y1 = e λ1 x 是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解.
设y 2 = u( x )e λ1 x，代入方程
2 u′′ + ( 2λ1 + p )u′ + ( λ1 + p λ1 + q ) u = 0
非齐次常微分方程解法
非齐次常微分方程解法非齐次常微分方程解法是指在一些比较复杂的场合中，采用数值计算算法解决微分方程模型问题的具体现行技术。
它是由最初的Euler法演变而来的数学工具，它会以一系列的离散步骤，多次迭代算出最终的结果，以此解决原来的数学问题。
1、非齐次常微分方程之基本概念非齐次常微分方程是由微分方程定义的未知函数的不等式子的统一的解决方案。
它的定义表明，它的主要任务是去求出微分方程中的未知函数的值。
通常情况下，它应用于描述物理现象中的有规律变化的新问题。
2、常见的非齐次常微分方程解法(1) 常见的四个基本解法常见的四个基本解法是Euler法、改进的Euler法、Runge-Kutta法和Adams-Bashforth方法。
Euler法又叫“欧拉方法”，采用迭代法计算，精度较低，但计算速度快，适用于对函数的增长性能不需要同时具有高精度要求的场合。
改进的Euler法有改进的Heun的方法、改进的Milne的方法和改进的Convern的方法，其精度比普通的Euler法有所提高，但仍比Runge-Kutta法的精度要低一些。
Runge-Kutta法又称“割裂法”，是目前非线性积分法中最常用的一种方法，其优点是算法稳定、解准确、计算拐点和拐点处精度高，但也存在计算量较大、计算消耗时间较长等缺点。
Adams-Bashforth方法可以用来计算一阶非齐次常微分方程的精确解，其主要特点是利用已知条件实施一步预报，计算的次数少，计算结果是较精确的。
(2) 高阶Runge-Kutta解法高阶Runge-Kutta解法相对一、二阶Runge-Kutta方法拥有更高的数值精度，可用来解决一些复杂、非线性的微分方程，通常情况下用于非齐次常微分方程。
此外，还有一些类似的常规数值法，例如Newton-Cotes解法，Pseudo Runge-Kutta解法等都可以用来解决类似的问题。
3、使用非齐次常微分方程解法的方式遗传病一般被认为是常微分方程的符号形式，今天的非齐次常微分方程解法可以以可解的数值形式来计算解决此类问题。
线性非齐次方程解结构
设③的解为 y y1(x) v1(x) y2 (x) v2 (x) ④ (v1(x),v2 (x)待定)
由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:
y y1 v1 y2 v2 y1 v1 y2 v2
为使 y中不含 v1,v2 , 令
y1v1 y2v2 0
⑤
于是 y y1 v1 y2 v2 y1v1 y2 v2
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且
y2 y3
y1 y1
ex x e2x x
常数
因而线性无关, 故原方程通解为
y C1(ex x) C2 (e2x x)
代入初始条件 y(0) 1, y(0) 3, 得C1 1, C2 2, 故所求特解为 y 2e2x ex.
f (x) 0 f (x)
(Y P(x)Y Q(x)Y )
故 y Y (x) y * (x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
定理 4.
分别是方程
*四、常数变易法
复习: y p(x) y f (x) 对应齐次方程的通解: y Ce p(x)d x
常数变易法: 设非齐次方程的解为 y e p(x)d xu(x)
代入原方程确定 u(x).
对二阶非齐次方程
y P(x) y Q(x) y f (x)
③
情形1. 已知对应齐次方程通解: y C1 y1(x) C2 y2 (x)
例5. 已知齐次方程 (x 1) y x y y 0 的通解为
Y C1x C2ex , 求(x 1) y x y y (x 1)2 的通解. 解: 将所给方程化为: y x y 1 y x 1 x 1 x 1 令 y xv1(x) exv2 (x), 利用⑤,⑥建立方程组: xv1 exv2 0 v1 exv2 x 1
常微分方程复习提要全文
式
dyi (x) dx
fi (x, y1(x),
, yn (x)), (i 1.2
n)
则称 y1(x), , yn (x) 为微分方程组(3.1)在区间 [a,b] 的一个解。
通解及通积分：
含有n个任意常数 c1, cn 的方程组（3.1）的解
y1 1(x, c1, cn )
yn
n (x, c1,
齐次方程组的解组线性相关性的判别法：
推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性 无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点
不为零.
解组
线性相关 W ( x0 )=0 线性无关 W ( x0 ) 0
我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解 称为它的基本解组。其对应的矩阵称为基本解矩阵。
（其中F为已知的函数）
定义（P3） ：微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数的阶数(或微分的阶数)称为微分方程的 阶数.
定义（P4） ：如果一个微分方程关于未知函数 及其各阶导数都是一次的，则称它为线性微分方程， 否则称之为非线性微分方程.
定义（P4）: 设函数 y x在区间I上连续，且有
dy1
dx
a11( x) y1
a12 ( x) y2
dy2 dx
a21( x) y1
a22 ( x) y2
dyn dx
an1( x) y1
an2 ( x) y2
a1n ( x) yn f1( x),
a2n ( x) yn f2 ( x), （3.6）
ann ( x) yn fn ( x).
解法：两边除以yn ，得 yn dy p( x) y1n f ( x) dx
令z y1n ，则 dz (1 n) yn dy ,代入方程
非齐次微分方程特解设法大全
非齐次微分方程特解设法大全欢迎来到学习《非齐次微分方程特解设法大全》的世界！非齐次微分方程在工程和数学领域的研究中扮演着重要的角色，其特解设法也极其重要。
因此，我们本文将介绍常见的非齐次微分方程特解设法，供读者参考。
首先，让我们来看一看常见的一类非齐次微分方程，即常微分方程。
常微分方程可以用不含未知函数的连续的可微分函数的乘积来表达，而且其特解设法极其简单，一般可以用解析法来求解。
例如，当定义域上的可微分函数满足分部线性微分方程，则该方程的特解可以由积分简化求得，其标准形式为：解：y=f(x)*c，其中c是任意常数。
其次，我们来讨论一下一类特殊类型的非齐次微分方程，即二阶非线性微分方程。
例如，假设我们要求解这样的微分方程，y+y*y+y^2=0。
这个方程的解可以由解析化的方法求得，可以用渐近线法来求解，我们只需要先把它分解为二阶线性微分方程，然后通过解出其标准形式，最后可以组装出原来的标准形式，从而求解得出特解。
最后，让我们来讨论非齐次微分方程中另一类特殊情况，即多元方程组的特解。
在非齐次微分方程的多元情况中，要求解的多元方程并不总是非常复杂，只要我们仔细观察就能发现问题引入的不确定性非常少，因此可以很容易的求解出特解的形式。
此外，多元方程的特解也可以使用常见的拉格朗日方法来求解，但要记住，多元方程组的拉格朗日方法只能求出有限个解，有时候也会出现多余的解，因此使用者在使用之前需要先就算题目的正确性进行检查。
综上所述，我们可以发现，非齐次微分方程中存在许多不同类型的特解设法，如果能够掌握其中的设法，就可以更好更快的解决非齐次微分方程中遇到的问题。
因此，希望本文的介绍可以为读者带来一定的帮助，让他们能够更好的掌握非齐次微分方程特解设法。
非齐次微分方程的解
非齐次微分方程的解非齐次微分方程是指方程中含有非零常数项的微分方程，其求解方法与齐次微分方程不同。
本文将介绍非齐次微分方程的解法。
一、齐次微分方程在介绍非齐次微分方程之前，我们先了解一下齐次微分方程。
齐次微分方程是指方程中不含有常数项的微分方程，其解法可以使用特征方程求解。
特征方程的求解方法可以参考其他文章。
二、非齐次微分方程非齐次微分方程是指方程中含有非零常数项的微分方程。
其解法可以使用常数变易法求解。
具体步骤如下：1. 先求出对应齐次微分方程的通解，记为y0(x)。
2. 将常数项看成一个未知的函数，即y(x)=y0(x)+u(x)，其中u(x)为未知的函数。
3. 将y(x)带入原方程，得到非齐次常微分方程Lu(x)=f(x)，其中L为微分算子。
4. 求解Lu(x)=0的通解v(x)，将其代入Lu(x)=f(x)中。
5. 解出u(x)的通解。
6. 将u(x)代入y(x)=y0(x)+u(x)中，得到非齐次微分方程的通解。
三、举例说明以一阶非齐次微分方程为例，其形式为y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)均为已知函数。
其通解为：y(x)=exp(-∫p(x)dx)(C+∫exp(∫p(x)dx)q(x)dx)其中，C为常数。
四、总结本文介绍了非齐次微分方程的解法，即常数变易法。
在解题时，需要先求出对应齐次微分方程的通解，再通过常数变易法求出非齐次微分方程的通解。
需要注意的是，常数变易法只适用于线性微分方程，非线性的微分方程需要使用其他方法求解。
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n阶线性非齐次微分方程的所有解
非齐次线性非齐次微分方程的解：
1、非齐次线性齐次微分方程的通解：
非齐次线性非齐次微分方程可以化为齐次线性微分方程，而齐次线性微分方程根据积分因子法和特征系数法可以求得通解。
2、非齐次线性非齐次微分方程的特解：
一般非齐次线性非齐次微分方程都存在一个特解，它的形式为：
y=Aexp{∫F(x)dx}，其中A为常数，F(x)是方程的非齐次项。
3、解析法求得的解：
针对特定的非齐次线性非齐次微分方程，存在求解其解的解析法，比如可以用Frobenius方法求非齐次线性微分方程，极限积分法求非线性非齐次微分方程等等。
4、数值解：
还可以通过数值方法求解非齐次线性非齐次微分方程，比如可以用Euler法解
此类方程，也可以用Runge-Kutta法求解，此外还可以用其他的数值计算方法求得
此类的解。
总结：
非齐次线性非齐次微分方程的解有四种，分别是：1、非齐次线性齐次微分方
程的通解；2、非齐次线性非齐次微分方程特解；3、解析法求得的解；4、数值解。
可以根据实际问题采用不同的解法来寻找合适的解。