图论中的匹配与覆盖
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述有限覆盖定理是一种在离散数学和计算机科学领域中广泛运用的重要定理。
这个定理是关于集合的覆盖问题的，它提供了一种有效的方法来找到最小的集合子集，使得这些子集能够完全覆盖原始集合。
这种覆盖问题在实际应用中非常常见，比如在旅行销售员问题、传感器网络覆盖等领域中都有广泛的应用。
在实际生活中，我们经常会面临类似的覆盖问题，比如在进行商品配送时，希望用最少的车辆将商品送到指定的地址；或者在电信网络规划中，想要在一个区域内布置最少的信号塔来覆盖所有的用户。
这时，有限覆盖定理就能够帮助我们解决这些问题。
有限覆盖定理的应用非常广泛，涉及到众多领域。
在计算机科学领域，有限覆盖定理被广泛运用在算法设计、图论、优化问题等方面。
它的应用不仅仅局限在理论研究中，而且在实际应用中也发挥着重要的作用。
本文将对有限覆盖定理进行深入的讲解和探讨。
首先，我们将介绍有限覆盖定理的定义，包括其基本概念和相关术语。
然后，我们将讨论有限覆盖定理在实际问题中的应用，以及它的意义和优势。
最后，我们将总结有限覆盖定理的要点，并对其进行进一步的思考和未来应用的展望。
通过阅读本文，读者将能够对有限覆盖定理有一个全面的理解，并且能够应用它来解决实际问题。
希望本文能为读者提供有关有限覆盖定理的通俗理解，同时也能够激发读者对这一定理的兴趣和思考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讲述有限覆盖定理的通俗理解：第一部分是引言，主要对整篇文章进行概述，介绍有限覆盖定理的背景和重要性等内容，帮助读者对本文的内容有个整体的把握。
第二部分是正文，将详细阐述有限覆盖定理的定义、应用和意义。
2.1节将对有限覆盖定理的定义进行解释和探讨，帮助读者理解有限覆盖定理的基本概念。
2.2节将介绍有限覆盖定理在实际应用中的具体例子，说明该定理在解决实际问题中的重要性和有效性。
2.3节将深入探讨有限覆盖定理的意义，包括其在数学领域中的应用前景以及对其他领域的启示和影响等内容。
六年级华罗庚学校数学课本第二十二讲 图论中的匹配与逻辑推理问题
六年级华罗庚学校数学课本第二十二讲图论中的匹配与逻辑推理问题第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题第二十二讲图论中的匹配与逻辑推理问题先看一个例题.中、日、韩三个足球队进行比赛，已知A不是第一名，B不是韩国队，也不是第二名，第一名不是日本队，中国队第二.问A、B、C各代表哪国队？各是第几名？一般解这类题都归于逻辑推理类问题. 我们先来降低难度.先只要求你判断出中、日、韩各是第几名（不必判断A、B、C）.可以把中、日、韩各用一个点代表，列于上一行.第一、二、三名各用一个点代表，列于下一行，记为：V1=｛中，日，韩｝，V2=｛第1名，第2名，第3名｝. V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，如和②.否定关系的两点之间画一条虚线，如不是②；不是①.把已知条件不加任何推理地表现于图上.虚线2条，实线1条，共3条线. 现在，有两个明显的事实；第一，V1中每点有且只有一条实线与V2中相应点配对，V2中每点有且只有一条实线与V1中相应点配对.V1内部点之间不会有线相联结，V2内部点之间也不会有线相联结.第二，从V1（或V2）中某一个点，例如说a点如发出了一条实线向着V2（或V1）中某一个点，例如说x点，那么a点与V2（或V1）中其他点之间必然只能用虚线联结.（这是逻辑推理中的排它性）由此，我们很容易将中、日、韩的名次判出. 这样的问题，抽象起来可归属于图论中称之为“二分图的匹配”问题. 图论的名词术语太多，这里不作详细定义，只是描述性介绍一下，大家以前在“一笔画”等讲中已初步接触.所谓二分图，就是顶点集合可以划分成两个部分，V=V1＋V2，如file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM （第1／6 页）[2010-07-04 8:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题V1有p个点，记为V1=｛v1，v2…，vp｝，V2有q个点，记为V2=｛vp+1，vp+2…，vp+q｝，而V1中任意一点，不会与V1中其他点联结，而只能与V2中某些点联结；V2也如此.大家看几个例. 一般的图记为G＝（V，E），V是顶点集合，E是边（也可称为线）的集合.大家在哥尼斯堡七桥问题中已领略过这种抽象.现在的二分图是一类特殊的图，只不过顶点集V划分为两部分，而这只能“跨越”于V1中某个点和V2中另一个点.二分图的匹配问题，就是找一个边的集合，这些边之间都没有公共的端点. 关于二分图的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一个边最多的匹配. 就本讲开始引入的问题看，我们还没有解完，因为还有A、B、C三个代号到底如何归于中、日、韩三队的问题.一种解题办法，是把已判出的国籍和名次捆绑在一个顶点内，如（中2）、（韩1）、（日3），再和A、B、C构造一个新的二分图：显然，推知B是（日3），因为B有2条虚线，而必然有1条实线，只能推出B与（日3）之间为实线.同理，（韩1）只能为C；剩下的唯一的情况留给了A为（中2）.全部问题解决了. 再看最初的题目，如果你选择先判断中、日、韩和A、B、C三个代号之间的匹配关系，将会怎样呢？画一个图看，利用已知条件画出实、虚线. 只能利用B不是韩国队及中国队第二，B不是第二（因此B不是中国队）这样一些条件，题目中另二句话：A不是第一名，第一名不是日本队，这种否定关系之间，没有传递file:///C|/Documents andSettings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM（第2／6 页）[2010-07-048:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题性，你不能判定A是不是日本队.因此根据已知条件所画的图中只有两条虚线，之后最多只能确定日、B之间为实线.所以对这样的二分图，无法找出合理的最大匹配.这方法使问题求解走进了死胡同. 那么你选择先判A、B、C和第一、第二、第三名之间的匹配关系，又会怎样呢？画一个图看. 现在也只有二条虚线，仍然无法找出最大匹配，或说解不唯一，对求解问题无助. 现在回过头来看，先找国别与名次之间的匹配，似乎有些“碰运气”，因为完全可以把题目改动，使先找国别与名次的匹配无法解决，例如叙述改为：中、日、韩三足球队比赛，已知结果为：第1名不是A，第2名不是韩国队也不是B，A不是日本队，中国队为B，问A、B、C，和1、2、3名与各国队如何匹配？细心读者发现，这只是把原题中A、B、C的地位与1、2、3名的地位互换而已.所以现在改动后的题目，再先抓“国别”和“名次”的匹配，就无法求解. 但是数学要求找出一种解一般问题的方法而不是“碰运气”，而且完全可以找一个例子，使得无论取国别与名次；或国别与代号（A，B，C）；或代号与名次这三类二分图的匹配都无法求解，而必须找更广泛意义下的匹配才能解决，为此先介绍一般的三个因素一起考虑的“匹配”方法. 先结合前例，将国别用三个不同点表示于上方，三个名次点表示于左下方，三个代号点表示于右下方.用实线的肯定关系和虚线的否定关系把已知条件“翻译”于图上.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM（第3／6 页）[2010-07-04 8:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题我们现在的目的是要寻找一个捆绑三条实线边的一条广义边，使每个国别与一个名次及一个代号捆绑在一起，使问题一次性解决，遵循的原则有以下4条：①肯定关系具有排它性（如中=第2名，则中≠第1名，中≠第3名，第2名≠日，第2名≠韩）. ②肯定关系具有传递性（如已知中=第2名，一旦推知肯定关系第2名=A，那么中=A）. ③任意两个类别的点之间要建立一种合理的完全匹配.（如国别和名次之间；名次与代号之间；国别与代号之间）. ④如果某一点与另一类点中除一点以外都是否定关系，那么与这一点只能是肯定关系. 现在把这些原则具体操作于这个图上，就能把问题求解，请读者看图，不赘述.file:///C|/Documents andSettings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM（第4／6 页）[2010-07-048:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题这类问题的思想方法上升到图论中，已经可以用一种更抽象的术语“超图”来描述，也就是顶点集合，仍用V来表示，而超图的边是一种抽象的“广义边”，把原来简单边捆绑在一起形成的一种“捆绑的边”.在这个具体例题中，就是要找出一套捆绑边，每一捆绑边，捆着一个国别，一个名次，一个代号.找出三套捆绑边，每套与别的套之间没有公共的点，也就是超图的匹配用了这种思想方法，去解决某些逻辑推理问题，变的非常快捷而准确了. 再看例子，有A、B、C三位大学生，一位北京人，一位上海人，一位广州人，每人的业余爱好只是足球、围棋和歌舞三种中的一种.已知：A不喜欢足球，B不喜欢歌舞；喜欢足球的不是上海人；喜欢歌舞的是北京人；B不是广州人.请判断三市人的代号（指A、B、C）及爱好. 现在把此逻辑推理问题，转化为图论中的“捆绑边”匹配问题，大家不难把此题的图和我们最初的例比较，它们完全“同构”.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM（第5／6 页）[2010-07-04 8:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题答为：B上海人，喜欢围棋；A喜欢歌舞，北京人；C喜欢足球，广州人. 关于匹配问题本身，有很多问题和方法已经充分研究和圆满解决，并找到了可以利用电脑解决的很好的算法.例如从二分图的求最大匹配算法发展出称之为“交错路”的方法，直到网络上带权的最大（或最小）匹配. file:///C|/Documents andSettings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM（第6／6 页）[2010-07-048:24:41]习题八习题八 1.小明、小强、小华三人参赛迎春杯，分别来自金城、沙市、水乡，并分获一、二、三等奖.现知：①小明不是金城选手；②小强不是沙市选手；③金城选手不是一等奖；④沙市选手得二等奖；⑤小强不是三等奖；问小华是何处选手，得几等奖？ 2.下面是一个一般的图，有9个点，V=｛v1，v2，…，v9｝，有16条边，E＝｛e1，e2，…，e16｝.请找一个边数最多的匹配（即找一个最大匹配）. 3.有一个残缺棋盘（下图中的白格部分）.问是否可用1×2的骨牌将它完全覆盖？ 4.一张8×8的黑白相间国际象棋盘，任意挖去一个黑格和另一处的一个白格，剩下的62格残盘，可否用31张1×2骨牌完全覆盖？file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11248_SR.HTM（第1／2 页）[2010-07-04 8:24:42]题八解答习题八解答 1.作图，求捆绑的边匹配. 再把剩下的六个点，找捆绑边. 由于小明≠金城，所以小明=沙市，因而小明=沙市=三等. 最后得：小华=金城=二等. 这样的逻辑推理又直观又快捷，比文字叙述省力又准确.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11249_SR.HTM（第1／3 页）[2010-07-04 8:24:43]习题八解答习题八解答 1.作图，求捆绑的边匹配. 再把剩下的六个点，找捆绑边. 由于小明≠金城，所以小明=沙市，因而小明=沙市=三等. 最后得：小华=金城=二等. 这样的逻辑推理又直观又快捷，比文字叙述省力又准确.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11249_SR.HTM（第1／3 页）[2010-07-04 8:24:43]习题八解答 2.解：要找匹配，就是要把顶点集V分成两部分，并从边的集合E中选取一些连结这两部分的边，使得这些边无公共端点.要找最大匹配，即要使选取的边的数目最多.由于V中有9个点，因此最大匹配最多只能由4条边构成（否则必存在有公共端点的边）.而四条边｛e1，e3，e5，e7｝确实构成匹配边的集合.本题的最大匹配边的集合不是唯一的. 还要注意，最大匹配边的集合中不能包含题图中e9，e11，e14，e16之任一.例如，设包含了e9.为了要使选出的边成为匹配，必须把以e9的顶点v2，v4为顶点之一的边都去掉，即要在下图中选取一个三条边的匹配. 这显然是不可能的. 3.答：可以覆盖，如下图.黑、白间隔染色，黑格用bi表示，白格用wi表示，每格对应成一个点，此问题转化成一个二分图寻找完全匹配问题，（具体分析略），覆盖方法为：把下标相同的bi和wi用一块骨牌覆盖（b1和w1；b2和w2等），共有九块.当然，覆盖方法也不止一种. 4.答：可以.给出一个构造性解答.把一柄三齿叉和一柄四齿叉放于棋盘上，如下页下图所示.这迷宫式的效果就是把正方形小格排成一种循环次序，使得可循着迷宫次序走过所有小格各一次而回到开始的正方形小格. 今设某黑格为A，白格为B，A、B挖去.小格的色仍黑白交替，沿着迷宫路，位于一个黑格和一个白格之间的格子个数总是偶数.设想在A、B处各粘有一个以小方格A、B为底面的正方体骰子.然后把31张1×2骨牌紧密无间地沿着叉子通道紧靠着骰子A开始一个一个地接着排列，贴着骰子B后再越过B紧靠着B接着排，直到再贴着骰子A.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11249_SR.HTM（第2／3 页）[2010-07-048:24:43]习题八解答这样，31张1×2骨牌即盖满了挖去黑（A）、白（B）两格的棋盘. file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11249_SR.HTM（第3／3 页）[2010-07-04 8:24:43]。
算法学习：图论之二分图的最优匹配(KM算法)
二分图的最优匹配（KM算法）KM算法用来解决最大权匹配问题：在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。
基本原理该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。
设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。
在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。
KM算法的正确性基于以下定理：若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。
这个定理是显然的。
因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。
所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。
如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。
这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。
现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。
也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。
范更华-图论及其应用
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
最小权顶点覆盖问题分支界限法
最小权顶点覆盖问题分支界限法最小权顶点覆盖问题是在图论中的一个经典问题，它要求在给定的图中找到一个顶点集合，使得每条边至少有一个端点在该集合中，并且该集合的权重之和最小。
分支界限法是一种解决组合优化问题的算法。
在最小权顶点覆盖问题中，可以使用分支界限法来求解。
以下是最小权顶点覆盖问题的分支界限法的基本思路：
1.定义一个结点覆盖的界限函数：对于当前的顶点集合，计算该集合的权重之和加上剩余未覆盖边的权重之和的下界。
这个下界可以通过计算当前顶点集合中顶点的权重之和与未被覆盖边的最小权重之和的和来得到。
2.初始化最小权重之和为正无穷大，最优顶点集合为空集。
3.选择一个未被覆盖的边，根据边的两个端点的权重，选择其中权重较小的端点。
4.将选择的端点加入当前的顶点集合，并更新未被覆盖的边。
5.如果当前顶点集合的权重之和加上剩余未覆盖边的权重之和小于当前的最小权重之和，则更新最小权重之和和最优顶点集合。
6.对当前顶点集合进行扩展，分别选择当前顶点集合中的一个顶点和一个未被覆盖的边，生成两个子问题。
7.对于每个子问题，根据界限函数计算其界限值。
如果界限值小于当前的最小权重之和，则继续对子问题进行扩展，否则进行剪枝。
8.重复步骤6和7，直到无法再扩展或者达到终止条件。
9.返回当前的最优顶点集合作为最小权顶点覆盖问题的解。
需要注意的是，分支界限法是一种搜索算法，它会遍历问题的所
有可能解空间。
对于大规模的问题，可能需要使用一些优化技巧，如剪枝策略、启发式函数等，来提高算法的效率。
三分图上的匹配与其算法和应用
第一章引言在过去的四十几年里，图论已经被证明是解决几何、数论、运筹学和优化等领域中各种组合问题非常有用的工具。
而匹配是图论中的一个重要内容，也是图论的一个活跃的研究领域．匹配与独立集。
横贯等概念有着密切的关系．三四十年代Ｈａｌｌ，Ｔｕｔｔｅ［１】【２】得出了二分图上完美匹配存在性的充要条件；五十年代末Ｂｅｒｇｅ［３１等得出了最大匹配的判定条件；Ｋｕｈｎ，Ｍｕｎｋｒｅｓ［４］［５１给出了二分图上的最大权匹配的一个有效算法；六十年代Ｅｄｍｏｎｄ［Ｓ］｛７］找到了一般图上最大匹配以及最大加权匹配的第一个多项式算法；Ｇａｂｏｗ［ｓ］将Ｅｄｍｏｎｄｓ算法的复杂度从ｏ（［ｖ１４）提高到了ｏ（Ｉｖｌ３），还提出一种嵌入合并和查找技术的算法其复杂度为ｏ（ＩＶｌｌＥＩ）１９】；Ｍｉｅａｌｉ，Ｖａｚｉｒａｎｉ［１０】提出了一个最优渐进运行时间为ｏ（￣／丽例）的算法，不过这个算法难于理解和实现，以至从发表到证明其正确性花了近十年的时间．最大匹配、最大权匹配的启发式算法也有不少研究，ＤｏｒａｔｈａＥ．Ｄｒａｋｅ［ｎ］等人针对加权匹配问题提出了一种效率为；复杂度为ｏ（㈣）的算法；ＪｏｎａｔｈａｎＡｒｏｎｓｏｎ，ＭａｒｔｉｎＤｙｅｒ，Ａｌａｎ刚ｅ＝ｅ【１目等人发展了随机贪婪算法并对其中的一些性质做了深入的探讨．本文针对三分图上的最大匹配也提出了一个启发式算法，算法能够为随后的基于拉格朗日松弛的分支定界提供一个好的初始下界．管理决策中，匹配在所谓人员分配问题和最优分配阿题中有重要应用，．还有很多问题可以化归到匹配问题．通常意义上的匹配都假定图中节点在匹配中只出现１次。
如果放宽在节点上的容量约束，允许每个节点可以在匹配中重复出现多次，就变成了６一Ｍｏｔｃｈｉｎｇ问题．ＰｕｌｌｅｙＢｌａｎｋ（１９８０，１９８１）［１３】ｆ１４Ｊ对ｂ—Ｍａｃｔｈｉｎ９作了研究；ＭａｔｔｈｉａｓＭｕｌｌｅｒ．Ｈａｎｎｅｍａｎｎ，ＡｌｅｘａｎｄｅｒＳｃｈｗａｒｔｚ御咧【１５】从实现的角度进行了研究．以上的这些研究往往局限在二分图上，在管理决策中也的确出现了不少的问题可以归结到三分图上的匹配问题，笔者最近所作的项目中就出现了此类问题。
二分图匹配(匈牙利算法)
KM算法
对于任意的G和M,可行顶标都是存在的: l(x) = maxw(x,y) l(y) = 0 欲求完全二分图的最佳匹配,只要用匈牙利算法求 其相等子图的完备匹配;问题是当标号之后的Gl无 完备匹配时怎么办?1957年(居然比匈牙利算法 早???),Kuhn和Munkras给出了一个解决该问 题的有效算法,用逐次修改可行顶标l(v)的办法使对 应的相等子图之最大匹配逐次增广,最后出现完备 匹配.
例题3 打猎 猎人要在n*n的格子里打鸟,他可以在某一行 中打一枪,这样此行中的所有鸟都被打掉, 也可以在某一列中打,这样此列中的所有鸟 都打掉.问至少打几枪,才能打光所有的鸟? 建图:二分图的X部为每一行,Y部为每一列, 如果(i,j)有一只鸟,那么连接X部的i与Y部的j. 该二分图的最大匹配数则是最少要打的枪数.
1 2 3 4 5
1 2 5 3 4
1
2
3
4
由于每条边表示一个空地,有冲 突的空地之间必有公共顶点,所 以问题转化为二部图的最大匹配 问题.
1 2Leabharlann 34例题1 Place the Robots(ZOJ) 小结
比较前面的两个模型:模型一过于简单,没有给问 题的求解带来任何便利;模型二则充分抓住了问题的内 在联系,巧妙地建立了二部图模型.为什么会产生这种 截然不同的结果呢?其一是由于对问题分析的角度不同: 模型一以空地为点,模型二以空地为边;其二是由于对 原型中要素的选取有差异:模型一对要素的选取不充分, 模型二则保留了原型中"棋盘"这个重要的性质.由此 可见,对要素的选取,是图论建模中至关重要的一步.
例题4 最小路径覆盖 一个不含圈的有向图G中,G的一个路径覆盖 是一个其结点不相交的路径集合P,图中的每 一个结点仅包含于P中的某一条路径.路径可 以从任意结点开始和结束,且长度也为任意 值,包括0.请你求任意一个不含圈的有向图 G的最小路径覆盖数. 理清一个关系:最小路径覆盖数=G的定点 数-最小路径覆盖中的边数
最小顶点覆盖 精确算法
最小顶点覆盖精确算法最小顶点覆盖（Minimum Vertex Cover）是图论中的一个经典问题。
顶点覆盖是指在一个无向图中选择尽可能少的顶点，使得每条边都至少与其中一个顶点相连。
而最小顶点覆盖则是在所有满足条件的顶点覆盖中选择顶点数目最小的解。
在实际生活中，最小顶点覆盖问题可以有很多实际应用。
举个例子，我们可以将顶点看作是某个城市，边表示两个城市之间的道路。
最小顶点覆盖的解可以表示为选择最少的城市，使得每个道路至少与一个城市相连。
这个问题可以应用于城市规划中，帮助决策者选择最优的城市布局，使得城市之间的交通尽可能便利。
最小顶点覆盖问题在计算上是NP-完全问题，即目前还没有已知的多项式时间解法。
然而，研究者们一直在努力寻找高效的算法，以解决这个问题。
近年来，一些精确算法被提出，可以在有限的时间内求解规模较小的最小顶点覆盖问题。
这些算法的核心思想是将问题分解为多个子问题，并使用一些优化技巧提高求解效率。
一个常用的精确算法是分支定界算法（Branch and Bound）。
该算法将问题分为多个子问题，并为每个子问题设置界限，以确定是否需要进一步探索该子问题。
通过不断剪枝和界定边界，算法可以有效地搜索最优解。
另一个常见的算法是动态规划（Dynamic Programming）。
动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并缓存子问题的解，以避免重复计算。
通过利用子问题之间的关系，动态规划算法可以高效地求解最小顶点覆盖问题。
除了精确算法，还有一些近似算法也可以用于解决最小顶点覆盖问题。
这些算法可以在有限时间内找到一个近似最优解，但无法保证解的精确性。
然而，近似算法的求解时间通常较短，适用于大规模数据集。
最小顶点覆盖问题是图论中的一个重要问题，具有广泛的应用前景。
尽管其精确解法相对困难，但研究者们一直在不断努力探索高效的算法。
相信随着科学技术的发展，我们能够找到更加高效和创新的算法，为解决最小顶点覆盖问题提供更好的解决方案。
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图论中的匹配与覆盖
图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
在图中，我们经常会遇到匹配（matching）和覆盖（covering）的问题。
本文将介绍图论中的匹配和覆盖，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、匹配（Matching）
匹配是指在一个图中，找出一组边，使得这组边两两之间没有公共顶点。
这样的边集称为匹配。
匹配的大小是指匹配中边的个数。
在匹配问题中，最基本的问题是最大匹配问题。
给定一个图，找出一个最大的匹配。
最大匹配问题可以使用一些经典的算法来解决，比如匈牙利算法。
匹配在实际应用中有很多应用。
例如，在航班调度中，可以将乘客和座位看作是图中的顶点；将每个乘客的偏好和能够满足的座位看作是图中的边。
通过匹配，可以将每个乘客和一个座位匹配，从而实现合理的航班调度。
二、覆盖（Covering）
覆盖是指在一个图中，找出一组顶点，使得每条边至少与这组顶点中的一个顶点关联。
这样的顶点集称为覆盖。
覆盖的大小是指覆盖中顶点的个数。
覆盖问题也有一些经典的算法来解决，比如贪心算法。
贪心算法从
一个空的覆盖开始，然后迭代地选择与最多未被覆盖边关联的顶点，
直到所有边都被覆盖。
覆盖在实际应用中也有很多应用。
例如，在无线传感器网络中，每
个传感器可以看作是图中的顶点；每个传感器的感知范围可以看作是边。
通过选择最小的覆盖，可以实现对传感器网络的有效监测和管理。
三、匹配与覆盖的关系
匹配和覆盖在图论中有着密切的关系。
事实上，每个匹配都是一个
覆盖，反之则不一定成立。
这是因为匹配要求边两两之间没有公共顶点，覆盖只要求每条边至少与一个顶点关联。
在实际问题中，匹配和覆盖往往是相辅相成的。
通过匹配，可以找
出图中的一些特殊关系，然后通过覆盖来实现对这些关系的管理。
四、结语
图论中的匹配与覆盖是一个复杂而有趣的领域。
匹配和覆盖问题有
着广泛的应用，涉及到许多实际问题的解决。
通过对匹配和覆盖的研究，我们可以更好地理解图论，并将其应用于解决实际问题中。
本文介绍了匹配和覆盖的基本概念，并探讨了它们在实际应用中的
重要性。
希望读者通过本文的介绍，对图论中的匹配与覆盖有更深入
的了解，并能将其运用到实际问题中。