奇偶分析法

第六节奇偶分析法
内容讲解
整数按能否被2整除分为奇数和偶数两大类，除奇偶数的最基本性质以处，•我们还应掌握以下性质：①设a，b为整数，则a与a n的奇偶性相同：a+b，a-b的奇偶性相同．②若m为整数，a为奇数，则m±a的奇偶性与m相反．若m为整数，b为偶数，•则m±b的奇偶性与m 相同．③若m是整数，a为奇数，则ma的奇偶性与m相同．
例题剖析
例1下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12•个整数中至少有几个偶数？
□＋□＝□，□－□＝□，
□×□＝□，□÷□＝□．
分析：由于本题所涉及的奇数与偶数的和（差）或积（商），故可应用奇偶数的基本性质求解．
解：根据条件和奇偶数的基本性质知，加法和减法中至少有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有两个偶数，故这12个整数中至少有6个偶数．
评注：在解此题时，要注意将和与差，积与商并在一起共同研究．
例2 在1，2，3，…，2007，2008的每一个数前，任意添上一个正号或负号，•试判断它们的代数和是奇数还是偶数？
分析：由于任意添“＋”或“－”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，但可从
1+2=3，2-1=1；3+4=7，4-3=1…．•可见两个整数之与这两个整数之差的奇偶性质是相同的，于是我们可以从这条性质入手．
解：因为两个整数之和与两个整数之差的奇偶性相同，所以在给出的数字前面添上正号
或负号不改变其奇偶性．而1+2+…＋2007+2008=2008(12008)
2
=1004×2009为偶数．
所以已知数字作为变换后的代数和仍为偶数．
评注：此题通过对一些具体的数字的研究推出一般性结论，是由于已知数为有限整数．例3已知x，y是质数，z是奇质数，且x（x+y）=z+8，求y（x+z）的值．
分析：此题的关键是从x（x+y）=z+8求出x，y，z的值．
解：由已知条件和质数，奇偶数性质知：（z+8）为奇数，
所以x和（x+y）•为奇数，于是y为偶数，又y为质数，故y=2．
则x，z应满足x（x+2）=z+8，即z=x2+2x-8=（x-2）（x+4）．
由于z是奇质数，所以必有x-2=1，x+4=z，即x=3，z=7．
故y（x+z）=2（3+7）=20．
评注：奇偶分析法在解不定方程方面的应用也推广，大家仔细体会．
例4 能否把1，1，2，2，…，30，30这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个30之间夹着三十个数？试说明理由．
分析：我们知道30对数共60个，我们可将之分成奇，偶两类数加以讨论，•以便求解．解：假设能按要求排成一行，于是60个数被安排在60个位置上，为了方便起见，给他们所在的位置依次编上号，具体研究一个个对象较为困难，不妨把所有数分成奇数、偶数两大类进行．
（1）先考察偶数，设一个偶数m，两个m之间有m个数，这说明若有一个m在奇数位置，则另一个m必在偶数位置，反之亦然．于是15对偶数分别占据了15个奇数位，15•个偶数位；
（2）再研究一个奇数n，两个奇数n之间夹着n个数．只要一个n占据奇数位，则另一个n 也占据着奇数位，即成对占据奇数位．
设有k对奇数占据奇数位，因60个位置中有30个奇数位．•于是这些奇数位应被15个偶数和2k个奇数占据，则30=15+2k，即2k=15，这显然是不可能成立的，•所以不能按要求排成一行．
评注：此题巧妙地利用了奇偶数的基本性质解决问题，可见数的奇偶性的作用．
例5 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数，•然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．
分析：从正面入手比较困难，我们不妨从反面去思考，即设这6个数两两都不相等，利用│a i-b i│与a i-b i（i=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．解：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3，a4，a5，a6，
反面写的数对应为b1，b2，b3，b4，b5，b6，
则这6张卡片为│a1-b1│，│a2-b2│，│a3-b3│，│a4-b4│，│a5-b5│，│a6-b6│．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值，
于是│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-•b4│+│a5-b5│+│a6-b6│=0+1+2+3+4+5=15是个奇数
另一方面，│a i-b i│与a i-b i（i=1，2，…，6）的奇偶性相同，
所以│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-b4│+│a5-b5│+│a6-b6│
与（a1-b1）+（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）+（a5-b5）+（a6-b6）=（a1+a2+…+a6）-（b1+b2+…+b6）=（1+2+…+6）-（1+2+…+6）=0的奇偶性相同，是个偶数．
这与（*）矛盾，故│a1-b1│，│a2-b2│，…，│a6-b6│这6个数中至少有两个是相同的．评注：一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理，•引入字母是数学化的常用方式方法，另外赋值法也是数学化的常用方式方法．
巩固练习
1．填空题
（1）已知a，b，c分别是2007，2008，2009中的一个数，则（a-1）×（b-2）×（c-•3）•是________数（奇、偶数）；
（2）三个相邻偶数之积是一个六位数，这个六位数的首位数字是8，末位数字是2，则这三个偶数是________；
（3）将1到100这100个自然数任意排成一行，•其中所有相邻两数的和中，•至少有
________个偶数，至多有_______个偶数．
2．选择题
（1）若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是（ •）
（A）185 （B）183 （C）181 （D）179
（2）两个十位数1111111111和9999999999的乘积有（）个数字是奇数．
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
（3）设x和y为两个自然数，它们的和与差相乘的积是偶数，则（x+y）与（x-y）（）
（A）同为偶数（B）同为奇数
（C）x+y是偶数，x-y是奇数（D）x+y是奇数，x-y是偶数
3．一串数排成一行，它们的规律是：头两个数都是1，从第三个数开始，•每一个数都是前两个数之和，问这串数的前2008个数中有多少个偶数？
4．设有n盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动n-1个拉线开关，试问：•能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．
5．试说明：只用2×2及3×3的两种瓷砖不能恰好铺盖23×23的正方形地面．
答案:
1．（1）偶；（2）94，96，98；（3）0，98．
2．（1）C；（2）D；（3）A
3．由条件和要求，可以先写出这一串数的奇偶数，
然后寻找规律：1，1，2，3，5，•8，13，21，34，55，89，…
即规律为奇奇偶奇奇偶…．•即两个奇数一个偶数且三个数一循环，
而偶数恰在3，6，9，12…这些序号上，即只有序号为3的倍数的数是偶数．•
因2008=3×669+1，故这串数的前2008个数中有669个偶数．
4．从简单情况研究，当n=1时，显然不行；
当n=2时，1号灯不动，2号关上；2•号灯不动，1号关上，可行．
当n=3时，每盏灯拉动奇数次时才能关上，3个奇数的和仍为奇数，•
而n-1=2，即按规定总拉动开关的次数是偶数，
故不能把灯全关闭，由此猜测，
当n为偶数时可以；
当n为奇数是不行．
5．将23×23的正方形地面中第1，4，7，10，13，16，19，22列中的小方格全涂成黑色，剩下的小方格涂成白色，
于是白色的小方格总数为15×23是一个奇数，
又因每块2×2砖总能盖住二黑格和二白格或四白格．
每块3×3砖总能盖住三黑格和六白格，•
故无论多少2×2及3×3砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住15×23个白格，所以只用2×2及3×3砖不能盖住23×23的地面．。