2基本不等式
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.
【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1
4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）
用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,
则y= 2
的最大值
+2+4
1
高中数学必修第一册(人教A版)第二章2.2基本不等式
《基本不等式》教学设计一、教学对象高一三班，班级学生基础稍微薄弱，通过本节课学生能掌握基本不等式的基本应用及其变形，锻炼学生数形结合不同角度的理解能力.二、教材分析本节选自《普通高中教科书·数学必修第一册（人教A版）》的第二章2.2基本不等式，本节课主要是先利用初中学过的完全平方得到基本不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，引导学生给出基本不等式的代数证明和几何解释；与此同时让学生学会简单应用.算术平均数与几何平均数是不等式这一章的核心，对于不等式的证明及利用基本不等式求最值等应用问题都起到工具性作用.通过本章的学习有利于学生对后面不等式的证明及函数最值、值域的进一步研究，起到铺垫的作用，因此决定了它的重要地位.三、教学目标本节课本着新高考评价体系的“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心立场，提出如下教学目标：必备知识：1.知道基本不等式的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件，会运用所学知识证明基本不等式，并能在证明过程中分析不等式成立的条件.2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会不等式成立时的三个限制条件（一正、二定、三相等）在求解实际问题的最值中的作用.关键能力：1.用基本不等式数学模型解决实际问题的能力.2.通过适当引导，进一步提高学生独立思考、分析问题、解决问题的能力.学科素养：1.从几何和代数两角度论证基本不等式，培养学生数形结合的思想、直观想象的学科素养.2.结合具体实例，培养学生逻辑推理的数学素养.3.通过解决实际问题，培养学生数学建模和数学抽象的数学素养.核心价值:通过适当引导，加强学生社会主义核心价值体系教育，增强学生社会责任感，形成正确核心价值观.四、教学重点、难点重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.五、教学方法与手段教学方法：诱思探究教学法.学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结.教学手段：多媒体辅助教学.六、教学过程（一）基本不等式的定义导入以线段a ,b的和为直径作圆，过点C作垂直于直径AB的弦DE，依次连接AD、BD.问题1：你能用a ,b表示我的们的半弦CD吗？如果我们连接OD,用a ,b表示半径呢？师生活动：（思考片刻）一块回答CD=ab，2ba.问题2：显然半径大于半弦，点C在直径上运动时是否始终半径大于半弦？能否相等？(几何画板展示点C运动状态下的半径与半弦)师生活动：始终半径大于等于半弦（点C与圆心重合时相等）师生一块完善基本不等式，并指出算术平均数和几何平均数，及其基本不等式的文字表述.设计意图：不等式的几何解释是教学的重、难点，直接通过几何图形，将半径和半弦放到直角三角形中，并结合几何画板动态展示，使学生通过直观感知就得到了半径是不小于半弦，从而突破难点的同时引入了我们的基本不等式.（二）基本不等式的证明问题3：我们已经从几何图形直观感知得到了基本不等式，你能从其他角度证明我们的基本不等式吗？结合我们上节课学过的比较两个代数式大小的方法.师生活动：根据提示能迅速想到作差法，并书写证明过程，师生一块补充完善.设计意图：根据不等式的性质，用作差法证明基本不等式，让学生从数形两个角度分别论证基本不等式，培养学生的数形结合思想.（三）基本不等式的应用例1 已知x , y 都是正数，求证：(1)如果和x + y 等于定值S,那么当x=y 时，x y 有最大值214S(2)如果积x y 等于定值P ,那么当x=y 时，x + y 有最小值 师生活动：师生一起分析后，由学生思考并让学生在黑板上书写证明过程，师生一块补充完善.问题4：通过本题，你能说说用基本不等式能解决什么样的问题吗？ 师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的和为定值，积有最大值”“积为定值和有最小值”并且总结应用基本不等式求最值时应满足的三个条件.设计意图：用本例示范基本不等式可以用来求最值，并且应用时要满足的条件，为后面的应用作铺垫.12x x x 例：(1)已知>0,求+的最小值.111x x x >-+(2)已知,求+的最小值.2--x x ≤≤(3)已知11,求1的最大值. 问题5：代数式是和式形式，结合例1，是否可以利用基本不等式求它的最小值？师生活动：学生思考后回答。
2.基本不等式 (3)
由于基本不等式恰好涉及两个正数的和与积之 间的数量关系, 所以可以利用基本不等式证明.
解 设矩形的长为x ,宽为y.
1设矩形周长为定值l,即2x 2y l为定值.
根据基本不等式
x
2
y
xy ,
可得
l 4
xy .
于是,矩形的面积 xy
l2 16 ,
3、a,b, c是不全相等的正数，求 证：
a bb cc a 8abc
解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2 ab
b＋c≥2 bc c＋a≥2 ac ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a） ≥ 2 ab 2 bc 2 ac 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
课堂小结：
的算术平均arithmetic mean , ab 为 a,b 的几何平均 geometric mean ,于是 ,基本
不等式可以表述为:
两个正数的算术平均不小于 ( 即大于或 等于 ) 它们的几何平均 .
你能发现两个不等式之间不同的地方吗？
a2 b2 2ab和 a b ab 成立的条件 2
定理2 基本不等式 如果 a,b 0 , 那么
a
2
b
ab.当且仅当a b时,等号成立.
证明 因为a b
2
a
b 2 2 a b
2
ab
, 所以
a
2
b
ab .
当且仅当 a b ,即 a b 时,等号成立.
如果 a,b 都是正数,我们就称 a b 为a,b 2
通过本节课的学习，要求大家掌握两个 正数的算术平均不小于它们的几何平均的定 理（基本不等式），并会应用它证明一些不 等式及求函数的最值等，但是在应用时，应 注意定理的适用条件。
第二章-2.2-基本不等式高中数学必修第一册人教A版
≥
1
(13
5
+2
12
⋅
3
)
=
3 + 4
12
5,当且仅当
1
+ = 5,（变形确定常数）则3
1
12
= (9 + 4 +
+
5
=
3
,
+ 3 = 5,即 = 1, =
+ 4 =
1
时取等号.
2
故3 + 4的最小值为5.
（方法二思路清晰，过程简单易上手，对思维有较高要求，适合变形后等式一边为
1
1
4
≥ ，故A，B错误；
1
1
+
≥ 1，故C恒成立；
+ 2
1
1
2
≥
= 8，∴ 2 2 ≤ ,故D恒成立．
2
+
8
∵ ≤ 4 = + ,∴ + =
∵
+ 2
2
≤
2 +2
,∴
2
2 +
方法帮丨关键能力构建
题型1 利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧
例5（1） 函数 = 5 − 2 0 < < 2 的最大值是
常数的情况）
【学会了吗|变式题】
4.(2024·浙江省杭州二中期末)已知 > 0， >
值为( A
2
0，且
1
+
= 1，则2 +
)
A.5 + 4 2
基本不等式(2)
3.4.1基本不等式（2）一、学习目标1.通过本节学习，掌握最值原理，并且能用最值原理解决相关问题；2.通过小组活动培养学生观察、探究的能力，并能体会出证明不等式的基本思想方法.二、教学重点、难点： 利用基本不等式求解最值.三、课前自学问题1：将 36拆成两个正数之积，使和最小，怎样拆？问题2：将8 拆成两个正数之和，使积最大，怎样拆？分组活动： 分组尝试把问题1,2一般化.已知y x ,都是正数，①如果积xy 是定值p ，那么当 时，和y x +有最小值 ； ②如果和y x +是定值s ，那么当 时，积xy 有最大值 ．四、问题探究例1 求函数)0(16>+=x x x y 的最小值.变式1：求函数),2(,216+∞-∈++=x x x y 的最小值；变式2：求函数xx y 16+=的值域；变式3：求函数16322++=x x y 的最小值；变式4：已知0>x ，求函数44)(2+=x x x f 的值域.（若0<x 呢？）例2：若0>a ，0>b ，且6=+b a ，求ab 2的最大值.变式：若0>a ，0>b ，且63=+b a ，求ab 2的最大值.五、反馈小结书99练习4,5课后作业：1．已知0x >，求423x x--的最大值，并求相应的x 值.2．已知02x <<，求函数()f x =x 值.3.求下列函数的最值： 的最小值求已知y x xx y ,0,9)1(2>+=.的最大值求已知y x x x y ,2,421)2(-<++=.(3)的最小值求求函数y x x x y .0,422<+=.(4) 求函数)0(4≠+=x xx y 的值域.4.已知1,1>>y x ，且4lg lg =+y x .⑴求y x lg lg ⋅的最大值；⑵求)lg(y x +的最小值； ⑶求yx 11+的最小值.5.已知,20520,0=+>>y x y x ，且 求y x lg lg +的最大值.6.正数b a ,满足3++=b a ab ，求ab 的最小值.。
基本不等式(二) 韦明
解：（1）y＝＝(x＋1)＋＋1
当x＋1＞0时，y≥2＋1；
当x＋1＜0时，y≤－2＋1
即函数的值域为：（－∞，－2＋1]∪[2＋1，+∞）
（2）当x＋1≠0时，令t =
则问题变为：y =，t∈（－∞，－2＋1]∪[2＋1，+∞）
∴y∈[，0）∪（0，]
又x＋1 = 0时，y = 0
4．课后作业
1）已知x+y= 2，求2x＋2y的最小值。
2）求函数y =(x≠0)的最大值。
3）求函数y =的值域。
4）已知函数y= (3x＋2)（1－3x）
（1）当－＜x＜时，求函数的最大值；
（2）当0≤x≤时，求函数的最大、最小值。
教学后记：
通过这节课，让学生对基本不等式有更深的体会，同时，对定理中的限制条件也有更深的理解。
∴y∈[，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；
当x＜0时，y≤－2
∴y∈（－∞，－2]∪[2，+∞）
例2：当x＞1时，求函数y＝x＋的最小值
解：y＝（x－1）＋＋1（∵x＞1）≥2＋1＝3
∴函数的最小值是3
问题：x＞8时？
总结：一正二定三相等。
介绍：函数y＝x＋的图象及单调区间
例3：求下列函数的值域
即y∈[－，]
说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。
例4：求下列函数的最大值
（1）y＝2x（1－2x）（0＜x＜）
（2）y＝2x（1－3x）（0＜x＜）
例5：已知x＋2y＝1，求＋的最小值。
3．课堂小结
一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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10
合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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13
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
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均值不等式应用
1证明: 要证 2abab ①
只需证 ② (同时平方)
要证②只需证 0 ③ (右边的项移到左侧)
要证③只需证 2(__________)0 ④
显然④成立.当且仅当ab时,等号成立.
概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b, 且00a,b, 2ab是
a,b的 ，叫做a,b的算术平均数， ab是叫做a,b的 ，叫做a,b
的几
何平均数。（等差中项，等比中项）特别的，当ab时，a,b的等差中项等于a,b的等比中项。
2例1：（1）用篱笆围一个面积为1002m的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆
最短？
解：设菜园的长为x，宽为y，则xy ，篱笆的总长度表示为 ，
由2abab 可得xy ，当等号成立时，所用篱笆最短，此时___,___.xy
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少时面积最大？
解：设菜园的长为x，宽为y，则xy ，篱笆的面积表示为 ，由
2
abab
可得xy ，当等号成立时，面积最大，此时_____,_____.xy：
3小结：（1）基本不等式 其中（00a,b）特别的，当 时等号成立。
a,b的算术平均数是 ， a,b的几何平均数是 。
（2）两个实数0,0,ab 若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当ab成立。
若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当ab成立。
练习：1. a,b是正数，则2,,2abababab三个数的大小顺序是
2. 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多
少？
3. 用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
技巧一：凑项
例1：已知45x，求函数14245yxx的最小值。
技巧二：凑系数
例1. 当时，求(82)yxx的最大值。
技巧三
： 分离
例3. 求2710(1)1xxyxx的值域。
技巧四
：换元
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx（a.>0）的
单调性。例：求函数2254xyx的值域。
技巧九、取平方
5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.
应用二：利用均值不等式证明不等式
1．已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222
2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
3.已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc
4：已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。