教师讲义

1 一、集合及其表示法 1．概念辨析 （1）集合的有关概念： 集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。 集合中的各个对象叫做这个集合的元素； 集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”；“无序性”； 集合的符号表示：集合常用大写英文字母A、B、C„„表示，集合中的元素常用小写英文字母a、b、c„„表示；

元素与集合的关系：属于与不属于（注意方向和辨析）； 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa 常用的集合的特殊表示法：实数集R（正实数集R）、有理数集Q（负有理数集Q）、整数集Z（正整数集Z）、自然数集N（包含零）、不包含零的自然数集*N；

集合的分类：有限集、无限集、空集； （2）集合的表示方法：

列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法； 描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素

所共同具有的特性，即：Axxp满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法. 文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 2．例题分析

例1、判断下列各组对象能否组成集合： （1）不等式320x的解； （2）我班中身高较高的同学； （3）直线21yx上所有的点； （4）不大于10且不小于1的奇数。 例2、用符号或填空： （1）2____N （2）2____Q （3）0___ （4）0____0 （5）b____,,abc （6）0_____*N 2

例3、写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 答：2 （2）大于10而小于20的合数组成的机荷 答：12,14,15,16,18 例4、用描述法表示下列集合： （1）被5除余1的正整数所构成的集合 答：|51,xxkkN （2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 答：(,)|0,,xyxyxyRR （3）函数221yxx的图像上所有的点 答：2,|21,,xyyxxxyRR

（4）12345,,,,34567 答：*,,52nxxnnnN 例5、用列举法表示下列集合： （1）,|5,,xyxyxyNN 答：0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0

（2）2230,xxxxR 答：3,1 （3）2230,xxxxR 答： （4）12,5xxxNZ 答：7,1,1,3,4 （5）方程组03062yxyx的解集是______(3,0) 例6、用符号或填空： （1）23____11xx （2）2*3____1,xxnnN

（3）21,1____yyx （4）21,1____,xyyx 例7、已知集合2,,AxxababZ，若12,xxA，判断：Axx21是否成立． 3

二、集合之间的关系 1．概念辨析 (1)、子集 定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何．．一个元素都属于集合B，那么集合A叫作集合B的子集，记作AB（或BA）,读作“A包含于B”或“B包含A”， 注：（1）AB有两种可能：①A中所有元素是B中的一部分元素；②A与B是中的所有元素都相同； （2）空集是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集； （3）判定A是B的子集，即判定“任意xAxB”. (2)、相等的集合：对于集合A与B，如果A是B的子集（AB），且B是A的子集（BA），那么称集

合A与集合B相等，记作A=B读作“集合A等于集合B” 注：（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等； （2）判定AB，即判定“任意xAxB，且任意xBxA”. (3)、真子集：对于两个集合A与B，如果AB，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合

A

叫做B的真子集，记作：AB或B A，读作A真包含于B或B真包含A. 注：（1）空集是任何非空集合的真子集； （2）判定ABÜ，即判定“任意xAxB，且存在00xBxA”； （3）子集与真子集符号的方向； （4）易混符号：①“”与“”②0与

2．例题分析 1、写出数集N、R、 *N、Z、Q的包含关系； 2、写出集合,,xyz的所有真子集； 3、已知集合1,3,5,7,9M，写出符合下列条件的M的子集： （1） 以集合M中的所有质数为元素； （2） 以集合M中所有能被3整除的数为元素； （3） 以集合M中所有能被2整除的数为元素。 4、设集合|1,AxxxR，|5,BxxxR； （1）判断2分别与A、B的关系 （2）确定A、B之间的关系 5、确定下列两个集合关系： （1）{|21,}AxxkkZ， {|21,}BxxmmZ （2）*{|21,}AxxkkN，*{|21,}BxxmmN （3）{|41,}AxxkkZ， {|21,}BxxkkZ 4

6、设集合,,{0,1,2,3,4,5}ABACB且，{0,2,4,6,8}C，求集合A的个数. 三、集合的运算 (1)、交集 一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合，叫做A与B的交集。记作A∩B（读作“A交B”），即：A∩B={x|x∈A且x∈B}

交集的图示法

BBAABA, BABA BA

例题解析 1、已知}21{xxA，B=}02{xx，求BA。 解：}01|{xxBA 2、设A、B两个集合分别为102),(yxyxA，}53),{(yxyxB，求A∩B，并且说明它的意义。

解：53102{),(yxyxyxBA={（3，4）} [说明] BA表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集合。 3、设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}， 求（A∩B）∩C， A∩（B∩C），A∩B∩C。 解：（A∩B）∩C=（{1，2，3}∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}； A∩（B∩C）={1，2，3}∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A∩B∩C=（A∩B）∩C= A∩（B∩C）={2}。

(2)、并集 5

一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

并集的图示法

,ABA,BBA ,BBA ,ABA,BBA

①A∪A=A，A∪U=U ，A∪φ=A；②A（A∪B），B（A∪B）；③A∪B=B∪A；④A∩BA∪B，当且仅当A=B时，A∩B=A∪B；⑤A∪B=ABA. 例题解析

1、设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。 解：∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}， 则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。 2、设},,,{dcbaA，},,,{fedbB，求BA ;BA。 解：A∩B={b,d}，则A∪B={a,b,c,d,e,f }。 3、设}22|{xxA， }11|{xxxB或，求BA。 解：A∪B=R 4、已知},2|{BxZkkxxA或,},12|{ZkkxxB,求BA。

5、设}21|{xxA,}31|{xxB，求BA. 解：将A={ x |-1< x <2}及B={ x |1< x <3}在数轴上表示出来，如图阴影部分即为所求。

A∪B={ x |-1< x <2}∪{ x |1< x <3}={ x |-1< x <3} 6、},3,1{xA，}1,{2xB,且},3,1{xBA，求x？ 7、}2,1,0{}1,0{A，求A的个数？ 8、}42|{xxA,}|{axxB,}4|{xxBA,求a的范围？ 9、设集合A={-4，12m, 2m}，B={9，m-5，1-m}，又A∩B={9},求实数m的值.

x0

13

-2-12 6

解：∵A∩B={9}，A={-4，12m,2m}，B={9，m-5，1-m}，∴12m=9或2m=9，解得m=5或m=3或m=-3. 若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与A∩B={9}矛盾； 若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾； 若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足A∩B={9}.∴m=-3。

(3)、全集定义 如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U。 [说明]①在研究集合与集合之间关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时，有时把实数集R看作全集U，有时把有理数集Q看作全集U，有时把正整数集合看作全集U。

(4)、补集定义 一般地，设U为全集，A是U的一个子集（即UA），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作ACU，即｝｛AxUxxACU,|，读作“A补”。

举例说明：解决某些数学问题时，如果把实数集看作是全集U，那么有理数集Q的补集CuQ就是全体无理数的集合。 补集的性质

①ACAu ②UACAu ③AACCu)(u

例题解析 1、若}4,3,2{U，}3,4{A，则ACU=_________。 2、若集合A=2xx，当全集U分别取下列集合时，写出CuA。 ① U=}{Rxx ② U=}0{xx ③U=}2{xx 解：① CuA=}2{xx ② U=}20{xx ③U=}2{xx 3、设},,,,{edcbaU，},{baA，},,{dcbB， 求BCACuU，)(BACU，)(BACU，BCACuU CuA∩CuB=｛e｝ Cu(A∩B)= ｛a,c,d,e｝ CuA∪CuB=｛a,c,d,e ｝ Cu(A∪B)= ｛e｝

结论：CuA∩CuB=Cu(A∪B) CuA∪CuB=Cu(A∩B) 课堂练习 1.设集合22axaxA，B 32xx.