高中数学数形结合思想

数形结合思想

由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基础知识的范畴，通过对数学知识的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。数形结合的思想重点考查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形象性、直观性、数的深刻性、精确性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。

例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？

分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数

y =2x 2－3x 。和函数y =2k 的交点个数问题．

解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛

物线，随着k 的变化，易知2k ＝－89或－1≤2k ＜5时只有一个公共点．∴ k =－169或－21≤k <2

5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相

应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决

数（实根）的问题．

例题2．求函数u ＝t t -++642的最值．

分析：观察得2t +4+2(6－t )＝16，若设x =42+t ，y =t -6，则有x 2+2y 2=16，再令u =x +y 则转化为直线与椭圆的关系问题来解决．

解：令42+t ＝x , t -6=y , 则x 2+2y 2=16, x ≥0, y

≥0, 再设u =x +y , 由于直线与椭圆的交点随着u 的变化

而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u 取得最大值，

过点(0，22)时，u 取得最小值22， 解方程组

⎩⎨⎧=++-=16

222y x u x y ，得3x 2－4ux +2u 2－16=0, 令△=0, 解得u =±26.

∴ u 的最大值为26，最小值为22．

点拨解疑：数学观察能力要求透过现象，发现本质，挖掘题中的隐含条件．

例题3．已知s =1

322+-t t ，则s 的最小值为 。 分析：等式右边形似点到直线距离公式．

解：|s |＝1

|32|2+-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y

－3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t

－3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13.

点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如n bx m ay --联想到斜率，1cx d b ++联想到定比分点公式，(x －a )2+(y －b )2

联想到距离，|z 1－z 2|联想到两点间距离等．

例题4．解不等式x -3>x －1.

分析：令x -3＝y ，则y 2＝－(x －3) (y ≥0), 它表示抛物线的上半支．令y ＝x －1表示一条直线．作出图象求解．

解：作出抛物线y 2＝－(x －3) (y ≥0),以及直线y ＝x －1．

解方程组⎩

⎨⎧--=-=)3(12x y x y 得x =2或x =－1（舍去）, 由右图可知：当x ＜2时不等式x -3>x －1成立，所

以原不等式的解集为{x | x <2}.

点拨解疑：一般地，形如n mx c bx ax +>++2(亦可＜)等不等式皆可用数

形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此法．如－3＜x

1＜2等．

例题5．求 m =2x +9

4362

x -的值域． 分析：设9

4362

x -=y ，即4x 2+9y 2＝36（y ≥0）,则求值域问题转化为求直线2x +y ＝m 的纵截距的范

围问题．

解：设9

4362

x -=y ，即4x 2+9y 2＝36（y ≥0）又令2x +y =m ,

则由⎩⎨⎧=++-=36

94222y x m x y 得40x 2－36mx +9m 2－36=0, 令△=(36m )2－160(9m 2－36)=0, 得m =±210,

① 直线y =－2x +m 过A 点时，x =－3, y =0, m =－6取得最小值；

② 当直线与椭圆上半部分相切时，m 取得最大值210

由①②，m 的取值范围为[－6, 210], 值域为[－6，210］．

例题6．A ．B 为平面上的两定点，C 为平面

上位于直线AB 同侧的一个动点，分别以AC 、BC

为边，在△ABC 外侧作正方形CADF 、CBEG ，求

证：无论C 点取在直线AB 同侧的任何位置，DE

的中点M 的位置不变．

分析：由于D 、E 随着C 的变化而变化，但M

为定点，故用几何方法不易说清变换思维角度，如

以C 点坐标为参量，证得M 点坐标不随其变化而

变化即可获证．

证明：以AB 中点为坐标原点,直线AB 为实轴，

建立复平面. 设A 、B 、C 对应的复数分别为－a ，a ，x +yi 其中a 、x 、y ∈R ．

则 AC =Z C －Z A =(x +a )+yi , AD =AC ×i =－y +(x +a )i =OA OD -, ∴ OA AD OD -==－(a +y )+(a +x )i , ∴ D 点的坐标是(－(y +a ), a +x ),

同理E 点的坐标为(y +a , a －x ), 据中点公式, DE 中点M 的坐标为（0，a ），它是与AB 长度有关，而与C 点位置无关的点，即为定点．

点拨解疑：这是用数解形的一例，可见它形象而直观，但不够深刻、精确，而数却精确细致，但它不够直观，故常以数量形，以形辅数，数形结合．

例题7．设A 、B 、C 、D 是一条有向线段上的四点，且DB

AD CB AC +=0，求证：AD AC 11+=AB

2. 分析：由于A 、B 、C ．D 顺序不定，若用几何方法分类不便，故用解析法，又A 、B 、C 、D 共线，所以只需数轴即可．

证明：以四点所在直线为数轴，设A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为0, b 、c 、

d , ∵ DB AD CB AC +=0, ∴ d b d c b c -+-=0, ∴ b (c +d )=2cd , ∴ cd d c +=b

2, 又AD AC 11+=cd d c d

c +=+11=b 2=AB 2，等式成立. 例题8．函数y =f (x )的图像为圆心在原点的两段圆

弧，试解不等式f (x )＞f (－x )十x ．

分析一：由图像可得出函数关系式，由形看数．

解法一：由题意及图像，有

⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=011101)(22x x

x x x f ， （1） 当0f (－x )+x 得21x ->－2)(1x --+x , 解得

0

52; （2） 当－1≤x <0时, 得－21x ->2)(1x --+x , 解得－1≤x <－

552, ∴ 原不等式的解集为[－1, －552)∪(0, 5

52). 分析二：由图象知f (x )为奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )，然后再以形解数．

解法二：由图象知f (x )为奇函数，∴ 原不等式为f (x )>2x ，而方程f (x )= 2

x 的解为x =±552，据图像可知原不等式解集为[－1, －552)∪(0, 5

52). 点拨解疑：本题以形看数（解析式，奇偶性），以数解形（曲线交点A 、B ）最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．