专转本模拟试题与解析(一)

1 江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（一）解析 高等数学

注意事项： 1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。 2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。 3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、0x是xxxf1sin)(的（ ） A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点 2、若2x是函数)21ln(axxy的可导极值点，则常数a（ ） A、1 B、21 C、21 D、1 3、若CxFdxxf)()(，则dxxxf)(cossin（ ） A、CxF)(sin B、CxF)(sin C、CF(cos) D、CxF)(cos 4、设区域D是xoy平面上以点)1,1(A、)1,1(B、)1,1(C为顶点的三角形区域，区域1

D

是D在第一象限的部分，则：dxdyyxxyD)sincos(（ ） A、1)sin(cos2Ddxdyyx B、12Dxydxdy C、1)sincos(4Ddxdyyxxy D、0

5、设yxyxuarctan),(，22ln),(yxyxv，则下列等式成立的是（ ） A、yvxu B、xvxu 2

C、xvyu D、yvyu 6、正项级数(1) 1nnu、(2) 13nnu，则下列说法正确的是（ ） A、若（1）发散、则（2）必发散 B、若（2）收敛、则（1）必收敛 C、若（1）发散、则（2）不定 D、若（1）、（2）敛散性相同

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。 7、02limsinxxxeexxx 8、函数xxfln)(在区间e,1上满足拉格朗日中值定理的 9、11211xx 10、设向量1,4,3、k,1,2；且、互相垂直，则k 11、交换二次积分的次序dyyxfdxxx21101),( 12、幂级数1)12(nnxn的收敛区间为

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。 13、设函数axxxfxFsin2)()( 00xx在,内连续，并满足：0)0(f、(0)6f，求a。 3

14、设函数)(xyy由方程tttytxcossincos所确定，求dxdy、22dxyd。 15、计算3tansecxxdx。 16、计算10arctanxdx。 4

17、已知函数),(sin2yxfz，其中),(vuf有二阶连续偏导数，求xz、yxz2。 18、求过点)2,1,3(A且通过直线12354:zyxL的平面方程。 19、将函数222)(xxxxf展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间。 5

20、求微分方程0xxyye满足1xye的特解。 四、证明题（每小题9分，共18分） 21、证明方程：0133xx在1,1上有且仅有一根。

22、设(),0,()1,0,xxfxxx其中函数()x在0x处具有二阶连续导数，且 (0)0,(0)1，证明：函数()fx在0x处连续且可导。 6

五、综合题（每小题10分，共20分） 23、已知曲边三角形由xy22、0x、1y所围成，求： （1）、曲边三角形的面积； （2）、曲边三角形饶X轴旋转一周的旋转体体积。

24、设)(xf为连续函数，且1)2(f，dxxfdyuFuyu)()(1，)1(u （1）、交换)(uF的积分次序； （2）、求(2)F。 7

江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（一） 高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、0x是xxxf1sin)(的（ ） A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点 解析：函数()fx在0x处连续的定义为00lim()()xxfxfx。实际上包含三个条件

（1） 函数()fx在0x处必须有定义； （2） 函数()fx在0x处的极限存在； （3） 函数()fx在0x处的极限值必须等于函数值； 当上述三个条件不全满足时的点即为函数()fx的间断点。而初等函数在定义区间之内均是连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。

根据点0

x处的极限情况来加以分类：







相等：可去间断点左右极限均存在：第一类不相等：跳跃间断点若有一个为：无穷间断点左右极限至少有一个不存在：第二类均不为无穷，函数不停振荡：振荡间断点

而001lim()limsin0xxfxxx

，即函数在0x

处没有定义，但左右极限均存在且相等，故

本题答案选A

2、若2x是函数)21ln(axxy的可导极值点，则常数a（ ） A、1 B、21 C、21 D、1 解析：该题考察函数()fx极值点的必要条件，若0

xx

处可导且为极值点，则0

()0,fx

故本题(2)0y，即2(1)012xaax，于是12a，故本题答案选C 8

3、若CxFdxxf)()(，则dxxxf)(cossin（ ） A、CxF)(sin B、CxF)(sin C、CF(cos) D、CxF)(cos 解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。 求()fx的不定积分就是找那些导数为()fx的所有函数全体，不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。 sin(cos)(cos)cos(cos)xfxdxfxdxFxC

故本题答案选D

4、设区域D是xoy平面上以点)1,1(A、)1,1(B、)1,1(C为顶点的三角形区域，区域1D

是D在第一象限的部分，则：dxdyyxxyD)sincos(（ ） A、1)sin(cos2Ddxdyyx B、12Dxydxdy C、1)sincos(4Ddxdyyxxy D、0 解析：该题考察函数奇偶性（对称性）的二重积分在对称区域上的积分性质。 设积分区域D关于x 轴对称，

(1) 若(,)fxy关于y是奇函数，则有

(2) 若(,)fxy关于y是偶函数，则有 其中1D是D的上半区域。 类似的，若积分区域D关于y轴对称，

(1) 若(,)fxy关于x是奇函数，则有 (2) 若(,)fxy关于x是偶函数，则有 其中1D是D的右半区域。

;0d),(Dyxf,d),(2d),(1DDyxfyxf

;0d),(Dyxf,d),(2d),(1DDyxfyxf9

故本题答案选A 5、设yxyxuarctan),(，22ln),(yxyxv，则下列等式成立的是（ ） A、yvxu B、xvxu C、xvyu D、yvyu 解析：该题考察二元显函数偏导数的求法，偏导数的本质就是将其中一个变量当作常量对另一个变量的导数。

222

2

111uyxxyxyy



，22221(,)lnln()2vxyxyxy，

22221122vyyyxyxy，即yvxu，故本题答案选A

o x y 1D2D3D

4D

如图将D分为4部分4321,,,DDDD,则: (cossin)ddDxyxyxy

2121ddsincosddDDDDyxyxyxxy4343ddsincosddDDDDyxyxyxxy



,ddsincos21Dyxyx10

6、正项级数(1) 1nnu、(2) 13nnu，则下列说法正确的是（ ） A、若（1）发散、则（2）必发散 B、若（2）收敛、则（1）必收敛 C、若（1）发散、则（2）不定 D、若（1）、（2）敛散性相同 解析：该题考察正项级数的收敛性质，比较审敛法。

若正项级数1nnu收敛，则1nknu(1)k一定收敛，因为当n足够大时，

0nknuu，由比较审敛法知1nknu收敛。若正项级数1nnu发散，则1nknu(1)k的敛散

性不能确定。如131nun与231nun。（请读者自行验证） 故本题答案选C (其它选项可以举反例)

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。 7、02limsinxxxeexxx ； 解析：求极限时，先判断极限类型，若是00或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为00或型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。

2000002221sin1cos2()2limlimlimlimlimxxxxxxxxxxxxxxxeexeeeexxxxeeeex











8、函数xxfln)(在区间e,1上满足拉格郎日中值定理的 ； 解析：在江苏省“专转本”考试中，微分中值定理考察的层次为识记与理解。主要考察罗尔定理与拉格朗日定理的条件与结论，定理的条件是充分的，但不必要。若遇到证明至少存在

一点的表达式，特别是带有导数的，一般都是利用罗尔定理构造辅助函数证明。