2018届中考数学巩固集训第02期：与四边形有关的证明与计算含答案

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中考数学冲刺专题突破：专题一特殊四边形有关的证明及计算专题突破特殊四边形(学生版+解析版)

中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；②与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD沿AF所在直线折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.(1)判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由；(2)当OD＝2时，求CP的长；(3)设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1－S2的最值．【精典例题】2、已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当∠BAC ＝60°时，求AH NC的值；(3)设HFHE＝k，△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2，求S2S1的最大值．第2题图中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；①与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN①AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.(1)解：①四边形ABCD 为正方形，①①B ＝90°，在Rt①ABM 中，①AB ＝10，BM ＝23，①AM ＝AB 2＋BM 2＝47.①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝12AM ＝27； (2)证明：如解图，过点D 作DE ①AC 于点E ，①四边形ABCD 是正方形，①AD ＝DC ，DE ＝12AC . ①AC 为正方形对角线，①①ACB ＝45°.①MN ①AC ，①MN ＝NC .设MN ＝NC ＝a ，AN ＝b ，①在Rt①AMN 中，由勾股定理得，AM ＝MN 2＋AN 2＝a 2＋b 2，①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝a 2＋b 22. ①AC ＝a ＋b ，①DE ＝EC ＝a ＋b 2. ①EN ＝EC －NC ＝b －a 2.DN ＝DE 2＋EN 2＝2（a 2＋b 2）2①DN ＝2NG .【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH①DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：①AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD 沿AF 所在直线折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E 作EG ①CD 交AF 于点G ，连接DG .(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．(1)证明：①GE ①CD ，①①EGF ＝①DFG .①由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，①DGF ＝①EGF ，①①DGF ＝①DFG .①GD ＝DF .①DG ＝GE ＝DF ＝EF .①四边形EFDG 为菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF . 理由：如解图①，连接DE ，交AF 于点O ，①四边形EFDG 为菱形，①GF ①DE ，OG ＝OF ＝12GF ，DF ＝EG . 又①四边形ABCD 为矩形，①①DOF ＝①ADF ＝90°，又①①OFD ＝①DF A ，①①DOF ①①ADF .①DF AF ＝FO FD ，即DF 2＝FO ·AF .①FO ＝12GF ，DF ＝EG ，①EG 2＝12GF ·AF ；图①(3)解：如解图①，过点G 作GH ①DC ，垂足为点H ，①EG 2＝12GF ·AF ，AG ＝6，EG ＝25，①20＝12GF (FG ＋6)，整理得FG 2＋6FG －40＝0，解得FG ＝4或－10(舍去)，①DF ＝GE ＝25，AF ＝10，①在Rt①ADF 中，AD ＝AF 2－DF 2＝4 5.①GH ①DC ，AD ①DC ，①GH ①AD .①①FGH ①①F AD .①GH AD ＝FG AF ，即GH 45＝410.①GH ＝855.易证四边形GECH 为矩形，①GH ＝EC ， ①BE ＝BC －EC ＝AD －GH ＝45－855＝1255. 图①【类型】二、与函数结合的证明及计算【精典例题】1、如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动(不与点B ，D 重合)，连接OA ，作OP ①OA ，交直线BC 于点P .(1)判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由；(2)当OD ＝2时，求CP 的长；(3)设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为S 1，①AOD 的面积为S 2，求S 1－S 2的最值．解：(1)OA ＝OP .理由如下：如解图①，过点O 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N .①OM ①AB ，ON ①BC ，OM ＝ON ，①四边形MBNO 为正方形.①①MON ＝90°.①①AOM ＋①MOP ＝90°，①MOP ＋①PON ＝90°，①①AOM ＝①PON .在①AOM 和①PON 中，⎩⎪⎨⎪⎧①AMO ＝①PNO MO ＝NO ①MOA ＝①NOP，①①AOM ①①PON (ASA).①OA ＝OP ；图①(2)如解图①，过点O 作OK ①CD ，垂足为K ，过点O 作ON ①BC ，垂足为N ，连接OC .①四边形ONCK 为矩形.①NC ＝OK .①OD ＝2，①NC ＝OK ＝1.①AD ＝CD ，①ADO ＝①CDO ＝45°，OD ＝OD ，①①AOD ①①COD (SAS).①OA ＝OC .①OA ＝OP ＝OC ，又①ON ①PC ，①CN ＝PN .①CP ＝2；图①(3)①①AOD ①①COD ，①S ①AOD ＝S ①COD .①S 1－S 2＝S ①OPC .设OK ＝x ，则PC ＝2x ，ON ＝CK ＝4－x .①S ①OPC ＝12×2x ×(4－x )＝－x 2＋4x . ①S 1－S 2＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.①当x ＝2时，S 1－S 2的最大值为4，无最小值.【精典例题】2、已知在①ABC 中，AB ＝AC ，AD ①BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当①BAC ＝60°时，求AH NC的值； (3)设HF HE ＝k ，①AEH 和四边形EDNH 的面积分别为S 1和S 2，求S 2S 1的最大值．第2题图。

四边形中的证明及计算题集训

四边形中的证明及计算题类型一四边形中全等三角形的判定1. (2016桂林模拟)如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB 上的点，连接EF、EC，若EF＝EC，且EF⊥EC.(1)求证：AE＝DC；(2)连接BE，若DC＝10，求BE的长．第1题图2. (2017沈阳)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.第2题图3. (2017四市联考模拟)如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点E，G分别在AD，CD上，连接AF，BF，CF.(1)求证：AF＝CF；(2)若∠BAF＝35°，求∠BFC的度数．第3题图4. 如图，在菱形ABCD中，F为对角线BD上一点，点E为AB 延长线上一点，连接EF，CF，CE，若DF＝BE，CE＝CF.求证：(1)△CFD≌△CEB；(2)∠CFE＝60°.第4题图5. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，过A，C两点作BD的垂线，垂足分别为E、F.(1)求证：△AED≌△CFB；(2)若∠ABC＝75°，∠ADB＝30°，AE＝3，求平行四边形ABCD 的周长．第5题图类型二四边形中特殊四边形的判定6. (2017钦州模拟)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且AE＝CF，若OB ＝OD，∠1＝∠2.求证：(1)△BEO≌△DFO；(2)四边形ABCD是平行四边形．第6题图7. (2017襄阳)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．第7题图8. (2017大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G 分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．第8题图9. 如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F(1)求证：EF＝DE；(2)连接AF，CD，若AC＝BC，判断四边形ADCF的形状．第9题图10. (2017云南)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD 是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.第10题图11. (2017青岛)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB, AC, AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．第11题图12. (源自人教九下85页)如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．第12题图答案1. (1)证明：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°.∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC.在△AEF 和△DCE 中，＝＝A DAFE DEC EF EC ∠∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△DCE (AAS)， ∴AE ＝DC ；(2)解：由(1)得AE ＝DC ＝10. 在矩形ABCD 中，AB ＝DC ＝10，∴在Rt △ABE 中，BE ＝AB 2＋AE 2＝10 2. 2. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥CB ， ∴∠AED ＝∠CFD ＝90°，在△ADE 和△CDE 中，＝＝A CAED CFD AD CD ∠∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△ADE ≌△CDF (AAS)； (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CB ，由(1)得△ADE ≌△CDF ， ∴AE ＝CF ， ∴BE ＝BF ， ∴∠BEF ＝∠BFE .3. (1)证明：∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形， ∴∠AEF ＝∠CGF ＝90°，AD ＝CD ，ED ＝GD ，FE ＝FG ， ∴AD －ED ＝CD －GD ，∴AE ＝CG ，在△AEF 和△CGF 中，＝＝AE CGAEF CGF FE FG ⎧∠∠=⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△CGF (SAS)， ∴AF ＝CF ；一题多解：如解图，连接DF ，第3题解图∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADF ＝∠CDF ＝45°，在△ADF 和△CDF 中，AD CDADF CDF DF DF ∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴△ADF ≌△CDF (SAS)， ∴AF ＝CF ；(2)解：由(1)知AF ＝CF ，又∵AB ＝BC ，BF ＝BF ， ∴△ABF ≌△CBF (SSS )，∴∠ABF ＝∠CBF ，∠BCF ＝∠BAF ＝35°，又∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABF ＝45°，∴∠BFC ＝180°－∠CBF －∠BCF ＝180°－45°－35°＝100°.4. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝CB .在△CFD 和△CEB 中，CD CBCF CE DF BE ===⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△CFD ≌△CEB (SSS)； (2)由(1)得△CFD ≌△CEB ，∴∠CDB ＝∠CBE ，∠DCF ＝∠BCE ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴DC ∥AB ，∠CBD ＝∠ABD . ∵CD ＝CB ， ∴∠CDB ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠CBE ＝60°， ∴∠DCB ＝∠CBE ＝60°，∴∠FCE ＝∠FCB ＋∠BCE ＝∠FCB ＋∠DCF ＝∠DCB ＝60°，又∵CE ＝CF ，∴△CFE 为等边三角形， ∴∠CFE ＝60°.5. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠ADE ＝∠CBF ，又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°，在△AED 和△CFB 中，ADE CBFAED CFB AD BC ∠∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴△AED ≌△CFB (AAS)； (2)解：在Rt △AED 中， ∵∠ADE ＝30°，AE ＝3， ∴AD ＝2AE ＝2×3＝6，∵∠ABC ＝75°，∠CBD ＝∠ADB ＝30°， ∴∠ABE ＝45°， ∴在Rt △ABE 中， AB ＝AE sin45°＝32，∴▱ABCD 的周长为2(AD ＋AB )＝2×(6＋32)＝12＋6 2. 6. 证明：(1)在△BEO 和△DFO 中，12＝＝OB OD EOB FOD ⎧∠∠=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△BEO ≌△DFO (ASA)； (2)由(1)知△BEO ≌△DFO ， ∴OE ＝OF ，又∵AE ＝CF ，∴OC ＋AE ＝OF ＋CF ，即OA ＝OC ， ∵OB ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 7. (1)证明：∵AE ∥BF ， ∴∠ADB ＝∠CBD . ∵BD 平分∠ABF ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠ADB .∴AB ＝AD .同理可证AB ＝BC ，∴AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)解：由(1)得四边形ABCD 是菱形，BD ＝6，∴AC ⊥BD ，OD ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOD 中，cos ∠ADB ＝cos30°＝OD AD ＝32.∴AD ＝3×23＝2 3. 8. (1)证明：∵EG ∥BC ，即FG ∥BC ，∴∠BEF ＝∠EBD ，∵ED ∥AC ，∴∠BDE ＝∠C ，而BE ＝BF ，AB ＝AC ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∠EBD ＝∠C ＝∠BDE ，∴BE ＝BF ＝ED 且∠EBF ＝∠BED ，∴BF ∥DE ，∴四边形BDEF 为平行四边形；(2)解：如解图，连接DF 交BE 于点O ，第8题解图由(1)知∠EBD ＝∠EDB ＝∠C ，∵∠C ＝45°，∴∠EBD ＝∠EDB ＝45°，∴△BDE 为等腰直角三角形，又∵BD ＝2，∴BE ＝DE ＝BD ·sin 45°＝2，∵四边形BDEF 为平行四边形，∴OE ＝12BE ＝22.在Rt △ODE 中，OD ＝OE 2＋DE 2＝102， ∴DF ＝2OD ＝10.9. (1)证明：∵DE 是△ABC 的中位线，∴E 为AC 中点，∴AE ＝EC ，∵CF ∥BD ，∴∠ADE ＝∠CFE ，在△ADE 和△CFE 中，＝＝ADE CFE AED CEFAE CE ∠∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△ADE ≌△CFE (AAS)，∴EF ＝DE ；(2)解：四边形ADCF 是矩形．由(1)得DE ＝FE ，AE ＝CE ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∴AD ＝CF ，∵AD ＝BD ，∴BD ＝CF ，∴四边形DBCF 为平行四边形，∴BC ＝DF ，∵AC ＝BC ，∴AC ＝DF ，∴四边形ADCF 是矩形．10. (1)证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，A D ⊥BC ，∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．∵点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴AE ＝12AB ，AF ＝12AC ，DE 、DF 均是△ABC 的中位线，∴AE ＝AF ，DE ∥AF ，DF ∥AE ，∴四边形AEDF 是菱形；一题多解：∵AD ⊥BC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 、DF 分别是Rt △ABD 、Rt △ACD 斜边上的中线，∴DE ＝12AB ＝AE ，DF ＝12AC ＝AF ，又∵AB ＝AC ，∴AE ＝DE ＝DF ＝AF ，(2)解：如解图，连接EF 交AD 于点O ，第10题解图由(1)知，四边形AEDF 是菱形．∴AD ⊥EF ，AD ＋EF ＝7，∵四边形AEDF 的周长为12，∴AE ＝3，∴(AD 2)2＋(EF 2)2＝AD 2＋EF 24＝9，即AD 2＋EF 2＝36，∴S 菱形AEDF ＝12AD ·EF ＝14[(AD ＋EF )2－(AD 2＋EF 2)]＝14×(72－36)＝134.11. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠D ，∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF (SAS)；(2)解：当AB ⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∵点E 、O 、F 分别为AB 、AC 、AD 的中点，∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∴四边形AEOF 是正方形．12. (1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠EF A ＝∠DF A ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DF A ＝∠EGF ，∴∠EF A ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF . 理由如下：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE ，∵∠FEH ＝90°－∠EF A ＝∠F AE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°，∴Rt △FEH ∽Rt △F AE ，∴EF AF ＝FH EF ，即EF 2＝FH ·AF ，又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝12GF ·AF ；第12题解图(3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ， ∴(25)2＝12(6＋GF )·GF ，解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8，∵∠CDE ＋∠DF A ＝90°，∠DAF ＋∠DF A ＝90°， ∴∠CDE ＝∠DAF ，∵∠DCE ＝∠ADF ＝90°，∴Rt △DCE ∽Rt △ADF ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855，∴BE ＝BC －EC ＝1255.。

2018年中考数学《四边形》同步提分训练含答案解析

2018年中考数学提分训练: 四边形一、选择题1.若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（）A. B. C. D.2.如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A. 26cmB. 24cmC. 20cmD. 18cm3.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A. 28°B. 52°C. 62°D. 72°4.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB：AD=2：3，∠BAD=2∠ABC，则CF：FD的结果为（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：45.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）A. 1＜m＜11B. 2＜m＜22C. 10＜m＜12D. 2＜m＜66.把一个多边形割去一个角后,得到的多边形内角和为1440°,请问这个多边形原来的边数为（）A. 9B. 10C. 11D. 以上都有可能7.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点0，过点0的直线分别交边AD，BC于点E，F，EF=6．则AE2+BF2的值为（）A. 9B. 16C. 18D. 368.已知ABC(如图1)，按图2所示的尺规作图痕迹不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形9.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O．点E是CD的中点，BD＝14，则△DOE的周长为（）A. 50B. 32C. 16D. 910.如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E.则阴影部分面积为（）A. 6－πB. 2 －πC. πD. π11.如图，ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，依次连接EB，EC，FC，FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题12.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．13.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为________.14.点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是________15.如图，正六边形的顶点分别在正方形的边上．若，则=________．16.如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．17.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋.其中正确的序号是_________.(把你认为正确的都填上)18.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为M n________．三、解答题19.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F。

中考专练之四边形的计算与证明——四边形与三角函数(解析版)

中考专练之四边形的计算与证明——四边形与三角函数三角形及四边形的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查，偶尔单独考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．1. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．（1）求证：∠CED=∠DAG；（2）若BE=1，AG=4，求sin AEB∠的值．【答案】（1）见解析（2）15 4【解析】：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AD∥BC.∴∠CED =∠ADE.又∵点G是DF的中点，∴AG=DG.∴∠DAG =∠ADE.∴∠CED =∠DAG.(2) ∵∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，∴∠AED=∠AGE.∴AE=AG.∵AG=4，∴AE=4.在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=15.∴15 sin4ABAEBAE∠==.2. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan ∠BDC=63．(1) 求BD 的长； (2) 求AD 的长．【答案】（1）10 （2） 2【解析】 (1)在Rt △BCD 中，∠BCD=90°，BC=2，tan ∠BDC= 63， ∴263CD . ∴CD= 6.∴由勾股定理得BD=BC 2+CD 2=10 .3. 已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°,AB ＝BC ＝26,tan ∠CDE ＝32. 求对角线BD 的长和△ABD 的面积.【答案】（1）313（2）45 【解析】过点B 作BF AC ⊥于F∵90ABC ACD ∠=∠=︒, 62AB BC ==， ∴ 6BF AF CF ===90BFC ACD ∠=∠=︒∴BF ∥CD∴ FBE CDE ∠=∠ ∴ 2tan tan 3FBE CDE ∠=∠= 即23EF BF = ∴ 4EF = ∴2,3EC CD == ∴ 222264213BE BF EF =+=+= 22222313DE EC CD =+=+=∴313BD BE DE =+= (2) 114522ABD ABE ADE S S S AE BF AE CD ∆∆∆=+=⋅+⋅=4. 已知：如图，正方形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，联结CE. 求cos ∠ACE 和tan ∠ACE 的值.【答案】3101013【解析】过点E 作AC EF ⊥于点F ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC D BAD ,90︒=∠=∠平分BAD ∠， DC AD =．∴︒=∠45CAD ，AD AC 2=． ∵E 是AD 中点， ∴AD DE AE 21==．设x DE AE ==，则x DC AD 2==，x AC 22=，x CE 5=．在Rt △AEF 中，x CAD AE EF 22sin =∠⋅=，x EF AF 22==．∴x x x AF AC CF 2232222=-=-=．∴101035223cos ===∠xxCECF ACE ， 3122322tan ===∠xx CFEF ACE ．5. 如图，菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，（1）求证：四边形OCED 是矩形;（2）若AD =5，BD =8，计算sin DCE ∠的值.【答案】（1）见解析（2）35【解析】（1） ∵DE ∥AC ，CE ∥BD ∴四边形OCED 是平行四边形 ∵四边形ABCD 是菱形∴ AC BD ⊥A BCDEF90DOC ∠=∴四边形OCED 是矩形（2）∵四边形ABCD 是菱形，BD =8 ∴12OD BD ==4，OC=OA ，AD=CD ∵AD =5，由勾股定理得OC =3 ∵四边形OCED 是矩形 ∴DE=OC=3，在Rt △DEC 中，sin DCE ∠=35DE DC = 6. 已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C =60°，AB =1，BC =33+，CD =23.（1）求tan ∠ABD 的值；（2）求AD 的长.【答案】（1）1（213 【解析】(1) 作DE BC ⊥于点E . ∵在Rt △CDE 中，∠C =60°，CD =3， ∴3, 3.CE DE == ∵BC =33+，∴333 3.BE BC CE =-== ∴ 3.DE BE ==∴在Rt △BDE 中，∠EDB = ∠EBD =45º. ∵AB ⊥BC ，∠ABC =90º， ∴∠ABD =∠ABC -∠EBD =45º. ∴ tan ∠ABD =1. (2) 作AF BD ⊥于点F .在Rt △ABF 中，∠ABF =45º, AB =1，2.2BF AF ∴==∵在Rt △BDE 中，3DE BE ==， ∴3.2BD =∴3.252222DF BD BF =-=-= ∴在Rt △AFD 中，22.13AD DF AF =+=7. 如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点、F 为AC 的中点，过点C 作CE //AB 交DF 的延长线于点E ，连结AE ．（1）求证：四边形ADCE 为平行四边形．（2）若EF =22，︒=∠︒=∠4530AED FCD ，，求DC 的长．【答案】（1）见解析（2）2+32【解析】（1）证明：∵CE //AB ，∴∠DAF =∠ECF ． ∵F 为AC 的中点，∴AF =CF ．在△DAF 和△ECF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，CFE AFD CF AF ECF DAF ∴ △DAF ≌△ECF ． ∴ AD =CE ． ∵CE //AB ，H ABCEFD∴ 四边形ADCE 为平行四边形．（2）作FH ⊥DC 于点H ． ∵ 四边形ADCE 为平行四边形．∴ AE //DC ，DF = EF =22， ∴∠FDC =∠AED =45°．在Rt △DFH 中，∠DHF=90°，DF =22，∠FDC=45°， ∴ sin ∠FDC=22=DFFH ，得FH =2，tan ∠FDC=1=HDHF ，得DH =2．在Rt △CFH 中，∠FHC=90°，FH =2，∠FCD=30°，∴ FC =4．由勾股定理，得HC =32． ∴ DC=DH+HC=2+32．8. 如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．【答案】（1）见解析（27210【解析】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ．∴∠DAF=∠F ．∠F =45°， ∴∠DAE=45°． AF 是∠BAD 的平分线，45EAB DAE ∴∠=∠=．FBED90DAB ∴∠=．又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形．（2）解：过点B 作BH AE ⊥于点H ，如图．四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°． AB =14，DE =8，∴ CE=6．在Rt △ADE 中，∠DAE=45°， ∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8． ∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得 2210BE BC CE =+=．在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin 4572BH AB =⋅= ．在Rt △BHE 中，∠BHE=90°，∴sin ∠AEB=7210BH BE =． 9.如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC 的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE .（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．【答案】（1）见解析（2）45【解析】（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥，H FBAED∴四边形DBCE 是平行四边形. ∴CE BD =.又∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD AD =. ∴CE DA =. 又∵CE DA ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形.∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AD CD =.∴四边形ADCE 是菱形. （2）解：作CF AB ⊥于点F .由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =. 在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =. ∵1122AB CF AC BC ⋅=⋅, ∴255AC BC CF x AB ⋅==. ∵1522CD AB x ==, ∴4sin 5CF CDB CD ∠==. 10. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作一条直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；（2）若AB =4，CF =1，∠ABC =60°，求sin DEO ∠的值．【答案】（1）见解析（2）217（2）菱形ABCD ,60ABC ∠=∴BD AC ⊥4AB BC AD DC ==== 30ADO CDO ∠=∠=ADC 为等边三角形∴122AO AD ==, ∴23OD =作OM AD ⊥于M ∴122AO AD ==3OM =∴221AM OA OM =-= ∴2EM = ∴7OE =在Rt EOM ∆中，217sin DEO ∠=11. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC 的平行线交DC 的延长线于点E .E ODC（1）求证：BD=BE ；（2）若BE =10，CE =6，连接OE ，求tan ∠OED 的值. 、【答案】（1）见解析（2）49【解析】(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ AC ＝BD ，AB ∥CD.∵ BE ∥AC ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形.∴ BE ＝AC ＝BD.∴BD=BE(2) 解：过点O 作OF ⊥CD 于点F .∵ 四边形为矩形，∴ 90BCD ∠=︒.∵ 10BE BD ==，∴ 6CD CE ==. 同理，可得132CF DF CD ===. ∴9EF =.在Rt △BCE 中，由勾股定理可得8BC =.∵ OB=OD ，∴ OF 为△BCD 的中位线.∴ 142OF BC ==. ∴在Rt △OEF 中，4tan 9OF OED EF ∠==. 12.如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，过E 做EF ⊥AD 于F ，连接BF 交AE 于P ，连接O APD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．【答案】（1）见解析（2）2 5【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAB =∠ABE =90°，AF∥BE．又∵EF⊥AD，∴∠FAB =∠ABE =∠AFE=90°．∴四边形ABEF是矩形又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠FAE=∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．∴四边形ABEF是正方形．（2）解：如图，过点P作PH⊥AD于H．∵四边形ABEF是正方形，∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°．∴AB∥PH．又∵AB=4，∴AH=PH=2．又∵AD=7，∴DH=AD－AH=7－2=5．在Rt△PHD中，∠PHD=90°．∴tan∠ADP=25PHHD．HPFE CDAB。

【小初高学习]2018届中考数学专项复习几何证明与计算训练题

几何证明与计算1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA )．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F ＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG .∴AG 2＝GE·GF.4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°.∴DE ＝CDcos 30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS )． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE.在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA )，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ，由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA )，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21. ∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠MAB＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos 30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝ADBD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS )，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS )，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝AB cos 45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS )．∴AC ＝BD.又CE ＝AC ，∴BD ＝CE.∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠EFC ，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B ＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.。

【数学】2018年最新中考数学压轴精选15题(2) 四边形动点和证明类(Word版含答案解析)

2018年最新中考数学压轴精选15题(2)四边形动点和证明类1.（2018·荆州）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P 、Q 的坐标分别是、P(x 1,y 1)，则P 、Q 这两点间的距离为如，，则Q(x 2,y 2)|PQ|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.P(1,2)Q(3,4)|．PQ|=(1-3)2+(2-4)2=22对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．.解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线交y 轴于点A ，点A y =kx +12关于x 轴的对称点为点B ，过点B 作直线l 平行于x 轴．到点A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是______；(1)若动点满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，求动点C 轨迹的函数表达式；(2)C(x,y)问题拓展：若中的动点C 的轨迹与直线交于E 、F 两点，分别过E 、F (3)(2)y =kx +12作直线l 的垂线，垂足分别是M 、N ，求证：是外接圆的切线；①EF △AMN ②1AE +1AF 为定值．2.（2018·常州）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，(1)连接求证：．CF.∠AFE=∠CFD如图2，在中，，P为MN的中点．(2)Rt△GMN∠M=90∘用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得保留作图痕迹，不要求写①∠GQM=∠PQN(作法；)在的条件下，如果，那么Q是GN的中点吗？为什么？②①∠G=60∘3.（2018·十堰）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位(1)置关系，并直接写出结论；如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，中结论是否仍然成立？请证明(2)(1)你的结论；将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若，(3)AB=13CE，请画出图形，并直接写出MF的长．=5△ABC∠BAC=90∘AB=AC AD⊥BC4.（2018·阜新）如图，在中，，，于点D．如图1，点E，F在AB，AC上，且求证：；(1)∠EDF=90∘.BE=AF点M，N分别在直线AD，AC上，且．(2)∠BMN=90∘如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：；①AB+AN=2AM当点M在点A，D之间，且时，已知，直接写出线段AM的长．②∠AMN=30∘AB=25.（2018·乐山）已知中，，点D、E分别在BC、AC边上，连结Rt△ABC∠ACB=90∘BE、AD交于点P，设，，k为常数，试探究的度数：AC=kBD CD=kAE∠APE如图1，若，则的度数为______；(1)k=1∠APE如图2，若，试问中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求(2)k=3(1)∠APE出的度数．如图3，若，且D、E分别在CB、CA的延长线上，中的结论是否成立，请(3)k=3(2)说明理由．6.（2018·大连）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：△ABC∠ACB=90∘∠BAC=2∠DCB AC=AD 如图1，中，，点D在AB上，且，求证：．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：∠CAB方法1：如图2，作AE平分，与CD相交于点E．∠DCF=∠DCB方法2：如图3，作，与AB相交于点F．根据阅读材料，任选一种方法，证明．(1)AC=AD用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，中，点D在AB上，点E在BC上，且，点F在BD (2)△ABC∠BDE=2∠ABC∠AFE=∠BAC∠DGF=∠BDE上，且，延长DC、FE，相交于点G，且．在图中找出与相等的角，并加以证明；①∠DEF若，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．②AB=kDF7.（2018·攀枝花）如图，在中，，，动点P 从A 点出△ABC AB =7.5AC =9S △ABC =814.发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正、Q 、M 按逆时针排序，以QC 为边在AC 上方作△PQM(P )正，设点P 运动时间为t 秒．△QCN 求的值；(1)cosA 当与的面积满足时，求t 的值；(2)△PQM △QCN S △PQM =95S △QCN 当t 为何值时，的某个顶点点除外落在的边上．(3)△PQM (Q )△QCN△ABC CA=CB0∘<∠ACB≤90∘.8.（2018·沈阳）已知：是等腰三角形，，点M在边AC上，点N在边BC上点M、点N不与所在线段端点重合，，连接AN，()BN=AM BM，射线，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且．AG//BC AE=DE 如图，当时(1)∠ACB=90∘求证：≌；①△BCM△ACN求的度数；②∠BDE当，其它多件不变时，的度数是______用含的代数式表示(2)∠ACB=α∠BDE(α)若是等边三角形，，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线(3)△ABC AB=33BC交于点F，请直接写出线段CF的长．9.（2018·北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作．d(M,N)已知点，，．A(-2,6)B(-2,-2)C(6,-2)求点O，；(1)d(△ABC)记函数的图象为图形若，直接写出k的取值(2)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)G.d(G,△ABC)=1范围；的圆心为，半径为若，直接写出t的取值范围．(3)⊙T T(t,0) 1.d(⊙T,△ABC)=110.（2018·衡阳）如图，在中，，，动点P从点C出发Rt△ABC∠C=90∘AC=BC=4cm以的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以的速度沿AB匀速运1cm/s2cm/s动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．t(s)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(1)是否存在某一时刻t，使是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；(2)△APQ若不存在，请说明理由；以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t(3)的函数关系式．11.（2018·常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作于H，设直线DH交AC于N．DH⊥AE如图1，当M在线段BO上时，求证：；(1)MO=NO如图2，当M在线段OD上，连接NE，当时，求证：；(2)EN//BD BM=AB在图3，当M在线段OD上，连接NE，当时，求证：．(3)NE⊥EC AN2=NC⋅AC12.（2018·菏泽）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动如图1，.△ABC△ACD.AB=2cm 将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到和并且量得，．AC=4cm操作发现：将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到(1)△ACD∠α∠α=∠BAC△AC'D AC'如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是______．ACEC'创新小组将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D(2)△ACD△AC'D CC'三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接AF并延长至点G，使，连接CG、，得到四边形，发现它是正方形，FG=AF C'G ACGC'请你证明这个结论．实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着BD方向平(3)△ABC移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，如图4所示，BC'连接，试求的值．CC'tan∠C'CH13.（2018·南充）如图，矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AC=2AB，使点B的对应点落在AC上，交AD于点E，在上取点F，使AB'C'D'．求证：．(1)AE=C'E求的度数．(2)已知，求BF的长．(3)AB=214.（2018·黄冈）如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，∠C=120∘OA=8.点B，C在第一象限，，边长点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边以每秒2个单位长AB-BC-CO的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB 于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N 两点同时停止运动．当时，求线段PQ的长；(1)t=2求t为何值时，点P与N重合；(2)设的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．(3)△APN15.（2018·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上不与点B ，C 重合，连结()AG ，作于点E ，于点F ，设．DE ⊥AG BF ⊥AG BG BC =k 求证：．(1)AE =BF 连结BE ，DF ，设，求证：．(2)∠EDF =α∠EBF =β.tan α=ktan β设线段AG 与对角线BD 交于点H ，和四边形CDHG 的面积分别为和，(3)△AHD S 1S 2求的最大值．S 2S 12018年最新中考数学压轴精选15题(2)四边形动点和证明类答案和解析【答案】1.x 2+(y -12)2=12. 证明：如图1中，(1)垂直平分线段BC ，∵EK ，∴FC =FB ，∴∠CFD =∠BFD ，∵∠BFD =∠AFE ．∴∠AFE =∠CFD 作点P 关于GN 的对称点，连接交GN 于Q ，连接PQ ，点Q 即为所求．(2)①P'P'M结论：Q 是GN 的中点．②理由：设交GN 于K ．PP'，，∵∠G =60∘∠GMN =90∘，∴∠N =30∘，∵PK ⊥KN ，∴PK =KP'=12PN ，∴PP'=PN =PM ，∴∠P'=∠PMP'，∵∠NPK =∠P'+∠PMP'=60∘∴∠PMP'=30∘，∴∠N=∠QMN=30∘∠G=∠GMQ=60∘，，∴QM=QN QM=QG，，∴QG=QN，∴Q是GN的中点．3. 解：结论：，．(1)DM⊥EM DM=EM理由：如图1中，延长EM交AD于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90∘AD=CD，，∴AD//EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF∠AMH=∠FME，，∴△AMH△FME≌，∴MH=ME AH=EF=EC，，∴DH=DE，∵∠EDH=90∘，∴DM⊥EM DM=ME，．如图2中，结论不变，．(2).DM⊥EM DM=EM理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90∘AD=CD，，∴AD//EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF∠AMH=∠FME，，∴△AMH△FME≌，∴MH=ME AH=EF=EC，，，∴DH =DE ，∵∠EDH =90∘，．∴DM ⊥EM DM =ME 如图3中，作于R ．(3)MR ⊥DE在中，，Rt △CDE DE =132-52=12，，∵DM =NE DM ⊥ME ，，，∴MR =⊥DE MR =12DE =6DR =RE =6在中，Rt △FMR FM =MR 2+FR 2=62+112=157如图4中，作于R ．MR ⊥DE在中，，Rt △MRF FM =12+62=37故满足条件的MF 的值为或．371574. 解：，，(1)∵∠BAC =90∘AB =AC ，∴∠B =∠C =45∘，∵AD ⊥BC ，，∴BD =CD ∠BAD =∠CAD =45∘，，∴∠CAD =∠B AD =BD ，∵∠EDF =∠ADC =90∘，∴∠BDE =∠ADF ≌，∴△BDE △ADF(ASA)；∴DE =DF如图1，过点M 作，交AB 的延长线于点P ，(2)①MP ⊥AM ，∴∠AMP =90∘，∵∠PAM =45∘，∴∠P =∠PAM =45∘，∴AM =PM ，∵∠BMN =∠AMP =90∘，∴∠BMP =∠AMN ，∵∠DAC =∠P =45∘≌，∴△AMN △PMB(ASA)，∴AN =PB ，∴AP =AB +BP =AB +AN 在中，，，Rt △AMP ∠AMP =90∘AM =MP ，∴AP =2AM ；∴AB +AN =2AM 在中，，②Rt △ABD AD =BD =22AB =2，，∵∠BMN =90∘∠AMN =30∘，∴∠BMD =90∘-30∘=60∘在中，，Rt △BDM DM =BD tan ∠BMD =63． ∴AM =AD -DM =2-635. 45∘6. 解：方法一：如图2中，作AE 平分，与CD 相交于点E ．(1)∠CAB，，∵∠CAE =∠DAE ∠CAB =2∠DCB ，∴∠CAE =∠CDB ，∵∠CDB +∠ACD =90∘，∴∠CAE +∠ACD =90∘，∴∠AEC =90∘，，∵AE =AE ∠AEC =∠AED =90∘≌，∴△AEC △AED ．∴AC =AD 方法二：如图3中，作，与AB 相交于点F ．∠DCF =∠DCB，，∵∠DCF =∠DCB ∠A =2∠DCB ，∴∠A =∠BCF ，∵∠BCF +∠ACF =90∘，∴∠A +∠ACF =90∘，∴∠AFC =90∘，，∵∠ACF +∠BCF =90∘∠BCF +∠B =90∘，∴∠ACF =∠B ，∵∠ADC =∠DCB +∠B =∠DCF +∠ACF =∠ACD ．∴AC =AD 如图4中，结论：．(2)①∠DEF =∠FDG理由：在中，，△DEF ∵∠DEF +∠EFD +∠EDF =180∘在中，，△DFG ∵∠GFD +∠G +∠FDG =180∘，，∵∠EFD =∠GFD ∠G =∠EDF ．∴∠DEF =∠FDG 结论：．②BD =k ⋅DE 理由：如图4中，如图延长AC 到K ，使得．∠CBK =∠ABC ，，∵∠ABK =2∠ABC ∠EDF =2∠ABC ，∴∠EDF =∠ABK ，∵∠DFE =∠A ∽，∴△DFE △BAK ，∴DF AB =DE BK =1k ，∴BK =k ⋅DE ，∴∠AKB =∠DEF =∠FDG ，，∵BC =BC ∠CBD =∠CBK≌，∴△BCD △BCK ，∴BD =BK∴BD =k ⋅DE 7. 解：如图1中，作于E ．(1)BE ⊥AC，∵S △ABC =12⋅AC ⋅BE =814，∴BE =92在中，，Rt △ABE AE =AB 2-BE 2=6．∴coaA =AE AB =67.5=45如图2中，作于H ．(2)PH ⊥AC，，，，∵PA =5t PH =3t AH =4t HQ =AC -AH -CQ =9-9t ，∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+(9-9t)2，∵S △PQM =95S △QCN ，∴34⋅PQ 2=95×34⋅CQ 2，∴9t 2+(9-9t)2=95×(5t)2整理得：，5t 2-18t +9=0解得舍弃或．t =3()35当时，满足．∴t =35S △PQM =95S △QCN 如图3中，当点M 落在QN 上时，作于H ．(3)①PH ⊥AC易知：，PM//AC ，∴∠MPQ =∠PQH =60∘，∴PH =3HQ ，∴3t =3(9-9t)．∴t =27-3326如图4中，当点M 在CQ 上时，作于H ．②PH ⊥AC同法可得，PH =3QH ，∴3t =3(9t -9)，∴t =27+3326综上所述，当或时，的某个顶点点除外落在的边上．t =27-3326s 27+3326s △PQM (Q )△QCN 8. 或α180∘-α9. 解：如图所示，点O 到的距离的最小值为2，(1)△ABC点O ，；∴d(△ABC)=1经过原点，在范围内，函数图象为线段，(2)y =kx(k ≠0)-1≤x ≤1当经过时，，此时；y =kx(-1≤x ≤1,k ≠0)(1,-1)k =-1d(G,△ABC)=1当经过时，，此时；y =kx(-1≤x ≤1,k ≠0)(-1,-1)k =1d(G,△ABC)=1，∴-1≤k ≤1，∵k ≠0且；∴-1≤k ≤1k ≠0与的位置关系分三种情况：(3)⊙T △ABC 当在的左侧时，由知此时；①⊙T △ABC d(⊙T,△ABC)=1t =-4当在内部时，②⊙T △ABC 当点T 与原点重合时，，知此时；d(⊙T,△ABC)=1t =0当点T 位于位置时，由知，T 3d(⊙T,△ABC)=1T 3M =2、，∵AB =BC =8∠ABC =90∘，∴∠C =∠T 3DM =45∘则，T3D =T 3M cos45∘=222=22，∴t =4-22故此时；0≤t ≤4-22当在右边时，由知，③⊙T △ABC d(⊙T,△ABC)=1T 4N =2，∵∠T 4DC =∠C =45∘，∴T 4D =T 4Ncos45∘=222=22；∴t =4+22综上，或或．t =-40≤t ≤4-22t =4+2210. 解：如图1中，连接BP ．(1)在中，，，Rt △ACB ∵AC =BC =4∠C =90∘点B 在线段PQ 的垂直平分线上，∴AB =42∵，∴BP =BQ ，，∵AQ =2t CP =t ，，∴BQ =42-2t PB 2=42+t 2，∴(42-2t)2=16+t 2解得或舍弃，t =12-8212+82()时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上．∴t =12-82s 如图2中，当时，易知是等腰直角三角形，．(2)①PQ =QA △APQ ∠AQP =90∘则有，PA =2AQ ，∴4-t =2⋅2t 解得．t =43如图3中，当时，易知是等腰直角三角形，．②AP =PQ △APQ ∠APQ =90∘则有：，AQ =2AP ，∴2t =2(4-t)解得，t =2综上所述：或2s 时，是以PQ 为腰的等腰三角形．t =43s △APQ 如图4中，连接QC ，作于E ，作于则，，可得(3)QE ⊥AC QF ⊥BC F.QE =AE QF =EC QE +．QF =AE +EC =AC =4． ∵S =S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE =12t(QE +QF)=2t(0<t <4)11. 解：正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，(1)∵，，∴OD =OA ∠AOM =∠DON =90∘，∴∠OND +∠ODN =90∘，∵∠ANH =∠OND ，∴∠ANH +∠ODN =90∘，∵DH ⊥AE ，∴∠DHM =90∘，∴∠ANH +∠OAM =90∘，∴∠ODN =∠OAM ≌，∴△DON △AOM ；∴OM =ON连接MN ，(2)，∵EN//BD ，，∴∠ENC =∠DOC =90∘∠NEC =∠BDC =45∘=∠ACD ，同的方法得，，∴EN =CN (1)OM =ON ，∵OD =OD ，∴DM =CN =EN ，∵EN//DM 四边形DENM 是平行四边形，∴，∵DN ⊥AE ▱DENM 是菱形，∴，∴DE =EN ，∴∠EDN =∠END ，∵EN//BD ，∴∠END =∠BDN ，∴∠EDN =∠BDN ，∵∠BDC =45∘，∴∠BDN =22.5∘，∵∠AHD =90∘，∴∠AMB =∠DME =90∘-∠BDN =67.5∘，∵∠ABM =45∘，∴∠BAM =67.5∘=∠AMB ；∴BM =AB 设(3)CE =a(a >0)，∵EN ⊥CD ，∴∠CEN =90∘，∵∠ACD =45∘，∴∠CNE =45∘=∠ACD ，∴EN =CE =a ，∴CN =2a 设，DE =b(b >0)，∴AD =CD =DE +CE =a +b 根据勾股定理得，，AC =2AD =2(a +b)同的方法得，，(1)∠OAM =∠ODN ，∵∠OAD =∠ODC =45∘，，∴∠EDN =∠DAE ∵∠DEN =∠ADE =90∘∽，∴△DEN △ADE ，∴DE AD =EN DE，∴b a +b =a b 已舍去不符合题意的∴a =5-12b()，，∴CN =2a =10-22b AC =2(a +b)=10+22b ，∴AN =AC -CN =2b ，∴AN 2=2b 2AC ⋅CN =10+22b ⋅10-22b =2b 2．∴AN 2=AC ⋅CN 12. 菱形13. 证明：在中，，(1)∵Rt △ABC AC =2AB ，，∴∠ACB =∠AC'B'=30∘∠BAC =60∘由旋转可得：，，AB'=AB ∠B'AC =∠BAC =60∘，∴∠EAC'=∠AC'B'=30∘；∴AE =C'E 解：由得到为等边三角形，(2)(1)△ABB'，∴∠AB'B =60∘；∴∠FBB'=150∘解：由，得到，，(3)AB =2B'B =B'F =2∠B'BF =15∘过B 作，BH ⊥BF 在中，，即，Rt △BB'H BH =2×6+24=6+22则．BF =2BH =6+214. 解：当时，，(1)t =2OM =2在中，，Rt △OPM ∠POM =60∘，∴PM =OM ⋅tan60∘=23在中，，Rt △OMQ ∠QOM =30∘，∴QM =OM ⋅tan30∘=233．∴PQ =CN -QM =23-233=433由题意：，(2)8+(t -4)+2t =24解得．t =203当时，(3)①0<x <4S =12⋅2t ⋅43=43t.当时，②4≤x <203S =12×[8-(t -4)-(2t -8)]×43=403-63t.当时．③203≤x <8.S =12×[(t -4)+(2t -8)-8]×43=63t -403当时，④8≤x ≤12S =S 菱形ABCO -S △AON -S △ABP =323-12⋅(24-2t)⋅43-12⋅[8-(t -4)]⋅43．=63t -40315. 解：四边形ABCD 是正方形，(1)∵，，∴AD =AB ∠BAD =90∘，∴∠BAG +∠DAG =90∘，，∵DE ⊥AG BF ⊥AG ，∴∠AED =∠BFA =90∘，∴∠ADE +∠DAG =90∘，∴∠BAG =∠DAE ≌，∴△ADE △BAF(AAS)，∴AE =BF 由知，，(2)(1)∠BAG =∠EDA ，∵∠ABG =∠DEA ∽，∴△ABG △DEA ，∴AB DE =BG AE ∴AE DE =BG AB =BGBC =k在中，，Rt △DEF EF =DE ⋅tan α在中，，Rt △BEF EF =BF ⋅tan β，∴DE ⋅tan α=BF ⋅tan β；∴tan α=BF DE ⋅tan β=AEDE ⋅tan β=ktan β如图，(3)四边形ABCD 是正方形，∵，，∴BC//AD AD =BC ，∵BGBC =k ，∴BGAD =k ，∵AD//BC ∽，∴△ADH △GBH ，∴S 1S △BHG =S △ADH S △BHG =(AD BG )2=1k 2，∴S 1=1k 2⋅S △BHG设的边BG 上的高为h ，的边AD 上的高为，△BHG △ADH ，，∵S △BHG =12BG ⋅h ，，∴S △BHG S△BCD =12BG ⋅h 12BC ⋅h'=k 2，∴S △BHG S 2=k 21-k 2，∴S 2=1-k 2k 2⋅S △BHG ．∴S 1S 2=1-k 2【解析】1. 解：设到点A 的距离等于线段AB 长度的点D 坐标为，(1)(x,y)，∴AD 2=x 2+(y -12)2直线交y 轴于点A ，∵y =kx +12，∴A(0,12)点A 关于x 轴的对称点为点B ，∵，∴B(0,-12)，∴AB =1点D 到点A 的距离等于线段AB 长度，∵，∴x 2+(y -12)2=1故答案为：；x 2+(y -12)2=1过点B 作直线l 平行于x 轴，(2)∵直线l 的解析式为，∴y =-12，，∵C(x,y)A(0,12)，点C 到直线l 的距离为：，∴AC 2=x 2+(y -12)2(y +12)动点满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，∵C(x,y)，∴x 2+(y -12)2=(y +12)2动点C 轨迹的函数表达式，∴y =12x 2如图，(3)①设点点，E(m,a)F(n,b)动点C 的轨迹与直线交于E 、F 两点，∵y =kx +12，∴{y =12x 2y =kx +12，∴x 2-2kx -1=0，，∴m +n =2k mn =-1过E 、F 作直线l 的垂线，垂足分别是M 、N ，∵，，∴M(m,-12)N(n,-12)，∵A(0,12)，∴AM 2+AN 2=m 2+1+n 2+1=m 2+n 2+2=(m +n)2-2mn +2=4k 2+4，MN 2=(m -n)2=(m +n)2-4mn =4k 2+4，∴AM 2+AN 2=MN 2是直角三角形，MN 为斜边，∴△AMN 取MN 的中点Q ，点Q 是的外接圆的圆心，∴△AMN ，∴Q(k,-12)，∵A(0,12)直线AQ 的解析式为，∴y =-1k x +12直线EF 的解析式为，∵y =kx +12，∴AQ ⊥EF 是外接圆的切线；∴EF △AMN 证明：点点在直线上，②∵E(m,a)F(n,b)y =kx +12，，∴a =mk +12b =nk +12，NF ，EF 是的外接圆的切线，∵ME △AMN ，，∴AE =ME =a +12=mk +1AF =NF =b +12=nk +1，∴1AE +1AF =1mk +1+1nk +1=(m +n)k +2mnk 2+(m +n)k +1=2k 2+2-k 2+2k ⋅k +1=2(k 2+1)k 2+1=2即：为定值，定值为2．1AE +1AF 利用两点间的距离公式即可得出结论；(1)利用两点间的距离公式即可得出结论；(2)先确定出，，再确定出，，进而判断出是直角(3)①m +n =2k mn =-1M(m,-12)N(n,-12)△AMN 三角形，再求出直线AQ 的解析式为，即可得出结论；y =-1k x +12先确定出，，再求出，，②a =mk +12b =nk +12AE =ME =a +12=mk +1AF =NF =b +12=nk +1即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出，m +n =2k mn =-1是解本题是关键．2. 只要证明即可解决问题；(1)FC =FB 作点P 关于GN 的对称点，连接交GN 于Q ，连接PQ ，点Q 即为所求．(2)①P'P'M 结论：Q 是GN 的中点想办法证明，，可得②.∠N =∠QMN =30∘∠G =∠GMQ =60∘QM =，；QN QM =QG 本题考查作图复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，-解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3. 结论：，只要证明≌，推出，，(1)DM ⊥EM DM =EM.△AMH △FME MH =ME AH =EF =EC 推出，因为，可得，；DH =DE ∠EDH =90∘DM ⊥EM DM =ME 结论不变，证明方法类似；(2)分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；(3)本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．4. 先判断出，进而得出，再判断出，进而(1)∠BAD =∠CAD =45∘∠CAD =∠B ∠BDE =∠ADF 判断出≌，即可得出结论；△BDE △ADF 先判断出，进而判断出，判断出≌，即可判断(2)①AM =PM ∠BMP =∠AMN △AMN △PMB 出，再判断出，即可得出结论；AP =AB +AN AP =2AM 先求出BD ，再求出，最后用三角函数求出DM ，即可得出结论．②∠BMD =60∘此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出≌是解的关键，构造出全等三角形是解的关键．△BDE △ADF (1)(2)5. 解：如图1，过点A 作，过点B 作相交于(1)AF//CB BF//AD F ，连接EF ，，，∴∠FBE =∠APE ∠FAC =∠C =90∘四边形ADBF 是平行四边形，，，∴BD =AF BF =AD，，∵AC =BD CD =AE ，∴AF =AC ，∵∠FAC =∠C =90∘≌，∴△FAE △ACD ，，∴EF =AD =BF ∠FEA =∠ADC ，∵∠ADC +∠CAD =90∘，∴∠FEA +∠CAD =90∘=∠EHD ，∵AD//BF ，∴∠EFB =90∘，∵EF =BF ，∴∠FBE =45∘，∴∠APE =45∘故答案为：．45∘中结论不成立，理由如下：(2)(1)如图2，过点A 作，过点B 作相交于F ，连接EF ，AF//CB BF//AD ，，∴∠FBE =∠APE ∠FAC =∠C =90∘四边形ADBF 是平行四边形，，，∴BD =AF BF =AD ，，∵AC =3BD CD =3AE ，∴AC BD =CDAE =3，∵BD =AF ，∴AC AF =CDAE =3，∵∠FAC =∠C =90∘∽，∴△FAE △ACD ，，∴AC AF =ADEF =BFEF =3∠FEA =∠ADC ，∵∠ADC +∠CAD =90∘，，∴∠FEA +∠CAD =90∘=∠EMD ∵AD//BF ，∴∠EFB =90∘在中，，Rt △EFB tan ∠FBE =EF BF =33，∴∠FBE =30∘，∴∠APE =30∘中结论成立，如图3，作，，EH ，DH 相(3)(2)EH//CD DH//BE 交于H ，连接AH ，，，四边形EBDH 是平行四边形，∴∠APE =∠ADH ∠HEC =∠C =90∘，，∴BE =DH EH =BD ，，∵AC =3BD CD =3AE ，∴AC BD =CDAE =3，∵∠HEA =∠C =90∘∽，∴△ACD △HEA ，，∴AD AH =AC EH =3∠ADC =∠HAE ，∵∠CAD +∠ADC =90∘，∴∠HAE +∠CAD =90∘，∴∠HAD =90∘在中，，Rt △DAH tan ∠ADH =AHAD =3，∴∠ADH =30∘．∴∠APE =30∘先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出，，进而判断出≌(1)BD =AF BF =AD △FAE △，得出，再判断出，即可得出结论；ACD EF =AD =BF ∠EFB =90∘先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出，，进而判断出∽(2)BD =AF BF =AD △FAE △，再判断出，即可得出结论；ACD ∠EFB =90∘先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出，，进而判断出∽(3)BD =AF BF =AD △ACD △，再判断出，即可得出结论；HEA ∠EFB =90∘此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．6. 方法一：如图2中，作AE 平分，与CD 相交于点想办法证明≌(1)∠CAB E.△AEC △AED 即可；方法二：如图3中，作，与AB 相交于点想办法证明即可；∠DCF =∠DCB F.∠ACD =∠ADC 如图4中，结论：理由三角形内角和定理证明即可；(2)①∠DEF =∠FDG.结论：如图4中，如图延长AC 到K ，使得首先证明∽②BD =k ⋅DE.∠CBK =∠ABC.△DFE ，推出，推出，再证明≌，可得；△BAK DF AB =DE BK =1k BK =k ⋅DE △BCD △BCK BD =BK 本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形.解决问题，属于中考压轴题．7. 如图1中，作于利用三角形的面积公式求出BE ，利用勾股定理求出AE 即(1)BE ⊥AC E.可解决问题；如图2中，作于利用构建方程即可解决问题；(2)PH ⊥AC H.S △PQM =95S △QCN 分两种情形如图3中，当点M 落在QN 上时，作于如图4中，当点M 在(3)①PH ⊥AC H.②CQ 上时，作于分别构建方程求解即可；PH ⊥AC H.本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8. 证明：如图1中，(1)①，，∵CA =CB BN =AM 即，∴CB ‒BN =CA ‒AM CN =CM ≌．∵∠ACN =∠BCM ∴△BCM△ACN 解：如图1中，②≌，∵△BCM △ACN ，∴∠MBC =∠NAC ，∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ，∵AG//BC ，，∴∠GAC =∠ACB =90∘∠ADB =∠DBC ，∴∠ADB =∠NAC ，∴∠ADB +∠EDA =∠NAC +∠EAD ，∵∠ADB +∠EDA =180∘-90∘=90∘．∴∠BDE =90∘解：如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，(2)易证：，，∠CBM =∠ADB =∠CAN ∠ACB =∠CAD ，∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ，∴∠CAN +∠CAD =∠BDE +∠ADB ．∴∠BDE =∠ACB =α如图3中，当点E 在NA 的延长线上时，易证：，∠1+∠2=∠CAN +∠DAC ，∵∠2=∠ADM =∠CBD =∠CAN ，∴∠1=∠CAD =∠ACB =α．∴∠BDE =180∘-α综上所述，或．∠BDE =α180∘-α故答案为或．α180∘-α解：如图4中，当时，作于K ．(3)BN =13BC =3AK ⊥BC，∵AD//BC ，∴AD BC =AM CM =12，，易证是直角三角形，则四边形ADCK 是矩形，≌∴AD =332AC =33△ADC △AKN △，DCF ．∴CF =NK =BK -BN =332-3=32如图5中，当时，作于K ，于H ．CN =13BC =3AK ⊥BC DH ⊥BC，∵AD//BC ，∴AD BC =AM MC =2，易证是直角三角形，∴AD =63△ACD 由∽，可得，△ACK △CDH CH =3AK =932由≌，可得，△AKN △DHF KN =FH =32．∴CF =CH -FH =43综上所述，CF 的长为或．3243根据SAS 证明即可；(1)①想办法证明即可；②∠ADE +∠ADB =90∘分两种情形讨论求解即可，如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，如图3中，当(2)①②点E 在NA 的延长线上时，分两种情形求解即可，如图4中，当时，作于解直角三角形(3)①BN =13BC =3AK ⊥BC K.即可如图5中，当时，作于K ，于H ．.②CN =13BC =3AK ⊥BC DH ⊥BC 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．9. 根据点A 、B 、C 三点的坐标作出，利用“闭距离”的定义即可得；(1)△ABC 由题意知在范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过和(2)y =kx -1≤x ≤1(1,-1)时k 的值即可得；(-1,-1)分在的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．(3)⊙T △ABC 本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．10. 连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出，由此构建方程即可解(1)BP =BQ 决问题；分两种情形分别构建方程求解即可；(2)如图4中，连接QC ，作于E ，作于则，，可得(3)QE ⊥AC QF ⊥BC F.QE =AE QF =EC QE +根据，计算即可；QF =AE +EC =AC =4.S =S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11. 先判断出，，再利用同角的余角相等判断出，(1)OD =OA ∠AOM =∠DON ∠ODN =∠OAM 判断出≌即可得出结论；△DON △AOM 先判断出四边形DENM 是菱形，进而判断出，即可判断出，(2)∠BDN =22.5∘∠AMB =67.5∘即可得出结论；设，进而表示出，，设，进而表示，根据勾股(3)CE =a EN =CE =a CN =2a DE =b AD =a +b 定理得，，AC =2(a +b)同的方法得，，得出，进而判断出∽，得出(1)∠OAM =∠ODN ∠EDN =∠DAE △DEN △ADE ，进而得出，即可表示出，，，DE AD =EN DE a =5-12b CN =10-22b AC =10+22b AN =AC -CN =2b 即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解(2)△DEN△ADE(3)的关键，判断出∽是解的关键．12. 解：在如图1中，(1)∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B=∠D=90∘AB//CD，，∴∠ACD=∠BAC，在如图2中，由旋转知，，，，，，，，∴四边形是平行四边形，，∴▱是菱形，故答案为：菱形；在图1中，四边形ABCD是矩形，(2)∵∴AB//CD，∴∠CAD=∠ACB∠B=90∘，，∴∠BAC+∠ACB=90∘在图3中，由旋转知，，，，∵点D，A，B在同一条直线上，，由旋转知，，∵点F是的中点，，，∵AF=FG，∴四边形是平行四边形，，∴▱是菱形，，菱形是正方形；∴在中，，，(3)Rt △ABC AB =2AC =4，，，BD =BC =23sin ∠ACB =AB AC =12，∴∠ACB =30∘由结合平移知，，(2)在中，，Rt △BCH ∠ACB =30∘，∴BH =BC ⋅sin30∘=3，在中，，Rt △ABH AH =12AB =1，∴CH =AC -AH =4-1=3在中，．tan ∠C'CH =C'H CH =4-33先判断出，进而判断出，进而判断出，(1)∠ACD =∠BAC 即可的结论；先判断出，再判断出，，进而判断出四边形是(2)平行四边形，即可得出结论；先判断出，进而求出BH ，AH ，即可求出CH ，，即可得出结论．(3)∠ACB =30∘此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，判断出是解本题的关键．13. 在直角三角形ABC 中，由，得到，再由折叠的性质得到一对(1)AC =2AB ∠ACB =30∘角相等，利用等角对等边即可得证；由得到为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为，即可求出(2)(1)△ABB'60∘所求角度数；由，得到，，过B 作，在直角三角形中，利(3)AB =2B'B =B'F =2∠B'BF =15∘BH ⊥BF BB'H 用锐角三角函数定义求出BH 的长，由即可求出BF 的长．BF =2BH 此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．14. 解直角三角形求出PM ，QM 即可解决问题；(1)根据点P 、N 的路程之和，构建方程即可解决问题，；(2)=24分三种情形考虑问题即可解决问题；(3)本题考查四边形综合题、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15. 利用同角的余角相等判断出，进而得出≌，即可得出结(1)∠BAG =∠DAE △ADE △BAF 论；先判断出∽，进而得出，再根据锐角三角函数即可得出结论；(2)△ABG △DEA AE AD =k 先判断出，再判断出，即可得出结论．(3)S 1=1k 2⋅S △BHG S 2=1-k2k 2⋅S △BHG 此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，比例的性质，判断出是解本题的关键．S 2=1-k2k 2⋅S △BHG。

中考数学题型集训(15)-与四边形有关的计算和证明练习卷及答案.docx

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】题型集训(15)——与四边形有关的计算和证明杭州温州宁波绍兴嘉兴、舟山湖州台州金华衢州2018年第23题第19题第18题12分6分6分2019年第23题第18题第21题第18题10分6分8分6分1.(2019·衢州)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF.求证：AE＝AF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF.2．(2019·嘉兴)如图，在矩形ABCD中，点E，F 在对角线BD上．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．解：添加的条件是BE＝DF(答案不唯一).证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABD＝∠BDC，又∵BE＝DF(添加)，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF.3．(2019·黄冈)如图，ABCD是正方形，E是CD 边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°，∵∠DAG＋∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，∴△BAF≌△ADG(AAS)，∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝AF＋FG，∴BF＝AG＝DG＋FG，∴BF－DG＝FG.4．(2019·鄂州)如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)当DE＝DF时，求EF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(ASA)，∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△ADE 中，根据勾股定理，有AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，解得：x＝74，∴DE＝8－74＝254，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝62＋82＝10，∴OD＝12BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2－OD2＝OE2，∴OE＝（254）2－52＝154，∴EF＝2OE＝152.5．(2019·通辽)如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ.(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E.①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．(1)证明：∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，∴∠BCP＝∠DCQ，又∵BC＝CD，CP＝CQ，∴△BCP≌△DCQ(SAS)；(2)①如图，∵△BCP≌△DCQ，∴∠CBF＝∠EDF，又∠BFC＝∠DFE，∴∠DEF＝∠BCF＝90°，∴BE⊥DQ；②∵△BCP为等边三角形，∴∠BCP＝60°，∴∠PCD＝30°，又CP＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，又∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，∴∠EPD＝180°－∠CPD－∠CPB＝180°－75°－60＝45°，同理：∠EDP＝45°，∴△DEP为等腰直角三角形．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

2018中考数学试题分类考点24平行四边形答案

2018中考数学试题分类考点24平行四边形答案第一篇：2018中考数学试题分类考点24平行四边形答案2018中考数学试题分类汇编：考点24 平行四边形一．选择题（共9小题）1．【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．2．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC，∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°，∴∠E=90°，∴△ADE是直角三角形，故选：B．3．【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．故选：D．4．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，∴BC+CD=18，∵OD=OB，DE=EC，∴OE+DE=（BC+CD）=9，∵BD=12，∴OD=BD=6，∴△DOE的周长为9+6=15，故选：A．5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选：B．6．【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．7．【解答】解：正确选项是D．理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，∴CD=BF，∵BF=AB，∴CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：D．8．【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、③④．故选：B．9．【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；A、若BE=DF，则OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF，故本选项不符合题意；B、若AE=CF，则无法判断OE=OE，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：B．二．填空题（共6小题）10．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为14．11．【解答】解：∵BD=CD，AB=CD，∴BD=BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN=AM=3，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，∴∠P=∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP=AM=6，故答案为：6．12．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=MC．∴△CD M的周长=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．故答案为16．13．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．14．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC，∵AC⊥BC，∴AC=∴OC=4，∴OB=∴BD=2OB=4故答案为：4 ．=2，=8，15．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B 时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．三．解答题（共12小题）16．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，∴△AOE≌△COF （ASA），∴OE=OF．17．【解答】证明：（1）∵AE=CF，∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．又ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC．∴∠DAF=∠BCE．在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE （SAS）．（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC．∴DF∥EB．18．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AF=EC，在△AGF和△CHE中，∴△AGF≌△C HE（ASA），∴AG=CH．19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG 是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．20．【解答】解：在▱ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF=CE，在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS）∴∠ABF=∠CDE 21．【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠CFE ∵AE=EF，∠AEB=∠CEF，∴△AEB≌△FEC，∴AB=CF．（2）连接AC．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，∵AB=CF，AB∥CF，∴四边形ACFB是平行四边形，∴BF=AC，∴BD=BF．23．【解答】解：（1）①④为论断时：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB．∴AD=BC．∴四边形ABCD为平行四边形．（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．24．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，解得，AB=13cm，25．【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．26．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，又∵AE=CF，∴BE=DF，∴BE∥DF且BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．27．【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB 的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD 是平行四边形．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AB=3，AC=∴S平行四边形BCFD=3×BC=3=9，．第二篇：2018中考数学试题分类考点24平行四边形2018中考数学试题分类汇编：考点24 平行四边形一．选择题（共9小题）1．（2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50° B．40° C．30° D．20°2．（2018•宜宾）在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定3．（2018•黔南州）如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm 4．（2018•海南）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（）A．15 B．18 C．21 D．24 5．（2018•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（）A．20 B．16 C．12 D．86．（2018•眉山）如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2018•东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF8．（2018•玉林）在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种9．（2018•安徽）▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE=DF B．AE=CFC．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF二．填空题（共6小题）10．（2018•十堰）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为．11．（2018•株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=3∠PAB，则AP= ．，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+12．（2018•衡阳）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是．13．（2018•泰州）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为．14．（2018•临沂）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD= ．15．（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P 作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是．三．解答题（共12小题）16．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．17．（2018•临安区）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．18．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．19．（2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC 与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA 的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．20．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．21．（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF．22．（2018•南通模拟）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．23．（2018•徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：①构造一个真命题，画图并给出证明；②构造一个假命题，举反例加以说明．24．（2018•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．25．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．26．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．27．（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．第三篇：2018-2019中考数学试题分类考点24平行四边形Word版含解析文档来源于网络，版权属原作者所有，如有侵权请联系删除。

2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案

2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA 交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．6. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于点H ，交CD 于点G. (1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC， ∴△ADE ≌△FCE(ASA )．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°.3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE， ∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EGAG .∴AG 2＝GE·GF.4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos 30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点， ∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS )． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ， ∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC， ∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA )，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ，由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA )，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21.∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG. ∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠EC F ＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形． ∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°，∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠M AB ＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos 30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝AD BD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF 10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS )，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS )，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE ＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝AB cos 45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM＝MC ，∠BMD＝∠AMC，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS )．∴AC＝BD.又CE ＝AC ，∴BD＝CE.∵BF＝FC ，∠BFG ＝∠EFC，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG ＝∠G＝∠E.12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA.(2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA， ∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.。

2018年中考数学精品资料-四边形难题讲解

2018年中考数学精品资料-四边形难题讲解1、如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．2、如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.求证：PM = QM.3、两个全等的含30 ，60角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ，试判断EMC △的形状，并说明理由．4、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．ＭＢＣＡＥＤ5、阅读下面短文：如图①，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使 △ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图 ②）．（第27题图①）（第27题图②）（第27题图③）（第27题图④）解答问题：（1）设图②中矩形ABCD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1、S 2，则S 1_____S 2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（2）如图③，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_____个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那符合要求的矩形可以画出____个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？6、已知，如图中，AB ⊥AC ，AB=1，BC=5 ，对角线AC 、BD 交于0点，将直线AC 绕点0顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点0顺时针旋转的度数。

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1
第五单元四边形
与四边形有关的证明与计算巩固集训
1. (10分)(2017襄阳)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD
平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．

第1题图
2. (10分)(2017广西四市联考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．

第2题图
3. (10分)(2017来宾)如图，在正方形ABCD中，H为CD的中点，延长AH至
F，使AH＝3FH，过F作FG⊥CD，垂足为G，过F作BC的垂线交BC的延长线
于点E.
(1)求证：△ADH∽△FGH；
(2)求证：四边形CEFG是正方形．
2

第3题图
4. (14分)(2017常州)如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交
并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图
形名称)；
②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中
点，当对角线AC、BD还需要满足________时，四边形MNPQ是正方形；
(2)如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．
①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，则四边形ABCD的面积是
________；
②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线
四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．

第4题图
答案
1. (1)证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABF，
3

∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
同理可证AB＝BC，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，

∴AC⊥BD，OD＝12BD＝3，
∴在Rt△AOD中，
cos∠ADB＝cos30°＝ODAD＝32，
∴AD＝3×23＝23.
2. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴在△ABE和△CDF中，






AB＝CD
∠ABE＝∠
CDF

BE＝DF
，

∴△ABE≌△CDF(SAS) ，
∴AE＝CF；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
4

∴AO＝ OB，
∵∠COD＝60°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO＝AB＝6，
∴AC＝12 ，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC＝AC2－AB2＝122－62＝63，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×63＝363.
3. 证明：(1)在正方形ABCD中，∠D＝90°，
∵GF⊥CD，
∴∠HGF＝90°，
又∵∠AHD＝∠FHG，
∴△ADH∽△FGH；
(2)在正方形ABCD中，AD＝CD，∠BCD＝90°＝∠GCD，
∵FG⊥CD，FE⊥BE，
∴∠FGC＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEFG是矩形，

由(1)得△FGH∽△ADH，则FHAH＝GHDH＝FGAD＝13，
又∵H为CD的中点，
∴CH＝DH，GH＝13DH＝13CH，
∴CG＝23CH＝23×12CD＝13CD，
5

∵GF＝13AD，
∴CG＝GF，
∴四边形CEFG是正方形．
4. 解：(1)①矩形；
【解法提示】平行四边形和菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，
故矩形一定是等角线四边形．
②AC⊥BD；
【解法提示】如解图①，∵四边形ABCD是等角线四边形，∴AC＝BD，∵M
、

N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴MN＝PQ＝12AC，PN＝MQ＝12BD，
∴MN＝PQ＝PN＝MQ，∴四边形MNPQ是菱形，根据“有一个角是直角的菱形是
正方形”可知需要四边形MNPQ有一个角是直角，又易知MN∥PQ∥AC
，
PN∥QM∥BD，∴要使四边形MNPQ是正方形需要AC⊥BD.

第4题解图①
(2)①3＋221；
【解法提示】∵AD＝BD，
∴点D在AB的垂直平分线上，
∵四边形ABCD是等角线四边形，
∴AC＝BD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，∴BD＝5，
如解图②，取AB的中点为M，作四边形ABCD连接DM，BD，则MD⊥AB，
6

在Rt△ADM中，AD＝BD＝5，AM＝BM＝2，由勾股定理得DM＝52－22＝21.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DM＋12BC·BM＝12×4×21＋12×3×2＝3＋
221；

第4题解图②
②如解图③，设AE与BD交于点O，
过D作DH⊥AE于点过B作A⊥AE，

则S四边形ABED＝S△AED＋S△ABE＝12AE·DH＋12AE·BG≤12AE·BD.
∵AE＝BD，∴S四边形ABED≤12AE2，
∴当AE最大，且BD⊥AE时，等号成立，四边形ABED的面积最大，此时延长
AC交⊙C于E，则AE最大为5＋1＝6，

∴四边形ABED的最大面积为12×62＝18.

第4题解图③
7
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