9.2.2 总体百分位数的估计

9.2.2总体百分位数的估计

课标要求素养要求

结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.在学习和应用百分位数的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，

对数据进行分析，发展学生的数学建模、

数学运算素养和数据分析素养.

教材知识探究

某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.

问题那么如何确定需要补考的分数线呢？

提示利用百分位数计算.

1.第p百分位数的定义

第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.

2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i＝n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.

3.四分位数

25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.

教材拓展补遗

[微判断]

1.若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.(√)

2.若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于2

3.(×)

3.若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于2

4.(√)

提示 2.若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.

[微训练]

1.下列一组数据的第25百分位数是()

2.1，

3.0，3.2，3.8，3.4，

4.0，4.2，4.4，

5.3，5.6

A.3.2

B.3.0

C.4.4

D.2.5

解析把该组数据按照由小到大排列，可得：

2.1，

3.0，3.2，3.4，3.8，

4.0，4.2，4.4，

5.3，5.6，

由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数.

答案 A

2.下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是()

A.第50百分位数就是中位数

B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%

C.它一定是这组数据中的一个数据

D.它适用于总体是离散型的数据

解析由百分位数的意义可知选项B，C，D错误.

答案 A

[微思考]

1.班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？

提示不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比.

2.“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？

提示有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.

题型一百分位数的计算

【例1】从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：

7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.

(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；

(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；

(3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.

解(1)将所有数据从小到大排列，得

7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，

因为共有12个数据，

所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，

则第25百分位数是8.0＋8.3

2

＝8.15，

第50百分位数是8.5＋8.5

2

＝8.5，

第95百分位数是第12个数据为9.9.

(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.

即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.

(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g ，第50百分位数为8.5 g ，第95百分位数是9.9 g ，所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品，质量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g 的珍珠为合格品，质量大于8.5 g 且小于或等于9.9 g 的珍珠为优等品，质量大于9.9 g 的珍珠为特优品.

规律方法 计算一组n 个数据的第p 百分位数的一般步骤：

(1)排列：按照从小到大排列原始数据；

(2)算i ：计算i ＝n ×p %；

(3)定数：若i 不是整数，大于i 的最小整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第(i ＋1)项数据的平均数.

【训练1】 如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是( )

A.－2

B.0

C.1

D.2

解析 由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，

因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百

分位数是2＋22＝2.

答案 D

题型二 百分位数的综合应用

【探究1】第p百分位数有什么特点？

提示总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p%.

【探究2】某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？

提示不一定.因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在.

【探究3】某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.

(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；

(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；

(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.

解(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；

当200

y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；

当x>400时，

y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.

所以y与x之间的函数解析式为

y ＝?????0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200400.

(2)由(1)可知，当y ＝260时，x ＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知

?????0.001×100＋2×100b ＋0.003×100＝0.8，100a ＋0.000 5×100＝0.2，

解得a ＝0.001 5，b ＝0.002 0.

(3)设75%分位数为m ，

因为用电量低于300千瓦时的所占比例为

(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，

用电量低于400千瓦时的占80%，

所以75%分位数m 在[300，400)内，

所以0.6＋(m －300)×0.002＝0.75，

解得m ＝375(千瓦时)，即用电量的75%分位数为375千瓦时.

规律方法 由频率分布直方图求百分位数的方法

(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.

(2)一般采用方程的思想，设出第p 百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.

【训练2】 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.

(1)求x；

(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；

(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.

解(1)第一组频率为0.01×5＝0.05，

所以x＝5

0.05

＝100.

(2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，

所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30，35)内，由30＋5×0.50－0.40

0.70－0.40

＝95

3≈32，

所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32. (3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，

计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为90＋92

2

＝91，这10人成绩

的平均数为

1

10(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.

评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高. 感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.

一、素养落地

1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.

2.求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.

二、素养训练

1.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是()

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数解析因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C.

答案 C

2.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________.

解析因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.

答案8.4

3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________.

解析样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，估计此

样本数据的第50百分位数为10＋0.1

0.36×4＝100 9.

答案100 9

4.求下列数据的四分位数.

13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20，解把12个数据按从小到大的顺序排列可得：

12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，

所以数据的第25百分位数为15＋18

2

＝16.5，

第50百分位数为20＋22

2

＝21，

第75百分位数为27＋28

2

＝27.5.

基础达标

一、选择题

1.数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是()

A.14

B.17

C.19

D.23

解析因为8×70%＝5.6，故70%分位数是第六项数据23.

答案 D

2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：(单位：分)

78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是()

A.90

B.90.5

C.91

D.91.5 解析把成绩按从小到大的顺序排列为：

56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，

因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是90＋91

2

＝90.5.

答案 B

3.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是()

A.29 mm

B.29.5 mm

C.30 mm

D.30.5 mm

解析棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为

(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，

在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，

因此，80%分位数一定位于[25，30)内，

由25＋5×0.80－0.60

0.85－0.60

＝29，

可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29 mm.

答案 A

4.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有()

A.a＝13.7，b＝15.5

B.a＝14，b＝15

C.a＝12，b＝15.5

D.a＝14.7，b＝15

解析把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，

17，17，其平均数a＝1

10×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，

因为10×50%＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b＝

15＋152＝15. 答案 D

5.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：

甲组：27，28，39，40，m ，50；

乙组：24，n ，34，43，48，52；

若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则m n 等于( )

A.127

B.107

C.43

D.74

解析 因为30%×6＝1.8，80%×6＝4.8，所以第30百分位数为n ＝28，第80百

分位数为m ＝48，所以m n ＝4828＝127.

答案 A

二、填空题

6.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，则60分为成绩的第________百分位数.

解析 因为分数位于[20，40)，[40，60)的频率之和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的第30百分位数.

答案 30

7.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒.

解析成绩的70%分位数为x，因为

1＋3＋7

1＋3＋7＋6＋3

＝0.55，

1＋3＋7＋6

1＋3＋7＋6＋3

＝0.85，

所以x∈[16，17)，

所以0.55＋(x－16)×6

1＋3＋7＋6＋3

＝0.70，解得x＝16.5(秒).

答案16.5

8.已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是______.

解析由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则7.8＋x

2

＝8.2，解得x＝8.6，即

第19个数据是8.6.

答案8.6

三、解答题

9.如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，求这7天的日最高气温的第10百分位数和日最低气温的第80百分位数.

解由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得

24，24.5，24.5，25，26，26，27，

因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的第

10百分位数是第1个数据，为24 ℃.

把日最低气温按照从小到大排序，得

12，12，13，14，15，16，17，

因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据，为16 ℃.

10.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

网购金额(单位：千元)

人数 频率 (0，1]

16 0.08 (1，2]

24 0.12 (2，3]

x p (3，4]

y q (4，5]

16 0.08 (5，6]

14 0.07 合计 200 1.00

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.

(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)；

(2)估计网购金额的25%分位数(结果保留3位有效数字).

解

(1)根据题意有：?????16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，

解得?????x ＝80，y ＝50.

所以p ＝0.4，q ＝0.25.

补全频率分布直方图如图所示：

(2)由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率为

0.08＋0.12＝0.2，

网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6，

所以网购金额的25%分位数在(2，3]内，

则网购金额的25%分位数为2＋0.25－0.2

0.6－0.2×1＝2.125≈2.13(千元).

能力提升

11.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x ，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x 的取值范围是( )

A.[4.5，＋∞)

B.[4.5，6.6)

C.(4.5，＋∞)

D.(4.5，6.6]

解析 因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x ≥4.5，故选A.

答案 A

12.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：

[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；

(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.

解(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.

所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为

400×0.4＝160.

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为

(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.

所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为

400×

5

100

＝20.

(3)设分数的第15百分位数为x，

分数小于50的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，

所以x∈[50，60)，则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15，

解得x＝55，则本次考试的及格分数线为55分.

创新猜想

13.(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数

C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数

D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

解析 由图可得，x －

甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6，x －乙＝3×5＋6＋95＝6，A 项错误，B 项正确；

甲的成绩的第80百分位数7＋82＝7.5，乙的成绩的第80百分位数6＋92＝7.5，所以

二者相等，所以C 项正确；

甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D 项正确.

答案 BCD

14.(多填题)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：

(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________；

(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数为________岁.

解析(1)设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则

5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.

(2)由图可知，年龄小于35岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07)×5＝0.6，年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，

所以志愿者年龄的85%分位数在[35，40)内，

因此志愿者年龄的85%分位数为35＋0.85－0.6

0.9－0.6

×5≈39(岁).

答案(1)0.04(2)39