高三年级数学文科试题

高三年级数学文科试题

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1.若,a b R ∈，i 是虚数单位，且(2)1a b i i +-=+，则a b +的值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2.已知命题:,20x p x R ?∈>，那么命题p ?为

A ．,20x x R ?∈<

B ．20x x R ?∈<,

C ．,20x x R ?∈≤

D ．20x x R ?∈,≤ 3.已知直线1:l y x =，若直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为

A . π

π()4

k k Z +

∈ B .

π2 C .3ππ()4

k k Z +∈ D .

3π

4

4.平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0)a =，1b =，则2a b +=

A ．3

B ．23

C ．4

D ．12

5.不等式组(3)()0

04x y x y x -++???

≥≤≤表示的平面区域是

A ．矩形

B ．三角形

C ．直角梯形

D ．等腰梯形

6.设a R ∈，函数()x x f x e ae -=+的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，则a 的值为

A ．1-

B ．12

-

C ．1

D ．

12

7.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生 参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的 茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85， 乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．168

8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1

7

是较小的两份之和，则最小的1份为

第7题图

乙甲

y x 6

1

1

9

2

6

11805

6798

A ．53

B ．

11

6

C ．56

D ．

10

3

9. 从

22

1x y m n

-=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为（ ）

A ．1

2

B ．47

C ．23

D ．34

10.已知函数21(0)()log (0)

x x f x x x +?=?

>?≤，,则函数[()]1y f f x =+的零点个数是

A ．4

B ．3

C ． 2

D ．1

二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的

位置上)

11.已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，}6,4,2,1{=M ，则U M =e ． 12.已知4

cos 5

θ=-，且tan 0θ<，则sin θ= ．

13.某高三年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如

图），若用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[160,170)内的学生中选取的人数应为 .

14.某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表:

年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)

47

45.5

43.5

41

从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归直线方程为??4055.25y

bx =+，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数(%)为 ．

15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为 .

O y

x 0.0350.020

0.0100.005

190180170160150140第13题图 第15题图 61侧视图

俯视图正视图

16.已知实数[0,10]x ∈，若执行如下左图所示的程序框图，则输出的x 不小于 47的概率为 .

17.右下表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数

为),(*N j i a ij ∈，则：

（Ⅰ）99a = ； （Ⅱ）表中数82共出现 次．

三、解答题(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18.（本小题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角且向量

3

(1,cos )(3sin cos ,)2222

C C C m n ==+与共线。

（Ⅰ）求角C 的大小：

（Ⅱ）设角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2cos 2a C c b +=，试判断?ABC 的

形状．

否是

n ≤3n =n +1x =2x +1

n =1

输出x 输入x 结束

开始第16题图 ?????????????????????

???

???

???

???

???

???

3731251913731

26

21161162521171395191613107413119753765432第17题图

19．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．

20.（本小题满分13分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，

Q 是棱PA 上的动点．

（Ⅰ）若Q 是PA 的中点，求证：PC //平面BDQ ； （Ⅱ）若PB PD =，求证：BD CQ ⊥；

（III ）在（Ⅱ）的条件下，若,3,60PA PC PB ABC ==∠=?，

求四棱锥P ABCD -的体积．

Q D

C

B

A

P

第20题图

21．（本大题满分14分）

已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠．

（Ⅰ）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线；

（Ⅱ）当12

m =-时，过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对

称点为Q (,M Q 不重合)．求证直线MQ 与x 轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．

22．（本小题满分14分）已知函数32,1

()ln ,1

x x x f x a x x ?-+<=??≥，其中0a >

（Ⅰ）求()f x 在(,1)-∞上的单调区间；

（Ⅱ）求()f x 在[1,]e -（e 为自然对数的底数）上的最大值；

（III ）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ?是

以原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？

参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）

1.D

2.C

3.D

4.B

5.D

6.C

7.B

8.A

9.B 10.A 二、填空题：（每小题5分，满35分） 11. }5,3{ 12.

53 13.9 14. 29.25 15. 2

1

16. 5.0 17.（Ⅰ）82,（Ⅱ）5

三．解答题(本大题共5小题, 共65分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（Ⅰ）（Ⅰ）∵m 与n 共线 ∴

)2

cos 2sin 3(2cos 23C C C +=31π1

sin (1cos )sin()2262C C C =++=++

得π

sin()16

C += ∴C=3π ……………………………6分

（Ⅱ）方法1：由已知2a c b += （1）

根据余弦定理可得：222c a b ab =+- （2）……………………8分 （1）、（2）联立解得：()0b b a -=0,,C=3

b b a ABC π

>∴=∴?又，为等边三角形…12分

方法2：由正弦定理得：

2sin cos sin 2sin 2sin()

2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C B A C A C C A C A C

+==++=+ ……………………8分

∴21cos =A ， ∴在△ABC 中 ∠π

3

A = . ABC ∴?为等边三角形……………12分

方法3：由（Ⅰ）知C=π

3

，又由题设得：2a c b +=，在ABC ?中根据射影定理得：

2(cos cos )2cos a c a C c A a c A

+=+=+ 1cos ,2

3

A A π∴=

∴=

……10分

又. C =

π

3

， 所以 △ABC 为等边三角形， ……………………………12分 19.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ． 依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而

3d =-．所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分

所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列， 得 1

-=+n n n c

b a ，即

123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分

所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++

21(31)

(1)2

n n n c c c --=

+++++． ………………10分

从而当1=c 时，2(31)322n n n n n

S n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c

--=+-． ………………12分 20．（Ⅰ）证明:连结AC ，交BD 于O ．

因为底面ABCD 为菱形， 所以O 为AC 的中点．

因为 Q 是PA 的中点，所以PC OQ // ， 因为?OQ 平面BDQ ，?PC 平面BDQ ， 所以//PC 平面BDQ ． …………………4分

（Ⅱ）证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，O 为BD 的中点． 因为PD PB =，所以BD PO ⊥ ．因为O BD PO = ，所以 ⊥BD 平面

PAC ． 因为?CQ 平面PAC ，所以 CQ BD ⊥． ……………………………

8分

（Ⅲ）因为PC PA =，所以△PAC 为等腰三角形 ．因为O 为AC 的中点，所以

AC PO ⊥．由（Ⅱ）知BD PO ⊥，且O BD AC = ，所以⊥PO 平面ABCD ，即PO 为

四棱锥ABCD P -的高．因为四边形是边长为2的菱形，且?

=∠60ABC ， 所以3=BO 6=?PO ．所以226323

1

=??=-ABCD P V ． ………12分 21．（Ⅰ）由题知：

11y y m x x

-+?= 化简得：22

1(0)mx y x -+=≠ ……………2分 当1m <-时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；

当1m =-时 轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当10m -<<时 轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当0m >时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)-两点；

……………………………6分 （Ⅱ）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ?≠

依题直线l 的斜率存在且不为零，则可设l :1x ty =+，

O

Q

P

B

A

C

D

代入2

21(0)2

x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-= 12222t y y t -+=+，1221

2

y y t -=+， ………………………………9分

又因为M Q 、不重合，则1212,x x y y ≠≠-

Q MQ 的方程为12

1112

()y y y y x x x x +-=

-- 令0y =，

得12112112

11121212

()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++

故直线MQ 过定点(2,0). ……………………………13分

解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ?≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零，可设l :(1)y k x =-

代入2

21(0)2

x y x +=≠整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-= 2122412k x x k +=+,2122

22

12k x x k -=+， ……………………………9分

Q MQ 的方程为121112

()y y

y y x x x x +-=-- 令0y =，

得121121121211121212()(1)()2()

2(2)2

y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-

∴直线MQ 过定点(2,0) ……………………………13分

22.（Ⅰ）因为32,1,

()ln , 1.x x x f x a x x ?-+<=??

≥

当1x <时，()(32)f x x x '=--，

解()0f x '>得到203x <<

；解()0f x '<得到0x <或2

13

x <<．所以()f x 在(,1)-∞上的单调减区间为(,0)-∞，2(,1)3 ：单调增区间为2

(0,)3

………………4分

（Ⅱ）①当11x -≤≤时，由（Ⅰ）知在()f x (1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2

(0,)3

上

单调递增，从而()f x 在23x =处取得极大值24

()327

f =．

又(1)2,(1)0f f -==，所以()f x 在[1,1)-上的最大值为2．……………………6分 ②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，当0a >时，()f x 在[1,]e 上单调递增，所以()f x 在[1,]e 上的最大值为a ．所以当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ；当2a <时，()

f x 在[1,]e -上的最大值为2. …………………………8分

（Ⅲ）假设曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，则,P Q 只能在y 轴的两侧，不妨设(,())(0)P t f t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠． …9分 因为POQ ?是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0OP OQ ?=，

即：232()()0t f t t t -+?+=（1） ……………………………………10分 是否存在点,P Q 等价于方程（1）是否有解．

若01t <<，则32()f t t t =-+，代入方程（1）得：4210t t -+=，此方程无解.…11分 若1t >，则()ln f t a t =，代入方程（1）得到：1

(1)ln t t a

=+ ……12分

设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则1

()l n 10h x x x

'=++>

在(1,)+∞上恒成立．所以()h x 在[1,)

+∞上单调递增，从而0)1()(min ==h x h ，即有)(x h 的值域为),0[+∞（不需证明），所以当

0a >时，方程

1

(1)ln t t a

=+有解，即方程（1）有解． 所以，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． …………………14分