2019年高考数学(理科)专题十四外接球精准培优专练(含答案)

培优点十四 外接球

1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心

例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π

C ．24π

D ．32π

【答案】C

【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．

2．补形法（补成长方体）

a

b

c 图2P

C

B

A

a

b

c 图3C

B

P

A

a b

c P

C

O 2

B

A

例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ． 【答案】9π

【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．

3．依据垂直关系找球心

例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC ==，π2

ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π

C ．

16π3

D ．

32π3

【答案】D

【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1

1232r =R ，球心

O 到该底面的距离d ，如图，则1632ABC S =

?=△，3BD =11

6336

ABC V S h h ==?=△， 最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2

233R R =-+，解之得2R =，

所以外接球的体积是3432π

π33

R =，故答案为D ．

一、单选题

1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π

【答案】B

【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()()22

2

22235R =++，则：2

3R

=，该长方体的外

接球的表面积为24π4π312πS R ==?=．本题选择B 选项．

2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π

【答案】B

【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：23

2r =2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径(2

223

27R =+=，

外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．

3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接

球的表面积为（ ） A ．32π B ．27π C ．18π D ．9π

【答案】C

对点增分集训

【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，

则三棱锥D ABC

-的外接球直径为AC=2

4π18π

R=，故选C．

4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）

A．2π

a B．2

2π

a C．2

3π

a D．2

4π

a

【答案】C

【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a2a的正四面体，如图所示：

该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以

3

23

R a R

=?=，所以该几何体外接球面积

2

22

3

4π4π3π

S R a

?

==?=

??

??

，故选C．5．三棱锥A BCD

-的所有顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，2

BC BD

==，243

AB CD

==则球O 的表面积为（）

A．16πB．32πC．60πD．64π

【答案】D

【解析】因为2

BC BD

==，CD=，所以

(2

22

221

cos

2222

CBD

+-

∠==-

??

，

2π

3

CBD

∴∠=，

因此三角形BCD外接圆半径为

1

2

2sin

CD

CBD

=

∠

，

设外接球半径为R ，则2

2

2

=2+412162AB R ??=+= ???

，2

=4π64πS R ∴=，故选D ．

6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A ．

9π16

B ．

25π16

C ．

49π16

D ．

81π16

【答案】D

【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，

易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()2

2

222x x -+=??

，解得：98x =，则该球的表面积2

29814π4ππ816S R ??==?= ???．本题选择D 选项．

7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1

2

R ，2AB AC ==，

120BAC ∠=?，则球O 的表面积为（ ）

A ．

16π9

B ．

16π3

C ．

64π9

D ．

64π3

【答案】D

【解析】由余弦定理得：BC

设三角ABC 外接圆半径为r 2r =，则2r =，

又22144R R =

+，解得：2163R =，则球的表面积264

4ππ3

S R ==．本题选择D 选项． 8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同

50

3

，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86

C ．36π

D ．323π

【答案】C 【解析】

如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 底面正方形的边长为105EA ∴=

正四棱锥的体积为503，)

2

1

50

1033

P ABCD V PE -∴=?

?=

， 则5PE =，5OE R ∴=-，

在AOE △中由勾股定理可得：()2

255R R -+=，解得3R =，34π36π3

V R ∴==球，故选C ．

9．如图，在ABC △中，6AB BC =90ABC ∠=?，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，

则该球的表面积是（ ）

A ．7π

B ．5π

C ．3π

D ．π

【答案】A

【解析】由题意得该三棱锥的面PCD BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，

PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，

由BD 11O D =，及OB OD =，得OB =R =

∴该球的表面积27

4π4π7π4

S R ==?

=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=?，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．

19π2

B 1938π

C ．17π

D 1717π

【答案】A 【解析】

由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=?，可知BCD △是等边三角形，3BF =， ∴BCD △的外接圆半径23r BE =

=，3

FE = ∵60ABC ABD ∠=∠=?，可得7AD AC ==6AF AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF

设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，

)

2

22π

EF R +=……②

由①②解得：19R =

．四面体外接球的表面积：219

4ππ2

S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=?，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）

A ．7

π2

B ．7π

C ．

13π2

D ．

13π3

【答案】B

【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=?，

底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到BC =

21r r =?=，

见图示：

AD 是球的弦，3DA M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的

位置O ，∴3

OM =

OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径． ∴球的半径3714OD =+

=．该球的表面积为24π7πOD ?=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A B 4343π

C ．

43π

2

D ．43π

【答案】D

【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ，

由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，

AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线，

球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点，

4DE =，3DF =，1697EF -=

∴GF =

，球半径743

94DG =+，∴外接球的表面积为24π43πS DG =?=．

故选D ．

二、填空题

13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 【答案】84π

【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为161232sin6023

r =?==?

则外接球的半径()

2

2

323

91221R +=+

则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==?=．

14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163________． 【答案】(323π-

【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则2343?

=????4a =．

于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，

其中4MN =，23PM PN ==22PE =．

设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ?△△，得

FO PO

EN PN =

，即22223

r r -=，

解得62r =

=

∴内切球的表面积为(2

24π4π

62

323πS r ===-．

15．已知三棱柱111ABC A B C -32AB =，

1AC =，60BAC ∠=?，则此球的表面积等于______．

【答案】8π

【解析】∵三棱柱111ABC A B

C -2AB =，1AC =，60BAC ∠=

?，

11

21sin 602

AA ∴?????=12AA ∴=，

222

2cos60412BC AB AC AB AC =+-??=+-，BC ∴=，

设ABC △外接圆的半径为R ，则

2sin60BC

R ?

＝，1R ∴=，

2

4π8π?

=．故答案为8π．

16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____． 82π

【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，

设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB +

AD 最小，()2

24AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为222

82π