用微积分证明不等式的技巧和方法
应用微分证明不等式的方法与技巧
应用微分证明不等式的方法与技巧张海芳【摘要】证明不等式的方法多种多样，其中应用微分证明不等式就是比较经典的方法之一。
本文就以微分为工具，详细讨论了如何证明不等式的方法、技巧，并举例分析应用，且进行了归纳总结。
【期刊名称】《产业与科技论坛》【年(卷),期】2016(015)014【总页数】2页(P42-43)【关键词】不等式;微分;导数【作者】张海芳【作者单位】滇西科技师范学院【正文语种】中文众所周知，不等式是继函数与方程之后的一个重要知识点，其在函数性质的研究、微分方程的求解、数值计算、数值估计、计算方法、数据挖掘、数理与统计、图像处理等方面起着重要的作用，而不等式的求解与证明一直是初等数学的难点，怎样快速有效地求解与证明不等式，就显得极为重要了。
证明不等式的方法多种多样，针对不同类型的不等式，其证明的方法也不同，本文中主要考虑的是在不等式中的函数有较好性质时的情形，例如要求函数可导、可微、有单调性等性质，主要用到的方法有：用导数的定义证明不等式、用可导函数的单调性证明不等式、用函数的极值与最大(最小)值证明不等式等，并详细讨论了如何证明不等式的方法、技巧，并举例分析应用，且进行了归纳总结。
证明方法根据：导数定义。
例1 设函数(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx,a1,a2,…an为实数，n为正整数，对任意的实数x，有|(x)|≤|sinx|，证：|a1+2a2+…+nan|≤1。
证明因为'(x)=a1cosx+a2cos2x+…nancosnx，则'(0)=a1+2a2+…+nan由导数的定义，|'(0)|由于|(x)|≤|sinx|，所以，即证明方法：找出辅助函数(x)，确定闭区间[a,b]；找辅助函数的几种办法：用不等式两边差；用不等式两边相同“形式”的特征；如果要证明的不等式有幂指函数，可以把其化为便于证明的式子，再结合不等式的特点，求辅助函数。
拉格朗日中值定理证明不等式题目
拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。
下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。
我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。
首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。
由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。
首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。
要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。
我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。
这个方程的解并不容易求出来。
不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。
我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。
根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。
首先我们来估计下$c_1$的取值范围。
当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。
进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。
然后我们来估计下$c_2$的取值范围。
利用导数证明或解决不等式问题
利用导数证明或解决不等式问题导数是微积分中的重要概念，在解决不等式问题中，导数可以发挥很大的作用。
下面我们将以一些具体的例子来说明如何利用导数证明或解决不等式问题。
例子1：证明不等式x^2≥0在实数域中恒成立。
解析：对于任意实数x，在实数域中，不管x取何值，其平方x^2都大于等于0。
我们可以通过导数来证明这个不等式。
对x^2进行求导，得到导函数2x。
我们知道，导数表示函数的变化率，对于x^2来说，导函数2x表示了函数的斜率，也就是说，无论x取何值，函数x^2的斜率总为正数或者0。
因为函数的斜率总是非负的，所以x^2≥0在实数域中恒成立。
例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。
解析：要求函数f(x)的极值点，我们可以先求出函数的导数f'(x)，然后将f'(x)=0进行求解。
导数为0的点即为极值点。
将f'(x)=3x^2-6x+2=0进行求解，可以得到x=1或者x=2。
接下来，我们可以求出函数在x=1和x=2处的函数值，并比较求出极值点。
f(1)=1^3-3*1^2+2*1=0f(2)=2^3-3*2^2+2*2=0对f(x)进行求导，得到导函数f'(x)=3x^2-6。
接下来，我们可以将x轴上的一些点带入函数f'(x)进行判断。
当x<−√2时，f'(x)>0；当−√2<x<√2时，f'(x)<0；当x>√2时，f'(x)>0。
由此可见，函数f(x)=x^3-6x在区间(−∞,−√2)，(−√2,√2)，(√2,+∞)上是单调的。
微积分中不等式证明探讨
利用 函数的单谓性证 明不等式
1
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例
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分析： 函 数结构 中各部分类 似 原不等式既证 』
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分析： 这类题关键在于构造 函数 注意到结论 中不等号两边结 构相似 故设 f (x 1 J s i n J + 2 c o s J + 耐
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-
柯西不等式的基本形式
柯西不等式的基本形式可以表述为：如果一个函数f(x)在闭区间[a,b]上的积分，等于一个常数c，那么这个函数在区间[a,b]上的任意两点之间的距离的平方，都不大于函数f(x)在区间[a,b]上的所有点所形成的矩形的面积的两倍。
这个不等式在证明其他不等式和定理方面具有广泛的应用，因为它提供了一种将函数和几何图形相结合的方法。
柯西不等式的证明方法有多种，其中一种常见的方法是利用微积分基本定理和一个简单的几何性质。
在这个证明中，我们首先注意到一个事实：函数在闭区间上的积分等于该函数在开区间上的定积分之和乘以闭区间的长度。
然后，我们利用这个事实和微积分基本定理来证明柯西不等式的基本形式。
另一个重要的应用是柯西不等式在证明一些不等式和定理方面的应用。
例如，它可以用于证明三角不等式、几何定理和代数定理等。
这些应用不仅在数学领域中具有重要意义，而且在其他领域中也有广泛的应用。
此外，柯西不等式还与几何学、拓扑学和数论等领域有着密切的联系。
它提供了一种将函数和几何图形相结合的方法，这使得它在这些领域中具有广泛的应用。
总的来说，柯西不等式是一个重要的不等式，它在数学和其他领域中具有广泛的应用。
它提供了一种将函数和几何图形相结合的方法，这使得它成为许多数学问题的有效工具。
同时，由于它的重要性和应用性，它已经成为数学教育的一个重要内容，并且在未来的数学研究和教育中有进一步发展的重要性和价值。
然而，柯西不等式只是一个形式化的表述，实际的应用需要将其与其他数学知识相结合，并进行深入的理解和探究。
对于学习者来说，深入理解和探究柯西不等式的应用和意义，以及与其他数学知识的联系和结合，是非常重要的。
同时，掌握柯西不等式的证明方法也是学习的一个重要环节，因为它可以帮助学习者更好地理解和掌握这个重要的不等式。
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方法
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方
法
泰勒展开定理是微积分中一个非常重要的定理，它可以将一个函数在某一点附近展开为无穷的多项式和。
在实际应用中，我们经常需要保留部分项，将函数近似表示，而泰勒展开就可以很好地满足我们的需求。
本文将介绍泰勒展开不等式的八种证明方法，其中均使用了构造函数的方法。
1. 利用 $(1+x)^n$ 的二项式展开式证明。
2. 利用 $e^x$ 的泰勒展开式证明。
3. 利用 $\ln (1+x)$ 的泰勒展开式证明。
4. 利用 $\int_0^x \cos t^2 dt$ 的收敛性证明。
5. 利用 $\int_0^x e^{-t^2} dt$ 的平方证明。
6. 利用 $\tan^{-1} x$ 和 $\tanh^{-1} x$ 的泰勒展开式证明。
7. 利用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式证明。
8. 利用 $\int_0^1 x^p (1-x)^q dx$ 的收敛性证明。
这八种证明方法各有不同的特点和难度，涉及到的数学知识也
各有侧重。
但它们都使用了构造函数的方法，通过寻找适当的函数，将展开式转化为极限形式或积分形式，然后进一步证明不等式的成立。
总之，泰勒展开定理和泰勒展开不等式是数学中非常重要的工具，它们不仅有着重要的理论价值，在工程和自然科学中也有着广
泛的应用。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中的一个重要概念。
它可以描述函数在各个点上的变化率，也可以用来求函数的最大值、最小值以及拐点等重要信息。
而构造函数则是数学中一种非常常见的证明不等式的方法。
本文将介绍一些常用的导数和构造函数证明不等式的技巧。
一、使用导数证明不等式1. 求导数确定函数的单调性对于一个函数$f(x)$，如果它在某个区间上的导数$f'(x)$大于0，说明它在该区间上单调递增；如果导数$f'(x)$小于0，则说明它在该区间上单调递减。
因此，如果要证明一个不等式在某个区间上成立，可以先求出函数在该区间上的导数，确定其单调性，然后再比较函数在两个端点处的取值即可。
例如，对于函数$f(x)=x^2-4x+3$，我们可以求出它的导数为$f'(x)=2x-4$。
由于$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增，因此当$x<2$时，$f(x)<f(2)$，当$x>2$时，$f(x)>f(2)$，即$f(x)$在$x<2$和$x>2$的区间上都小于$f(2)$，因此我们可以得到不等式$f(x)<f(2)$，即$x^2-4x+3<1$。
2. 求导数判断函数的最值对于一个函数$f(x)$，如果它在某个点$x_0$处的导数$f'(x_0)=0$，且$f^{''}(x_0)>0$（即$f(x)$的二阶导数大于0）则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最小值；如果$f^{''}(x_0)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最大值。
因此，如果要证明一个不等式最值的存在性，可以先求出函数的导数，再找出导数为0的点即可。
3. 构造特殊的函数如果一个不等式的两边都是多项式，可以考虑构造一个较为特殊的函数，来证明不等式的成立性。
例如，对于不等式$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\leq\dfrac{3}{2\sqrt[3]{abc}}$，我们可以考虑构造一个函数$f(x)=\dfrac{1}{a+b+x}+\dfrac{1}{b+c+x}+\dfrac{1}{c+a+x}-\dfrac{3}{2\sqrt[3]{(a+x)(b+x)(c+x)}}$，并证明$f(x)\leq 0$。
拉格朗日中值定理证明不等式例题
拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它的证明以及在不等式证明中的应用在数学学科中具有重要意义。
在本文中，将以拉格朗日中值定理为基础，给出一个例题的证明过程。
1. 拉格朗日中值定理在介绍例题之前，首先给出拉格朗日中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在开区间(a, b)内存在一点ξ，使得f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)其中，ξ属于(a, b)。
2. 例题描述现有函数f(x) = x^2在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0, 1)内可导。
需要证明不等式f(1) - f(0) ≤ 2(1 - 0)3. 证明过程根据拉格朗日中值定理，不等式左边可以表示为f(1) - f(0) = f'(ξ)(1 - 0)其中ξ属于(0, 1)。
又因为f(x) = x^2，在区间(0, 1)内可导，所以可以求出导数f'(x) = 2x。
将导数代入上式，得到f(1) - f(0) = 2ξ(1 - 0)又因为ξ属于(0, 1)，所以2ξ ≤ 2。
得出不等式f(1) - f(0) ≤ 2(1 - 0) 成立。
4. 结论通过拉格朗日中值定理，成功证明了不等式f(1) - f(0) ≤ 2(1 - 0)成立。
拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，不仅在不等式证明中有着重要的应用，同时也为函数的性质研究提供了重要的工具。
在数学研究中，我们可以通过拉格朗日中值定理，将函数的平均变化率与导数通联起来，从而得出许多重要的结论。
拉格朗日中值定理在数学研究中有着不可或缺的地位。
拉格朗日中值定理作为微积分中的一个核心定理，具有极其重要的意义。
它的应用范围不仅局限于不等式证明，而且在函数的性质研究、最值问题、曲线的切线斜率等方面都能够发挥重要作用。
在接下来的内容中，我们将继续讨论拉格朗日中值定理在函数性质研究中的应用，着重探讨其在最值问题以及曲线的切线斜率方面的应用。
关于微积分中不等式的证明问题
在数 学世界里 ． 不等关 系要 比相等 关系更广泛 的存在 ． 不 等式的 即： （ １ ＋ ｘ ） ｌ ｎ （ １ 慨） ＞ Ｖ１ － ｘ ‘ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ， 所以、 ／ 生 ＜ ｌ ｎ ｎ￣ ． Ｖ Ｉ ａｒｃ ｓｌ 研 究是不 等关 系的一个 重要 内容 ． 数学不等式不仅在数 学的各个分支 上述例子 中对 于构造 的函数 厂 （ ） 的单调性 可以从 一阶导数 的正 都有广泛应用 ， 它还广泛应用在物理 ， 工程 ， 经济 ， 科学等各领域 ． 我们 从 数学 学习这个角度看 ． 从初 等数学到 高等数学 ， 不 等式的证 明一直 负直接判断 出来 ， 但很 多时候 ， 有些题 目 并 不能一步到位 ， 这时 ， 可对 都 占有非 常重要 的地位 ， 它 的题型多变 ， 方法也很多 ， 在初等数 学中主 阶导数 （ 或其一 部分） 在求一次导数 。 根 据二阶导数 的正负 （ 结合相 要 有 比较法 、 综合 法 、 分析 法 、 反证 法 、 换元 法 、 数学归 纳法等 常用 方 应的条件 ） 作出判断． 例： 设ｅ ＜ ａ ＜ ｂ ， 证 明不等式 ： ＞ ６ 法． 在高考 中 。 不等式 的证 明是一个重 点也是难 点． 到 了高等数学 ， 不 等式的证 明仍是 重要 的研究 内容 ． 这里 主要谈谈 高等数 学中常用的证 分析 ： 对 于关 于两个常数 的不等 式 ． 一般 的办法 是将其 中的一个 明不等式 的方法 ． 常数转换成变量 ． 然后 构造辅 助函数 ． 再利用函数 的单调性证 明． 当然 构造辅助 函数时 ． 也要考虑是否直接 构造还是恒等变形后再构造辅 助 １ 利用 中值定理证明不等式 函数． 证 明： 因为 ６ 等价变形为 ｂ ｌ ｎ ａ ＞ ｄ ｎ ｂ ， 所以构造辅 助函数 ） ＝ 中值定理 主要是指 罗尔定理 ． 拉格 朗 日中值定理 ， 柯西 中值定 理 ，
积分的不等式
积分的不等式积分是数学中的一个重要概念，它在微积分和积分学中有着广泛的应用。
而积分的不等式则是指在积分运算中涉及到的不等式关系。
本文将围绕积分的不等式展开，分析其应用和性质。
我们来讨论积分不等式的基本概念。
在积分运算中，我们常常会遇到对函数进行积分的情况。
而积分不等式则是指在积分的过程中，函数满足的不等式关系。
例如，对于一个连续函数f(x)，如果在一个区间[a, b]上，f(x)≥0，则可以得到积分不等式∫[a, b]f(x)dx≥0。
这个不等式表明了函数f(x)在[a, b]区间上的积分结果大于等于0。
接下来，我们将探讨积分不等式的性质。
首先，对于一个连续函数f(x)，如果在一个区间[a, b]上，f(x)≥g(x)，则可以得到积分不等式∫[a, b]f(x)dx≥∫[a, b]g(x)dx。
这个不等式表明了函数f(x)在[a, b]区间上的积分结果大于等于函数g(x)在该区间上的积分结果。
换句话说，如果一个函数在某个区间上大于等于另一个函数，那么它们在该区间上的积分结果也会有相应的关系。
我们来研究积分不等式的应用。
在实际问题中，积分不等式常常被用来求解函数的上下界或估计函数的取值范围。
例如，我们可以通过积分不等式来证明柯西不等式和零点定理等重要的数学定理。
此外，在物理学、经济学等领域中，积分不等式也被广泛应用于求解最优化问题和优化分析等方面。
我们来总结一些常见的积分不等式。
首先是柯西-施瓦茨不等式，它是积分不等式的重要应用之一。
其次是均值不等式，它包括了算术均值不等式、几何均值不等式和调和均值不等式等。
此外，还有切比雪夫不等式、霍尔德不等式、琴生不等式等等，它们在积分不等式的研究中起到了重要的作用。
积分不等式作为积分运算中的重要内容，具有广泛的应用和重要的意义。
通过对积分不等式的研究和应用，我们可以更好地理解函数的性质和优化问题的求解方法。
同时，积分不等式也是数学领域中的一个重要研究方向，对于推动数学的发展和应用具有重要的作用。
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２ 。 一
４利 用 函数 的 凹 凸性 证 明 不 等 式 ． ｆ ） 一 一— ： ，ｘ ：１ ｘ 二 ＜ ０
１ １ｘ ＋ｘ 十
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例 ：明 ｌ十ｎ （ｙｎ ，＞，０． ６ ｘｘ ｌ＞ ＋）半 （０ ＞） 证 ｎ ｙｙ ｘ ｌ ｘｙ
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Ｆ （ ） ｐ（ 一 ）Ｏ２ｐ（ 一 ） １ ｘ ｘ ＝ ｐ １ ｘ－ ＋ ｐ １ （ 一 ）一
０
令Ｆ ｘ＝， ＝ Ｉ ＞， 有 ） 得ｘ÷； ｐｌ （ ０ Ｎ 所以
６４ ０ １ ０ ０）
由 条 件 可 知 ，（） ｇ ｔ在 ［ ， ］ （ ＜ ｙ 上 满 足 柯 西 中 值 ｆ ｔ ， （） ｘｙ ，Ｏ ｘ ）
定 理 条 件 ， 以 ｊ∈ ｘ ｙ 使 所 ∈（ ， ）
ｆｘ） ｆｙ （ －（ ）
—
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旦
ｇ ｘ一 （ ） ｇ（ ） （ ）ｇＹ ∈
用 微 积 分 证 明 不 等 式 的 技 巧 和 ： 法 ｂ －
罗 世 尧
（ 山师范学院 数学与信息科学学 院， 乐 四川 乐 山
摘 要 ：不 等 式 的 证 明 方 法 很 多 ， 证 明 蕴 涵 了 丰 富 的 其 数 学知 识 、 辑 推 理 和 非 常 高 的技 巧 ， 文 讨 论 了利 用微 积 分 逻 本 知 识 证 明 不 等 式 的技 巧 和 方 法 。 关 键 词 ： 积 分 不等 式 证 明 方 法 微
ａｌ， ａ２，… ， ｎ ａ
为实常数 ， 求证 ： ｌ２ ２ ｌ ＋ ａ＋…＋ ａＩ ． ａ ｎ ≤１
ｊ ［＋使 ∈１ｘ ，］ １，
＜１ ＋ｘ） ｎｆｌ
１ ＋ｘ
＝，ｃ ｛１ｌ ｃ＋ ∈ｘ
证 明 ：‘ （ ）≤ Ｉｎ １ ‘Ｉ ｘ ｌ ｓ ｘ ．ｆ ｉ
・ ． ．
・ ．
－＋ｌｌ ｘ ÷１ ｌ ｘｎｎ ） ｎ ）ｌ ＇ （ －＝ 亡 １
￣ ｘ ＜ｎ １ ｘ ｌ －ｘ １（ ＋ ） ｌ
例 ７ 证 明 ： 充 分 大 时 ，１ｘｅ ： 当 ０ ＜２ ｅ ｘ
．
２ 利 用微 分 中值 定 理证 明不 等 式 ． 例 ３： 明 当ｘ ０时 ， 证 ＞ — ＜ｎ（ ＋ ） ｘ ｌ １ｘ＜．
１ ＋ｘ
２ｘ
证明 ： 因为 ｌ ｉ ｍ
例 １ 证 明 ： ＞ 时 ，＞ ｉｘ ｘ ． ： 当ｘ ０ ｘ ｓ ＞ 一 ｎ
６
Ｃ—Ｓ ｏＣ Ｓｏ ＸＶ
＝
－
Ｓ ｎ￣ ｌ
’ ｙ ｏ∈号 ＜ ｘ
ａ一 ａ（ｏｘ ｃｓ ） ａｓ ∈ ａ： ｃ ｓ － ｏ ｙ ｌ ／ ｎ ｎ ｉ
＞ ｃｓ— ｏｙ ａ ｎ＞ ｃ ｓ— 。ｙａｌａ （。ｘ ｃｓ ） ａ （。ｘ ｃｓ）ｘ ｎ
ｆｘ 在 （ ， ∞） 单 调 下 降 （） ０＋ 上 又。ｆｏ） ０ ．（ ＝ ‘
’ ． ・ ．
ｘｎ ＋ ｌｙ （ ＋ ）ｎｘ ｌｘ ｙｎ ＞ ｘ ｙ ｌ ＿
．
．
当ｘ ０ ， ｆｘ ＝ 一 —ｎ（ ＋ ） ０， ＞ 时 有 （ ）ｘ ｌ １ ｘ＜
５利 用 函 数 极 限 证 明 不 等 式 ．
一 ∞
： 所 以ｘ 分 大 后 ， ０， 充 有
。
＜１ 即ｘ ， ｅ
＜ｅ
．
证 明 ： ｉｔ＝ ｎ ， ＞ 时 ， ｔ在 ［ ， ＋ ］ 设ｆ ） ｌｔ 当ｘ Ｏ ｆ ） １ １ ｘ 上满 足 拉 格 朗 日 （ 中值 定 理 条 件 ，
・
． ．
例 ８ 设 ｆｘ ＝ ｌ ｎ ＋ ２ ｎ ｘ … ＋ ｎ ｘ ２ Ｈ Ｉ ｘ ｌ ｓ ｘ ， ： （ ） ａｓ ｘ ａｓ ２ ＋ ａ ｉｎ ， ＂ （ ） ｉ ｌ ｉ ｉ ｓ ￣ ｆ ≤Ｉ ｎ
即 积 分 应 用 的 一 个 常 见 问 题 ， 过 解 决 通 这 类 问 题 ． 以 加 深 学 生 对 微 积 分 知 识 的 理 解 ， 而 提 高 学 可 从 生 分 析 问题 和解 决 问 题 的 能 力 ． 文 通 过 各 种 题 型 分 析 解 答 ， 本 总 结 出 用 微 积 分 证 明 不 等 式 的一 些 常 见 基 本 方 法 ． １ 利 用 函数 的 单调 性 证 明不 等 式 ．
当ｘ ０ ｇ （ ） ｘ ｓ ｘ ０ 故 有 ｇ （ ） ０ 即 ｇ ｘ 在 （ ＋ 上 单 ＞ 有 ”ｘ ＝ — ｉ ＞ ， ｎ ｘ ＞ ， （ ） ０， ∞）
凋上升． （）Ｏ所以ｘｓ ｘｘ≥ ． ＸｇＯ＝， ＞ｉ ＞一 ｎ
例 ２： 明 不 等 式 ｘ ＜ｎ １ ｘ （＞ ． 证 一 ｌ （ ＋ ） ｘ ｏ）
３利 用 函数 的 最 值 证 明 不 等 式 ．
例５ 设 。 ≤ ｌｐ １证 明不 等 式 ｏＩ ｘ （ ： ≤ｘ ，＞ ， ２－ ≤ １ 一
证 明 ： Ｆ（ ＝ ｐ １ ｘ）， ０ 设 ｘ ｘ＋（ － 贝
证 明 ： 证ｘ ｓｎ 设 ｆ ｘ ＝ — ｉｘ， ｆ（ ＝ — ＯＸ≥０， 先 ＞ ｉｘ， （ ） ｘ ｓｎ 则 ，Ｘ） ｌ Ｃ Ｓ 即 ｆＸ 是 增 函 数 ． （） 而 ｆ０ ＝ 故 有 当ｘ ０ ，＞ ｉｘ （ ） ０， ＞ 时 ｘ ｓｎ ． 设 ｇ ｘ ＝ ｉｘ ｘ 则 ｇ （ ） Ｃ Ｓ－ Ｘ ｇ （ ＝ － ｉｘ而 （ ） ｓｎ － ＋ｘ ，ｘ － Ｏ Ｘ １ ｘ） ｘ ｓｎ ．
Ｆ ）ｐ ２ ． ， ＋－ （ ｐ１ ｛ （ １ １ ） ０
故 Ｆ ｘ 在 ［ ， ］ 最 大 值 是 １ 最 小 值 是 —ｌ ， 有 （ ） ０ １上 ， ＿ 即
２一
＿ｌ ≤ｘ＋ｆ ＋ ）≤ １ Ｐ ｘ ｌ
．
证 明 ： ｆｘ ＝ 一 一 ｎ １ ｘ 设 （）ｘ ｌ（＋ ）