Ekeland变分原理的一个推广

第３１卷第２期　Ｖｏ１．３１　Ｎｏ．２　周口师范学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｈｏｕｋｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　２０１４年３月　

Ｍａｒ．２０１４　

Ｅｋｅｌａｎｄ变分原理的一个推广　陈红英，薛利华　（重庆师范大学数学学院，重庆４０１３３１）　

摘　要：在完备的拟度量空间中，证明了带有Ｗ一距离的数量值均衡问题的Ｅｋｅｌａｎｄ变分原理　关键词：Ｅｋｅｌａｎｄ变分原理；完备拟度量空间；　一距离；均衡问题　中图分类号：０１７６　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７１—９４７６（２０１４）０２—００２０—０２　

众所周知，Ｉ．Ｅｋｅｌａｎｄ［１　在１９７２年给出了带　扰动的下半连续函数取严格极小值和下方有界的　下半连续函数的近似值存在性的变分原理．其在非　光滑分析、最优化理论、控制理论、向量均衡问题、　偏微分方程及临界点理论中有着许多应用．因此，　Ｅｋｅｌａｎｄ变分原理在数量值映射、向量值映射和极　值映射的多种等价形式被证明口　］．特别的，　Ｍ．Ｂｉａｎｅｈｉ［８　等在欧几里德空间中研究了Ｅｋｅｌａｎｄ　变分原理的均衡问题．　１　预备知识　在本文中，若无特别说明，均假设　表示全体　自然数，同表示全体实数，　＋表示全体非负实数．　为了得到主要结果，首先引入下面的定义、定理和　引理．　定义１［９］　设ｘ为非空集合，实值函数ｄ：Ｘ×　Ｘ一　对任意的　，Ｙ，ｚ　Ｅ　Ｘ满足：　（ｉ）ｄ（　，　）≥０；　（ｉｉ）　（　，　）一０当且仅当　—Ｙ；　（ｉｉｊ）　（ｚ，　）≤ｄ（ｘ，ｚ）＋ｄ（ｚ，　）；　则称ｄ是Ｘ上的拟度量，（Ｘ，　）称为拟度量空间．　若拟度量空间（Ｘ，　）中的每个Ｃａｕｃｈｙ点列都在ｘ　中收敛，则称（Ｘ，　）为完备拟度量空间．　若拟度量ｄ还满足：　（ｉｖ）对任意的Ｌｚ，Ｙ　Ｅ　Ｘ，ｄ（ｘ，　）一ｄ（ｙ，　），　则称拟度量ｄ是ｘ上的度量，（ｘ，　）称为度量空　间　．　定义２［　设ｘ是完备的拟度量空间，函数　：　Ｘ×ｘ一　称为ｘ上的甜一距离，如果满足下列条　件：　（ｉ）对所有的　ｌ，Ｓｔ？２，　３　Ｅ　Ｘ，　ｗ（ｘ１，　３）≤ｗ（ｘｌ，　２）＋ｗ（ｘ２，ｚ３）；　（．．）对每个ｚ　Ｅ　Ｘ，ｗ（ｘ，・）：Ｘ一　是下半　连续的；　（ｊｉｉ）对任意ｅ＞０，存在　＞０，使得当ｗ（ｘ　，　ｚ２）≤　，ｗ（ｘ１，ｚ３）≤　时，ｄ（ｚ２，　３）≤ｅ．　定义３１７３　设函数ｃｃＪ：Ｘ×Ｘ一　是Ｘ上的　

一距离，Ｘ的非空子集Ｄ的砌一直径记为训（Ｄ），　砌（Ｄ）一ｓｕｐ　（ｚ，　）．　，ｙＥＤ　引理１［　设（Ｘ，　）是完备的拟度量空间，　

函数叫是Ｘ上的叫一距离，且｛　）　∈一和｛Ｙ　）　∈　是　Ｘ上的序列．设｛　｝　和｛　｝　是收敛于０的正　实数序列，设ｚ，Ｙ，　Ｅ　Ｘ，那么下列结论成立：　（ｊ）如果对任意的　Ｅ　，有ｗ（ｘ　，　）≤ａ　，　ｗ（ｘ　，ｚ）≤　，那么ｙ：＝＝　．特别的，如果ｗ（ｘ，　）　＝０，　（ｚ，ｚ）一０，那么Ｙ一２．　（ｉｉ）如果对任意的　，　Ｅ　，　＞　，有　ｗ（ｘ　，　）≤ａ　，那么｛　｝　∈Ｎ是Ｃａｕｃｈｙ序列．　（ｉｉｉ）如果ｔ＞０，则ｔ叫也是Ｘ上的叫一距离．　定理１［　设（Ｘ，　）是完备的拟度量空间，　：　Ｘ×Ｘ一　是Ｘ上的　一距离．设｛Ｆ　｝　一是Ｘ的　非空闭子集的一个序列，使得　（１）对任意的ｎ　Ｅ　，Ｆ　Ｆ　；　（ｉｉ）　（Ｆ　）≤ａ　，其中｛ａ　）　是收敛于０的正　实数序列；　

则仅存在一点　Ｃ－Ｘ使得Ｆ＝＝＝Ｎ　Ｆ　一｛　｝．　设Ｄ是一个给定集，且－厂：Ｄｘ　Ｄ一　是一个给　

收稿日期：２０１３—１０—１５　作者简介：陈红英（１９８８一），女，重庆潼南人，硕士，从事最优化方法及应用研究　第３１卷第２期　陈红英，等：Ｅｋｅｌａｎｄ变分原理的一个推广　２１　定函数，找到　Ｅ　Ｄ使得　厂（　，　）≥０，　Ｖ　Ｅ　Ｄ　称为一个均衡问题．　

２　主要结果　下面的定理给出了带有硼一距离的数量值均衡　问题的Ｅｋｅｌａｎｄ变分原理．　定理２　设（Ｘ，　）是完备的拟度量空间，ｃｃ，：Ｘ　×ｘ一　是ｘ上的Ｗ一距离，设函数，：Ｘ×ｘ—　Ｒ满足下列条件：　（ｉ）对所有的　Ｅ　Ｘ，ｆ（ｘ，　）一０；　（ｉｉ）对所有的Ｘ，Ｙ，ｚ　Ｅ　Ｘ，　ｆ（ｘ，　）≤ｆ（ｘ，　）＋ｆ（Ｙ，ｚ）；　（ｉｉｉ）对所有的　∈Ｘ，ｙ一厂（　，　）是下半连　续、下有界函数；　则对任意￡＞０，对任意　。∈Ｘ，存在　Ｅ　Ｘ使得　（ａ）＿厂（ｚｏ，　）＋￡Ｗ（ｚｏ，　）≤０；　（ｂ）厂（　，ｚ）＋ｅ　Ｗ（　，　）＞ｏ，对所有ｚ　Ｅ　Ｘ　且ｚ≠　．　证　为了方便，取　一Ｅ　Ｗ（　，　），由引理１　的（ｉｉｉ）可知，Ｗ　是Ｘ上的Ｗ一距离．对每个　Ｅ　Ｘ，　考虑集合　

一，、　ｆ　～ｆ　—Ｙ　ｏｒ　Ｉ　一１Ｙ　Ｅ　ｘ　Ｉ　，　）＋　（ｚ，　）≤ｏ｝．　

显然，ｚ　Ｅ　Ｆ（ｚ），则对所有的ｚ　Ｅ　Ｘ，Ｆ（ｚ）是非空　的．　由定理２中的（ｉｉｌ）和　（ｚ，・）是下半连续的，　有对所有的　Ｅ　Ｘ，Ｆ（ｚ）是闭的．　下面证明：如果ｙ∈Ｆ（ｚ）＼｛ｚ），有Ｆ（　）　Ｆ（ｚ）．　不妨设ｙ　Ｅ　Ｆ（　）＼｛Ｘ），即　ｆ（ｘ，　）＋　（ｚ，　）≤０．　对任意的ｚ　Ｅ　Ｆ（　），若ｚ＝＝＝Ｙ，则ｚ　Ｅ　Ｆ（　）；下假设　Ｅ　Ｆ（　）＼｛Ｙ｝，即　－厂（Ｙ，ｚ）＋Ｗ　（　，　）≤０．　上面两式相加得　ｆ（ｘ，　）＋ｆ（ｙ，ｚ）＋Ｗ　（ｚ，　）＋　（　，ｚ）≤０．　由定理２中的（ｉｉ）和Ｗ一距离的定义可知　ｆ（ｘ，　）＋Ｗ　（ｚ，２）≤０，　则ｚ　Ｅ　Ｆ（ｚ），所以Ｆ（　）　Ｆ（ｚ）．　设．ｚ。Ｅ　Ｘ．因为ｆ（ｘ，・）是下有界的，则　ｖ（ｘｏ）一ｉｎｆ　ｆ（ｘｏ，　）＞一。。．　设ｎ　Ｅ　，定义ｚ，卜１使得　（ｚ　１）＞一。。．取　Ｅ　Ｆ（ｚ　）使得　

－厂（ｚ，ｒｌ，Ｘ　）≤ｖ（ｘ．－１）＋　，　

则有　ｖ（ｘ　）一ｉｎｆ　ｆ（ｘ　，　）≥　ｙＥＦ（ｘ　）　

ｉｎｆ　ｆ（ｘ　，　）≥　ｙＣ－Ｆ　，ｒ１）　

ｉｎｆ［，（ｚ，ｒ１，　）一ｆ（ｘ．－ｌ，ｚ　）］一　ｙＥＦ　１）　

（　一　）一，（　～　，ｚ　）≥一一１．　

因此，对任意Ｙ∈Ｆ（ｘ　）＼（ｚ　｝得　（ｚ　，　）≤一ｆ（ｘ　，　）≤　１　一ｖ（ｘ　）≤　０，ａｓ　ｎ’ＣＸＤ，　

即，当ｎ一。。时，　（　，　）一０．　因为ｚ　Ｅ　Ｆ（ｘ　），当　一。。时，Ｆ（ｘ　）的Ｗ一　直径　（Ｆ（　））一０．由定理１知，仅存在一点　∈　Ｘ使得　

ｎ　Ｆ（ｚ　）一｛　｝，　芏０　所以　∈Ｆ（ｚｏ），即　

ｆ（ｘｏ，　）＋Ｗｅ（　０，　）≤０，　即（ａ）成立．　此外，对所有的ｎ　Ｅ　，有ｚ　Ｅ　Ｆ（ｘ　），则　Ｆ（　）　Ｆ（ｚ　），　所以Ｆ（　）一｛　｝．　如果ｚ≠　，则ｚ　Ｆ（　），所以　厂（　，ｚ）＋　（　，ｚ）＞０，　对所有ｚ∈Ｘ且Ｘ≠　，即（ｂ）成立．　１　

３　结论　在本文中，证明了带有Ｗ一距离的数量值均衡　问题的Ｅｋｅｌａｎｄ变分原理．目前，关于Ｅｋｅｌａｎｄ变　分原理及其在优化问题中的应用已经取得了大量　的研究成果．然而，在这一领域还存在大量值得探　讨的问题，比如数量值、向量值和极值的系统均衡　问题的Ｅｋｅｌａｎｄ变分原理．　

参考文献：　［１３　Ｅｋｅｌａｎｄ　１，Ｒｅｍａｒｑｕｅｓ　ｓｕｒ．１ｅｓ．Ｐｒｏｂｅｍｅｓ　Ｖａｒｉａｔｉｏｎｎｅｌｓ　ｔＪ］．Ｃｏｍｐｔｅｓ　Ｒｅｎｄｕｓ　ｄｅ　１’Ａｃａｄ６ｍｉｅ　ｄｅｓ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ—Ｓｅｒｉｅ—　ｓＩ，１９７２，２７５：１０５７—１０５９．　［２］Ｅｋｅｌａｎｄ　Ｉ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，１９７４，４７：３２４—　３５３．　［３］Ｆｉｎｅｔ　Ｃ．Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ　ｉｎ　ｐａｒｔｉａｌｌｙ　ｏｒｄｅｒｅｄ　Ｂａ—　ｎａｅｈ　ｓｐａｃｅｓ　Ｉ－Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｃｏｎｖｅｘ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００　１（２）：　１６７—１７４．　（下转第２３页）　第３１卷第２期　廖思泉：关于非算术Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空间的范数的下确界　２３　ｍａｘ｛ｌＩ　ｚ　一　ｌＩ，ｌＩ　ｚ　ｌ１）＝ｄ．由连续性可知存在　单位球上从Ｙ　到一Ｘ　的弧上的Ｙ。，Ｉ　Ｊ　一Ｙ。ｊｊ一　１，由引理２，有ｌｌ　ｚ　＋Ｙ。ｌｌ≤ｌｌ　３２　＋Ｙｚ　ｌｌ≤ｄ，因　此　ｉｎｆ｛ｌ　ｚ＋Ｙ　三　”　一　）≤　

参考文献：　［１］ＴＨＯＭＰＳＯＮ　Ａ　Ｃ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ［Ｍ］．Ｃａｍ　ｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９９６：７５—８７．　

Ｔｈｅ　ｉｎｆｉｍｕｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｏｒｍ　ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ　Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　ｓｐａｃｅ　ＬＩＡ０　Ｓｉｑｕａｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｐｅｔｒｏｃｈｅｍｉｃａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｍａｏｍｉｎｇ　５２５０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｇｉｖｅ　ｏｕｔ　ｔｈｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｆｉｍｕｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｏｒｍ　ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ　Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　ｓｐａｃｅ：　ｉｎｆ｛ＩＩ－ｚ＋Ｙ　ｌｌ　ｌ　ｌｌ　ｚ　ｌｌ≥１，｛ｌ　Ｙ　ｌｌ≥１，ｌＩ　ｚ—Ｙ　ｌｌ≤１｝≤√可；ｉｎｆ｛【ｌ－ｚ＋Ｙ　ｌｌ　Ｉ　ｃｌ　ｚ　ｌｌ—ｌＩ　Ｙ　ｌＩ—ｌＩ　—Ｙ　ｌｌ一１｝≤　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ　ｎｏｎ—ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ　Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　ｓｐａｃｅ；ｎｏｒｍ　ｉｎｆｉｍｕｍ．　

（上接第２１页）　［４］Ｆｉｎｅｔ　Ｃ，Ｑｕａｒｔａ　Ｉ　，Ｔｒｏｅｓｔｌｅｒ　Ｃ．Ｖｅｃｔｏｒ—ｖａｌｕｅｄ　ｖａｒｉａ—　ｔｉｏｎａｌ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００３，５２：１９７　２１８．　［５］Ｔａｍｍｅｒ　Ｃ．Ａ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｅｋｅｌａｎｄ’Ｓ　ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，１９９２，２５：１２９—１４１．　［６］Ｂｉａｎｃｈｉ　Ｍ，Ｋａｓｓａｙ　Ｇ，Ｐｉｎｉ　Ｒ．Ｅｋｅｌａｎｄ’Ｓ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｆｏｒ　ｖｅｃｔｏｒ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａ１．，　２００７，６６：１４５４—１４６４．　Ｅ７］Ａｎｓａｒｉ　Ｑ　Ｈ．Ｖｅｃｔｏｒｉａｌ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　Ｅｋｅｌａｎｄ—ｔｙｐｅ　ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｗｉｔｈ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｖｅｃｔｏｒ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｒｏｂ—