随机信号处理第一章
第1章 随机信号概论(概论)
随机过程讲义陈庆虎武汉大学电子信息学院参考书：1．随机信号分析基础。
王永德王军编著，电子工业出版社。
2．随机信号分析。
朱华等编著，北京理工大学出版社。
3．随机过程及其应用。
陆大絟编著，清华大学出版社。
第一章 随机信号概论1．1信号与噪声1．1．1信号分类信号一般按数字特点分类，有以下四种方法： 1、确定信号与随机信号 2、连续信号与离散信号 3、周期信号与非周期信号 4、能量型信号与功率型信号我们接触过许多信号处理方法，大致可归纳为：随机过程研究处理的对象：与时序有关的随机信号。
1．1．2 信号·误差·噪声一、信号来源被测的物理量都是信号，按物理特性可分为：长度、热学、力学、电磁、无线电、放射性、光学、声学、化学、生物、医学等内容。
二、信号的测量信号接收、量具测量、仪器测量。
1． 直接测量：用量具或仪器直接测出物理量的量值。
y --被测对象(目标)，x --测量值，x y =2． 间接测量：),,,(21n x x x y y =，n x x x ,,,21 为测量值，y 为测量目标。
通过n x x x ,,,21 计算出y 。
更一般的模型为0),,,,(21=n x x x y F例1：消耗在电阻上的功率P 与电流I 和电阻值R 之间的关系为R I P 2=，可测量出I 与R 的值，算出P 的值。
例2，由雷达系统确定飞机的位置。
为了确定飞机与雷达的距离R ，我们可以发射一个电磁脉冲，这个脉冲在遇到飞机时就产生反射，继而由天线接收的回波将会引起0τ秒的延时，测量现0τ，距离可由方程cR20=τ确定，其中c 是电磁传播速度。
图1.1 雷达发射脉冲图1.2 接收信号3．组合测量：测量目标有多个时，需要通过组合测量，解联立方程组，求得被测量的值。
一般模型为：设m y y y 21,为m 个被测目标，n x x x 21,为n 个被测值，要得出m y y y 21,的值，至少要经过m 次测量，其组合测量的数学模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),,,(0),,,(0),,,(21212221221212111211nm m m m m n m n m x x x y y y F x x x y y y F x x x y y y Fij x 为i x 的第j 次测量值。
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第1章
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，
随机信号分析第一章2010
F XY ( x , y ) FY ( y | x ) = FX ( x ) p XY ( x , y ) pY ( y | x ) = p X ( x)
n维随机变量及其分布 维随机变量及其分布
定义 n维随机变量 ( X 维随机变量
1
, X
2
,L , X
n
)
的n维（联合）分布函数为 维 联合）分布函数为
+∞ −∞
p(x) ≥ 0
性质2 概率密度函数在整个取值区间积分为1 性质2：概率密度函数在整个取值区间积分为1，即
∫
p ( x ) dx = 1
x2 x1
性质3：概率密度函数在(x 区间积分， 性质 ：概率密度函数在(x1,x2)区间积分，得到该区 间的取值概率
P { x1 < X ≤ x 2 } =
1.1随机变量的概念 § 1.1随机变量的概念
抛硬币：可能出现正面或反面； 例1 抛硬币：可能出现正面或反面； 从一批产品中任取10件 例2 从一批产品中任取 件，抽到 的废品数可能是0,1,2,…,10中的一 的废品数可能是 中的一 个数； 个数； 掷色子：可能出现1,2,3,4,5,6点 例3 掷色子：可能出现 点
F XY ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y }
(x,y)的二维联合概率密度，简称为二维概率密度 的二维联合概率密度，简称为二维概率密度 二维概率密度: 的二维联合概率密度
p XY
性质1： 性质 ：
∂ F XY ( x , y ) ( x, y) = ∂x∂y
2
二维概率密度具有以下性质： 二维概率密度具有以下性质：
F ( x1 , x 2 ,L , x n ) = P{ X
第0-1章随机信号基础-现代信号分析和处理-张旭东-清华大学出版社
教材 《现代信号分析和处理》
张旭东编著
0.1 本课程要讨论的主要问题
（1）对信号特性的了解
随机信号（随机过程，时间序列–随机过程的一个实现） 信号模型→什么是信号模型？ →模型参数估计 信号模型应用→现代谱估计：参数化谱估计 讨论信号模型及模型参数的估计问题，各种信号模型的作用
（2）对统计意义下最优滤波器设计的研究
3. S.M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Prentice Hall PTR, 1993.（有中文译本）
4. S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic press, Third Edition 2009
5. Van Tree，Optimum Array Processing， Wiley， 2002 （有中 文译本）
6. J. G. Proakis, et al. Algorithms for Statistical Signal Processing, Prentice hall, 2002 （有中文译本）
和先验概率； 2、利用贝叶斯公式转换成后验概率； 3、根据后验概率大小进行决策分类。
离散随机信号处理与高斯
(Carl Friedrich Gauss)
正态分布（高斯分布） 最小二乘LS FFT，…
Born: April 30, 1777, Brunswick, Germany Died: February 23, 1855, Göttingen, Germany
平时作业20％ 2个Matlab作业50％
西北工业大学-数字信号处理-第一章1
E xnl xil p xi i
E xnl
xl p(x)dx
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13
l 阶中心矩
离散信号
E
xn
E
xn
l
i
xi
E
xi
l
p
xi
连续信号
E (xn E[x])l
(x E[x])l p(x)dx
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14
特征函数
C p xe jxdx
rx*x m rxx m Cx*x m Cxx m
2020/10/11
27
性质4：互相关、互协方差函数的共轭对称 性
rx*y m ryx m
Cx*y m Cyx m
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28
性质4证明:
rx*y m E x* n y n m *
E xn y* n m ryx m
2020/10/11
15
常用的数字特征量
均值 ： mxn Exn xi pxi
i
均方值： E xn2 xi2 p xi i
方差：
2 xn
E
xn
E xn
2
E xn2 mx2n
直流分量 平均功率 交流功率
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16
自相关函数的定义
rxx m E xn x* n m rx'x m E xn x* n m rx''x m E x* n xn m
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第一章
时域离散随机信号的分析
1
§1.1 引 言
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2
1．什么是随机信号？
收音机接收的信号 电阻上的热噪声电压 飞机轰炸目标的着地点 抛硬币的观测结果
随机信号分析-1 随机过程(1)
FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn ) f X ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn ) x1x2 xn
为该过程的n维概率密度函数.
22
随机过程的概率分布
n维分布函数(n维概率密度函数)能近似描述随机过程的统计 特性，n越大，描述的完善程度越高； 所有n≥1维概率密度函数的集合称为有限维概率密度函数族； 所有n≥1维分布函数的集合称为有限维分布函数族； 前苏联数学家证明，有限维分布函数族或者有限维概率密度t样ຫໍສະໝຸດ 空间11随机过程的定义
随机过程的第一种定义
定义 1
设随机实验的样本空间 S { } ，如果对于每个样本 ，都 有一个以t为参数的函数 X ( , t ) 与之对应，则对应于所有的 得到一族函数 X ( , t ), t T ，这个以t为参数的函数族称为 随机过程，简记为 X ( , t ) 或者 X (t ) 。族中每个函数称为该 随机过程的一个样本，是随机过程的一次试验的物理实现， 是一个确知的时间函数.
18
随机过程的概率分布
根据定义2，对随机过程采样，可得多维随机变量。在满足 一定采样间隔要求下，随机过程的统计特性可由该多维随机 变量的统计特性反映；因此可将概率论中对随机变量的概率 统计特性的研究方法推广到随机过程的研究中。 随机过程的一维概率分布 定义3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，对任意固定t1∈T 和实数x1 ∈R， 称Fx (x1 ; t1)=P {X(t1) ≤ x1} 为该过程的一维分布函数；若Fx
是一个随机变量；
因此X(t)是随机过程
15
随机过程的分类
随机过程的相空间 当ξ 和 t 固定时，X(ξ , t)是一定值，表示随机过程在t时刻的 状态。 X(ξ , t)的所有能状态构成的集合称为状态空间或者相 空间，记为G。 相空间G可能是一个连续集，也可能是离散集；同样，时间 参数集T可能是离散集，也可能是连续集，经组合可对应出4 种不同情况，可将随机过程分为4类 连续型随机过程 连续型随机序列 离散型随机过程 离散型随机序列
随机信号分析基础chapter①王永德 答案
2
0
pR (r , )d
0
r
r
2
e
r2 2 2
p ( ) pR (r , )dr
r2 2 2
2
2
e
1 dr 2
表述问题：
P( R, ) R 2
2
2
不完整解：
e
R2 2 2
P( R)
R
e
R2 2
2
pR ( r )
解方法二: 可采用(2)的方法,先求特征函数,再求概 率密度,由于计算复杂这里不累述.
1.10 解： 设 Z1 Y ; Z2 XY
则反函数为： Y Z1; X
则雅可比式为：
Z2
Y
Y Z 2 1 0 1 1 X 0 Y Y Z 2
Y Z 1 J X Z 1
n 1 n 1 D( X ) D( xi ) 2 D( xi ) n i 1 n i 1 1 n 1 n 2 2 [ D( xi )] 2 i n i 1 n i 1
(2) 解法一： 根据题意：令 i 0, i2 2 . 由于独立同分布的高斯变量的线性组合 仍为高斯变量，所以 X 为高斯变量。
所以它的特征函数为 C xi (u ) e 由性质可知：
Cxi (u) e
n
2u 2 2 2n
根据两两相互独立的随机变量之和的特征函数等 于各个随机变量的特征函数之积这一性质可得：
1.8
CX (u) Cxi (u) e
i 1 n n
2u 2 2n
这样就可通过傅立叶反变换求它的密度函数
随机信号分析与处理第一讲
随机信号分析与处理第一讲目录一、内容概述 (2)1. 课程介绍与背景 (2)2. 课程内容及结构介绍 (3)二、随机信号概述 (4)1. 随机信号定义与分类 (5)2. 随机信号的基本特性 (5)三、随机过程基础 (7)1. 随机过程的概念与分类 (8)2. 随机过程的数学描述方法 (9)3. 概率分布与统计特征 (10)四、随机信号分析方法和工具 (11)1. 随机信号的统计特性分析方法 (12)2. 随机信号的信号处理工具介绍 (13)3. 频谱分析与信号处理工具箱的应用 (14)五、随机信号处理基础 (15)1. 随机信号处理概述 (16)2. 信号滤波与平滑处理 (18)3. 信号检测与估计理论 (20)六、应用实例与案例分析 (21)1. 通信系统中的随机信号处理应用实例 (22)2. 图像处理中的随机信号处理案例分析 (23)3. 控制系统中的随机信号处理案例分析 (24)七、课程展望与复习要点 (25)一、内容概述随机信号分析与处理是通信、电子、信息等工程领域中不可或缺的核心理论基础。
本课程将带领同学们系统地探索随机信号的生成原理、特性分析方法以及处理技术。
从基础的随机过程概念入手，逐步深入到信号的分解、估计与滤波，最终实现信号的重建与识别。
通过本讲的学习，同学们将能够掌握随机信号分析与处理的基本框架和思路，为后续的专业学习和工作实践奠定坚实的基础。
1. 课程介绍与背景随着信息技术的迅猛发展，信号处理作为通信、电子、计算机等学科的核心基础，其在现代科学实验和工程技术中的应用日益广泛。
而随机信号作为信号处理领域的一个重要分支，其分析方法与处理技术对于揭示信号的内在规律、提高信号处理性能具有重要意义。
本门课程《随机信号分析与处理》旨在系统介绍随机信号的基本理论、分析方法以及处理技术。
课程内容涵盖了随机信号的建模、统计特性分析、功率谱估计、滤波器设计、信号分解与重构等多个方面。
通过本课程的学习，学生将能够掌握随机信号处理的基本原理和方法，为在通信、雷达、声纳、生物医学工程等领域中的应用打下坚实基础。
第一章-1--随机信号分析基础
§1 随机信号分析基础
随机过程部 1.3 1.4 1.5 1.6
随机信号 随机信号的统计描述 平稳随机信号 统计特征估计的质量平价 随机信号的功率谱 白噪声信号与谐波信号
1.1 随机信号
随机信号的概念 随机信号的定义 随机信号举例 随机信号的分类
x 2 p( x, t )dx
D X (t) E{[X(t) m X (t)]2 }
[ x mX (t )]2 p( x, t ) dx
2 或表示为：D x (t) E{X (t)} [ x mx (t )]2 p ( x, t )dx
其中
X(t) X(t) m X ( t) 称“中心化随机变量”
举例： 求两个随机数据序列的协方差
随机信号间的 “独立、不相关及正交关系”
如果 X(t)、Y(t) 统计独立，则有:
pxy （x,y;t1,t 2） p（ ;t1 )py(y;t 2） x x
mx E{X} xi pi ( x) 或：mx (n) E{X(n)} xi (n) pi ( x)
i 1 i 1
k
k
均值与概率密度有关，均值仅对长期（或大量）观察才有意义。
均值函数（数学期望）
对于连续时间函数 ：
mx (t) E{X(t)}
xp( x, t )dx
两者均表示随机信号在时刻 t 对于均值的平均偏离程度
均方函数与方差函数
X1(t)
X2(t)
t
t
方差函数：
2 DX (t) E{[X(t) mX (t)]2} ( X (t) var{x(t)})
信号分析与处理 第1章(01)
信号分析与处理
华北电力 大 学
1.1 连续时间信号
一 信号的描述与分类
信号：是信息传输过程的载体，是一个自变量或几个
自变量的函数。如 f1(t)，f2(n1, n2)。 • 物理上： 信号是信息寄寓变化的形式 • 数学上： 信号是一个或多个变量的函数 • 形态上：信号表现为一种波形
与函数一样，一个实用的信号除用解析式描述外， 还可用图形、测量数据或统计数据描述。 通常，将信号的图形表示称为波形或波形图。
(t ) (t )
华北电力 大 学
t
( )d u(t )
d dt
u (t ) (t )
(t t 0 ) f (t ) dt
f (t 0 ) (t t 0 ) dt f (t0 )
• 检零
(t ) f (t )dt f (0)
信号分析与处理
华北电力 大 学
信号基本概念
• • 什么是信号？ 物质的一切运动或状态变化都是一种信号（ signal），即信号是物质运动的表现形式。例 如： 机械振动产生力信号、位移信号和噪声信号； 雷电过程产生声、光信号； 大脑、心脏分别产生脑电和心电信号； 通信发射机产生电磁波信号等; 图像信号; 人口数；银行存款；气温等.
f (t) 1
f(t) 1
2
t
0
3
t
信号分析与处理
华北电力 大 学
f1 (t ) A sin(t )
f1 (t) A
f2(t)在t=0处有间 断点
Ae (t t0 ) (t t0 ) f 3 (t ) 0 (t t0 )