二次型及应用问题1矩阵的等价相似合同辨析答两个矩阵等
矩阵合同的定义
矩阵合同的定义篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。
2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkk1~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。
3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
矩阵的合同
矩阵的合同矩阵的合同是线性代数中一个重要的概念，用于描述两个矩阵之间的相似性。
它在各个领域中都有广泛的应用，特别是在矩阵理论、矩阵分析和线性代数中。
矩阵的合同是一种特殊的关系，它是矩阵的等价关系的一种推广。
如果两个矩阵A和B满足存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=B，那么我们称矩阵A和B合同，记作A ≅ B。
具体来说，一个矩阵A和B合同表示它们在一定程度上具有相似的结构和性质。
合同关系实际上是矩阵的相似关系的推广，相似关系要求两个矩阵有相同的特征值和相似的特征向量，而合同关系则不再要求特征值相同，只要求相似的二次型。
矩阵的合同关系具有以下性质：1. 自反性：任意矩阵A都与自己合同，即A ≅ A。
2. 对称性：若A与B合同，则B与A合同，即若A ≅ B，则B ≅ A。
3. 传递性：若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，即若A ≅ B且B ≅ C，则A ≅ C。
矩阵的合同关系在矩阵的分类和标准化中起着重要的作用。
合同关系可以用于将一个矩阵转化为一种更加简化和标准化的形式，从而更方便地进行计算和分析。
例如，在矩阵的特征值分解中，我们可以通过合同变换将一个对称矩阵转化为对角矩阵，从而更容易求出其特征值和特征向量。
另外，矩阵的合同关系也与二次型密切相关。
一个矩阵A与一个二次型Q(x)合同，意味着它们具有相同的二次型矩阵。
合同关系可以用于研究二次型的性质和规范形式，以及在优化问题、最小二乘问题等领域中的应用。
还有，矩阵的合同关系在矩阵的相似关系和等价关系中起着桥梁的作用。
相似关系是合同关系的一个特例，等价关系是合同关系的一个推广。
通过研究矩阵的合同关系，我们可以更深入地理解和研究相似关系和等价关系。
总之，矩阵的合同关系是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵理论、矩阵分析和线性代数中有重要的应用。
它的研究可以帮助我们更好地理解和研究矩阵的性质和相似性，以及在各个领域中解决实际问题。
两个矩阵相似判断方法
两个矩阵相似判断方法矩阵相似是线性代数中的一个基本概念，它通常用于描述线性变换在不同基底下的表示方式是否相同。
两个矩阵相似表示它们代表同一线性变换，在不同的基底下表示的结果是相同的。
判断两个矩阵是否相似是线性代数中的一个重要问题，下面将介绍十条常用的判断方法。
1、矩阵相似的定义矩阵A和B是相似的，当且仅当存在一个可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP，其中P^(-1)表示P的逆矩阵。
2、矩阵相似的性质矩阵相似具有如下性质：（1）一个矩阵与自己相似；（2）若A和B相似，则B和A相似；（3）若A和B相似，B和C相似，则A和C相似。
3、特征值和特征向量相同相似矩阵具有相同的特征值和特征向量，因此可以通过判断它们的特征值和特征向量是否相同来判断它们是否相似。
4、秩相等相似矩阵具有相同的秩，因此可以通过判断它们的秩是否相等来判断它们是否相似。
5、迹相等相似矩阵具有相同的迹，因此可以通过判断它们的迹是否相等来判断它们是否相似。
6、行列式相等相似矩阵具有相同的行列式，因此可以通过判断它们的行列式是否相等来判断它们是否相似。
7、对角线元素相同相似矩阵的对角线元素相同，因此可以通过判断它们的对角线元素是否相同来判断它们是否相似。
8、幂级数展开相同相似矩阵具有相同的幂级数展开，因此可以通过判断它们的幂级数展开是否相同来判断它们是否相似。
9、若干个矩阵组成的伴随矩阵相似若干个矩阵组成的伴随矩阵相似，那么这些矩阵也相似。
10、巴黎-维达定理巴黎-维达定理指出：A与B相似当且仅当在\mathbb{C}域上，A与B的最小多项式相同。
通过特征值和特征向量、秩、迹、行列式、对角线元素、幂级数展开、若干个矩阵组成的伴随矩阵以及巴黎-维达定理等方法，可以判断两个矩阵是否相似。
在应用中需要根据不同的情况进行选择，以便得到更高效、更准确的结果。
矩阵等价、相似、合同的区别与联系
矩阵等价、相似、合同的区别与联系作者：李伯忍来源：《现代商贸工业》2021年第05期摘要：矩阵的等价、相似与合同在线性代数课程教学中占据非常关键的地位，但是学生学习过程中对这一部分的内容往往很难准确把握。
为此，本文针对它们之间的区别和联系进行探讨，为学生对这些概念的理解提供一定的帮助。
关键词：等价;相似;合同中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/ki.1672-3198.2021.04.065《线性代数》是大学数学中的一门非常重要的必修基础课程。
学好这一门课程，不仅有利于对学生的理解和逻辑推理能力的培养与训练，而且对其后续专业课程的学习也发挥着极其重要的支撑作用。
本文将就线性代数课程矩阵之间的非常重要的关系：矩阵的等价、相似与合同进行讨论，着重探讨三者之间的区别与联系，为学生对这些概念的理解提供一定的支持。
1 基本概念矩阵等价定义：假定矩阵A和B为同型矩阵，若存在可逆的矩阵P，Q，满足PAQ=B，那么称A和B是等价的。
矩阵相似定义：假定矩阵A和B均为n阶方阵，若存在可逆的矩阵P，满足P-1AP=B，那么称A和B是相似的。
矩阵合同定义：假定矩阵A和B均为n阶方阵，若存在可逆的矩阵P，满足PTAP=B，那么称A和B是合同的。
2 区别和联系（1）矩阵的等价只是要求矩阵A和B是具有相同的行和列的矩阵，不要求必须是方形矩阵，但是相似和合同则要求矩阵A和B必定是同阶的方形矩阵。
（2）等价的矩阵、相似的矩阵以及合同的矩阵均是同可逆或者同为不可逆。
（3）等价的矩阵、相似的矩阵以及合同的矩阵均满足反身性、对称性和传递性。
（4）矩阵的等价、相似以及矩阵合同实际上均是矩阵和矩阵之间进行初等变换，只是初等变换的要求有些区别。
詳细的说明展示如下：依据可逆矩阵的充要条件，n阶方形矩阵阵A是可逆的矩阵A等于一系列初等矩阵的乘积。
故矩阵A和B等价的条件PAQ=B可转化成：存在m阶初等矩阵P1，P2，…Ps和n阶初等矩阵Q1，Q2，…Qt，使得Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=B。
矩阵的等价
矩阵的等价、相似与合同1、相似和合同都可以得到等价2、对正交矩阵而言，合同与相似等价。
3、相似矩阵的秩也是相等的，相似矩阵的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵p使p-1ap====b就说a,b相似相互合同的矩阵的秩也相同。
矩阵间合同的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵c使：cTac==b就主a,b合同相似和合同都可以得到等价14、1. 矩阵的等价：经过六个初等变换的矩阵之间具有等价关系，主要是指型和秩相同。
2。
矩阵的相似：主要指存在可逆矩阵，能够变换它为对角矩阵。
15、相似，等价，合同均为矩阵与矩阵之间关系。
设有矩阵A和B如果说A与B等价则仅须A,B形状相同，秩相等。
A,B相似则指存在可逆阵c，使得A=CBC(-1)，如智轩老师所暗含得，相似关系主要应用于给定一个（相似于对角）矩阵，让你求辅助矩阵使其对角化。
A,B合同指存在可逆阵p，使得A=p'Bp细心得学生可以看出，等价是合同或者相似得必要条件。
注意：凡是出现“关系”字眼得地方，均要涉及2或者2个以上得对象，而关系自然就是这些对象之间的联系。
相似关系，等价关系，合同关系都是矩阵之间的基本联系。
所以，一定要弄清2矩阵间有这样的关系，需要符合什么样的条件。
事实上，正是一步步检验这些条件的过程被命制成为5花8门的题型。
16、4、chen8281矩阵等价、对应矩阵列相两组等价、矩阵相似、矩阵合同（都对应于n阶方阵）1.矩阵A、B等价存在可逆矩阵P、Q，存在A=PBQ，秩相同。
2.对应矩阵A、B列向量两组等价存在可逆矩阵P，使AP=B，秩相同。
3.矩阵A.B相似，存在可逆矩阵P，使B=P`（-1）AP ，A、B秩相同，有相同的特征值，还有之间的特征向量关系。
4.矩阵AB合同，存在可逆Q，B=Q`AQ，A、B秩相同。
可以得出1.2.3.4 之间都存在秩相同的关系，但是大家可以考虑他们之间的相互关系是否是等价。
1.2之间、2.3之间的相互推导，是否同。
本人认为是不等价的。
矩阵的合同、相似与二次型
第２ｌ卷第３期２００４年８月新疆大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉｎｊｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｖ０１．２１．Ｎｏ．３Ａｕｇ．．２００４矩阵的合同、相似与二次型＋王芳珍（新疆大学数学与系统科学学院新疆乌鲁木齐８３００４６）摘要：矩阵的合同关系、相似关系都是等价关系．它们虽然不同，但又有联系．对称矩阵是这两个知识点的交汇点，即两个实对称矩阵合同当且仅当它们相似．进一步得到二次型可以通过一个正交变换化为标准型．这一理论是高等代数教科书的重要内容．然而．现行的教科书对该理论的证明至少涉及到二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间的内容．本文利用欧氏空间的正交性质给出这一理论新的简洁证明，以供教学参考之用．关键词：矩阵的合同；矩阵的相似；二次型中图分类号：０１５１．２１文献标识码：Ａ文章编号：ｌｏｏＯ－２８３９（２００４）０３一０２４４一０２ＣｏｎｇｒｕｅｎｔａｎｄＳｉｍｉｌａｒｉｔｙｏｆＭａｔｒｉｓａｎｄＩｔｓＱｕａｄｒｉｃＦｏｒｍＷＡＮＧＦａｎｇ—ｚｈｅｎｇｔＣｏｌｌｅｇｅｑｆＭｕ￡ｈｅ｜ｎｎ￡ｉｃｓｕｎｄＳｙｓｔｎＨＳｃｉｃ扎ｆＰ，ＸｉｔｌｊｉｎｎｇＵｎｉｗｒｓｎｙ·Ｕｔ‘Ｈｔｎｑｉ，Ｘｉｎｊｉｕｎｇ８３００４６，ＣｈｉｎⅡ、Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｏｔｈｃｏｎｇｒｕｅｎｔａｎｄｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｏｆｍａｔｒｉｘｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｃｏｎｇｒｕｅｎｔａｎｄｓｉｍｉｌａｒｄｉｆ—ｆｅｒｅｎｔｂｕｔｒｅｌａｔｉｖｅ．Ｔｈｅｙａｔｓｙｍｍｅｔｒｉｃｎｌａｔｒｉｘ．ｔｗｏｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｃｅｓｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉｆａｎｄｏｎｌｙｉｆｔｈｅｙｓｉｍｉｌａｒ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅａ（１ｕａｄｒｉｃｆｏｒｍｈｅｃｈａｎｇｅｄｉｔｓｓｔａｎｄａｒｄｆｏｒｍｂｙｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ａｌｌｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｔｈｅａｄｖａｎｃｅｄ“ｎｅａｒａｌｇｅｂｒａ．ＨｏｗｅｖｅｒｔｈｅｐｒｏｏｆｏｆｔｈｉｓｔｈｅｏｒｙｉｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅｓｉｓｌａｔｅｄＩｅａｓｔｑｕａｄｒｉｃｆｏｒｍ，ｌｉｎｅａｒｓｐａｃｅ。
考研数学：令人头大的相似、合同、等价
考研数学：令人头大的相似、合同、等价摘要：考研数学里关于矩阵的相似、合同、等价的关系有时令大家头晕脑胀，就需要大家对它们的性质、定义要更加清楚，得分才不难。
接下来一起看看三者的纠缠吧。
关于矩阵的相似、合同、等价的关系总结起来就是一句话相似必合同，合同必等价（反之，则不一定）...........背好这一句话基本可以应付70%的填空选择，至于剩下那30%，则需要对各自的性质、定义以及判别的条件有充分的了解。
分割线卡通一、等价的定义两个SxN矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使得B=PAQ矩阵A与B等价必须具备的两个条件(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使B=PAQ矩阵等价的性质(1)反身性:即A~=A(2)对称性:若A~=B，则B~=A.(3)传递性:若A~=B，B~=C，则A~=C.(4)A等价于B的充要条件是r(A)=r(B)(5)设A为m*n矩阵，r(A)合同，C又与B合同，那么C与A合同.(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5)任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵(6)合同矩阵的秩相等三、相似的定义设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵).矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P1AP=B矩阵相似的性质(1)反身性:即A~A(2)对称性:若A~B，则B~A.(3)传递性:若A~B，B~C，则A~C.(4)若矩阵A、B相似，则r(A)=r(B)(5)若矩阵A、B相似，则KA~KB(6)若矩阵A、B相似，则A(7)若矩阵A、B相似，f(x)是一个多项式，则f(A)~f(B)注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。
相似矩阵及二次型应用案例
相似矩阵及二次型应用案例相似矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多实际问题中有着广泛的应用。
而二次型又是相似矩阵的一个重要应用之一。
下面将分别介绍相似矩阵和二次型，并举例说明它们的应用。
相似矩阵是指矩阵A和矩阵B满足存在一个可逆矩阵P，使得B=P^{-1}AP。
相似矩阵是一个等价关系，它保持了矩阵的某些重要性质，如特征值和秩。
相似矩阵的应用非常广泛，下面将介绍其中的两个应用案例。
一、图像压缩与相似矩阵在计算机图形学中，图像压缩是一个重要的问题。
通过相似矩阵的应用，可以实现对图像的压缩。
在图像压缩中，可以将图像看作是一个由像素组成的矩阵。
通过找到一个相似矩阵P，可以将原始图像矩阵A变换为一个更简洁的矩阵B，从而实现图像的压缩。
具体来说，可以使用奇异值分解（SVD）来找到相似矩阵P。
奇异值分解将矩阵A分解为A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
通过保留较大的奇异值，可以将矩阵A近似地表示为A_k=U_kΣ_kV_k^T，其中k是一个较小的正整数。
矩阵Ak是对矩阵A的近似，它的秩较低，因此可以更加紧凑地表示原始图像。
通过相似矩阵的应用，可以实现图像的压缩，减少存储空间的占用，并且在一定程度上保持图像的质量。
二、二次型与优化问题二次型是指形如Q(x)=x^TAx的二次函数，其中A是一个实对称矩阵。
二次型在优化问题中有着广泛的应用。
通过相似矩阵的应用，可以将二次型进行标准化，从而更方便地进行优化计算。
具体来说，假设A是一个n阶实对称矩阵，通过相似矩阵的应用，可以将A对角化为一个对角矩阵D=diag(λ1,λ2,...,λn)，其中λi是A的特征值。
假设P是一个可逆矩阵，满足A=PDP^{-1}，则对于任意的非零向量x，有Q(x)=x^TPDP^{-1}x=(Px)^TD(Px)=y^TDy=λ1y_1^2+λ2y_2^2+...+λny_n^2。
其中y=Px。
通过将二次型进行标准化，即通过相似矩阵的变换使得二次型的系数矩阵变为对角矩阵D，可以更方便地进行优化计算。
高等代数 矩阵的相抵合同相似
莆田学院数学系“高等代数选讲”课程论文题目：矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量姓名：阮超英学号：21041132数学系2002级本科（1）班2005 年6月23日矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量[摘要]矩阵的相抵、合同、相似这三种等价关系之间既包含着联系，又蕴涵着差别，以及矩阵在各自关系下的不变量。
[关键词]相抵；合同；相似；等价关系；不变量1首先介绍矩阵的相抵、合同及相似概念的引入及其定义以及等价关系的证明。
1.1矩阵相抵矩阵的相抵是在矩阵的初等变换的基础上引入的，故先了解一下初等变换下的初等矩阵。
定义1[1]由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
显然，初等矩阵是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。
○1互换矩阵E的i行与j行的位置11011(,)1111p i j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭○2把矩阵的i 行乘以一非零数c （c 为数域p 中数） 11(())11p i c c⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭○3把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行，有 11(,())11k p i j k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭同样可以得到与列变换相应的初等矩阵，不难看出，初等矩阵是可逆的，且逆矩阵还是初等矩阵。
定义2 矩阵A 与B 相抵（equivalent 记为~A B 或称为等价）是指对A 进行行和列的有限次的初等变换后可得到B ，亦即存在初等矩阵11,,,,,,s t P P Q Q 使得 11s t P P AQ Q B = 显然，矩阵的相抵是一种等价关系，它满足 ＜1＞ 对称性 若A 与B 相抵,则B 与A 相抵；因为由定义2，有：11s t P P AQ Q B = ， 这样可得到：1111s t A P P BQ ---= ＜2＞ 反身性 若A 和A 本身相抵；因为：11111111t t s sQ Q Q Q AP P P P A ----=＜3＞ 传递性 若A 和B 相抵，B 和C 相抵，则A 和C 相抵。
二次型和矩阵合同
⼆次型和矩阵合同1. ⼆次型含有n个变量x_{1},x_{2},...,x_{n}的⼆次齐次函数f(x_{1},x_{2},...,x_{n})称为n元⼆次型，即在⼀个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每⼀项的次数都为2的多项式，如f(x) = ax^{2} \\ f(x,y) = ax^{2} + by^{2} + cxy \\ f(x,y,z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dxy + exz + fyz它起源于⼏何学中⼆次曲线⽅程和⼆次曲⾯⽅程化为标准形问题的研究。
⼆次型中每⼀项都是⼆次的，没有⼀次项和常数项，之所以不研究包含⼀次项和常数项的⼆次⾮齐次多项式，是由于：⼀次项与常数项的改变不会影响函数图像的⼤致形状。
⼀个⼆次型可以⽤⼀个矩阵表⽰成如下的形式：f(x) = x^{T}Ax其中x是⾃变量组成的列向量。
⼀定都会找到⼀个对称的矩阵A来表⽰表⽰这个⼆次型，假如A不对称，那么必然有对称矩阵B = (A + A^{T}) / 2满⾜x^{T}Ax = x^{T}Bx因为实对称矩阵具有许多特别的性质，为了⽅便研究，规定⼆次型矩阵就是⼀个实对称矩阵。
更为关键的是：如果⼆次型矩阵是对称的，那么它将是唯⼀的。
⼆次型的图形：为了⽅便研究⼆次型，我们代⼊具体的函数值，研究⼀个具体的图形：x^{T}Ax = C这样就表⽰成⼀个曲线或者曲⾯，这个图形由取具体函数值的⾃变量全体构成的。
描述它的参考系(少了函数值那个维度)不同，⼆次型矩阵也不同，这涉及到合同的概念。
2. 矩阵合同在线性代数，特别是⼆次型理论中，常常⽤到矩阵间的合同关系。
定义：设A和B是两个n阶⽅阵，若存在可逆矩阵C，使得C^{T}AC = B则⽅阵A与B合同，A到B的变换C称为合同变换。
那矩阵A和B合同到底有什么意义呢？我们已经知道相似是相同的线性变换在不同基下的表⽰，那合同呢？下⾯针对⼀个⼆次型的图形来表述，即代⼊具体函数值之后的曲线或曲⾯。
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二次型及应用
问题1：矩阵的等价、相似、合同辨析
答：（1） 两个矩阵等价：A 和B 等价，即表示为A B ≅；A B 和是同型矩阵；满足，,PAQ B P Q =、可逆，即将A 通过行初等变化和列初等变换后得到B 的矩阵，其中()()r A r B =。
（2） 两个矩阵相似：A 和B
相似，即表示为；A B 和是n 阶方阵；满足，1,P AP B P -=可逆， 即也A B ≅，其中，()(
r A r B =A B =
（3） 两个矩阵合同：A 和B 合同，即表示为A B ；A B 和是n 阶方阵；满足，,T P AP B P =可逆， 即也A B ≅，其中，()()r A r B =
问题2：通过正交变换或可逆变换得到的标准形一样吗？
答：不同点：
i) 正交变换得到的实二次型的标准形：对角线元素是实对称阵的特征值；且标准形在不计特征值顺序时是唯一的。
ii) 可逆线性变换得到的实二次型的标准形：对角元素不一定是实对称阵的特征值，且其形式也不唯一。
相同点：
i)平方项中非零项的个数相同
ii)平方项中正（负）项的个数相同
问题3： 判断下面三个矩阵那些相似？哪些合同？
-2101100121123322A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
、、 i. A 是对角阵，A 是上三角阵，且有3个互异特征值与A 相同，所以B 可以相似对角阵为A 。
即A 与B 相似。
ii. 因为A 是对角阵，所以与A 合同的矩阵必然是对称阵，而B 不是对称阵，A 与 B 不合同。
iii. 又因为0E C λ-= 得1232,1,3λλλ=-== ，C 是又实对称矩阵,所以存在正交
矩阵Q ，使得1,T Q CQ Q CQ A -== C 与A 既相似又合同，在由传递性可知, C
与B 也相似。
但C 与B 不合同，
因为C 是对称阵，与对称阵合同的矩阵必然是对称阵，而B 不是对称阵， 所以C 与B 不是合同矩阵。
问题4：设A 是n 阶实对称矩阵， T AB B A +是正定矩阵，证明A 可逆。
证明：任意 0x ≠，由于T AB B A +正定，总有
()()()()()0T T T T x AB B A x Ax Bx Bx Ax +=+>
因此, 对任意 0x ≠，恒有0Ax ≠，即齐次方程组 0Ax = 只有零解，所以，A 可逆。
问题5：用正交变换化二次型为标准形的步骤及其正交变换矩阵，并举例说明。
答：步骤：1）、将二次型的矩阵表示；
2）、求出二次型矩阵A 的特征值及其对应的特征向量。
分别讨论特征值对应的特征向量，
将重根对应的特征向量正交化单位化， 将单根特征值对应的特征向量单位化，
3）、由标准型中特征值的位置决定的，由2）步中算出的单位正交向
量的列构成矩阵P 。
4）、写出二次型在正交变换下化成的标准形。
例：设二次型为2212323121323(,,)43448f x x x x x x x x x x x =-+-+。
解：1）二次型矩阵为：
022244243A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2）求出A 所对应的特征值1231,6,6,λλλ===-
111(2,0,1)T λα=⇒=-单位化得1p =；
116(1,5,2)T λα=⇒=单位化得2p =；
116(1,1,2)T λα=-⇒=-
单位化得1p =；
3） 构建以123,,p p p 为列向量的矩阵
0P ⎢=⎢⎢
则，166T P AP ⎡⎤
⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
得正交变换x Py =，即
1122330
x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥
==⎢⎢⎥
⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
4）二次型在正交变换下化成的标准形：222
12366f y y y =+-。