《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型
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对称矩阵与二次型_OK
f a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
2021/9/4
2
a11 a12
故“二记次型与一x个1,对x称2 ,矩阵, x一n，一则aa对2n11应”aa。n222，
化为标准形，并指出 f x1, x2 , x3 1表示何种二次
曲面 。
5 1 3
解：二次型f的矩阵
A
1
5
3, r A 2,
由于
3 3 3
5 1 3
A E 1 5 3 4 9
3 3 3
2021/9/4
12
故矩阵A的特征值为1 0, 2 4, 3 9 ，各特征值
a1n x1 a2n x2
ann xn
例如，二次型
的
A (aij )nn , x x1, x2, , xn T
f xT Ax
矩阵
。
f x12 x22 x42 2x2 x3 x2 x4
1 0 0 0
A
0 0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
2021/9/4
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30
例5.7 若 f = x12 2x22 x32 2x1x2 2tx1 x3为正定二次型，
则t应满足什么条件？
解：二次型f的矩阵为
由于
1 A 1t
a11 1,
1 t
2 0
10 ,
11 A1 2
t0
a11
a12
1
1 1,
a21 a22 1 2
t 0 1 2t2 1
对称矩阵与二次型
对称矩阵与二次型对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。
一、对称矩阵的定义与特性在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。
具体定义如下：定义1：对称矩阵设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。
对称矩阵的一些特性如下：特性1：主对角线上的元素对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。
特性2：特征值对称矩阵的特征值都是实数。
特性3：特征向量对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
特性4：对角化对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。
二、二次型的定义与性质二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。
具体定义如下：定义2：二次型设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。
称f(x)为二次型。
二次型有一些重要的性质：性质1：对称性二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。
性质2：标准型对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。
标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。
性质3：正定、负定与半正定二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。
当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。
三、对称矩阵与二次型的关系对称矩阵与二次型之间有紧密的联系，通过对称矩阵可以定义出二次型，同时对于任意一个二次型，都可以找到对应的对称矩阵。
天津大学线性代数教材第七章
记 B = STAS, 知 B 是对称矩阵, 是二次型 g(Y ) 的矩阵.
7.2 化二次型为标准形
· 149 ·
如果所作的线性替换 X = SY 是满秩的, 则 S 是可逆矩阵, 线性替换 Y = S−1X 可把 g(Y ) 还原到 f (X), 此时的二次型 f 与 g 是等价的.
定义 7.1.4 设 A, B 为 n 阶矩阵, 若存在 n 阶可逆矩阵 S 使得
津 数 因此, 一个二次型能否化成标准形, 用矩阵的语言来说, 就是对称矩阵 A 能否与一个对 学 角矩阵合同. 由于 S 是可逆矩阵, 所以 r(A) = r(STAS) = r(B). 因此, 二次型 f 的标准形 天 大 中不为零的平方项的项数等于二次型 f 的秩.
津 7.2.1 正交线性替换法
天 实二次型的矩阵为实对称矩阵. 由定理 6.3.4 知, 对于实对称矩阵 A, 必存在 n 阶正交矩
阵 Q, 使得 QTAQ = Q−1AQ = diag(λ1, λ2, . . . , λn), 其中 λ1, λ2, . . . , λn 为矩阵 A 的全部
特征值, 即一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. 因此, 一个实二次型一定能化为标准形.
版 所 f (x1, x2, . . . , xn) =a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2a1nx1xn 院 + a22x22 + 2a23x2x3 + · · · + 2a2nx2xn + · · · + annx2n
(7.1)
学 权 称为数域 P 上的 (n 元) 二次型. 当 P = R 时称之为实二次型. 版 令 aij = aji(i > j), 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi(i > j), 于是 (7.1) 式可写成
二次型与对称矩阵的标准形
y1 y2
O
n
yn
例 利用正交替换法化二次型
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
为标准形. 解对应的
矩阵为A
1 02
2 0
1 2
2 2
23
E A
2 2
02
0 2
3
特征值 1, 2, 5
( 1)( 2)( 5)
2 3
2 3
y2 y3
1
( y1
y2
y3 )
0 0
0 2 0
0 y1
0 5
y2 y3
Q
y12 2 y22 5 y32
例 用正交替换 化二次型
f 2x12 5x22 5x32 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 2 2 2
为标准形, 并写出所作的线性替换. 解 二次型对应的矩阵为
yn
实对称矩阵 A
存在可逆矩阵C, 使得
CT AC
d1
d2
O
dr
0
O
0
二次型通过非退化线性替换化成标准形 有三种方法: (一) 用配方法化二次型为标准形 (二) 用初等变换法化二次型为标准形
(三)用正交替换法化二次型为标准形
3.用正交替换法 化二次型为标准形
二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X T A X 实对称矩阵A
1 2 0
二次型对应的矩阵为
A
2
2
2
2 2 1
0 2 3
3 3 3
1 0 0
Q
2 3
1
1 3
2
2 3
是正交矩阵，QT
5.3二次型与对称矩阵的有定性
i 0
定理5.9 （P.221）对称阵A 正定 A的特征值 i 0( i 1,2,, n) 例如：P.216例 4 A的三个特征值：1,1,10>0,故A正定。
P.221
3. 用顺序主子式判别 定义 对于 n 阶矩阵 A ( aij )nn ，子式
a11 a12 a1k a22 a2 k ak 2 akk ， ( k 1， 2， ，n) a21 ak 1
| A1 | 1,
| A2 |
1 2 2 0
4,
| A3 || A | 8
定理5.10 （P.222） A (aij )nn 正定 | Ak | 0( k 1,2,, n) 证明略（P.222—P.224)
例4 （ P.224） 判断下面二次型的正定性 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 3 x1 6 x1 x3 x2 4 x2 x3 8 x3 0 3 3 解 A 0 1 2 3 2 8 3 0 | A1 | 3 0, | A2 | 3 0, | A3 || A | 3 0 0 1 A正定， 相应的二次型正定。
补例 二次型 2 2 2 f ( x1，x2，x3 ) x1 4 x2 4 x3 2 t x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3 当 t 为何值时，f 为正定二次型？ 1 t 1 解：f 的矩阵为 讨论t为何值时 A t 4 2 A正定 1 2 4 A的顺序主子式依次为 1 t 2 | A1 | 1， | A2 | 4t ， t 4 t 1 2 1 t 1 1 4t 4t 8 2 | A3 | t 4 2 0 4 t 2 t 4( t 1)(t 2). 0 2 t 3 1 2 4
线性代数二次型
第五章 1二次型与对称矩阵一、 二次型及其矩阵1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =+++12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --++++称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：212111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =+++ 2212122222n n a x x a x a x x +++++21122n n n n nn na x x a x x a x ++++ ,1nij i j i j a x x ==∑令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 12(,,,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。
由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。
例1 设31322123222132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=.试求二次型矩阵A .解 111=a , 222=a , 333=a , 252112==a a , 273223==a a , 293113==a a .于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=327292722529251A ，1123235912257(,,)22297322x f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X .求二次型AX X T 的矩阵.解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T321321233110321),,(x x x x x x AX X3231212322214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--223211311.二、线性变换1 标准形定义：形如2222211n n x d x d x d +++ 的二次型称为二次型的标准形。
第3节 二次型和对称矩阵的有定性(12.10)
(2) f ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 2 y22 − 2y32;
(3) f (z1 , z2 , z3 ) = z12 + z22 .
定理4.6 设 n元二次型 f ( x1 , x2 ,⋯, xn ) = d1 x12 + d2 x22 ⋯ + dn xn2 则二次型 f ( x1, x2 ,⋯, xn ) 正定 ⇔ di > 0 ( i = 1, 2,⋯, n).
例题 判断下列二次型是否正定？ (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x22 + 5 x32 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6x2 x3
(2) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
例题 试问 t 为何值时, 二次型
a11 a12 ⋯ a1k a21 a22 ⋯ a2k ⋮ ⋮⋱⋮ ak1 ak 2 ⋯ akk 称为A 的 k 阶顺序主子式, 记作det Ak .
顺序主子式的概念 设 A = (aij ) 是一个 n 阶矩阵, 将其如下形式的子式
a11 a12 ⋯ a1k a21 a22 ⋯ a2k ⋮ ⋮⋱⋮ ak1 ak 2 ⋯ akk
称为A 的 k 阶顺序主子式, 记作det Ak .
例题 求下列矩阵的所有顺序主子式：
⎛1 1 1⎞
(1)
A
=
⎜ ⎜
1
2
3 ⎟⎟;
⎜⎝ 1 3 5 ⎟⎠
⎛0 1 1⎞
(2)B
=
⎜ ⎜
1
0
3
⎟ ⎟
.
线性代数4.3二次型与对称矩阵的有定性
2 1 2 2
−1 1 x1 T f ( x1 , x2 ) = −x + 2 x1 x2 −x = ( x1 , x2 ) = x Ax 1 −1 x2 1 x1 2 2 2 2 ∀ ∈ R 有 f ( x1 , x2 ) = − x1 + 2 x1 x2 − x2 = −( x1 − x2 ) ≤ 0 ≠ o 1 x2 f (1, 1) = 0 称此二次型是半负定二次型.相应的矩阵 1 −1 称此二次型是半负定二次型 半负定二次型. −1 1
均大于0, 设d1 ,d2 ,…,dn均大于0,
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
2 2 2 d1 x1 + d 2 x2 + ... + d n xn x1 为正定二次型 x 2 事实上,对任何 x = M ≠ o 事实上, xn 有 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 2 2 d1 x12 + d 2 x2 + ... + d n xn > 0
证
充分性已证. 充分性已证.
必要性: 是正定矩阵, 必要性: 设D是正定矩阵, 则
>0
1 0 ≠ o ∴ d1 > 0 M 0
0 1 ≠ o ∴ d2 > 0 M 0
0 0 ... ≠ o ∴ d n > 0 M 1
n
T
n
是半负 二次型 x T Ax 是半负定的
r ∀x ∈ R , 有x Ax ≤ 0且 ∃x ∈ R , x ≠ 0 使 xT Ax = 0
n
T
n
2 f (0,1) = −4 < 0 例 二次型 f ( x1 , x2 ) = x12 − 4 x2 f ( x1 , x2 )不是 半) 正定的; ( 正定的; f (1,0) = 1 > 0
−1 1 x1 T f ( x1 , x2 ) = −x + 2 x1 x2 −x = ( x1 , x2 ) = x Ax 1 −1 x2 1 x1 2 2 2 2 ∀ ∈ R 有 f ( x1 , x2 ) = − x1 + 2 x1 x2 − x2 = −( x1 − x2 ) ≤ 0 ≠ o 1 x2 f (1, 1) = 0 称此二次型是半负定二次型.相应的矩阵 1 −1 称此二次型是半负定二次型 半负定二次型. −1 1
均大于0, 设d1 ,d2 ,…,dn均大于0,
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
2 2 2 d1 x1 + d 2 x2 + ... + d n xn x1 为正定二次型 x 2 事实上,对任何 x = M ≠ o 事实上, xn 有 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 2 2 d1 x12 + d 2 x2 + ... + d n xn > 0
证
充分性已证. 充分性已证.
必要性: 是正定矩阵, 必要性: 设D是正定矩阵, 则
>0
1 0 ≠ o ∴ d1 > 0 M 0
0 1 ≠ o ∴ d2 > 0 M 0
0 0 ... ≠ o ∴ d n > 0 M 1
n
T
n
是半负 二次型 x T Ax 是半负定的
r ∀x ∈ R , 有x Ax ≤ 0且 ∃x ∈ R , x ≠ 0 使 xT Ax = 0
n
T
n
2 f (0,1) = −4 < 0 例 二次型 f ( x1 , x2 ) = x12 − 4 x2 f ( x1 , x2 )不是 半) 正定的; ( 正定的; f (1,0) = 1 > 0
《线性代数及其应用》课件-第7章
线性替换
定义 2 设 X = [x1, x2, . . . , xn]T, Y = [y1, y2, . . . , yn]T, S ∈ Pn×n, 称
X = SY
线性替换
定义 2 设 X = [x1, x2, . . . , xn]T, Y = [y1, y2, . . . , yn]T, S ∈ Pn×n, 称
x = x′ cos θ − y′ sin θ, y = x′ sin θ + y′ cos θ,
或
x y
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x′ y′
化为标准形 a′x′2 + c′y′2 = 1.
▶
例如,
二次曲线
x2
√ − [3x]y
+ [2y2
=
1
经坐标旋] 转[ 变]换
x y
=
二次型及其矩阵表示
二次型 (quadratic form)是指含 n 个变量的齐二次多项式 f (x1, x2, . . . , xn) =a11x21 + a22x22 + · · · + annx2n + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2an−1,nxn−1xn
当 j > i 时, 令 aji = aij , 则 2aij xixj = aij xixj + ajixj xi, 二次型可用矩阵乘 积记作：
0 x1 1 x2
0 0 −3 x3
= x21 + 4x1x2 + x2x3 − 3x23,
12 0
该二次型的矩阵为 A = 2 0
1 2
6.3二次型与对称矩阵的正定性(《线性代数》闫厉 著)
解法二 特征值法。二次型 f x1 , x2 , x3 对应的矩阵为
6 2 2
A
2 2
5 0
0 7
6 2 2
E A 2 5 0 3 6 9
2 0 7
因此A的特征值分别为3、6、9都是正数，故该二次型正定。
ห้องสมุดไป่ตู้
例6.3.4 判别二次型是否正定。
f x1 , x2 , x3 6x12 4x1 x2 4x1 x3 5x22 7 x32
定理6.3.3 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵 C，使得A=CTC，即A合同于单位矩阵。
推论6.3.2 如果A为正定矩阵，则|A|>0。
定理6.3.4 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特 征值都是正数。
定义6.3.2 设n阶矩阵
A
a11
a21
a12
a22
a1n
是正定的，并讨论λ≤2的情况。
解 二次型的矩阵为
1 1 0
A
1 1
1
1
0
0
0 0 0 1
由f正定的充要条件是A正定，而A正定的充要条件是A的各阶顺
序主子式全大于零。A的各阶顺序主子式为
A1 0 ,
A2 1
1
2 1 0,
1 1
A3 A4 1 1 12 2 0
1 1
解法三 顺序主子式法。
A1 6 0 ,
A2
6 2
2 26 0 , 5
6 2 2 A3 2 5 0 162 0
2 07
故该二次型正定。
例6.3.5 判别二次型 f (x, y, z)为负定
f x, y, z 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz
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故
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注 定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即 解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章 对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为 对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵； （2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解 二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，
从而 由
An = PnP-1 .
2 1
| A E |
( 1)( 3) ,
1 2
得 A 的特征值 1 = 1， 2 = 3 . 于是
1 0
03
, n
1 0
0 3n
.
当 1 = 1 时， 解方程 (A – E )x = 0，即
1 1
11
x1 x2
0,
1
得
p1 1 ;
当 2 = 3 时， 解方程 (A – 3E )x = 0，即
即
1 2 1 x2 0,
1 1 2 x3
得1个特征向量
1 p3 1 .
1
则 p1 , p2 , p3 为 A 的三个线性无关的特征 向量且这三个向量两两正交. 现把它们单位化.
1
令
e1
p1 p1
1
1 ,
2 0
1
e2
p2 p2
11Βιβλιοθήκη ,6 2e3
p3 p3
1
1 1 .
1 1 1
1
( 1)2 ( 2),
所以 A 的三个特征值为:
1 2 , 2 3 1.
当 1 2 时, 解方程组 (A 1I )x 0,
即
2 1 1 x1 1 2 1 x2 0,
1 1 2 x3
解得
1
p1
1
,
1
当 2 3 1 时, 解方程组
(A 2 I )x 0,
要条件是 BTB 为正定矩阵.
证明
Bx = 0 只有零解
当 x 0 时, Bx 0,
x 0 , xT(BTB)x = ||Bx||2 > 0,
BTB 为正定矩阵.
证毕
第5、6、7章 小 结
概念：内积、正交、特征值、特征向量、正交矩阵 相似矩阵、对角化、二次型、正定矩阵
方法评注 在求正交矩阵 P 把对称矩阵 A 对角化时， 若 A 有重特征值，在求该重特征值对应的 特征向量时，可直接求出正交的特征向量， 这样可避免正交化过程，从而简化计算。
例5 设
A
2 1
21 ,
求 An .
解 因 A 对称，故 A 可对角化，即有可逆矩阵P及对角
阵 ，使 P-1AP = . 于是
解
xT Ax (x1
4 x2 )0
0 3
x1 x2
(x1
x2
)
4x1 3x2
4x12
3x22 .
4x12 3x22.
例 2 对属于 R4 的 x ，取
Q(x) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2
4x1x3 6x1x4 8x2x3 4x2x4,
写出 xT Ax 的二次型。
例2: 如果可能，对角化矩阵 解： A 的特征多项式为
6 2 1
A
2
6
1
,
1 1 5
6 2 1 3 2 1 | A I | 2 6 1 3 6 1
1 1 5 3 1 5
( 8)( 6)( 3),
所以 A 的三个特征值为:
1 3 , 2 6 , 3 8.
注：的Q，被如称果为对半所正有定x的,Q，(x如) 果0对. 所有xr,Q( x) 0; Q被称为半负
定理5 （二次型与特征值）
设A是 n n 对称矩阵，那么A对应的二次型是：
a. 正定的，当且仅当A的所有特征值是正数。 b. 负定的，当且仅当A的所有特征值是负数。 c. 不定的，当且仅当A既有正特征值又有负特征值。
定义1. Rn 上的一个二次型是一个定义在 Rn 上的函数，它 在向量x处的值可由表达式 Q(x) xT Ax 计算，此处 A是一个 n n 对称矩阵，且矩阵A称为关于二次型 的矩阵。
注1：二次型 也可以写成：
f(x1 , x2 , ···, xn) = a11x12 + a12x1x2 + ···+ a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + ···+ a2nx2xn + ···+ an1 xnx1 + an2xnx2 + ···+ annxn2
f (x1,x2,x3 ) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;
变为没有交叉项的二次型。
解 二次型f 的矩阵 A 为
0 1 1
A 1 0 1 ,
1 1 0
A 的特征多项式为
1 1 | A E | 1 1
1 1
2
1 1
2
1
2
1
(2 )(1 )2 ,
所以 A 的特征值为
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有S个不同的特征值
1 , 2 , ···, s ，它们的重数分别为 n1 , n2 , ···, ns ,
n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - i E)x=0的基础解系, 设为
pi1 , pi2 , , pini ( i = 1, 2, ···, s).
ns
则 P 为正交矩阵，且 P-1AP = .
要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线上的元素 ( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
例4
设
0 1 1 A 1 0 1 ,
1 1 0
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
1 1 1 1 0
| A E | 1 1 1 1
并把它们正交化、单位化，仍记为
pi1 , pi 2 , , pini ，以这些向量为列构造矩阵
P ( p11,p12, , p1n1 ,p21,p22, , p2n2 , , ps1,ps2, ,psns ),
Λ diag(λ1, ,λ1, λ2, ,λ2 , , λs , ,λs ),
n1
n2
3
1
P (e1 ,e2 ,e3 )
3
1
3
则 P 为正交矩阵, 且有
1 6
1 6
2 6
1
2
1 2
,
0
3 0 0
P 1 AP
Λ
0
6
0
.
0 0 8
注：例2中的特征向量是正交的。下列定理解释了原因。 定理1 如果A是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个
特征向量是正交的。
证明： 设 p1 和 p2 是对应不同特征值1，,2 的特征向量，
当 1 3
即 3
2
1
时, 解方程组 (A 1I )x 0,
2 1 x1
3
1
x2
0,
1 2 x3
解得
1
p1
1
,
1
当 2 6 时, 解方程组
(A 2 I )x 0,
即
0 2 1 x1
2
0
1
x2
0,
1 1 1 x3
解得
1
p2
1
,
2
当 3 8 时, 解方程组 (A 3 I )x 0,
由已知有 1p1 = Ap1 , 2p2 = Ap2 , 1 2 .
因 A 对称, 故 1p1T = (1p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA ,
于是 1 p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,
即
(1 - 2 )p1Tp2 = 0 .
但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 与 p2 正交.
定理4 （主轴定理）
变二换次x型y设TAD是Py一y. 个，它n将 二n 次对型称x矩T阵A，x那变么换存为在不一含个交正叉交项变的量
二次型的分类
定义 一个二次型 Q 是
a.
正定的，如果对所有
x 0 ，有
Q( x )
0.
b. c.
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注 定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即 解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章 对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为 对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵； （2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解 二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，
从而 由
An = PnP-1 .
2 1
| A E |
( 1)( 3) ,
1 2
得 A 的特征值 1 = 1， 2 = 3 . 于是
1 0
03
, n
1 0
0 3n
.
当 1 = 1 时， 解方程 (A – E )x = 0，即
1 1
11
x1 x2
0,
1
得
p1 1 ;
当 2 = 3 时， 解方程 (A – 3E )x = 0，即
即
1 2 1 x2 0,
1 1 2 x3
得1个特征向量
1 p3 1 .
1
则 p1 , p2 , p3 为 A 的三个线性无关的特征 向量且这三个向量两两正交. 现把它们单位化.
1
令
e1
p1 p1
1
1 ,
2 0
1
e2
p2 p2
11Βιβλιοθήκη ,6 2e3
p3 p3
1
1 1 .
1 1 1
1
( 1)2 ( 2),
所以 A 的三个特征值为:
1 2 , 2 3 1.
当 1 2 时, 解方程组 (A 1I )x 0,
即
2 1 1 x1 1 2 1 x2 0,
1 1 2 x3
解得
1
p1
1
,
1
当 2 3 1 时, 解方程组
(A 2 I )x 0,
要条件是 BTB 为正定矩阵.
证明
Bx = 0 只有零解
当 x 0 时, Bx 0,
x 0 , xT(BTB)x = ||Bx||2 > 0,
BTB 为正定矩阵.
证毕
第5、6、7章 小 结
概念：内积、正交、特征值、特征向量、正交矩阵 相似矩阵、对角化、二次型、正定矩阵
方法评注 在求正交矩阵 P 把对称矩阵 A 对角化时， 若 A 有重特征值，在求该重特征值对应的 特征向量时，可直接求出正交的特征向量， 这样可避免正交化过程，从而简化计算。
例5 设
A
2 1
21 ,
求 An .
解 因 A 对称，故 A 可对角化，即有可逆矩阵P及对角
阵 ，使 P-1AP = . 于是
解
xT Ax (x1
4 x2 )0
0 3
x1 x2
(x1
x2
)
4x1 3x2
4x12
3x22 .
4x12 3x22.
例 2 对属于 R4 的 x ，取
Q(x) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2
4x1x3 6x1x4 8x2x3 4x2x4,
写出 xT Ax 的二次型。
例2: 如果可能，对角化矩阵 解： A 的特征多项式为
6 2 1
A
2
6
1
,
1 1 5
6 2 1 3 2 1 | A I | 2 6 1 3 6 1
1 1 5 3 1 5
( 8)( 6)( 3),
所以 A 的三个特征值为:
1 3 , 2 6 , 3 8.
注：的Q，被如称果为对半所正有定x的,Q，(x如) 果0对. 所有xr,Q( x) 0; Q被称为半负
定理5 （二次型与特征值）
设A是 n n 对称矩阵，那么A对应的二次型是：
a. 正定的，当且仅当A的所有特征值是正数。 b. 负定的，当且仅当A的所有特征值是负数。 c. 不定的，当且仅当A既有正特征值又有负特征值。
定义1. Rn 上的一个二次型是一个定义在 Rn 上的函数，它 在向量x处的值可由表达式 Q(x) xT Ax 计算，此处 A是一个 n n 对称矩阵，且矩阵A称为关于二次型 的矩阵。
注1：二次型 也可以写成：
f(x1 , x2 , ···, xn) = a11x12 + a12x1x2 + ···+ a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + ···+ a2nx2xn + ···+ an1 xnx1 + an2xnx2 + ···+ annxn2
f (x1,x2,x3 ) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;
变为没有交叉项的二次型。
解 二次型f 的矩阵 A 为
0 1 1
A 1 0 1 ,
1 1 0
A 的特征多项式为
1 1 | A E | 1 1
1 1
2
1 1
2
1
2
1
(2 )(1 )2 ,
所以 A 的特征值为
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有S个不同的特征值
1 , 2 , ···, s ，它们的重数分别为 n1 , n2 , ···, ns ,
n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - i E)x=0的基础解系, 设为
pi1 , pi2 , , pini ( i = 1, 2, ···, s).
ns
则 P 为正交矩阵，且 P-1AP = .
要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线上的元素 ( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
例4
设
0 1 1 A 1 0 1 ,
1 1 0
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
1 1 1 1 0
| A E | 1 1 1 1
并把它们正交化、单位化，仍记为
pi1 , pi 2 , , pini ，以这些向量为列构造矩阵
P ( p11,p12, , p1n1 ,p21,p22, , p2n2 , , ps1,ps2, ,psns ),
Λ diag(λ1, ,λ1, λ2, ,λ2 , , λs , ,λs ),
n1
n2
3
1
P (e1 ,e2 ,e3 )
3
1
3
则 P 为正交矩阵, 且有
1 6
1 6
2 6
1
2
1 2
,
0
3 0 0
P 1 AP
Λ
0
6
0
.
0 0 8
注：例2中的特征向量是正交的。下列定理解释了原因。 定理1 如果A是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个
特征向量是正交的。
证明： 设 p1 和 p2 是对应不同特征值1，,2 的特征向量，
当 1 3
即 3
2
1
时, 解方程组 (A 1I )x 0,
2 1 x1
3
1
x2
0,
1 2 x3
解得
1
p1
1
,
1
当 2 6 时, 解方程组
(A 2 I )x 0,
即
0 2 1 x1
2
0
1
x2
0,
1 1 1 x3
解得
1
p2
1
,
2
当 3 8 时, 解方程组 (A 3 I )x 0,
由已知有 1p1 = Ap1 , 2p2 = Ap2 , 1 2 .
因 A 对称, 故 1p1T = (1p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA ,
于是 1 p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,
即
(1 - 2 )p1Tp2 = 0 .
但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 与 p2 正交.
定理4 （主轴定理）
变二换次x型y设TAD是Py一y. 个，它n将 二n 次对型称x矩T阵A，x那变么换存为在不一含个交正叉交项变的量
二次型的分类
定义 一个二次型 Q 是
a.
正定的，如果对所有
x 0 ，有
Q( x )
0.
b. c.