人教版九年级数学上册弧、弦、圆心角
人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理ppt课件
AB
C′
C
E
O
C
F
DF
B' O′
B O
A'
A
【方法一点通】 利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路
1.在同圆或等圆中,要证弧相等,考虑证明这两条弧所对的圆周角
（圆心角、弦、弦心距）相等.
2.在同圆或等圆中,要证圆周角相等,考虑证明这两个圆周角所对 的弧（圆心角、弦、弦心距）相等.
圆周角定理推理2
同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧相等
条件“在 同圆或等 圆中”可以 省略吗？
C′
C
B' O′
B O
A'
A
知识要点 圆周角定理的推理
1、（在同圆或等圆中），同弧或等弧所 对的圆周角相等．
2、 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等
A
C
B
·
·
D
E
正确理解圆心角，弦、 弦心距、圆周角与弧 的互推关系
知一推四 前提：同圆 或是等圆中
正确理解圆心角，弦、 弦心距、圆周角与弧 的互推关系
课后练习. P88 第3,4题.
谢谢大家!
课后作业
1． 已知：A⌒C = B⌒D， A
B
求证：AB∥CD． C
D
2.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，求∠BOC的度数。
⌒⌒ AB=A′B′
C′
B A′
B′ O′
人教版数学九年级上册圆周角的概念 和圆周 角的定 理p p t 课件
五、定理
圆周角定 理
在同圆或等圆中，一条弧(同弧或等弧)
九年级数学《弧、弦、圆心角的关系》课件
AOB COD _____________ ．
A
E
B
（3）如果∠AOB=∠COD，那么
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
·
F
D
AB CD _____________ ，_________．
C
AB=CD
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD 于F，OE与OF相等吗？为什么？
AB=CD
（在同圆中，相等的弧所 对的圆心角相等）
∴ ∠1=∠2=45°
练习：
一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ × ） 2相等的弧所对的弦相等。（ × ） 3相等的弦所对的弧相等。（ × ） 二.如图，⊙O中，AB=CD，
B 1 C D 2 O A
1 50
o 2 ____ 50 .
你以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？
A E
C
N
B
O
M D
P
一题多解
• 例：如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分 别是OA，OB的中点，CM⊥AB， DN⊥AB. 求证： C AC=BD D
A
M O
N
B
课堂小结
• 1.弧、弦、圆心角关系定理的内容？ • 2.运用这个定理时应注意什么问题？ • 3.要证明两条弦（线段）相等时，可以采用 哪些方法？你能归纳一下吗？
训练
2、 如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD 上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交 ⊙O于点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：弧AC=弧BD
部编数学九年级上册24.9弧、弦、圆心角(巩固篇)(人教版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．已知下列命题：①长度相等的两条弧所对的圆心角相等．②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴．③平分弦的直径垂直于这条弦．④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．其中错误命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知△ABC 内接于⊙O ，若∠AOB =120°，则∠C 的度数是( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°3．如图， AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接AC ，OC ，OD ，若∠A ＝20°，则∠COD 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知△ABC 是圆O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠ACB ＝65°，点C 是弧BD 的中点，连接CD ，则∠ACD 的度数是（ ）A ．12°B ．15°C ．18°D ．20°5．如图，扇形AOB 中，90AOB Ð=°，半径6,OA C =是»AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．2-BC ．2D ．66．如图，已知O e 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是AOB Ð，COD Ð，若AOB Ð与COD Ð互补，弦8AB =，则弦CD 的长为（ ）A ．6B ．8C ．D ．5类型三、用弧、弦、圆心角关系求解7．如图，在以AB 为直径的⊙O 中，点C 为圆上的一点，»»2BC AC =，弦CD AB ^于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ，若点H 是AG 的中点，则CBF Ð的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°8．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，¶AC =¶CD=¶DB ，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE =30°；②∠DOB =2∠CED ；③DM ⊥CE ；④CM +DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，⊙O 的半径为9cm ，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．有一直径为AB 的圆，且圆上有C 、D 、E 、F 四点，其位置如图所示．若6AC =，8AD =，5AE =，9AF =，10AB =，则下列弧长关系何者正确？（ ）A ．¶¶¶AC AD AB +=，¶¶¶AE AF AB+=B ．¶¶¶AC AD AB +=，¶¶¶AE AF AB +¹C ．¶¶¶AC AD AB +¹，¶¶¶AE AF AB +=D ．¶¶¶AC AD AB +¹，¶¶¶AE AF AB+¹11．在锐角V ABC 中，60ACB Ð=°，∠BAC 、∠ABC 的角平分线AD 、BE 交于点M ，则下列结论中错误的是（ ）A ．120AMB Ð=°B ．ME MD =C ．AE BD AB += D ．点M 关于AC 的对称点一定在V ABC 的外接圆上12．如图，AB 、CD 分别是⊙O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦DE AB ∥，且∠CDE ＝62°，则下列结论错误的是（ ）A ．CB ⊥BD B ．∠CBA ＝31°C ．»»AC AE =D ．BD ＝DE二、填空题类型一、圆心角概念13．在⊙O 中，AB 是直径，AB ＝2，C 是»AB 上一点，D 、E 分别是»AC 、»BC 的中点，M 是弦DE 的中点，则CM 的取值范围是__________________．14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.15．已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD ^于点E ，对于下列说法：①圆上¼AbB 是优弧；②圆上¼AbD 是优弧；③线段AC 是弦；④CAD Ð和ADF Ð都是圆周角；⑤COA Ð是圆心角，其中正确的说法是________．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在以AB 为直径的半圆中，»AD =»EB，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，CD=CF=1，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是________．17．已知半径为2的⊙O 中，弦AC=2，弦AD ＝∠AOD ＝________，∠COD ＝_________．18．如图，AB 是O e 的直径，弦,CD AB ^连接CO 并延长交O e 于点,E 连接BD 交CE于点,F 若32,DBE Ð=°则DFE Ð的度数是________________．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．如图，点A 、B 、C 、D 均在O e 上，若65AOD Ð=°，AO DC ∥，则∠B 的度数为______．20．如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，»»AC AE =，∠B ＝116°，则∠D 的度数为______度．21．如图，⊙O 的直径AB 过»CD的中点A ，若∠C ＝30°，AB 、CD 交于点E ，连接AC 、BD ，则AE BE＝________________．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）∠BOD；①∠CED＝12②DM⊥CE；③CM+DM的最小值为4；④设OM为x，则S△OMC．23．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．24．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．三、解答题25．如图是半径为2的圆，（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，（2）求第三个扇形AOC的面积．26．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．27．阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．e．如图1，四边形ABCD内接于O×+×=×．求证：AB DC AD BC AC BDÐ=Ð交BD于点E．证明：如图2，作BAE CAD∵»»AD AD =，∴ABE ACD Ð=Ð．（依据）∴ABE ACD ∽△△．∴AB BE AC CD=．AB DC AC BE ×=×．…∴ABC AED ∽△△．∴AC BC AD ED =．∴AD BC AC ED ×=×．∵AB DC AC BE ×=×，∴()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ×+×=×+×=+=×．∴AB DC AD BC AC BD ×+×=×．任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程；(3)如图3，O e 的内接五边形ABCDE 的边长都为2，求对角线BD 的长．28．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 互相垂直，垂足为M ，F 是»BD 上的一点，且»»=，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．BF BC(1)求证：DE＝DF；(2)若⊙O的半径为8，∠BAF＝22.5°，求线段MN的长．参考答案1．D【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可．解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题②错误平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③错误在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题④错误综上，错误命题的个数为4个故选：D．【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键．2．C【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，∠C=12∠AOB=60°；②当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；即此时的∠C=120°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.解：∵∠A=20°，∴∠COB=2∠A=40°，∵CD⊥AB，OC=OD，∴∠DOB=∠COB=40°，∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．B【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC ＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解．解：如图，连接AO，BO，CO，DO，∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵点C是弧BD的中点，∴»»=，BC CD∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．5．D【分析】连接OC ，延长CD 交OB 于点E ，如图，易得△AOB 、△COE 、△BDE 都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE 与DE 的长，从而可得答案．解：连接OC ，延长CD 交OB 于点E ，如图，∵90AOB Ð=°，C 是»AB 的中点，∴∠COE=45°，∵//CD OA ，90AOB Ð=°，∴CE ⊥OB ，∴∠OCE=∴6==∴BE=OB －OE=6-，∵OA=OB ，90AOB Ð=°，∴∠ABO=45°，∴∠BDE=∠ABO=45°，∴EB=ED=6-，∴CD=CE －DE=(66-=．故选：D ．【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．6．A【分析】延长AO 交⊙O 于点E ，连接BE ，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD 知∠BOE=∠COD ，据此可得BE=CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD，∵AE为⊙O的直径，则AE=10，∴∠ABE=90°，∴=；故选择：A.【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．7．D【分析】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∵»»2=，BC AC∴∠CAB=2∠ABC，∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=30°，∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，∴AH=CH=HG，∴∠CAH=∠ACE=30°，∵∠CAF=∠CBF，∴∠CBF=30°，故选：D．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．8．B【分析】根据¶AC=¶CD=¶DB和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．解：∵¶AC=¶CD=¶DB，点E是点D关于AB的对称点，∴¶BD=¶BE，∴∠DOB=∠BOE=∠COD=13×180°=60°，∴①错误；∠CED=12∠COD=12×60°=30°=12∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确；∵¶BE的度数是60°，∴¶AE的度数是120°，∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，∵∠CED=30°，∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM 的值最短，等于DF长，连接CD，∵¶AC=¶CD=¶DB=¶AF，并且弧的度数都是60°，∴∠D=12×120°=60°，∠CFD=12×60°=30°，∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，∴DF是⊙O的直径，即DF=AB=10，∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．9．D【分析】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．解：连接OA，∵将劣弧¶AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC23=r＝6（cm），OC⊥AB，∴AC＝CB===cm），∴AB＝2AC＝cm），故选：D．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．B【分析】连接BD ，BF ，先求解6AC BD ==， 可得¶¶AC BD =，¶¶¶AC AD AB +=，再求解BF 可得¶¶AE BF ¹， ¶¶¶AE AF AB +¹，从而可得答案.解：连接BD ，BF ，AB Q 直径，10AB =，8AD =，90,6ADB BD \Ð=°=，6AC =Q ，AC BD \=，\¶¶AC BD=，\¶¶¶AC AD AB +=，AB Q 直径，10AB =，9AF =，90,AFB BF \Ð=°=5AE =Q ，\¶¶AE BF¹，\¶¶¶AE AF AB +¹，所以B 符合题意，故选：B ．【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．11．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB +∠MBA =60°，推出∠AMB =120°，可判断A ，证明C ，E ，M ，D 四点共圆，利用圆周角定理可判断B ；在AB 上取一点T ，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断M¢Ð与∠ABC互补，可判断D．解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=12（∠CAB+∠CBA）=60°，∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴¼¼EM DM=，∴EM=DM，故B符合题意，Q四边形CEMD是Oe的内接四边形，60,AME ACB BMD\Ð=Ð=°=Ð在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，AE ATMAE MAT AM AMì=ïïÐ=Ðíï=ïî，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD 和△BMT 中，MD MT BMD BMT BM BMì=ïïÐ=Ðíï=ïî， ∴△BMD ≌△BMT ，∴BD =BT ，∴AB =AT +TB =AE +BD ，故C 符合题意，∵M ，M ¢关于AC 对称， ∴M ¢Ð=∠AMC ， ∵()11802AMC CAB ACB Ð=°-Ð+Ð ()11801802ABC =°-°-Ð =90°+12∠ABC ，∴M ¢Ð与∠ABC 不一定互补，∴点M ¢不一定在△ABC 的外接圆上，故D 不符合题意，故选D ．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A ，根据圆周角定理可判断B 选项，根据圆周角与弧的关系可判断C ，根据CDE CDB йÐ判断D 选项．解：∵AB 、CD 分别是⊙O 的直径，90CBD \Ð=°，∴CB ⊥BD ，故A 选项正确，如图，连接BE，Q DE AB ∥，且∠CDE ＝62°，62BOD CDE \Ð=Ð=°，1312BCD BOD \Ð=Ð=°，OC OB =Q ，31CBO BCO \Ð=Ð=°，62AOC \Ð=°，62CBE CDE Ð=Ð=°Q ，31ABC ABE \Ð=Ð=°，\»»AC AE =，故B ，C 选项正确，31,90BCD CBD Ð=°Ð=°Q ，59BDC \Ð=°，62CDE Ð=°Q ，CDE CDB \йÐ，\BD ¹DE ，故D 选项不正确，故选D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．1≤CM 【分析】如图，连接OD 、OC 、OE ，先计算出∠DOC +∠COE ＝90°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，所以DE OD ，则OM ＝12DE ；由C 点在弧DE 上，则0≤∠COM ＜45°，根据三角形的性质，∠COM 越大，CM 越长，当O 、M 、C 共线时CM 最小，C 在点A 或点B 时CM 最长，即OC -OM ≤CM ＜ME ；解：如图，连接OD 、OC ，∵AB为直径，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵D、E分别是»AC、»BC的中点，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOC+∠COE＝1（∠AOC+∠BOC）＝90°，2∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE OD∵M是弦DEDE，∴OM＝12∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，∴O、C、CM最小，C在点A或点B时CM最长；∴CM≥1当C点在A点或B点时，CM∴CM的取值范围是1≤【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．14．36°，72°，108°，144°【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；360°×20%=72°；360°×30%=108°；360°×40%=144°.故答案为36°，72°，108°，144°.【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．15．①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可解：¼AbB ，¼AbD 都是大于半圆的弧，故①②正确，,A C Q 在圆上，则线段AC 是弦；故③正确；Q ,,C A D 都在圆上，\CAD Ð是圆周角而F 点不在圆上，则ADF Ð不是圆周角故④不正确；Q O 是圆心，,C A 在圆上\COA Ð是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．16．0152=+-x x 【分析】连接OD ，OE ，因为»AD =»EB，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF ，因为CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO ，所以Rt △DOC ∽Rt △EOF ，所以CO=OF=12，在Rt △DOC 中，，，，所以以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（，整理，得0152=+-x x ．解：连接OE ，OD ，∵»AD =»EB，∴∠DOC=∠EOF ，∵CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∴∠DCO=∠EFO=90°，又∵DO=EO ，∴Rt △DOC ≌Rt △EOF ，∴CO=OF=12，∵在Rt △DOC 中，∴，，=，∴以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（)=0，整理，得0152=+-x x ．故答案为：x 2．【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．17． 90° 150°或30°【分析】如图，在△AOD 中，根据勾股定理的逆定理即可求出∠AOD 的度数；连接OC ，易得△AOC 是等边三角形，从而可得∠AOC ＝60°，进一步利用角的和差即可求出∠COD 的度数．解：如图，在△AOD 中，∵2222228OA OD +=+=，(228AD ==，∴222OA OD AD +=，∴∠AOD=90°；连接OC，∵OA＝OC＝AC=2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°．∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝60°+90°＝150°或∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°－60°＝30°．故答案为：90°；150°或30°．【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．18．93o【分析】根据圆周角定理的推论，得∠DCE=32°，由CD AB^结合三角形外角的性质，得∠BOC 的度数，从而得∠BDC的度数，进而即可求解．解：∵∠DCE和∠DBE是同弧所对的圆周角，∴∠DCE=∠DBE=32°，∵CD AB^，∴∠BOC=90°+∠DCE=90°+32°=122°，∴∠BDC=12∠BOC=12×122°=61°，∴DFEÐ=∠DCE+∠BDC=32°+61°=93°．故答案是：93°．【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．19．57.5°【分析】根据平行线的性质得出∠ODC=∠AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ODA=∠OAD=1（180°-∠AOD）=57.5°，求出∠ADC的度数，根据圆内接四边形的性2质得出∠B+∠ADC=180°，再求出答案即可．解：连接AD，∵∠AOD=68°，AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=65°，∵∠AOD=65°，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=1（180°-∠AOD）=57.5°，2∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+65°=122.5°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠B=57.5°，故答案为：57.5°．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠ADC的度数是解此题的关键．20．128【分析】连接AD．首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．解：连接AD．∵»»AC AE=，∴∠ADC=∠ADE，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-116°=64°，∴∠CDE=2×64°=128°，故选：128．【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．1 3【分析】根据已知条件得出∠DCA=∠DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．解：∵⊙O的直径AB过»CD的中点A，∴»AC＝»AD，∴DE＝EC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BED＝∠CEA＝90°，∵∠C＝30°，∴∠DCA＝∠DBA＝30°，设DE＝EC＝x，∵∠C＝30°，∴AE，∵∠DBA ＝30°，∴BE，∴AE BE13 ；故答案为：13．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．22．①③【分析】①由»»BDCD =，可得∠COD =∠BOD ，据此根据圆周角定理即可得结论；②由点M 是直径AB 上一动点，而CE 的位置是确定的，因此DM ⊥CE 不一定成立，可得结论；③由题意可得点D 和点E 关于AB 对称，因此CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长；④过点C 作CN ⊥AO 于点N ，利用解直角三角形可求得CN ，利用三角形面积公式求解即可．解：①»»BDCD =Q ，C O D B O D \Ð=Ð，12CED COD Ð=ÐQ ，12CED BOD \Ð=Ð，故①正确；②Q 点M 是直径AB 上一动点，而CE 确定，\DM ⊥CE 不一定成立，故②错误；③¼¼¼BD CD AC==Q ，60BOE AOC COD BOD Ð=Ð=Ð=Ð=\°，∠CED =30°，\DE ⊥AB ，\点D 和点E 关于AB 对称，\CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长，Q AB =4，\CE =AB =4，故③正确；④连接AC ，¼¼¼BD CD AC ==Q ，\∠COA =60°，则△AOC 为等边三角形，边长为过点C 作CN ⊥AO 于N ，则sin 602CN OC =×°==，在△COM 中，以OM 为底，OM 边上的高为CN ，1122COM S OM CN x \=×==△，故④错误；综上，①③正确，故答案为：①③．【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23． 越长 越长 越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.24．27°【分析】根据题意易得∠ACB ＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣∠ABC ＝90°﹣63°＝27°，∴∠D ＝∠A ＝27°．故答案为27°．【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．25．（1）作图见分析；（2）5 3 p试题分析：（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；（2）根据扇形的面积公式S=2360n r p计算即可．解：（1）如图所示：（2）∵∠AOB=120°，∠BOC=90°，∴∠AOC=150°，故S扇形AOC =2150253603pp´´=．26．（1）26o；（2）13【分析】（1）连接OB，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径．解：（1）连接OB∵^OD AB∴»»AD BD=∴52AOC BODÐ=Ð=o∵12DEB BOD Ð=Ð∴26DEB Ð=o（2）∵^OD AB ∴11241222AC AB ==´=设OA x =，则8OC x =-在Rt ACO V 中，()222128x x =+-∴13x =∴O e 的半径长为13．【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解．27．(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见分析；1；【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得ABE ACD Ð=Ð；（2）由BAE CAD Ð=Ð可得BAC EAD Ð=Ð，再由ACB ADE Ð=Ð可得ABC AED ∽△△；（3）连接AD ，BE ，由2AB BC CD DE EA =====可得»»»»»AB BCCD DE BA ====，进而»»»BE AD BD==，BE =AD =BD ，再由AB DE AE BD BE AD ×+×=×解方程即可；(1)解：∵同弧所对的圆周角相等，»»AD AD =，∴ABE ACD Ð=Ð；故答案为：同弧所对的圆周角相等；(2)解：∵BAE CAD Ð=Ð，∴BAE EAC CAD EAC Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAC EAD Ð=Ð，∵»»AB AB =，∴ACB ADE Ð=Ð；(3)解：如图，连接AD ，BE ，∵2AB BC CD DE EA =====，∴»»»»»AB BC CD DE BA ====，∴»»»»»»AB AE AE EDCD CB +=+=+，∴»»»BE AD BD==，∴BE =AD =BD ，∵四边形ABDE 是O e 的内接四边形，∴AB DE AE BD BE AD ×+×=×，∵2AB DE EA ===，∴2222BD BD ´+=，解得：1BD =或1BD =，∴对角线BD 1+；【点拨】本题考查了圆内接多边形，圆心角、弧、弦关系，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识；掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题关键．28．(1)见分析(2)【分析】（1）根据AB CD ^得，90AME DMB Ð=Ð=°，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得BDC BAF Ð=Ð，DBA DFA Ð=Ð，根据等角的余角相等可得AEM DBM Ð=Ð，进而可得DFA DEF Ð=Ð，根据等角对等边即可得证；（2）连接,,,OF OC CF AC ，根据∠BAF ＝22.5°，证明COF V 是直角三角形，勾股定理求得CF ，进而证明MN 是ECF △的中位线，即可求解．解：(1)Q »»BFBC =，BDC BAF \Ð=Ð，AB CD ^Q ，90AME DMB \Ð=Ð=°，90,90BAF AEM CDB DBM \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，AEM DBM \Ð=Ð，»»AD AD =Q ，DBA DFA \Ð=Ð，AEM DEN Ð=ÐQ ，DFA DEF \Ð=Ð，DE DF \=；(2)如图，连接,,,OF OC CF AC ，Q »»BFBC =，22.5CDB BDF BAF Ð=Ð=Ð=\°，45CDF CDB BDF \Ð=Ð+Ð=°，»»CFCF =Q ，290COF CDF \Ð=Ð=°，在Rt COF △中，CF ===，由（1）得，DE DF =，DEF \V 是等腰三角形，CDB BDF Ð=ÐQ ，EN FN \=，N \是EF 的中点，Q »»BFBC =，BAF BAC \Ð=Ð，AB CD ^Q ，AM EC \^，EM MC \= ，\12MN CF ==【点拨】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．。
2020年人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》同步练习 学生版
别交 BC，CD 于点 E，M，下列结论：①DM=CM；② AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
；③⊙O 的直径为 2；④
23．如图，在⊙O 中，AB=DC，∠AOB=50°，则∠COD= ．
24．如图，已知 AB、CD 是⊙O 中的两条直径，且∠AOC=50°，过点 A 作 AE∥CD 交⊙O 于点 E，则 的度数为 ．
B．BE=CD
C．AC=BD
D．BE=AD
12．如图，圆心角∠AOB=25°，将 AB 旋转 n°得到 CD，则∠COD 等于（ ）
A．25°
B．25°+n°
C．50°
D．50°+n°
13．如图，⊙O 的半径为 1，动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45°圆心角的速度逆时针匀速 运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示的位置，第 2 秒中 P 点位于点 C 的位置，……，则第 2018 秒点 P 所在位置的坐标为（ ）
下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④ = ，其中正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二．填空题
16．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，弦 CE∥AB，弧 CE 的度数为 40°，∠AOC 的度
数 ．
17．⊙O 的半径为 5，弦 AB 与弦 CD 相等，且 AB⊥CD 于 H，若 OH=3 ，则线段 BH 长 为 ． 18．如图，C 为弧 AB 的中点，CN⊥OB 于 N，CD⊥OA 于 M，CD=4cm，则 CN= cm．
A．40°
B．45°
C．55°
D．80°
4．如图，BC 为半圆 O 的直径，A、D 为半圆上的两点，若 A 为半圆弧 ADC=（ ）
人教版 九年级数学上册 第24章 圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角 专题练习(含答案)
圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角专题练习（含答案）例1. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°例2. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE CE=1．则弧BD 的长是（）B C D例3．如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C例4. 如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3巩固练习1．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．2．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________．3．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．120°D．130°4．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．5. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为AD的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数6．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F，交BA的延长线于G，试说明弧EF和弧FG相等.7. ⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AM C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定8. 如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想AD与CB之间的关系，并证明你的猜想．9. 如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在ANB上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．10．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．10题图11题图12题图11．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠FAE=______，∠DAB=______，∠EFA=______．12．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是AB上一点，则∠BPC=______；若M是BC上一点，则∠BMC=______．13．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°14．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°15．如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB ∥CD ，若∠BAC =32°，则∠AOD 等于( )．A ．64°B ．48°C ．32°D ．76°16．如图，弦AB ，CD 相交于E 点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD 等于( )．A ．37°B ．74°C ．54°D ．64°17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则x ＝ 。
2023~2024学年新人教版九年级上《24.1.3 弧、弦、圆心角》高频题集
2023~2024学年新人教版九年级上《24.1.3 弧、弦、圆心角》高频题集考试总分：80 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1. 下列说法不正确的是（ ）A.圆是轴对称图形B.圆是中心对称图形C.半圆不是弧D.同圆中，等弧所对的圆心角相等2. 如图，点、、均在上，若＝，则的大小是（ ）A.B.C.D.3. 下列四个命题，其中真命题共有( )①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形：④正五边形是轴对称图形.A.①②③B.②③④A B C ⊙O ∠AOC 80∘∠ABC 30∘35∘40∘50∘D.①③④4. 下列说法中，不正确的是( )A.过圆心的弦是圆的直径B.等弧的长度一定相等C.周长相等的两个圆是等圆D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧5. 如图，，，，，则的度数是 A.B.C.D.以上都不对卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）6. 如图，点在反比例函数图像上，以为直径的圆交该双曲线于点，交轴于点，若，则该圆的直径长是________．OA =OB OC =OD ∠O =60∘∠C =35∘∠DAO ()35∘85∘95∘A y =(x >0)62–√xOA C y B =CB ˆCO ˆ8. 一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为________度．9. 在中，，，则________.10. 如图，在等边中，为上一点，为上一点，且，则等边的边长为________．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）11. 如图，已知：，是的两条弦，且，求证：．12. 在中，，以点为圆心作圆与相切于点，与分别交于点，连接交于点．(1)求证：；(2)若，求的长．13. 在中，是的平分线， ，垂足是．1cm 3cm △ABC ∠C =55∘∠B −∠A =10∘∠B =△ABC P BC D AC ∠APD =,BP =1,CD =60∘23△ABC AC BD ⊙O AC =BD AB =CD △AOB OA =OB O AB F OA 、OB D 、C CD 、OF E CD//AB CD =8，EF =2AB △ABC BD ∠ABC AD ⊥BD D探究，，的数量关系并证明；若，求证： ． 14. 四边形为正方形，边长为，点为对角线上一动点（不与点，重合），连接，过点作 交射线于点．如图，求证：.如图，作射线交射线于点．①当点在边上时，设的长为，的面积为，求关于的函数解析式；②当时，请直接写出的长．15. 如图，点是的平分线上一点，，，垂足分别为、．求证：是线段的垂直平分线．(1)∠1∠2∠C (2)DP//BC DP =(BC −AB)12ABCD 6M BD B D CM M MN ⊥CM AB N (1)1MC =MN (2)2CN DB P N AB BN x △CMN y y x BN =3MP E ∠AOB EC ⊥OA ED ⊥OB C D OE CD参考答案与试题解析2023~2024学年新人教版九年级上《24.1.3 弧、弦、圆心角》高频题集一、选择题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）1.【答案】此题暂无答案【考点】圆心角、弧、弦的关系圆的有关概念轴对称图形中心对称图形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】圆心角、弧、弦的关系圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】【答案】此题暂无答案【考点】命题与定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】圆的有关概念圆心角、弧、弦的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】三角形内角和定理全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）6.【答案】此题暂无答案【考点】圆心角、弧、弦的关系反比例函数图象上点的坐标特征勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】圆心角、弧、弦的关系【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】三角形内角和定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】等腰三角形的性质：三线合一等边三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定平行线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）11.【答案】圆心角、弧、弦的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】此题暂无答案【考点】全等三角形的性质与判定三角形的外角性质全等三角形的性质三角形中位线定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.此题暂无答案【考点】正方形的性质矩形的判定与性质全等三角形的性质与判定全等三角形的性质勾股定理三角形的面积等腰直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】线段垂直平分线的性质全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
人教版九年级数学上第24章圆24.1圆的有关性质弧、弦、圆心角讲义
合作探究探究点1 圆的定义情景激疑在准备好的一张纸上以点〇为圆心、3 cm为半径画一个圆，观察画图过程.由此你会得出什么结论？知识讲解定义1:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫倣半径.以O点为圆心的圆，记作O,读作“圆O〞.定义2：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的间隔等于定长r的点的集合.注意〔1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.(2) 确定一个圆首先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.(3) 定点是圆心，定长是半径.(4) “圆〞指的是“圆周〞，而不是“圆平面〞.典例剖析例1 以下说法错误的有 ( )(1) 经过P点的圆有无数个；(2) 以P点为圆心的圆有无数个；(3) 半径为3cm且经过P点的圆有无数个。
(4) 以P点为圆心、3cm为半径的圆有无数个.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析确定一个圆必须满足两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，故(1)(2)正确，(3)虽然半径,但P点不是圆心，实际上也只是一个条件，能作无数个圆，故(3)正确;(4)满足两个条件，只能作一个圆，所以(4)错误.综上所述，错误的说法有1个，应选A答案 A错因分析导致此题错误的主要原因是对于确定一个圆的两个要素(圆心和半径)理解不够准确。
类题打破1 以O点为圆心画圆，可以画______ 个圆;以4 cm为半径画圆.可以面_____个圆.答案无数无数点拨确定圆的条件:一是圆心，二是半径.探究点2 与圆有关的概念知识讲解连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的局部AB.读作“圆弧AB〞或“弧AB〞，圆的任意一条直径的两个端点把图分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
注意 (1)弦和弧是有区别的，弦是线段，而弧是曲线。
(2)直径是圆中最长的弦，而弦不都是直径。
新人教版九年级上学期数学圆弦、弧、圆心角、圆周角习题课
7.⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于 点A、B，点A的坐标为（0，4），M是圆上 一点，∠BMO=120°. (1)求证:AB为⊙c的直径. (2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.
(2)证明你的结论.
圆外角的度数等于它所夹的两段弧----大弧与小弧的度数差的一半.
9.BC为⊙O的直径,AD⊥BC于点D,P是弧AC上的一动点, 连结PB分别交AD、AC于点E，F。
（1）当弧PA=弧AB时，求证：AE=BE； （2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论。
与圆有关的角度计算
D
3
练习2:
分类讨论思想
圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是 _______ 度 30°或150°
弦AB所对的弧有优弧和劣弧两种 C
O O
A
B
A
B
C
分类讨论思想
3. 已知：⊙O的半径为1，
弦 A B 3， A C 2，
则∠BAC的度数是________ 。
15°或 75°
圆心可能在圆周角内部，也可能在圆员互相配合向对方 球门MN进攻,当甲带球攻到球门前A处时,乙已跟随 冲到B点.这里甲是选择自己攻门好,还是迅速将球 传给乙,让乙射门?
解:
M
N
球场上的情况是很复杂的，球员射门 常会选择较好的射门角度.这就要 看A、B两点各自对球门MN的张角 的大小，当张角较小时，则球容易 被对方守门员截住.因此,只需比较 ∠MAN与∠MBN的大小.
• 1.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为
人教版九年级上册数学作业课件 第二十四章 圆的有关性质 弧弦圆心角
知识点一 圆心角的定义及其计算 1．下列图形中的角是圆心角的是( B )
2．若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数 是( B ) A．30° B．60° C．90° D．120°
知识点二 弧、弦、圆心角之间的关系 3．在同圆或等圆中，下列说法错误的是( A ) A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
B. BC 1 AC
3
D．不能确定
12．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角 分别是∠BAC、∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝
180°，则圆心A到弦BC的距离为 3 .
13．(2021－2022·南昌期中)如图，以▱ABCD的顶点A 为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F， 延长BA交⊙A于G. (1)求证：GE EF ；
4．如图，在⊙O中，点C是 AB 的中点，∠A＝50°， 则∠BOC的度数为( A ) A．40° B．45° C．50° D．60°
5．如图，正五边形ABCDE的五个顶点都在⊙O上， 则∠AOD＝ 144° .
6．如图，在⊙O中，AB AC . (1)若AB＝2，则AC的长为 2 ； (2)若∠A＝40°，则∠ABC＝ 70 °； (3)若D是 AB 的中点，则AB ＜ 2BD(填“> ” “ < ”或“＝”)．
(2)AM＝BN. 证明： ∵∠COA＝∠BOF，OC＝OF＝OA＝OB， ∴∠A＝∠OCA＝∠BFO＝∠B. ∵CD∥EF，∴∠AMC＝∠ANE. 又∵∠BNF＝∠ANE，∴∠AMC＝∠BNF.
A B,
在△AMC和△BNF中，AMC BNF,
2021-2022学年人教版九年级数学上册第24章《弧、弦、圆心角、圆周角》
学科教师辅导教案弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。