江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试题
江苏省南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学试题 含解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期为 ． 【答案】考点：1。
三角函数的周期；2。
已知复数(2)(13)z i i =-+，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 象限． 【答案】一考点：1。
复数的运算;2。
复数的几何表示；3.右图是一个算法流程图，如果输入x 的值是14，则输出的S 的值是 ．输入x开始 x > 1S ← x - 1S ← log 2 x输出S 结束 （第3题图）N Y【答案】－2 【解析】试题分析：x =14时，114>不成立，所以21log 24S ==-;考点：1。
算法流程图；2。
判断结构;4。
某工厂为了了解一批产品的净重(单位:克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中,净重在区间[100,104)上的产品件数是 ．【答案】55考点：1。
频率分布直方图；5。
袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球,得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 ．【答案】780.150 0.125 0.100 0.075 0.050（第4题图）频率/组距(克)考点：1.古典概型;2。
互斥事件与对立事件;6.如图，在平面四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点。
若BE BA BD λμ=+（,R λμ∈），则λμ+= ．【答案】34考点：1。
平面向量的运算；2.平面向量基本定理； 7.已知平面α，β,直线,m n .给出下列命题： ① 若mα,,nm nβ，则αβ； ② 若αβ，,mn αβ，则mn；③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥； ④ 若αβ⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥。
精品：【全国百强校】江苏省泰州中学2015-2016学年高二下学期第二次质量检测理数试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、填空题（每小题5分,共70分.）1. ()632b a +的展开式中的第3项的二项式系数为_________． 【答案】15 【解析】试题分析：展开式中的第3项的二项式系数为1526=C 考点：二项式定理【易错点晴】本题学生容易把展开式中某项的系数和展开式中某项的二项式系数混淆，展开式中某项的系数是指展开式中各项字母的系数，而把展开式中的nn n n n C C C C ,........,,21叫做展开式中各项的二项式系数 .2.某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如图所示，若(]130,140分数段的人数为90人，则(]90,100分数段的人数为____________．【答案】810考点：频率分布直方图3.在如图所示的流程图中，若输入n 的值为11，则输出A 的值为____________．【答案】31考点：程序框图【方法点晴】按照程序框图运行程序时，要严格按框图条件和方向线去走，若发现有周期规律性，可利用函数周期性求值的方法去求，借助公式)()(x f x T f =+运算，可节省做题时间.4.向量,a b 满足)1,3,a b a b ==+=，则a b -=___________．【答案】4 【解析】试题分析：由于)1,3(=+b a 242102=⋅+⋅，则3-=⋅16)3(2102102=-⨯-=⋅-⋅，a b -=4.考点：平面向量的运算5.将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数之和是3的倍数的概率是_________． 【答案】31考点：古典概型【方法点晴】常用古典概型求法有两种，一种是列举法，另一种为列表法，本题适合列表法.若从多个元素选出的元素较少，则适合列举法.6.已知圆C的极坐标方程为2sin 404πρθ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则圆C 的半径为___________． 【答案】6 【解析】试题分析：由于2sin 404πρθ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则04cos 2sin 22=--+θρθρρ，化为直角坐标方程为042222=--++x y y x ，即：6)1()1(22=++-y x ，圆C 的半径为6 考点：极坐标7.在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于AB 两点，则线段AB 的长为____________． 【答案】28 【解析】试题分析：把直线l的参数方程12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得：0282=+t t ，有28,021-==t t ，根据直线的参数方程参数t 的几何意义可得线段AB 的长为2812=-t t .考点：参数方程8.设()62601262x a a x a x a x -=++++ ，则126a a a +++ 的值是______________．【答案】665考点：二项式定理9.已知1,,2A P PA αα⎛∈∉= ⎝ ，平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为___________． 【答案】060 【解析】试题分析：设直线PA 与平面α所成的角为θ，则232413241,cos sin =+⨯+〉〈=n PA θ，00060],90,0[=∴∈θθ考点：空间向量的坐标运算，线面角的计算.10.在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点，点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为_________．【答案】32考点：异面直线所成的角11.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段,AC CB 的长，则该矩形面积大于322cm 的概率为__________． 【答案】31 【解析】试题分析：设,x AC =则x BC -=12，矩形的面积)12(x x S -=，由32)12(>-x x ，得032122<+-x x 得84<<x ，根据几何概型的概率公式得：311248=-=P . 考点：几何概型12.有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成__________个不同的三位数． 【答案】432 【解析】试题分析：从5张卡片任取三张按顺序排列有6035=A 种，可以组成48022260=⨯⨯⨯个三位数，其中百位数为数字0的有482224=⨯⨯A 个，共可组成43248480=-个不同的三位数． 考点：排列、组合，计数原理.【方法点晴】组成三位数，首先考虑到百位数字不能为0,从5张卡片任取三张按一定次序排列有6035=A 种，而每张卡片有正反两面，所以组成48022260=⨯⨯⨯个三位数，而选中数字0而且在百位的情形有482224=⨯⨯A 个，从而得出结果，整个解题过程是从总体去考虑的，重点突出特殊元素0的特殊要求，完全符合特殊元素优先考虑原则.13.亚欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有___________种. 【答案】252考点：计数原理，排列、组合.14.用0，1，2，3，4组成的各位数字不重复的所有的四位数的和是____________． 【答案】259980 【解析】试题分析：当四位数的千位数为1时，共有24个，个位数字和为54646362=⨯+⨯+⨯，十位数字和为54，百位数字和为54，千位数字和为24，24个四位数的和为29994100024100541054154=⨯+⨯+⨯+⨯ ，同理当四位数的千位数为2时，共有24个，个位数字和为48646361=⨯+⨯+⨯，十位数字和为48，百位数字和为48，千位数字和为48，24个四位数的和为53328100048100481048148=⨯+⨯+⨯+⨯，当四位数的千位数为3时，共有24个，个位数字和为42646261=⨯+⨯+⨯，十位数字和为42，百位数字和为42，千位数字和为72，24个四位数的和为76662100072100421042142=⨯+⨯+⨯+⨯，当四位数的千位数为4时，共有24个，个位数字和为36636261=⨯+⨯+⨯，十位数字和为36，百位数字和为36，千位数字和为98，24个四位数的和为99996100096100361036136=⨯+⨯+⨯+⨯，所有的四位数的和是25998099996766625332829994=+++.考点：计数原理【易错点晴】本题在考查计数原理的基础上，增加难度，计算四位数的和.如果题设为用0，1，2，3，4组成的各位数字不重复的所有的四位数的个数为多少？问题就简单了，而题目是求所得的四位数的和，难度就加大了.本题有两种解题思路：一是采用正面直接求法，如上面所提供的解析，采用分类讨论思想针对千位数分别为1，2，3，4四种情况分别处理；二是正难则反，用所有四位数的和（包括千位为0），减去千位是0的四位数的和，所得的差值即可.二、解答题15.（本小题满分14分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 【答案】（1）144（2）144（3）84考点：排列组合问题【方法点睛】本题涉及均匀分组和不均匀分组，第四步4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．要求有2个空盒，先选择两个空盒有24C 种方法．4个球放进其余的2个盒子可分成()()3,12,2、两类，这时4个球分两组，)1,3(为不均匀分组有1134CC 种分组方法，)2,2(为均匀分组有222224A CC 种分组方法，最后把两组球放入两个不同的盒子有22A 种放法.体现了先组后排原则，这是排列组合常见考题，也是易错题. 16.（本小题满分14分）假定某篮球运动员每次投篮命中率均为()01p p <<．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是2125． （1）求p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望()E ξ． 【答案】（1）35p =（2）125213=ξE考点：对立事件概率公式；概率分布列与数学期望. 17.（本小题满分14分）已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）当3a π=时，求1C 与2C 的交点坐标；（2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 中点，当a 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【答案】(1) ()11,0,,2⎛ ⎝; (2) p 点轨迹的普通方程为2211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，轨迹是圆心为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为14的圆．考点：极坐标与参数方程【方法点睛】求曲线的交点坐标就是联立方程组的解，因此首先把参数方程化为普通方程，然后联立求解，参数方成化为普通方程就是要消去参数，涉及三角函数符号的要借助三角函数公式消元，本题中涉及正弦与余弦可利用平方关系消元，)sin 1(sin 41cos sin 4122222αααα-==y ，在把x 2sin 2=α代入整理即可. 18.（本小题满分16分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,AB AA h ==．（1）若2h =，求1AC 与平面1A BD 所成角的正弦值； （2）若二面角1A BD C --的大小为34π，求h 的值．【答案】（1，（2）h =(2)由()10,0,A h 得，()()111,0,,0,1,A B h A D h =-=- ，设平面1A BD 的法向量(),,m x y z =，则由1100A B m A D m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得，00x zh y zh -=⎧⎨-=⎩， 不妨取1z =，则x y h ==，此时(),,1m h h =，又平面CBD 的法向量()10,0,AA h =，故111cos ,AA m AA m AA m === ，解得h = 考点：空间向量，线面角、二面角的求法19.（本小题满分16分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．【答案】（1（2）25BQ BP ==(2)因为()1,0,2BP =- ，设()(),0,201BQ BP λλλλ==-≤≤ ，又()0,1,0CB =- ，则(),1,2CQ CB BQ λλ=+=-- ，又()0,2,2DP =- ，从而cos ,CQ DP CQ DP CQ DP == ，设[]12,1,3t t λ+=∈， 则2222229cos ,5109101520999t CQ DP t t t ==≤-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 当且仅当95t =，即25λ=时，cos ,CQ DP的最大值为． 因为cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ==25BQ BP ==． 考点：二面角的计算，异面直线所成的角，最值问题.【方法点晴】求二面角常采用求法向量直接公式计算的方法去解决，原则是半平面有现成的垂线就直接做法向量，没有现成的垂线就设法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值问题很好，是高考很常见的形式，多发生在圆锥曲线题目中，一要会换元，如本题中的设[]12,1,3t t λ+=∈，二要会处理分式如本题中的2222229cos ,5109101520999t CQ DP t t t ==≤-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当然这一步有时使用均值不等式（或对勾函数），个别题还可使用导数求最值.20.（本小题满分16分）设整数3n ≥，集合{}1,2,3,,P n = ，,A B 是P 的两个非空子集．记n a 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(),A B 的个数．（1） 求3a ；(2)求n a ．【答案】(1)35a =,(2)12)2(1+⋅-=-n n n a考点：集合，组合数公式，重点考查分析问题能力【方法点睛】新信息题都很有创意，本题定义了A ，B 两个集合，首先要求A 、B 必须是集合P 的非空子集，其次满足A 中的最大数小于B 中的最小数，这样的集合对(),A B 的个数为n a ，不妨研究当3n =时，{}1,2,3P =的情况，可用列举法一一列出，得到35a =，显然解决新信息题目最重要的是读懂题目提供的信息，按照新的规则去处理问题即可.。
数学-江苏省泰州市泰兴一中2015-2016学年高二下学期第二次段考数学试卷(文科) Word版含解析
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第二次段考数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A）∩B=．2．已知幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为名．4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．5．“α=”是“tanα=1”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是．7．函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为．8．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是．9．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x）•f（x+1）=1，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为．11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．14．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．16．已知命题：“∃x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．17．已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．20．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A）∩B={2，3} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．【解答】解：由U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，∴∁U A={2，3}，又B={1，2，3}，∴（∁U A）∩B={2，3}∩{1，2，3}={2，3}．故答案为：{2，3}．2．已知幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义求出k，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果．【解答】解：因为幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）由幂函数的定义可知k=1，幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），所以，，∴k+α==．故答案为：．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为32名．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出高一学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从高一年级抽取的学生人数．【解答】解：高一学生在总体中所占的比例为=，故应从高一年级抽取的学生人数为80×=32，故答案为：32．4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．【考点】计数原理的应用．【分析】求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有=6种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是=．故答案为：．5．“α=”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件、必要条件的概念，以及tanα=1时α的取值情况即可判断是tanα=1的什么条件．【解答】解：时，tanα=1；tanα=1时，，所以不一定得到；∴是tanα=1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是35．【考点】程序框图．【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的S，k的值，当k=7时满足条件k＞5，输出S 的值35．【解答】解：执行算法流程，有S=0，k=1不满足条件k＞5，S=1，k=3，不满足条件k＞5，S=10，k=5，不满足条件k＞5，S=35，k=7，满足条件k＞5，输出S的值35．故答案为：35．7．函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为（﹣∞，1）．【考点】复合函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，设t=x2﹣3x+2，则y═lnt为增函数，要求函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间，即求函数t=x2﹣3x+2的递减区间，∵t=x2﹣3x+2的递减区间为（﹣∞，1），∴函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．8．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是1．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．【解答】解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．9．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x）•f（x+1）=1，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=f（x），利用函数的周期性，将条件进行转化即可得到结论．【解答】解：对任意x∈R都有f（x）•f（x+1）=1，可得f（x+2）==f（x），∴f（x+2）=f（x），函数f（x）是定义在R上是周期函数周期为2，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=f（﹣1）=4﹣1=故答案为：．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（0，] ．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，∵a=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）∴a∈（0，]．故答案为：（0，]．11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为[﹣，0）．【考点】函数单调性的性质．【分析】分f（x）是R上的减函数、增函数两种情况，分别求得实数a的取值范围，再取并集，即得所求．【解答】解：若f（x）=是R上的单调减函数，则，求得﹣≤a＜0．若f（x）=是R上的单调增函数，则，求得a∈∅，综上可得实数a的范围为[﹣，0），故答案为：[﹣，0）．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x ∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解答】解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值范围．故答案为：．14．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，0]∪[8，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意结合函数图象可将问题转化为关于a的方程（3﹣a）2=k（1﹣a2）有实数解，解△≥0可得．【解答】解：∵f（x）=）=，∴当x=0时，f（x）=k（1﹣a2），∵对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立．∴函数必须为连续函数，∴（3﹣a）2=k（1﹣a2），问题转化为（k+1）a2﹣6a+9﹣k=0有实数解，∴△=62﹣4（k+1）（9﹣k）≥0，解得k≤0或k≥8．故答案为：（﹣∞，0]∪[8，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法；频率分布表．【分析】（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，即可得答案；（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，抽取比例为，由第三、四、五组的人数，计算可得答案；（3）设（2）中选取的6人为abcdef（其中第四组的两人分别为d，e），记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，用列举法列举从6人中任取2人的所有情形，进而可得事件A所含的基本事件的种数，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，故①②位置的数据分别为12、0.3；（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，则第三组参加考核人数为15×=3，第四组参加考核人数为10×=2，第五组参加考核人数为5×=1，故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；（3）设（2）中选取的6人为a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为d，e），则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种；记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．16．已知命题：“∃x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；特称命题．【分析】（1）若方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，结合二次函数的图象和性质，要得M；（2）对a的取值进行分类讨论，求出不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，结合N⊆M，可得a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，由函数y=x2﹣x的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=时，函数最小值为﹣，当x=﹣1时，函数最大值为2，故m=[﹣，2]，（2）当a=1时，解集N为空集，满足题意；当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a＜x＜a}，则1＜a≤2当a＜1时，a＜2﹣a，此时集合N={x|a＜x＜2﹣a}，则0≤a＜1综上：0≤a≤217．已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．【考点】函数的零点；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求f（x）和g（x）的解析式；（2）根据h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，∴设f（x）=ax（x+2）=ax2+2ax（a＞0）．f（x）图象的对称轴是x=﹣1，∴f（﹣1）=﹣1，即a﹣2a=﹣1，∴a=1，∴f（x）=x2+2x．∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x．（2）由（1）得h（x）=x2+2x﹣λ（﹣x2+2x）=（λ+1）x2+2（1﹣λ）x．①当λ=﹣1时，h（x）=4x满足在区间[﹣1，1]上是增函数；②当λ＜﹣1时，h（x）图象对称轴是x=则≥1，又λ＜﹣1，解得λ＜﹣1；③当λ＞﹣1时，同理需≤﹣1，又λ＞﹣1，解得﹣1＜λ≤0．综上，满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，0]．18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6＜x＜500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【解答】解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】带绝对值的函数；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得2m≥﹣4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．（2）命题等价于任意x1∈（﹣∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），f min（x1）＞g min（x2）成立，分m＜3、3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．【解答】解：（1）方程f（x）=|m|，即|x﹣m|=|m|，解得x=0，或x=2m．要使方程|x﹣m|=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，需2m≥﹣4，且2m≠0．解得m≥﹣2 且m≠0．故实数m的取值范围为[﹣2，0）∪（0，+∞）．（2）由于对任意x1∈（﹣∞，4]，都存在x2∈[3，+∞），使f（x1）＞g（x2）成立，故有f min（x1）＞g min（x2）成立．又函数f（x）=|x﹣m|=，故f min（x1）=．又函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m=，故g min（x2）=．当m＜3时，有0＞m2﹣10m+9，解得1＜m＜3．当3≤m＜4，有0＞m2﹣7m，解得3≤m＜4．当4≤m，有m﹣4＞m2﹣7m，解得4≤m＜4+2．综上可得，1＜m＜4+2，故实数m的取值范围为（1，4+2）．20．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；抽象函数及其应用．【分析】（1）利用定义，直接判断求解即可．（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）=4，所以当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，而x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1＞0，且其对称轴方程为，通过①当，②当，③当，求出函数的值域，然后推出所求m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x是“（a，b）型函数”…因为由f（a+x）•f（a﹣x）=b，得16a=b，所以存在这样的实数对，如a=1，b=16…（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）=4，所以当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，而x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1＞0，且其对称轴方程为，①当，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，则g（x）在[0，2]上的值域为，由题意得，此时无解…②当，即1≤m≤2时，g（x）的值域为，即，所以则g（x）在[0，2]上的值域为，则由题意得且，解得1≤m≤2…③当，即0＜m≤1时，g（x）的值域为，即，则g（x）在[0，2]上的值域为=，则，解得．综上所述，所求m的取值范围是…。
江苏省南通、泰州、扬州、淮安高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)
南通市、泰州市、扬州市、淮安市2016届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式： 棱锥的体积公式：1=3V Sh 棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 2. 3. 4. 根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100 h 的灯泡只数是 .5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力. 某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 .6. 已知函数()log ()(01)a f x x b a a b R =+>≠∈且，的图象如图所示，则a +b 的值是 .7. 设函数sin (0)3y x x πωπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 .8. 在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±. 若235 4 7a a a ，，成等差数列，则6a 的值是 . 9.ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =1，BC =2，BD =3，则CD 长度的所有值为 .10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P (-2，0)的直线与圆x 2+y 2=1相切于点T ，与圆22()(3x a y -+=相交于点R ，S ，且PT =RS ，则正数a 的值为 .11. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[0, )x ∈+∞，满足f (x +2)=f (x ). 若当[0, 2)x ∈时，2()|1|f x x x =--，则函数y =f (x )-1在区间[-2, 4]上的零点个数为 . 12. 如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A到m ，n 的距离分别为1，3. 点B ，C 分别在m ，n 上，||5AB AC +=，则AB AC ⋅的最大值是 .13. 设实数x ，y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是 .14. 若存在, R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪-⎩≤≤，则实数t 的取值范围是. f（第6题）mnC （第12题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=. （1）求C 的值；（2）若15, A AB ==ABC 的周长.16. （本小题满分14分）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ，BC ，C 1D 1的中点. 求证：（1）AP ∥平面C 1MN ； （2）平面B 1BDD 1⊥平面C 1MN .17. （本小题满分14分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m 的围墙. 现有两种方案： 方案① 多边形为直角三角形AEB （∠AEB =90º），如图1所示，其中AE +EB =30 m ； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB >EF ），如图2所示，其中AE =EF =BF =10 m . 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案.ABCD A 11P M （第16题）A EB 图1A EB图2F（第17题）18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2. A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO =.（1）若点P的坐标为(2，，求椭圆的方程； （2）设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP mBC =，直线OA ，OB 的斜率之积为12-，求实数m的值.（第18题）19. （本小题满分16分）设函数()( ()f x x k g x =++=k 是实数. （1）设k =0()()f x g x ； （2）若k ≥0，求关于x 的方程()()f x x g x =⋅实根的个数.20. （本小题满分16分）设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和2*1(1)4n n S a n N =+∈，.（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）等比数列{b n }的各项均为正数，2*1n n n b b S n N +∈，≥，且存在整数2k ≥，使得21k k k b b S +=. （i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）； （ii ）当2n ≥时，*n b N ∈，求数列{b n }的通项公式.2016届高三第二次调研测试数学试题1参考答案一、填空题： 1. 【答案】35【解析】因为33(12)3612(12)(12)5i iz i i i --===++-，所以z 的实部为35. 2. 【答案】1【解析】∵{0}A B ⋂=，∴0B ∈，∴10a -=或10a a+=，解得1a =. 经检验当1a =时，符合题意. 3. 【答案】17【解析】当k =0时，循环结果为k =1；继续循环，结果k =3；继续循环，结果k =17. 退出循环，输出k 的值.4. 【答案】1400【解析】使用寿命不低于1100h 指的是使用寿命在[1100, 1300)和[1300，1500)范围之内，故使用寿命不低于1100h 的灯泡数量估计是2535001400100+⨯=. 5. 【答案】25【解析】从5个主题中选择2个主题作答，共有10种结果，其中“立德树人”主题被选中的结果有4种，故“立德树人”主题被选中的概率=42105=. 6. 【答案】92【解析】∵函数f (x )的图象经过点(-3，0)和点(0，-2)，∴有⎩⎨⎧0=log a (-3+b )，-2=log a (0+b )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12，b =4，∴a +b =92.7. 【答案】2【解析】∵0x π<<且仅当12x π=时y 取最大值，∴最大值为1，且2()1232k k z πππωπ+=+∈，解得242()k k z ω=+∈. 又∵仅当12x π=时y 取最大值，∴函数周期满足：32T π>，即322ππω⋅>，即03ω<<，∴2ω=.8. 【答案】149【解析】∵135a a a ，4，7成等差数列，∴315247a a a ⨯=+，即2411187a q a a q =+，解得211,7q =，∵1q ≠±，∴17q =，∴422621()49a a q q ===.9. 【答案】7，49【解析】由题意知四面体ABCD 的体积1133BCD BCD V S AB S ∆∆=⋅==，∴BCD S ∆=.又1sin 2BCD S BC BD CBD ∆=⋅⋅∠且BC =2，BD =3，∴sin 2CBD ∠=60CBD ∠=或120， 由余弦定理得2222cos 7CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠=或19，故CD =10. 【答案】4【解析】如图，连接OT ，∵OT =1，OP =2，∴∠TPO =30º，∴直线PT方程为：2)y x =+，即20x +=.又PT =PT =RS，∴RS =由弦长公式可知，圆心(a 到直线PT 的距离d 为32，又∵d ，∴4a =.11. 【答案】7【解析】由f (x +2)=f (x )知f (x )是以2为周期的周期函数，函数y =f (x )-1的零点个数由y =f (x )与y =1的交点个数确定. 画出函数y =f (x )在区间[-2, 4]上的图象，与直线y =1有7个交点，故函数y =f (x )-1有7个零点.12. 【答案】214【解析】建立如图所示的直角坐标系，其中，A (0，3)，设B (b ，2)，C (c ，0)，则(,1)AB b =-，(,3)AC c =-，由||5AB AC +=知，5=，化简得2()9b c +=，由2()4b c ab +≥得94ab ≤.∴9213344AB AC bc ⋅=++=≤，当且仅当b =c 时取最大值.13.【答案】6【解析】令2x y t +=，则12x y t -=，所以111()2x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，则2232626x xy t -=++≥.14. 【答案】2 13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【解析】令cos [1,1]s β=∈-，当0s =时，0t =. 当[1,0)s ∈-时，由22t s s α=+得222t s s α-=，故2222225t s t s t s s s ---≤≤，即存在[1,0)s ∈-，使得33222252s t ss s t s ⎧⎪⎪-⎨+⎪⎪-⎩≥≤成立， 利用导数知识可得32()2s p s s =-为[1,0)-上的单调增函数，所以3min2223s s ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 3225()2s s q s s +=-为[1,0)-上的单调减函数，所以32max2512s s s ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，从而2,13t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.二、解答题： 15.16. 【解答】解：（1）因为tan tan tan tan 1A B A B ++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-，因为在斜三角形ABC 中，1tan tan 0A B -≠， …………………………1分所以tan tan 1tan()11tan tan A B A B A B+-+==-，…………………………4分即tan(180)1C -=，亦即tan 1C =-，因为0180C <<，所以135C =.…………6分（2）在△ABC 中，15135A C ==，，则18030B A C =--=. 由正弦定理sin sin sin BC CA AB A B C ==，得2sin15sin30sin135BC CA AB===，…………9分故62sin152sin(4530)2(sin 45cos30cos45sin30)2BC -==-=-=，…………12分 2sin301CA ==，所以△ABC的周长为1AB BC CA ++==.……………………14分17. 【解答】证明：（1）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为M ，P 分别为棱AB，AM (第16题)C 1D 1的中点，所以AM =PC 1.又AM ∥CD ，PC 1∥CD ，故AM ∥PC 1，所以四边形AMC 1P 为平行四边形. 从而AP ∥C 1M . …………4分又AP ⊄平面1C MN ，1C M ⊂平面1C MN ，所以AP ∥平面1C MN . ……………………6分 （2）连结AC ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD .又M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点，故MN ∥AC . 所以MN ⊥BD . ………8分 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，又MN ⊂平面ABCD ， 所以DD 1⊥MN .……………………10分而DD 1∩DB =D ，DD 1，DE ⊂平面BDD 1B 1，所以MN ⊥平面BDD 1B 1.……12分 又MN ⊂平面C 1MN ，所以平面B 1BDD 1⊥平面C 1MN .…………………14分18. 【解答】解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S 1，S 2.方案① 设AE =x ，则11(30)2S x x =- …………………… 3分21(30)255222x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦≤(当且仅当x =15时，“=”成立). …………………… 5分方案② 设∠BAE =θ，则2100sin (1cos )0 2S πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，，. …………………… 8分由'22100(2cos cos 1)0S θθ=+-=得，1cos 2θ=（cos 1θ=-舍去）. ………………… 10分因为0, 2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=，列表：所以当3θ=时，2max ()S =……………… 12分因为2552<，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE =3π.答：方案①，②苗圃的最大面积分别为222552m ，，建苗圃时用方案②，且∠BAE =3π.……………… 14分19. 【解答】解：（1）因为2OP AO =，则P，所以1 A ⎛-- ⎝⎭，. 代入椭圆方程，得221112a b+=， ① ………………… 2分2. ②………………… 4分由①②，得a 2=2，b 2=1，故椭圆的方程为2212x y +=.………………… 6分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3). 因为2OP AO =，所以P (-2x 1，-2y 1). 因为BP mBC =，所以(-2x 1-x 2，-2y 1-y 2)=m (x 3-x 2，y 3-y 2)，即123212322()2()x x m x x y y m y y --=-⎧⎨--=-⎩，，于是3213211212.m x x x m m m y y y m m -⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩=-，=-……………… 9分代入椭圆方程，得2221212212121m m x x y y m m m m a b --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 即22222112212122222222224(1)4(1)1x y x y x x y y m m m a b m a b m a b⎛⎫⎛⎫--⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ③ ……………… 12分因为A ，B 在椭圆上，所以22221122222211x y x y a b a b+=+=，. ④因为直线OA ，OB 的斜率之积为12-，即121212y y x x ⋅=-，结合②知1212220x x y y a b+=. ⑤ ………… 14分将④⑤代入③，得2224(1)1m m m -+=，解得52m =. ……………… 16分20. 【解答】解：（1）k =0时，()(()f x x g x =+= 由030x x ⎧⎨+⎩，≥≥得0x ≥.………… 2分此时，原不等式为1(1)(3)2x x x ++≥，即2230x x +-≥， 解得32x -≤或1x ≥. 所以原不等式的解集为[1 )+∞，.………… 5分（2）由方程()()f x x g x =⋅得：(x k ++.①由030x k x k -⎧⎨-+⎩，≥≥得x k ≥，所以0x ≥，10x k -+>.方程①两边平方，整理得222(21)(1)(1)0()k x k x k k x k ----+=≥. ② ………… 7分当12k =时，由②得32x =，所以原方程有唯一解. 当12k ≠时，由②得判别式△22(1)(31)k k =+-，i ）13k =时，△=0，方程②有两个相等的根4133x =>，所以原方程有唯一的解.………… 10分ii ）102k <≤且13k ≠时，方程②整理为[(21)(1)](1)0k x k k x k -++--=，解得1(1)12k k x k+=-，21x k =+.由于△>0，所以12x x ≠，其中21x k k =+>，213012k x k k-=-≥，即1x k ≥.故原方程有两解.………… 14分iii ）12k >时，由ii ）知213012k x k k -=<-，即1x k <，故1x 不是原方程的解.而21x k k =+>，故原方程有唯一解.综上所述：当12k ≥或13k =时，原方程有唯一解； 当102k <≤且13k ≠时，原方程有两解.………… 16分注：ii ）中，法2：22021012(21)()30k k x k k h k k ∆>⎧⎪-<⎪⎪-⎨=>⎪-⎪⎪=-<⎩，，，，故方程②两实根均大于k ，所以原方程有两解.21. 【解答】证明：（1）因为21(1)4n n S a =+，① 所以2111(1) 2.4n n S a n --=+，≥② ①-②，得11()(2)02n n n n a a a a n --+--=，≥，…………………… 2分因为数列{a n }的各项均为正数，所以102n n a a n -+>，≥. 从而122n n a a n --=，≥， 所以数列{a n }为等差数列.…………………… 4分（2）（I ）①中，令n =1，得a 1=1，所以a n =2n -1，S n =n 2.由21(2)k k k b b S k +=≥得，2112k kb q -=， 所以11221n k n n b b q k q ---==， ③由21n n n b b S +≥得，4224n k k q n -≥，即2n kn q k -⎛⎫⎪⎝⎭≥， ④当n =k 时，④恒成立.当n ≥k +1时，④两边取自然对数，整理得：ln ln 1121nk qnk n k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-≥≥. ⑤设ln ()(1)1x f x x x =>-，则2111ln '()(1)x xf x x -+=-，记()1ln g t t t =-+，01t <<，则1'()0tg t t -=>，故()g t 为（0，1）上增函数，所以()(1)0g t g <=，从而'()0f x <，故()f x 为(1 +)∞，上减函数，从而ln 1nk n k -的最大值为1ln 1k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. ⑤中，ln 1ln 12k qk k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，解得211q k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥.…………………… 10分 当1n k -≤时，同理有2111q k ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭≤，所以公比q 的最小值为211k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（整数k ≥2）.…………………… 12分 （Ⅱ）依题意，*q N ∈.由（2）知，22111, 11q k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈++⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（整数k ≥2）， 所以2111q k ⎛⎫+> ⎪⎝⎭≥，21141q k ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭≤≤，从而{2, 3, 4}q ∈，当q =2时，22111211k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≤≤，只能k =3，此时7292n n b -=⋅，不符；当q =3时，22111311k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≤≤，只能k =2，此时5242n n b -=⋅，不符； 当q =4时，22111411k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≤≤，只能k =2，此时232n n b -=，符合. 综上，232n n b -=. ………………………… 16分 22.。
2025届江苏省泰州市高三第二次调研数学试卷含解析
2025届江苏省泰州市高三第二次调研数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且斜率为34的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±2． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A 22B 5C ．1316D 11 4．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)5．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．156．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种7．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >8．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．329．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-10．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．6011．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．12．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
中学2015届高三第二次模拟数学文试题 Word版含答案
2015年山东省济宁市汶上县第五中学高三第二次模拟数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3,2,1,0=A , 集合{}A a a x xB ∈==,2, 则=⋂B AA ．}0{B ．}2{C ．}2,0{D ．}3,2,1,0{2．复数1ii -的共轭复数为 A ．i 2121+- B ．i 2121+C ．i 2121--D ．i 2121- 3．“2=x ”是“1log 2=x ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在一组样本的数据的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的25，且样本容量为280，则中间一组的频数为 A ．56B ．80C ．112D ．1205．已知()2παπ∈ , ，3sin()45πα+=，则cos α=A ．10-B ．10 C ．10-或10 D ．10-6．函数211x y x +=+的图像可能是7．不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩且224u x y y =+-，则u 的最小值为A ．12B ． 1C ．32D ．48．等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数16431)(23-+-=x x x x f 的极值点，则=20132log a A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是AB 的中点，D 是1AA 的中点，则三棱锥11D B C E -的体积与三棱柱111ABC A B C -的体积之比是A ．14B ．16C ．18D ．3810．菱形ABCD 23360ABC ∠=︒，沿对角线AC 折成如图所示的四面体，M 为AC 的中点，60BMD ∠=︒，P 在线段DM 上，记DP x =，PA PB y +=，则函数()y f x =的图像大致为二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分． 11．已知程序框图如图，则输出的i= ．12．在Rt ABC ∆中，1AB =，2BC =，3AC =，D 在边BC 上，23BD =,则AB AD ⋅= ．13．已知抛物线22y x =的焦点为F ，过F 点，且斜率为3的直线交抛物线于A , B 两点，其中第一象限内的交点为A ，则AFFB= ． 14．已知()2xy f x =+是奇函数,且1)1(=f ．若()()3g x f x =+,则=-)1(g _______ ．15．方程11x x m -++=有2个解，则m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在△ABC 中,角CB A ,,所对的边分别为,,a b c,满足3c =,cos (2)cos 0c B a b C ++=．（1）求角C 的大小; （2）求△ABC 面积的最大值．17．（本小题满分12分）设2()ln f x x x a x =--（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在[2,)∞上单调递增，求a 的取值范围．18．为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生的试卷成绩作为样本，他们数学成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数和百位数，叶为个位数。
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期学情监测数学试题 Word版含标准答案
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期学情监测数学试题 Word版含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2014-2015学年高三学情监测数 学 试 卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1． 已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M∩N ＝ ▲ ． 2． 已知复数()2i+1(1i)z =-为虚数单位），则z = ▲ ．3． 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 ▲ ．4． 阅读下面的流程图，若输入a ＝10，b ＝6，则输出的结果是 ▲ ．5． 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 ▲ ． 6． 函数a x f x +-=131)( （)0≠x ，则“1)1(=f ”是“函数)(x f 为奇函数”的 ▲ 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”）7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ． 8． 过点(2，0)引直线l 与曲线21x y -=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 ▲ ． 9． 已知ABC ∆中，10cos ,tan tan 210A B C =⋅=,且B C <,则B = ▲ ． 10．在ABC ∆中，90,1A AB AC ∠===,点P 在边BC 上，则2PB PC +的最大值为 ▲ ． 11． 若关于x 的方程3232ln 21x m x x =++在区间)2,1(上有解，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在正三棱锥S ABC -中，1,30SA ASB =∠=︒，过A 作三棱锥的截面AMN ,则截面三角形AMN 的周长的最小值为 ▲ ．13．已知实数a x f x x x ax x x f a 232167)(1,log 1;2)(,0=⎩⎨⎧>≤+-=>，若方程，有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a 的取值范围 ▲ ．14．若等差数列{}n a 满足2212015110a a +≤，则2015201620174029S a a a a=++++L 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知向量()sin 2,1m x =-，向量()3cos 2,0.5n x =-，函数m n m x f ⋅+=)()(．⑴求)(x f 的最小正周期T ；⑵已知c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边，A 为锐角，13,2a c ==，且()f A 恰是()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求A 和b ．16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱P A 丄底面ABCD 底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD =2AB =2AP =2，PE =2DE ．⑴若F 为PE 的中点，求证BF ∥平面ACE ； ⑵求三棱锥P ﹣ACE 的体积．17．（本题满分14分） 北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．⑴据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？⑵为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入21(600)6x -万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 18．（本题满分16分）如图，圆O 与离心率为23的椭圆T ：12222=+by a x （0>>b a ）相切于点M )1,0(．⑴求椭圆T 与圆O 的方程；⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D （均不重合）． ①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d 、2d ，求2221d d +的最大值； ②若MD MB MC MA ⋅=⋅43，求1l 与2l 的方程．19．（本题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1＝2，且对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝ba n ＋c ，其中b ，c 是常数． ⑴若数列{a n }是等差数列，且c ＝2，求数列{a n }的通项公式；⑵若数列{a n }是等比数列，且|b |＜1，当从数列{a n }中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{a n }的前n 项和S n ＜341256成立的n 的取值集合．20．（本题满分16分）已知函数2()6f x ax x=++，其中a 为实常数. ⑴若()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；⑵已知34a =，12,P P 是函数()f x 图象上两点，若在点12,P P 处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；⑶设定义在区间D 上的函数()y s x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:()l y t x =，当0x x ≠时，若()()0s x t x x x ->-在D 上恒成立，则称点P 为函数()y s x =的“好点”．试问函数2()()g x x f x =是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．AMBCO DE2014-2015学年高三学情监测数 学（附加） 试 卷1．（本题满分10分）已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 2．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数 )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 3．（本题满分10分）如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥ＡＥ，BD ⊥BA ， 122BD AE ==,O M 、分别为CE AB、的中点．(Ⅰ) 求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (Ⅱ) 求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值． 4．（本题满分10分）设i 为虚数单位，n 为正整数．⑴证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；⑵结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin nnx x x x ++=++”证明： 121C cos C cos 2C cos n nnnx x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n nx nx =．2014-2015学年高三数学学情监测参考答案1. (]0,12. 103. 4804. 25. 35 6. 充要 7.5 8. － 339.4π 10. 22 11.110,ln 263⎛⎫- ⎪⎝⎭12. 2 13. ]4,774( 14.20152 15.解：（1）()21()sin 213sin 2cos 22f x m n m x x x =+⋅=+++……2分1cos 4311sin 4sin 422226x x x π-⎛⎫=+++=-+ ⎪⎝⎭，……………… 4分 2.42T ππ∴== ……………… 6分 （2） 由（1）知：()sin(4)26f x x π=-+，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,54666x πππ-≤-≤ ∴当462x ππ-=时()f x 取得最大值3，此时6x π=．………………10分∴由3)(=A f 得.6A π=由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-∴()22213222cos6b b π=+-⨯， ∴33b =．………………14分16. 解：（1）若F 为PE 的中点，由于底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ，故E 、F 都是线段PD 的三等分点．设AC 与BD 的交点为O ，则OE 是△BDF 的中位线，故有BF ∥OE ，而OE 在平面ACE 内，BF 不在平面ACE 内，故BF ∥平面ACE ．………6分 （2）由于侧棱PA 丄底面ABCD ，且ABCD 为矩形， 故有CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAE ，．……………8分 三棱锥P ﹣ACE 的体积V P ﹣ACE =V C ﹣PAE ………………10分=S △PAE •CD=•（•S △PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB =•1•2•1=．………………………………14分17. 解：(1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意知当x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．由于150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10，当且仅当150x ＝x6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.18. 解: (1)由题意知:222,1,23a b c b a c =+==解得3,1,2===c b a 可知: 椭圆C 的方程为1422=+y x 与圆O 的方程122=+y x ……………………4分(2)设),(00y x P 因为1l ⊥2l ,则202022221)1(++==+y x PM d d 因为142020=+y x所以316)31(3)1(442020202221++-=++-=+y y y d d ,………………………7分 因为110≤≤-y 所以当310-=y 时2221d d +取得最大值为316，此时点)31,324(-±P …………9分 (3)设1l 的方程为1+=kx y ,由⎩⎨⎧=++=1122y x kx y 解得)11,12(222k k k k A +-+-； 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 解得)4141,148(222k k k k C +-+-…………………………11分 把C A ,中的k 置换成k 1-可得)11,12(222+-+k k k k B ，)44,48(222+-+k k k k D ………………12分所以)12,12(222k k k k MA +-+-=，)418,148(222kk k k MC +-+- )12,12(22+-+=k k k MB ，)48,48(22+-+=k k k MD 由34MA MC MB MD ⋅=⋅得44413222+=+k k k 解得2±=k ……………………15分 所以1l 的方程为12+=x y ，2l 的方程为122+-=x y 或1l 的方程为12+-=x y ，2l 的方程为122+=x y ………………………16分 19.解： (1) 当c ＝2时，由已知得a 1＝2，a 2＝ba 1＋2＝2b ＋2，a 3＝ba 2＋2＝2b 2＋2b ＋2，因为{a n }是等差数列，所以a 1，a 2， a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，当b ＝1时，a n ＋1＝a n ＋2，对n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2成立，所以数列{a n }是等差数列；所以数列{a n }的通项公式分别为a n ＝2或a n ＝2n.(4分)(2)因为{a n }是等比数列，所以a 1，a 2，a 3成等比数列，所以a 1a 3＝a 22，即2＝(2b ＋c)2，化简得2bc ＋c 2＝2c ，所以c ＝0或2b ＋c ＝2.当2b ＋c ＝2时，a 2＝ba 1＋c ＝2b ＋c ＝2，所以a n ＝2，不满足S n ＜341256.当c ＝0时，若b ＝0，则与a 1＝2矛盾，所以b ≠0，因此a n ＝2b n －1.(8分) 则a n ＋1＝2b n ，a n ＋2＝2b n ＋1，因为a n ，a n ＋1，a n ＋2按某种顺序排列成等差数列， 所以有1＋b ＝2b 2，或1＋b 2＝2b ，或b ＋b 2＝2，解之得b ＝1或b ＝－12或b ＝－2.(12分)又因为|b|＜1，所以b ＝－12，所以S n ＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ，由S n ＜341256，得43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ＜341256，即⎝⎛⎭⎫－12n ＞11 024， 因为n 是正整数，所以n 的取值集合为{2,4,6,8}．(16分)20. 解：（1）方法一：()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，即为2(3)620a x x -++>在(1,)+∞上恒成立，①3a =时，结论成立；②3a >时，函数2()(3)62h x a x x =-++图象的对称轴为602(3)x a =-<-，所以函数2()(3)62h x a x x =-++在(1,)+∞单调递增，依题意(1)0h >，即5a >-，所以3a >；③3a <不合要求，综上可得，实数a 的取值范围是3a ≥．4分方法二：()3f x x >在(1,)+∞上恒成立等价于2263a x x>--+， 令()222613153222h x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭因为1x >，所以101x <<，故()53h x -<<所以3a ≥. （2）232'()4f x x =-设111(,)P x y ，222(,)P x y ，过点12,P P 的两切线互相平行， 则2212323244x x -=-，所以12x x =（舍去），或12x x =-， 过点1P 的切线1l ：111'()()y y f x x x -=-，即1111'()()'()0f x x y f x x f x -+-=，6分 过点2P 的切线2l ：2222'()()'()0f x x y f x x f x -+-=- 11 -两平行线间的距离是12112221|()()'()'()|1['()]f x f x x f x x f x d f x --+=+1121122132322|()()|44321()4x x x x x +--=+-1212421118||8253425431616x x x x x ==-++-， 因为22112211254254251616x x x x +≥⋅=，所以d 84253≤=- 即两平行切线间的最大距离是42． ······················································· 10分 （3）232()()62g x x f x ax x x ==++，设()g x 存在“好点”00(,)P x y ，由2'()3122g x ax x =++，得000()'()()()h x g x x x g x =-+， 依题意()()0g x h x x x ->-对任意0x x ≠恒成立，因为0000()['()()()]g x g x x x g x x x --+-0000[()()]'()()g x g x g x x x x x ---=-，323220000000[(62)(62)](3122)()ax x x ax x x ax x x x x x ++-++-++-=- 22200000[()6()2](3122)a x x x x x x ax x =+++++-++22000(6)(26)ax ax x ax x =++-+13分所以22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立，① 若0a ≤，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>不可能对任意0x x ≠恒成立，即0a ≤时，不存在“好点”；②若0a >，因为当0x x =时，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+=，要使22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立，- 12 -2014-2015学年高三数学（附加）学情监测参考答案1.解：设A NM = 则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．…………10分2.解：（方法一）直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………… 3分因为点P 在圆C 上，故设P (3＋cos θ，sin θ)，从而点P 到直线l 的距离d ＝|3＋cos θ－3sin θ＋3|12＋(－3)2＝|23－2sin(θ－π6)|2． …………………… 7分所以d min ＝3－1．即点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． …………… 10分 (方法二) 直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………… 3分 圆C 的圆心坐标为(3，0)，半径为1． 从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|3－0＋3|12＋(－3)2＝3． ………………………… 6分所以点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ………………………… 10分 3.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥ＡＥ，BD ⊥BA ，122BD AE ==,O M 、分别为CE AB 、的中点． (Ⅰ) 求异面直线AB 与CE 所成角的大小；(Ⅱ) 求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值． 解：∵DB BA ⊥，又∵面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE面ABC AB =，DB ABDE ⊂面，∴DB ABC ⊥面，∵BD ∥AE ，∴EA ABC ⊥面，…… 2分如图所示，以C 为原点，分别以CA ，CB 为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，∵4AC BC ==，∴设各点坐标为(0,0,0)C ，(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,4,2)D ，(4,0,4)E ，则(2,0,2)O ，(2,2,0)M ，(4,4,0),CE (4,0,4)AB =-=，(0,4,2)CD =，(2,4,0)OD =-，(2,2,2)MD =-.AMBCODEx y z- 13 -（1）161cos ,23232AB CE -<>==-⋅，则AB 与CE 所成角为3π. ……5分 （2）设平面ODM 的法向量(,,)x y z =n ，则由OD ⊥n ，且MD ⊥n 可得240,2220,x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩令2x =，则1y =，1z =，∴(2,1,1)=n ，设直线CD 和平面ODM 所成角为θ，则(2,1,1)(0,4,2)630sin cos ,|(2,1,1)||(0,4,2)|10||||625CD CD CD θ⋅⋅=<>====⋅n n n ， ∴直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值为3010． ……10分4. 设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+； （2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin nnx x x x ++=++”证明：121C cos C cos 2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证；……………… 1分 ②假设当n k =时，(c o s i s i n )c o s i s k x x k x k x +=+成立，则当1n k =+时，()1(c o s i s i n )c o si s i n (c o s i s i n )k x x k x k x x x++=++()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++()()cos 1isin 1k x k x =+++，故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；……… 4分（2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nnnrrrnnr r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos 2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+；……… 6分[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x xx x x +=+……… 8分()2cos cos isin 222n n x nx nx =+ 其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos 2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =． ……… 10分。
2015年江苏省南通市高三二模考试数学试题含答案
（第4题）南通市2015届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2． 设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03． 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则AB = ▲ ．【答案】{}1 3-，4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026． 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ．【答案】π27． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为 ▲ cm 3．【答案】1AA 1 B不CB 1不C 1不D 1不D不（第8题）BDC（第12题）AA BCDMNQ9． 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】710．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ． 【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点， 所以//MQ CD ， …… 2分又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ， 故//CD 平面M． …… 6分（2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ，又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． …… 8分因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD平面CAD AD =， 且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面ACD ． …… 11分又MN ⊂平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件；② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中”为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分由已知，有121923()()5050P A P A ==，． ……4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()P A P A A P A P A =+=+=+=． ……6分（2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． ……9分② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，． 故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ，k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解：（1）（方法1）当4k =，πθ=时，(12=，x ，=y (44-，)， ……2分则⋅=x y (1(4)244⨯-+-⨯=- …… 6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， …… 2分则⋅=x y (()(22142421⎡⎤+⋅-+=-+⨯⎢⎥⎣⎦a b a b a b(421443=-+⨯⨯=． ……6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ， 因为x //y ，所以2(22cos )k θθ=--，整理得，()1sin cos 1k θθ=-， ……9分令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+- 22cos cos 1θθ=--()()2cos 1cos 1θθ=+-. …… 11分令()0f θ'=，得1cos θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=.列表：故当2πθ=时，min ()f θ=，此时实数k取最大值. ……14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，b 0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的 右准线2a x c=相切.解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即220006y x x =--+, …… 3分又2200195x y +=，所以2004990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． ……5分（2）当00x =时,220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b a c =，故22a c ac -=， …… 8分（第18题）所以210e e +-=，解得e ． ……10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即22000()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). ……13分所以PF ==0c a x =-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-， 所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c=的距离为2a c c -，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． …… 4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥． 当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； …… 6分当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数，当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤；当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在；当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a =----，=，≥，解得92a ≥，所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． ……10分（3）设[]()()F x f f x a =+， 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >， 第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得1t ，2t =； 当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3t =第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <，① 若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；② 若2x x a t -=，其中2204a t <<， 由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<， …… 14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根；当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分（注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论． 解：（1）证明：依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分从而2111(1)n n n n n n c c d b q q ++++---==，又211(1)0c c d b q --=-≠，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， …… 7分且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， …… 7分消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． ……10分② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ，p c ，r c 成等差数列， 则2m p l c c c =+，因为0l c >，所以2m p c c >， ① 若1p m >+，则2p m +≥，结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥，化简得，8203m m -<-<， ②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾， 所以只能1p m =+，同理，1r p =+，所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． ……16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）南通市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅． 证明：因为PC 为圆O 的切线，P所以P∠=， …… 3分又CPA CPB ∠=∠， 故△C∽△BCP ， …… 7分所以AC AP BC PC=，即AP BC AC CP ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, …… 4分联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=，解得112x =，22x =，所以AB 中点的横坐标为12524x x +=，…… 8分化为极坐标为()5π 23，．…… 10分（方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，…… 2分消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， …… 6分所以线段AB 中点的极坐标为()12π 23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分（注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， …… 6分因为234a b c ++=， 故22287a b c ++≥， …… 8分当且仅当a b c ==，即2a =，4b =，6c =时取“=”． ……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上．（1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标．解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， …… 2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． …… 4分（2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为24y x =-+，联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， …… 6分 所以11k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， ……8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，（第22题）联立243371y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()82-，． ……10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且A B =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a ．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅，若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种， 所a 3=01C 11+ C 2=；当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅，若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种； 若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种， 所以a 4=02C 22+ C 2=． …… 4分（2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅，若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种； 若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……(()2π π3，f θ'f θ若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共222C nn --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 1n =+，b 1n =-，则1n +B ∈，1n -A ∈，共2C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种，所以a n =02C n -+12Cn -+…+222C n n --+22Cn n -+…+122222C2Cn n n n n -----=-； ……8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=， 综上得，12222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 …… 10分。
江苏省扬州市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试卷(含解析)
2015年江苏省扬州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．命题“存在x∈R，2x＞0”的否定是“”．2．设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为．3．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B= ．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．5．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为．6．若函数（ω＞0）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为．7．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AD=2cm，AA1=1cm，则三棱锥B1﹣ABD1的体积为cm3．9．已知等差数列{a n}的首项为4，公差为2，前n项和为S n．若S k﹣a k+5=44（k∈N*），则k 的值为．10．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为．11．在平行四边形ABCD中，=3，则线段AC的长为．12．如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点D在边BC上，∠BAD=45°，则tan∠CAD的值为．13．设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2=25，圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2=r2．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA=2AB，则半径r的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD=90°．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面CAD．16．体育测试成绩分为四个等级，优、良、中、不集合．某班50名学生惨叫测试结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为a1，a2，a3，2名女生的成绩记为b1，b2，现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛：①写出所有可能的基本事件；②求参赛学生中恰有一名女生的概率．17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，0），=（0，2）．设向量=+（1﹣cosθ），=﹣k+，其中0＜θ＜π．（1）若k=4，θ=，求•的值；（2）若∥，求实数k的最大值，并求取最大值时θ的值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0）．P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF．（1）若a=3，b=，求x0的值；（2）若x0=0，求椭圆的离心率；（3）求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切．19．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．20．设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q（q≠1）的等比数列．记c n=a n+b n．（1）求证：数列{c n+1﹣c n﹣d}为等比数列；（2）已知数列{c n}的前4项分别为4，10，19，34．①求数列{a n}和{b n}的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合A={n 1，n2，…，n k}（k≥4，k∈N*），使得数列，，…，为等差数列？证明你的结论．三、（附加题）[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP•BC=AC•CP．三、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB 中点的极坐标．三、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥．四、【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px（p ＞0）上．（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．26设A，B均为非空集合，且A∩B=∅，A∪B={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）．记A，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“a∈B，且b∈A”的集合对（A，B）的个数为a n．（1）求a3，a4的值；（2）求a n．2015年江苏省扬州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．命题“存在x∈R，2x＞0”的否定是“∀x∈R，2x≤0 ”．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题为特称命题，则命题的否定为任意x∈R，2x≤0，故答案为：任意x∈R，2x≤0点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为0 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等求得a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得a=0，b=1．∴ab=0．故答案为：0．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B= {﹣1，3} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，∴B={x|x≥1或x≤﹣1}，∵A={﹣1，0，，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为11 ．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的S，I的值，当I=7时，不满足条件I＜7，退出循环，输出S的值为11．解答：解：模拟程序运行，可得I=1满足条件I＜7，S=3，I=3满足条件I＜7，S=7，I=5满足条件I＜7，S=11，I=7不满足条件I＜7，退出循环，输出S的值为11．故答案为：11．点评：本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出每次循环得到的S，I的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为0.02 ．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题；概率与统计．分析：根据平均数与方差的公式进行计算即可．解答：解：数据9.8，9.9，10.1，10，10.2的平均数是=（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10，∴该组数据的方差为s2=[（10﹣9.8）2+（10﹣9.9）2+（10﹣10.1）2+（10﹣10）2+（10﹣10.2）2]=[0.04+0.01+0.01+0+0.04]=0.02．故答案为：0.02．点评：本题考查了求数据的平均数与方差的应用问题，是基础题目．6．若函数（ω＞0）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得函数的周期为4，再根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，求得ω的值．解答：解：由题意可得，函数的周期为2×2=，求得ω=，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．7．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为﹣e ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a 的方程，即可解得a．解答：解：y=lnx的导数为y′=，即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=，由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则a•=﹣1，解得a=﹣e，故答案为：﹣e．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，属于基础题．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AD=2cm，AA1=1cm，则三棱锥B1﹣ABD1的体积为 1 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用=即可得出．解答：解：由长方体的性质可得：点D1到平面ABB1A1的距离为AD．====1，故答案为：1．点评：本题考查了三棱锥的体积计算公式、“等体积变形”、线面垂直的判定及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知等差数列{a n}的首项为4，公差为2，前n项和为S n．若S k﹣a k+5=44（k∈N*），则k 的值为7 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知写出等差数列的通项公式和求和公式，是基础的计算题．解答：解：由等差数列{a n}的首项为4，公差为2，得a n=4+2（n﹣1）=2n+2，，再由S k﹣a k+5=44，得k2+3k﹣2（k+5）﹣2=44，解得：k=﹣8（舍）或k=7．故答案为：7．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．10．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为 6 ．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由函数为单调增函数可得f′（x）≥0，故只需△≤0即可．解答：解：根据题意，得f′（x）=12x2+2mx+m﹣3，∵f（x）是R上的单调增函数，∴f′（x）≥0，∴△=（2m）2﹣4×12×（m﹣3）≤0即4（m﹣6）2≤0，所以m=6，故答案为：6．点评：本题考查函数的单调性，利用二次函数根的判别式小于等于0是解决本题的关键，属中档题．11．在平行四边形ABCD中，=3，则线段AC的长为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，易得，建立直角坐标系，设D（x，y），则C（0，y），（﹣x，0），则=y2=3，解出即可．解答：解：根据题意，得==，又∵∴，又四边形ABCD为平行四边形，建立直角坐标系如右图，设D（x，y），则C（0，y），（﹣x，0），则=（0，y），=（x，y），所以=y2=3，从而线段AC的长为==，故答案为：．点评：本题考查向量数量积的坐标表示，建立直角坐标系是解决本题的关键，属中档题．12．如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点D在边BC上，∠BAD=45°，则tan∠CAD的值为．．考点：余弦定理；两角和与差的正切函数．专题：解三角形．分析：先用余弦定理求出cos∠BAC，根据同角三角函数关系式即可求出sincos∠BAC，tan ∠BAC，再用两角和正切公式即可求得tan∠CAD的值．解答：解：在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠BAC===﹣，所以可得：sin∠BAC==，所以可得：tan∠BAC===﹣，由于：tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）===﹣，从而解得：tan∠CAD=．故答案为：．点评：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数关系式，两角和正切函数公式的应用，属于基本知识的考查．13．设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的最小值为．考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：直接利用等比数列的性质以及对数的运算法则化简求解即可．解答：解：x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，z2=xy，===≥=．当且仅当lgy=2lgx时取等号．故答案为：．点评：本题考查对数的运算法则等比数列的性质的应用，基本不等式的应用．14．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2=25，圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2=r2．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA=2AB，则半径r的取值范围是[5，55] ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r的取值范围即可．解答：解：圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2=25，圆心（﹣1，6）；半径为：5．圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2=r2．圆心（17，30）；半径为：r．两圆圆心距为：=30．如图：PA=2AB，可得AB的最大值为直径，此时C2A=20，r＞0．当半径扩大到55时，此时圆C2上只有一点到C1的距离为25，而且是最小值，半径再大，没有点满足PA=2AB．r∈[5，55]．故答案为：[5，55]．点评：本题考查两个圆的位置关系．直线与圆的综合应用．考查分析问题解决问题的能力．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD=90°．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面CAD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）通过三角形中位线定理推知MQ∥CD来证得结论；（2）欲证明平面MNQ⊥平面CAD，只需“利用三角形中位线定理和平行线的性质推知MN⊥平面ACD”证得平面MNQ⊥平面CAD．解答：证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又∠BAD=90°，所以AB⊥AD，故MN⊥AD．因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD=AD，且MN⊂平面ABD，所以MN⊥平面ACD．又MN⊂平面MNQ，平面MNQ⊥平面CAD．点评：本题考查了线面平行（垂直）的判定定理和性质定理的运用，体现了转化的思想．（2）测试成绩为“优”的3名男生记为a1，a2，a3，2名女生的成绩记为b1，b2，现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛：①写出所有可能的基本事件；②求参赛学生中恰有一名女生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布表，利用频率=，即可求出对应的概率；（2）①依据古典概型即可得到从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛的所有基本事件个数；②由①，代入古典概型概率公式，即可得到参赛学生中恰有一名女生的概率．解答：解：（1）根据频率分布表，得；在这次考试中成绩为“良”或“中”是19+23=42；故随机抽取一名学生，该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为=；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为a1，a2，a3，2名女生的成绩记为b1，b2，①现从这5人中任选2人所有的基本事件为：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，共10种；②满足参赛学生中恰有一名女生的事件为：a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，共6种故参赛学生中恰有一名女生的概率为P=．点评：本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，考查等可能事件的概率，古典概型与几何概型都涉及到了，是常见的题目；平时要加强训练17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，0），=（0，2）．设向量=+（1﹣cosθ），=﹣k+，其中0＜θ＜π．（1）若k=4，θ=，求•的值；（2）若∥，求实数k的最大值，并求取最大值时θ的值．考点：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：（1）当k=4，时，用坐标表示向量、，代入计算即可；（2）用坐标表示出向量、，由，可得，令f（θ）=sin θ（cosθ﹣1），问题转化为求f（θ）的最小值．解答：解：（1）当k=4，时，=（1，2﹣），=（﹣4，4），则==．（2）依题意，=（1，2﹣2cosθ），=（﹣k，），因为，所以，整理得，，令f（θ）=sinθ（cosθ﹣1），则f′（θ）=cosθ（cosθ﹣1）+sinθ（﹣sinθ）=2cos2θ﹣cosθ﹣1=（2cosθ+1）（cosθ﹣1）．令f′（θ）=0，得或cosθ=1，又0＜θ＜π，故．列表如下：θf′（θ）﹣ 0 +f（θ）↓极小值↑当时，，此时实数k取最大值．点评：本题考查向量的坐标运算，将问题转化为求三角函数的最小值是解题的关键，属中档题．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0）．P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF．（1）若a=3，b=，求x0的值；（2）若x0=0，求椭圆的离心率；（3）求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据a，b，c的关系易得c=2，由PA⊥PF及，解得；（2）联立条件x0=0及PA⊥PF，计算得a2﹣c2=ac，所以e2+e﹣1=0，解之即可（注意舍去负值）．（3）联立，以及PA⊥PF得，解得，计算可得PF=，即得结论．解答：解：（1）因为a=3，b=，所以c2=a2﹣b2=4，即c=2，由PA⊥PF得，，即，又，所以，解得或x0=﹣3（舍去）；（2）当x0=0时，，由PA⊥PF得，，即b2=ac，故a2﹣c2=ac，所以e2+e﹣1=0，解得（负值已舍）；（3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且，①由PA⊥PF得，，即，②由①②得，，解得或x0=﹣a（舍去）．所以PF===|a﹣|=a+=，所以以F为圆心，FP为半径的圆与右准线相切．点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分析能力与计算能力，属中档题．19．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．考点：函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据f（0）=0即可求出a；（2）讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围；（3）代入f（x），原函数变成y=f（x|x﹣a|），这时候换元t=x|x﹣a|，y=t|t﹣a|﹣a．然后画出函数t=x|x﹣a|和函数y=t|t﹣a|﹣a的图象，通过图象找出有几个t使得y=t|t﹣a|﹣a=0，并找出对应的x的个数，从而找到原函数的零点个数．解答：解：（1）∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；∴f（0）=﹣a=0；∴a=0；（2）f（x）=x|x﹣a|﹣a；∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2﹣a）﹣a=4﹣3a；∴4﹣3a≥0，a≤；∴；②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；﹣a＜0，不满足f（x）≥0；即这种情况不存在；③若a＞3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a﹣3）﹣a=2a﹣9；∴2a﹣9≥0，a；∴；∴综上得a的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）；（3）f（x）+a=x|x﹣a|，令x|x﹣a|=t；∴y=t|t﹣a|﹣a；下面作出函数t=x|x﹣a|=和函数y=t|t﹣a|﹣a=的图象：函数y=t|t﹣a|﹣a的图象可以认为由函数y=t|t﹣a|的图象向下平移a个单位得到；显然函数y=t|t﹣a|﹣a的左边两个零点t=t1，t=t2都在（0，a）区间上，而通过t=x|x﹣a|的图象可看出：∵，∴；∴t1，t2分别有三个x和它对应；∴这时原函数有6个零点；由t（t﹣a）﹣a=t2﹣ta﹣a=0可以解出；∴；显然；而（a2﹣2a）2﹣4（a2+4a）=a[a2（a﹣4）﹣16]；显然a2（a﹣4）﹣16可能大于0，可能等于0，可能小于0；∴t3可能和它对应的x个数为3，2，1；∴此时原函数零点个数为3，2，或1；∴原函数的零点个数为9个，8个，或7个．点评：考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．20．设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q（q≠1）的等比数列．记c n=a n+b n．（1）求证：数列{c n+1﹣c n﹣d}为等比数列；（2）已知数列{c n}的前4项分别为4，10，19，34．①求数列{a n}和{b n}的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合A={n 1，n2，…，n k}（k≥4，k∈N*），使得数列，，…，为等差数列？证明你的结论．考点：等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）依题意，c n+1﹣c n﹣d=（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）﹣d=（a n+1﹣a n）﹣d+（b n+1﹣b n）=b n（q﹣1）≠0，利用等比数列的定义，即可得出结论；（2）①由（1）得，等比数列{c n+1﹣c n﹣d}的前3项为6﹣d，9﹣d，15﹣d，求出d，q，即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；②利用反证法，假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），且c l，c m，c p，c r成等差数列，则2c m=c p+c l，得出c m，c p，c r为数列{c n}的连续三项，从而2c m+1=c m+c m+2，只能q=1，这与q≠1矛盾，即可证明结论．解答：（1）证明：依题意，c n+1﹣c n﹣d=（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）﹣d=（a n+1﹣a n）﹣d+（b n+1﹣b n）=b n（q﹣1）≠0，…3分从而，又c2﹣c1﹣d=b1（q﹣1）≠0，所以{c n+1﹣c n﹣d}是首项为b1（q﹣1），公比为q的等比数列．…5分（2）解：①由（1）得，等比数列{c n+1﹣c n﹣d}的前3项为6﹣d，9﹣d，15﹣d，则（9﹣d）2=（6﹣d）（15﹣d），解得d=3，从而q=2，…7分且解得a1=1，b1=3，所以a n=3n﹣2，．…10分②假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），且c l，c m，c p，c r成等差数列，则2c m=c p+c l，因为c l＞0，所以2c m＞c p，①若p＞m+1，则p≥m+2，结合①得，2[（3m﹣2）+3•2m﹣1]＞（3p﹣2）+3•2p﹣1≥3（m+2）﹣2+3•2m+1，化简得，，②因为m≥2，m∈N*，不难知2m﹣m＞0，这与②矛盾，所以只能p=m+1，同理，r=p+1，所以c m，c p，c r为数列{c n}的连续三项，从而2c m+1=c m+c m+2，即2（a m+1+b m+1）=a m+b m+a m+2+b m+2，故2b m+1=b m+b m+2，只能q=1，这与q≠1矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A．…16分点评：本题考查等比数列的判定，考查等差数列、等比数列的通项，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、（附加题）[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP•BC=AC•CP．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：根据弦切角定理，可得∠PCA=∠CBP，进而可得△CAP∽△BCP，进而根据对应边成比例，化为积等式，可得答案．解答：证明：因为PC为圆O的切线，所以∠PCA=∠CBP，…（3分）又∠CPA=∠CPB，故△CAP∽△BCP，…（7分）所以AC：BC=AP：PC，即AP•BC=AC•CP．…（10分）点评：本题考查的知识点是弦切角定理，相似三角形的判定及性质，难度不大，属于基础题．三、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：选作题；矩阵和变换．分析：利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值．解答：解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则，…5分故解得…10分．点评：本题考查特征值与特征向量，考查学生的计算能力，理解特征向量是关键．四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB 中点的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：方法一：将直线直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立消去y得，2x2﹣5x+2=0，利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可．方法2：联立直线l与曲线C的方程组可得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，利用中点坐标公式即可得出．解答：解：方法一：将直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立并消去y得，2x2﹣5x+2=0，∴x1+x2=，∴AB中点的横坐标为=，纵坐标为，∴=化为极坐标为．方法2：联立直线l与曲线C的方程组，消去θ，得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，∴线段AB中点的极坐标为，即．点评：本题考查了直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥．考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+4+9）≥（a+2b+3c）2=16，变形即可证得结论．解答：证明：∵a+2b+3c=4，由柯西不等式，得（a2+b2+c2）（1+4+9）≥（a+2b+3c）2=16，∴a2+b2+c2≥，当且仅当时，等号成立，即当a=、b=、c=时，等号成立，∴a2+b2+c2≥．点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．四、【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px（p ＞0）上．（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用代入法，即可求得p，t；（2）求得M（2，0），求出直线AM的方程，代入抛物线方程，可得B的坐标，运用正弦的斜率公式，可得k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得k3，进而得到直线PC方程，再联立直线AM的方程，即可得到C的坐标．解答：解：（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，得p=1，将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，因为t＜0，所以t=﹣2．（2）依题意，M的坐标为（2，0），直线AM的方程为y=﹣x+，联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），所以k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得，k3=﹣，从而直线PC的方程为y=﹣x+，联立直线AM：y=﹣x+，并解得C（﹣2，）．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查方程的运用，注意联立直线方程和抛物线方程求交点，以及直线的斜率公式的运用和两直线的交点问题转化为解方程，属于中档题．26设A，B均为非空集合，且A∩B=∅，A∪B={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）．记A，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“a∈B，且b∈A”的集合对（A，B）的个数为a n．（1）求a3，a4的值；（2）求a n．考点：数列的应用；元素与集合关系的判断；交集及其运算．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据题意，先用列举法写出A∪B，再找出满足条件的情况即可；（2）用列举法写出A∪B，对n分奇偶数讨论即可，找出满足条件的情况即可．解答：解：（1）当n=3时，A∪B={1，2，3}，且A∩B=∅，若a=1，b=2，则1∈B，2∈A，共种；若a=2，b=1，则2∈B，1∈A，共种，所以a3=；当n=4时，A∪B={1，2，3，4}，且A∩B=∅，若a=1，b=3，则1∈B，3∈A，共种；若a=2，b=2，则2∈B，2∈A，这与A∩B=∅矛盾；若a=3，b=1，则3∈B，1∈A，共种，所以a4=．（2）当n为偶数时，A∪B={1，2，3，…，n}，且A∩B=∅，若a=1，b=n﹣1，则1∈B，n﹣1∈A，共（考虑A）种；若a=2，b=n﹣2，则2∈B，n﹣2∈A，共（考虑A）种；…若a=，b=，则∈B，∈A，共（考虑A）种；若a=，b=，则∈B，∈A，这与A∩B=∅矛盾；若a=，b=，则∈B，∈A，共（考虑A）种；…若a=n﹣1，b=1，则n﹣1∈B，1∈A，共（考虑A）种，所以a n=+…+++…+；当n为奇数时，同理得，a n=+…+，综上得，．点评：本题考查数列的第n项的求法，属中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学试卷第1页 共15页 2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学试题 (考试时间：120分钟 总分：160分) 命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 龚才权 丁连根 审题人：丁凤桂 石志群 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
（参考公式：柱体体积公式为VSh） 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1.若复数(2)ia（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a= ▲ ． 2.已知集合1,2,4A，,4Ba，若{1,2,3,4}AB，则AB ▲ ． 3.某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样 的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．
4.已知双曲线2214xym的渐近线方程为22yx，则m ▲ ． 5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ． 6.若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ．
7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此 点到圆心的距离大于21，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于41，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ▲ ． 8.在等比数列{}na中，已知3754,2320aaa，则7a ▲ ． 9.已知函数axxy22的定义域为R，值域为),0[，则实数a的取值集合为 ▲ ．
10.已知实数,xy满足40210440xyxyxy，则3zxy的取值范围是 ▲ ．
1i 4x While i<10 2xxi 3ii End While Print x
第5题图 高三数学试卷第2页 共15页
11.设函数π()3sin(π)3fxx和π()sin(π)6gxx的图象在y轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M、N，已知O为原点，则OMON ▲ ． 12.若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P的两条直线被圆O：224xy所截得的弦长之
比为62，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ． 13. 若函数2()(2)fxxxa在区间[2,4]上单调递增，则实数a的取值范围是 ▲ ． 14. 在ABC中，D为边AC上一点，4,6ABADAC，若ABC的外心恰在线段
BD上，则BC ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）
已知向量13(,)22a，(2cos,2sin)b，0π． （1）若a∥b，求角的大小； （2）若abb，求sin的值． 16.（本题满分14分） 如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直，BEAE，点NM,
分别是CDAE,的中点． （1）求证： MN∥平面BCE； （2）求证：平面BCE平面ADE．
NM
ADB
C
E 高三数学试卷第3页 共15页
17.（本题满分14分） 如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m．在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一
条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆A相切．
（1）当P距O处2百米时，求OQ的长； （2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．
18.（本题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆:E22221(0)xyabab的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455． （1）求椭圆E的标准方程； （2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求BCD面积的最大值．
lm东
北PQ
OA
xyD
COBA 高三数学试卷第4页 共15页
19.（（本题满分16分） 已知na，nb，nc都是各项不为零的数列，且满足1122nnnnabababcS，
nN，其中nS是数列na的前n项和， nc是公差为(0)dd的等差数列．
（1）若数列na是常数列，2d，23c，求数列nb的通项公式； （2）若nan（是不为零的常数），求证：数列nb是等差数列； （3）若11acdk（k为常数，kN），nnkbc(2,)nnN，求证：对任意的2,nnN，数列{}nnba单调递减．
20.（本题满分16分） 己知()lnxfxaxae，其中常数0a．
（1）当ae时，求函数()fx的极值； （2）若函数()yfx有两个零点1212,(0)xxxx，求证：1211xxaa； （3）求证：221ln0xxxxee．
2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学试题(附加题) 21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前 高三数学试卷第5页 共15页
两题记分． A．（本小题满分10分，几何证明选讲） 如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心的割线且交圆O于B点，过B作O
的切线交CD于点1,2EDEEC．
求证：（1）3CACB；（2）3CACD．
B．（本小题满分10分，矩阵与变换） 已知矩阵010Aa，矩阵020Bb，直线04:1yxl经矩阵A 所对应的变换得到直线2l，直线2l又经矩阵B所对应的变换得到直线04:3yxl． （1）求,ab的值；（2）求直线2l的方程．
C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极
坐标方程为sin324． （1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知P为椭圆221169:xyC上一点，求P到直线l的距离的最小值．
D．（本小题满分10分，不等式选讲） 已知不等式22|1|abcx对于满足条件1222cba的任意实数cba,,恒成立,求实数x的取值范围．
EBCOA
D 高三数学试卷第6页 共15页 ［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.(本小题满分10分) 某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪
一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品． （1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；
（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记XY，求随机变量的分布列及数学期望．
23.(本小题满分10分) 已知2()(1)nfxxx（nN），()gx是关于x的2n次多项式； （1）若23()()()fxgxgx恒成立，求(1)g和(1)g的值；并写出一个满足条件的()gx的表达式，无需证明． （2）求证：对于任意给定的正整数n，都存在与x无关的常数0a，1a，2a，…，na，
使得221222110121()(1)()()()nnnnnnnnfxaxaxxaxxaxxax．
2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学参考答案 一、填空题 1．2 ； 2．{4}； 3．16； 4．2； 5．28；
6．3； 7．163； 8．64； 9．{1}； 10．[1,7]； 高三数学试卷第7页 共15页
11．89； 12．9或19 ； 13． (,2][5,)； 14．210. 二、解答题 15. 解：(1) 因为//ab，所以132sin2cos22，即sin3cos， 所以tan3， 又0π，所以2π3． ……………７分 (2)因为abb，所以22()abb，化简得220aab，
又13(,)22a，(2cos,2sin)b，则21a，cos3sinab， 所以13sincos2，则π1sin()064， ……………10分 又0π，π15cos()64， 所以ππππππsin[()]sin()coscos()sin66i66n6s61538． ……………14分 16. 证：（1）取BE中点F，连接,CFMF，
又M是AE中点，则1//,2MFABMFAB， 又N是矩形ABCD边CD中点， 所以//,MFNCMFNC，则四边形MNCF是平行四边形， 所以//MNCF，又MN面BCE，CF面BCE，所以MN∥平面BCE．…７分 （2）因为平面ABCD平面ABE，BCAB，所以BC平面ABE， 因为AE平面ABE，所以BCAE， 又BEAE，BCBEB，所以AE平面BCE， 而AE平面ADE，所以平面BCE平面ADE． ……………14分
17. 解：以O为原点，直线l、m分别为,xy轴建立平面直角坐标系．
设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的
lm
北东PQ
OAB