概率论第二章练习答案

概率论第二章 练习答案

一、填空题：

1．设随机变量X 的密度函数为fx=⎩

⎨

⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的

观察中事件X≤

2

1

出现的次数,则PY ＝2＝ ; ⎰==≤4120

21)21(xdx X P

64

9

)43()41()2(1223=

==C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：

ax+b 0

f x =

0 其他 且EX ＝

3

1

,则a = _____-2___________, b = _____2___________; ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+→

⎰⎰解之

31)(0

1

1)(0

1

dx b ax x dx b ax 3. 已知随机变量X 在 10,22 上服从均匀分布,则EX= 16 , DX= 12

4. 设=+==）（，则，为随机变量，10411

32ξξξξE E E 22104=+ξE =+)104(ξD [

]

3216162

2=-

=）（ξξξE E D 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<31 , 则

a = ,

b =

⎰⎰⎰

+=+⇒==+∞

∞

-101

33

1

3

1311

dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：

4

723=-=b a ，

6．若fx 为连续型随机变量X 的分布密度,则

⎰

+∞

∞

-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿;

7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩

⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,

4/0,

0)(2

x x x x x F ,则

P ξ=0.8= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 ;

8. 某型号电子管,其寿命以小时记为一随机变量,概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪

⎨⎧≥)

(0100100

2其他x x ,

某一个电子设备内配有3个这样的电子管,则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿; 2100

x

x≥100 ∴

ϕx=

0 其它

P ξ≥150=1－F150=1－⎰⎰=

-+=+=150

10015010023

2

132********x dx x P ξ≥1503=323=27

8

9. 设随机变量X 服从Bn, p 分布,已知EX ＝1.6,DX ＝1.28,则参数n ＝___________,P ＝_________________;

EX = np = 1.6

DX = npq = 1.28 ,解之得：n = 8 ,p = 0.2

10. 设随机变量x 服从参数为2,p 的二项分布,Y 服从参数为4,p 的二项分布,若P X ≥1＝

9

5

,则PY ≥1＝＿65/81＿＿＿＿＿＿; 解：

11. 随机变量X ～N2, σ2,且P2＜X ＜4=0.3,则PX ＜0=＿＿0.2＿＿＿

%

2.808165

811614014==-=-=q p C o )

0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94

)1(95)1(2

=

=⇒=∴===〈⇒=

≥p q q X p X p X p

2

.08.01)2

(1)2(2

008

.05.03.0)2

(,3.0)0()2

(

3

.02

22

42442000

0000

=-=Φ-=-Φ=-Φ=<=+=Φ=Φ-Φ=-Φ--Φ=<-<=<<σ

σσ

σ

σ

σ

σ

）（）（再代入从而即：）（）（）（）（）（X P X P X P X P

12. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望)(2X

e X E -+= ___4/3________

3

4

31110

222=+

=⋅+=+=+⎰+∞

----dx e e Ee EX e

X E x x X X

）（ 13. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则随机变量Z= 3X －2的期望

E Z ＝3EX-2=3x2-2=4 ; 14．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且P X= 1 = P X=2 则E X = __2_______. D X = __2___________.

02!

2!

122

=-⇒=

--λλλλ

λλ

e e

∴)0(2

舍==λλ

15. 若随机变量ξ服从参数λ=0.05的指数分布,则其概率密度函数为：

=)(x φ⎩

⎨

⎧<≥-,

00,

005.005.0x x e x

；E ξ= 20 ；D ξ= 400 ;

16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7,活到15岁以上的概率为0.2,则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为286.07

2

7.02.0)10()15()10/15(===>>=

>>ξξξξP P P

17. 某一电话站为300个用户服务,在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01,则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P 34=0.168031

解：算：

利用泊松定理作近似计,99.0*01.0*4300)4()

01.0,300(~296

4⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==X P b X 一小时内使用电话的用户数服从301.0300=⨯==np λ的泊松分布

18 通常在n 比较大,p 很小时,用 泊松分布 近似代替二项分布的公式,其期望为

np =λ ,方差为 np =λ

19．618.0)3(,045.0)5(),,(~2

=≤=-