北师大版高中数学必修3第一章1.4 数据的数字特征教案
1.4数据的数字特征教学目标知识与技能对数据的数字特征进行理解与感悟，由典例分析三数三差的概念与联系，会使用标准差进行计算。
过程与方法在解决一些实际问题，对数据进行分析时利用数据的数字特征进行分析与解决问题。
情感态度价值观由现实生活认识到数据的数字特征对数学数据分析的重要性，培养学生对数学数据的敏感程度，以便学生在后期学习能够更深的挖掘。
教学重点：理解各个统计量的意义和作用，掌握数据计算的标准差。
教学难点: 标准差的应用与理解，其他统计量的意义与计算。
教学过程：（一）情景引入小王去某公司应聘.公司经理说，我们这里报酬不错, 月平均工资是3000元,技术员A说，我的工资是1500元,在公司算中等收入，小王感觉待遇不错，第二天就去上班了.一周后，小王发现了问题，去找经理，“经理，你说的不对，我已问过其他技术员，没有一个技术员的工资超过3000元.经理说：“没错，平均工资确实是每月3000元.不信可看看公司的工资报表.”小王糊涂了，这是怎么回事呢？下表是该公司的月工资报表：经理是否忽悠了小王，为什么？（学生思考交流）（二）课堂探究数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。
大家思考一下？初中时我们学习了几个特别的统计量呢？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决。
思考1：什么叫平均数？有什么意义？提示：一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平.数据的平均数为 思考2.什么叫中位数？有什么意义？提示：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数（或中间两个数的平均数）称为这组数据的中位数.一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势.思考3.什么叫众数？有什么意义？提示：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势. 思考4.什么叫极差？有什么意义？ 员工 总工程师 工程师 技术员A 技术员B 技术员C 技术员D 技术员E 技术员F见习技术员G 工资 9000 7000 2800 2700 1500 1200 12001200 1200 n x x x 12,,,L n x x x x n12+++=L提示：一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.思考5.什么叫方差？有什么意义？方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用s2表示，通常用来计算.反应了数据的离散程度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.（三）例题讲解例1 某公司员工的月工资情况如表所示：(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数.(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？解：（1）该公司员工的月工资平均数为即该公司员工月工资的平均数为1 373元.中位数为800元，众数为700元.(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数1 373元作为月工资/元 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500 员工/人 1 2 4 6 12 8 20 5 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=---22212)()(1x x x x x x n S n Λ8 0001 5 0002 4 0004 2 0006 1 0001280087002060055002124612820521373⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++++++≈，月工资的代表；而税务官希望取月工资中位数800元，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700元作为代表，因为每月拿700元的员工数最多.例2 在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图所示：（1）甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？（2）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均数和方差的大小吗？解：(1) 观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售额的中位数为20,众数为10,18,30,极差为53;乙城市销售额的中位数为29,众数为23,34，极差为38. （2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市销售额分布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销售额分布则相对集中在茎叶图的中部.由此，我们可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大.例3 甲、乙两名战士在相同条件下各射击靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．（1）分别计算以上两组数据的平均数；（2）分别求出这两组数据的方差；（3）请根据这两名射击手的成绩估计这两名战士的射击情况. 注意：那么，在刻画数据的离散程度时，这个统计量应该满足哪些原则呢？（1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；（2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度；（3）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值也大。
（四） 问一问：标准差如何表示并计算呢？标准差：定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度. 即：标准差的意义：标准差越高，表示实验数据越离散，也就是说越不精确；反之，标准差越低，代表实验的数据越精确.（五） 巩固练习：1、一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋20双，其中各种尺码的鞋的销量如表所示：指出这组数据的众数、中位数、平均数.鞋的尺码（cm ）30 28 20 23 21 25 销售量（双）5 1 2 3 5 4222121[()()()]n S x x x x x x n---=-+-+⋯+-2、下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：分数0 1 2 3 4 5人数 4 7 10 x 8 y请参照这个表解答下列问题：（1）用含x，y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f；（2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求x，y的值.（六）规律总结一组数据的平均数为a，方差为S2，1.若该组数据加上某一个数b，则平均数为a+b，方差不变为S2 ；2. 若该组数据乘以上某一个数b，则平均数为a*b，方差为S2 *b2。
课堂训练1.（2014·陕西高考）某公司10位员工的月工资（单位:元）为，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A.-x，s2+1002 B.-x +100, s2+1002C. -x ,s2 D.-x +100, s22.（2013·安徽高考）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ )A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数3. 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是______. （七）课堂小结数字特征中的三数三差（众数、中位数、平均数；极差、方差、标准差）三数三差的意义及作用（八）课后作业1、课本第31页习题1—4 1、2（九）板书设计§4 数据的数字特征（一）情景引入（二）课堂探究（三）例题讲解（四）标准差（五）巩固练习：（六）规律总结（七）课堂小结（八）课后作业教学反思今天的课题是《数据的数字特征》，它主要描述了在数据收集过后，对数据进行处理来了解一些数据的集中趋势或是特征。
这节课我从学生在初中已经接触过平均数、中位数、众数，极差、方差进行引入与回顾，利用学生已有的知识以问题探究式、小组合作交流进行讲解。
有效的讲明白弄明白这节课的重点与难点，激发学生的学习兴趣。
总的来说今天的课程较为圆满，但在具体的过程中仍然存在不足。
具体总结以下几个方面：1、自身教学方面在上课期间还是存在着上课紧张，不能够应付自如，在时间把控上也存在着较大的问题，不能充分的利用利用时间，造成课程内容不充实。
但学生氛围较好，与我的呼应较强，在学生回答问题时，能给予很大的鼓励性语言，课堂互动十分有趣。
2.学生方面在上课期间未能组织好学生进行小组讨论，个别学生回答问题较快，不能给其他同学留有足够的时间思考，未能掌握好学生的节奏。
学生对知识的掌握还可以，通过例题的讲解，学生已经熟知一二，在巩固练习与课堂探究中能够自己对知识进行应用，并且积极发言，3、教学内容方面尽管内容环节明确，学生接受较好，能够对这节课的重点、难点知识进行掌握与运用，但课堂教学内容还是不充分，不充实，在学生的巩固练习中，还存在着例题设计不巧妙，过于简单，造成学生快问快答，导致整堂课的进度略快。
总之，这一次的听评课活动让我意识到自己在教学中仍然存在想对应的问题，自己能做的就是不断的摸索与思考，不断地向经验丰富的老师请教，善于总结，善于反思，以此来促进自身的成长与发展。
我也十分感谢各位老师对我在教学中提出许多宝贵性的意见与建议。
高中数学 1.4 数据的数字特征配套课件 北师大版必修3
2．过程与方法 通过对实例的探究，感知平均数、中位数和众数刻画了 一组数据的集中趋势，极差、方差、标准差刻画了一组数据 的离散程度，而标准差的单位与原始测量单位相同． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习，感受数据的数字特征的意义和作用， 从而提高根据问题的需要而选择不同的统计量来表达数据的 信息的能力．
极差、方差、标准差
【问题导思】 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的 环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 1．甲、乙两战士命中环数的平均数 x 甲、 x 乙各是多少？ 【提示】 x 甲＝7 环； x 乙＝7 环．
2．由 x 甲， x 乙能否判断两人的射击水平？ 【提示】 由于 x 甲＝ x 乙，故无法判断． 3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳 定？
●重点难点 重点：会求一组数据的平均数、方差、标准差． 难点：方差、标准差在实际问题中的应用．
●教学建议 本节内容安排在学生学习了抽样方法、统计图表等知识 之后，是在初中学习过平均数、中位数、众数、极差、方差 等统计量的基础上对数据的数字特征的进一步研究，在教学 过程中，要在教师的引导下，充分发挥学生的主体作用，让 学生分析案例，对不同的数字特征进行对比，在对比中，发 现其差异、明确其特点，体会其作用，并让学生进行交流、 总结并适时给出点拨，从而达到会用数字特征解决问题的目 的．
1．由此题可见，平均数受数据中的极端值的影响较大， 这时平均数对总体估计的可靠性反而不如众数和中位数．
2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许 多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
高中数学第一章统计1.4数据的数字特征课件北师大版必修3 (1)
= 3(分),则这 100 个人成绩的标准差为
1 [(5-3)2 × 20 + (4-3)2 × 10 + (3-3)2 × 30 + (2-3)2 × 30 + (1-3)2 × 10] 100
=
2 10 (分). 5
答案:B
5.方差 (1)定义:标准差的平方,即
(2)特征:与标准差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动的 大小. (3)取值范围:[0,+∞).
【做一做3】 从某项综合能力测试中抽取100个人的成绩如下表, 这100个人成绩的标准差为( )
分数/分 人数 A. 3分
2 10 B. 分 5
5 20 C. 3 分
4 10
8 D. 分 5
3 30
2 30
1 10
解析:这 100 个人的总成绩为 5×20+4×10+3×30+2×30+1×10=300(分), 则平均成绩为
题型一
题型二
题型三
平均数、中位数、众数的应用 【例1】 某公司30名职工的月工资(单位:元)如下:
副董事 职务 董事长 董事 长 人数 1 1 2 工资 15 000 10 000 8 000 总经理 经理 1 5 000 2 4 000 管理员 职员 3 3 000 20 2 500
(1)求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数.(精确到元) (2)如果副董事长的工资从10 000元提升到20 000元,董事长的工 资从15 000元提升到30 000元,那么该公司职工的月工资的平均数、 中位数、众数又是多少? (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的月工资水平?结 合此问题谈一谈你的看法. 分析:根据平均数、中位数、众数的概念求解.
高中数学 1.4 数据的数字特征一课件 北师大必修3
众数140
分组 频率/组距频率 [122,126) 0.01 0.04 [126,130) 0.0175 0.07 [130,134) 0.02 0.08 [134,138) 0.045 0.18 [138,142) 0.07 0.28 [142,146) 0.0425 0.17 [146,150) 0.0225 0.09 [150,154) 0.0125 0.05 [154,158) 0.01 0.04
提问：1、电视里评委是怎样给选手打分的？ 2、为什么这么做？直接取中位数和众数的值不好么？
特征数 特征值
众数 9．3
中位数 9．4
平均数 9．49
去掉一个最高分和 最低分后的平均分
9．42
去掉两个最高分 和最低分后的平 均分
9．44
例2、报纸上招聘栏目内，某电脑销售公 司招聘台前售货员，进货员，售后服务员， 前台经理等多名业务人员，广告打出该公 司月平均工资本950元，小张想找到一分 这样的工作，理想的工资价位是900元应 聘，现请你参考，你怎么样看待这则广告？
应立即劝这位同学查阅一下这所大学招生的其 它信息。查看一下这所大学近几年招生的平均 数，如果平均数低于550分，说明这所大学每 年的招生中，存在只招入少数高分学生的现象， 大部分学生都是低于中位数录取的,可以报报看， 否则不能报。如果能查到该校每年录取的最低 分数线那是最好的
用一个数 a代表n个数 x1,x2,x3, ,xn的值，a怎
例3 某工厂人员及工资构成如下：
人员 周工资 人数 合计
经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
2200 250
220
200 100
16
5
10 1 23
2200 1500 1100 2000 100 6900
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》培优课课件_5
A
B
C
ED
二分法
定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，
按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于：
查找线路电线、水管、气管等管道线路故障、
实验设计、查资料 是方程求根的常用方法！
实例体验：
假设，在区间[-1,5]上，f(x)的图像是一条连续 的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，我们 依如下方法可以求得方程f(x)=0的一个解。 取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即 f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解， 于是再取[2,5]的中点3.5，…… y 如果取到某个区间的中点x0, f(x) 恰好使f(x0)=0, 则x0就是 所求的一个解；如果区间 -1 O 1 2 3 4 5 x 中点的函数总不为0，那么， 不断重复上述操作，
(5) f (2.5625) 0, f (2.625) 0 x0 (2.5625, 2.625)
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6, 所以原方程的近似解为2.6.
抽象概括 利用二分法求方程实数解的过程
1.初始区间是一个两端 函数值符号相反的区间
选定初始区间 取区间的中点
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确 度ε ；
2、求区间（a,b）的中点c，
3、计算f(c)
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
数据的数字特征教案
数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解数据的数字特征的概念。
2. 让学生学会计算数据的众数、中位数、平均数、方差和标准差。
3. 培养学生运用数字特征分析数据的能力，提高数据处理和解决问题的能力。
二、教学内容1. 众数：一组数据中出现次数最多的数。
2. 中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数。
3. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数。
4. 方差：衡量一组数据波动大小的量。
5. 标准差：方差的平方根，衡量一组数据离散程度的量。
三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、中位数、平均数、方差和标准差的计算方法及其应用。
2. 教学难点：方差和标准差的计算方法，以及如何运用数字特征分析数据。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究问题来学习数据的数字特征。
2. 利用实例和练习题，让学生动手计算和分析数据，提高实际操作能力。
3. 采用小组讨论和汇报的形式，培养学生的合作意识和沟通能力。
五、教学过程1. 导入：通过一个现实生活中的问题，引出数据的数字特征的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解众数、中位数、平均数、方差和标准差的定义和计算方法。
3. 练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
4. 案例分析：给出一个实际案例，让学生运用数字特征分析数据，解决问题。
6. 作业布置：布置一些有关数据的数字特征的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，评估学生对数据的数字特征的理解和应用能力。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作意识和沟通能力。
3. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的分析能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 介绍其他数据的数字特征，如极值、范围、四分位数等。
2. 介绍方差和标准差的计算公式及其推导过程。
3. 探讨数据的数字特征在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、生物学等领域。
八、教学资源1. 教案、PPT和教学素材。
数据的数字特征教案
数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解众数、平均数、中位数、方差等基本概念。
2. 培养学生运用数字特征分析数据的能力。
3. 引导学生通过实际问题，感受数字特征在生活中的应用。
二、教学内容1. 众数的定义及其求法。
2. 平均数的定义及其求法。
3. 中位数的定义及其求法。
4. 方差的定义及其求法。
5. 数字特征在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。
2. 教学难点：方差的计算及其实际应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。
2. 采用案例分析法，分析数字特征在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引出数据的数字特征这一概念。
2. 讲解：讲解众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。
3. 案例分析：分析数字特征在实际问题中的应用，如统计考试成绩、分析商品销售数据等。
4. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学知识分析数据。
6. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对众数、平均数、中位数、方差概念的理解。
2. 练习题：布置相关的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识点的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和分析问题的能力。
七、教学拓展1. 引入更多类型的数据特征，如标准差、离差等。
2. 探讨数字特征在实际领域中的应用，如经济学、生物学等。
八、教学资源1. 教材：《数学统计基础》、《数据分析与应用》等。
2. 网络资源：相关在线教程、视频讲解等。
3. 实际案例数据：收集各类实际数据，用于案例分析。
九、教学建议1. 注重学生的基础知识培养，加强对众数、平均数、中位数、方差概念的理解。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
3. 布置多样化的作业，让学生在实践中巩固知识。
【北师大版】必修三：1.4《数据的数字特征》ppt课件
[规律总结] (1)平均数与每一个样本数据有关，任何一个
样本数据的改变都会引起平均数的改变，而中位数、众数都不 具有该性质． (2)众数考查各数据出现的次数，大小只与这组数据中的部 分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众
数往往更能反映问题.
(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中 位数没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在该 组数据中．
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
统 计
第一章
§4 数据的数字特征
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
某酒店打出的招聘宣传语是“本酒店待 遇丰厚，平均工资是每周 400 元”，小强应 聘上后工作了一段时间，发现上当了，前去 质问经理：“您宣传工资一周是 400 元是欺 诈行为，我问过其他员工了，没有一个人每周的工资超过 400 元．”而经理说：“我当时说的是平均周工资 400 元，我的周 工资大概是 2 000 元，6 名副经理的周工资都是 380 元，5 名领 班的周工资是 350 元，10 名服务员的周工资是 300 元，1 名清 洁工的周工资是 250 元．”小强一听，哭笑不得．同学们，你 认为经理的说法合理吗？
位：元) 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 工资 1 5 500 1 5 000 2 3 500 1 3 000 5 2 500 3 2 000 20 1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长 的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、 众数又是多少？(精确到1元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》课件_9
所以������甲2 < ������乙2 ,由于甲、乙两人平均水平相同,但甲更稳定,因此
应派甲去.
-19-
2.1 简单随机抽样
探究一
探究二
探究三
探究四
首页
课前篇 自主预习
思维辨析 当堂检测
课堂篇 合作学习
反思感悟处理统计图表与数字特征问题应注意的方法技巧 1.由图形得到对应的样本数据,计算出平均数、方差(标准差). 2.从图形直观分析样本数据的分布情况,大致判断平均数的范围, 并利用方差(标准差)的大小反映数据的波动性大小.此点可称为方 差(标准差)的几何意义.
(2)方差 s2 的取值范围是[0,+∞).
-16-
2.1 简单随机抽样
探究一
探究二
探究三
探究四
首页
课前篇 自主预习
思维辨析 当堂检测
课堂篇 合作学习
பைடு நூலகம்变式训练3若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x21,…,2x10-1的标准差为( )
A.8 B.15 C.16 D.32 答案:C
课堂篇 合作学习
试求该班同学右眼视力的平均数、中位数、众数.
解:由题图可知,右眼视力的平均数为(0.2+0.3×2+0.4×3+0.5×5 +0.6×5+0.7×6+0.8×6+1.0×7+1.2×9+1.5×6)÷50=43.3÷50=0.
866. 中位数应该是第25、第26这两个数据的平均数,由于右眼视力不
-13-
2.1 简单随机抽样
探究一
探究二
探究三
探究四
首页
课前篇 自主预习
北师大版必修3 1.4 数据的数字特征 学案
4数据的数字特征考纲定位重难突破1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.2.要重视数据的计算，体会统计思想.重点：各种数据特征的意义以及计算.难点：根据问题的需要选择不同的统计量表达数据的信息.授课提示：对应学生用书第11页[自主梳理]统计量⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧反映数据的集中趋势的量⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧平均数：若x1，x2，…，x n为n个样本，则平均数x－＝x1＋x2＋…＋x nnＷ.中位数：一组从小到大排列的数，若个数是奇数，位于中间的数为中位数，若个数是偶数，中位数为位于中间两个数的平均数Ｗ.众数：一组数中出现次数最多的数据.反映数据的离散程度的量⎩⎪⎨⎪⎧极差：一组数据中的最大值与最小值的差.方差：s2＝（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（x n－x－）2n.标准差：s＝s2＝（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（x n－x－）2n.[双基自测]1．下列能刻画一组数据离散程度的是()A．平均数B．方差C．中位数D．众数解析：方差能刻画一组数据离散程度的大小．答案：B2．下列说法中，错误的是()A．数据2，4，6，8的中位数是4，6B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4C．一组数据的众数、中位数、平均数有可能是同一个数据D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是8×5＋7×311解析：由中位数的特征，知A中的中位数有两个是错误的，其中位数应为4＋6 2＝5.答案：A3．一个样本的方差s2＝110[(x1－15)2＋(x2－15)2＋…＋(x10－15)2]，则这个样本的平均数与样本容量分别是________．解析：由方差的计算公式知x－＝15，n＝10.故这个样本的平均数为15，样本容量为10.答案：15，10授课提示：对应学生用书第11页探究一中位数、众数、平均数的计算及应用[典例1]据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500(1)(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[解析](1)平均数是x－＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)新的平均数是x－′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．理解并掌握平均数、众数、中位数的概念，平均数、众数、中位数可能相同，也可能不同，注意某几个数据的平均数就是这些数的算术平均数，样本平均数代表了数据更多的信息，在实际问题中计算时，应按照实际要求进行计算．1．某学校对高一年级经过初步比较后，决定从高一年级(1)(4)(8)班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表：(以分为单位，每项满分为10分)评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将它们的得分进行排序．解析：设P 1、P 4、P 8顺次为三个班考评分的平均数； W 1、W 4、W 8顺次为三个班考评分的中位数； Z 1、Z 4、Z 8顺次为三个班考评分的众数． 则P 1＝15(10＋10＋6＋10＋7)＝8.6(分)， P 4＝15(10＋8＋8＋9＋8)＝8.6(分)， P 8＝15(9＋10＋9＋6＋9)＝8.6(分)；W 1＝10(分)，W 4＝8(分)，W 8＝9(分)； Z 1＝10(分)，Z 4＝8(分)，Z 8＝9(分)．所以平均数不能反映这三个班的考评结果的差异，而用中位数(或众数)能反映差异，且W 1>W 8>W 4(或Z 1>Z 8>Z 4)．探究二 方差、标准差与应用[典例2] 甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛，得分如下： 甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100. 乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102.请计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定． [解析] x －甲＝110(100＋97＋…＋100)＝100.3，x －乙＝110(97＋97＋…＋102)＝100.3，则s 2甲＝110[(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2]＝5.61， 则s 2乙＝110[(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2]＝9.21，所以甲队的标准差为s 甲＝ 5.61≈2.37，乙队的标准差为s 乙＝9.21≈3.03. 由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此甲队在联赛中发挥更为稳定一些．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．2．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 92 80 95 90 80 85 75 试比较哪个工人的成绩较好．解析：x －甲＝18×(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x －乙＝18×(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙， ∴甲的成绩较稳定． 综上可知，甲的成绩较好．探究三 数字特征的综合应用[典例3] 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上次数甲乙(2)①从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩稳定；②从平均数和中位数相结合看，分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，分析谁的成绩好些；④从折线图上两人射击命中环数的走势看，分析谁更有潜力．[解析](1)观察折线图可得甲射击10次中靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.将它们由小到大重排为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射击10次中靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.将它们由小到大重排为：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.x－甲＝110(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7，x－乙＝110(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7，s2甲＝110[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.根据以上的分析与计算填表如下：(2)①因为平均数相同，且s2甲<s2乙，所以甲的成绩比乙稳定．②因为平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，所以乙的成绩比甲好些．③因为平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，所以乙的成绩比甲好些．④甲成绩在平均数上下波动，而乙的成绩处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，所以乙较有潜力．1．计算标准差的方法：(1)算出样本数据的平均数．(2)算出每个样本数据与样本平均数的差x i－x－(i＝1，2，…，n)．(3)算出(x i－x－)2(i＝1，2，…，n)．(4)算出(x i －x －)2(i ＝1，2，…，n )这n 个数的平均数，即为样本方差s 2. (5)算出方差的算术平方根，即为样本标准差s . 2．方差的计算公式：(1)s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]． (2)s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x －2)． (3)s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2.3．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x －，则( )A ．m e ＝m o ＝x －B ．m e ＝m o <x －C ．m e <m o <x －D ．m o <m e <x －解析：由题意知m o ＝5，m e ＝5＋62＝5.5，x －＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030＝17930，显然x －>m e >m o ，故选D. 答案：D样本数据的数字特征的综合应用[典例](本题满分12分)在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组25101314 6 乙组441621212两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．[规范解答](1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数看，甲组成绩较好.2分(2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩较好.5分(3)s2甲＝150×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.s2乙＝150×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.因为s2甲＜s2乙，所以甲组成绩比乙组成绩稳定，从这一角度看，甲组成绩较好.9分(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩分布在高分段的人数较多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6，从这一角度看，乙组成绩较好.12分[规范与警示](1)对实际问题的分析评价，不仅要依据单个样本数字特征，还要综合考虑样本分布的影响，养成从多角度看问题的习惯．(2)本题仅涉及一些简单的样本数字特征的计算，但在没有任何提示的情况下，要根据这些数据进行分析和判断，会令人束手无策．要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行评价，如本题中的“满分人数”．注意要在恰当的评估后，组织正确的语言作出结论．[随堂训练]对应学生用书第13页1．已知一组数据从小到大的排列顺序为－1，0，4，x，6，15且这组数据的中位数为5，那么数据的众数为()A．5B．6C．4 D．5.5解析：由中位数定义得x＋42＝5，∴x＝6，∴数据的众数为6.答案：B2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85，85，85 B．87，85，86C．87，85，85 D．87，85，90解析：由平均数、中位数、众数的定义可知，平均数x－＝1×100＋1×95＋2×90＋4×85＋1×80＋1×751＋1＋2＋4＋1＋1＝87；因为得85分的有4人，所以众数是85；把成绩由大到小排列为100，95，90，90，85，85，85，85，80，75，故中位数是85.答案：C3．已知数据a，a，b，c，d，b，c，c，且a<b<c<d，则这组数据的众数为______，中位数为________，平均数为________．解析：这8个数据按从小到大的顺序排列为a，a，b，b，c，c，c，d.c出现的次数最多，故众数为c，中间的两个数为b，c，故中位数为b＋c2，平均数为2a＋2b＋3c＋d8.答案：c b＋c22a＋2b＋3c＋d8。