证明角平分线判定方法
角平分线的性质定理和判定（经典）
第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1. 已知：在等腰Rt Rt△△ABC 中，AC=BC AC=BC，，∠C=90°，AD 平分∠平分∠BAC BAC BAC，，DE DE⊥⊥AB 于点E ，AB=15cm AB=15cm，，（1）求证：）求证：BD+DE=AC BD+DE=AC BD+DE=AC．．（2）求△）求△DBE DBE 的周长．的周长．例2. 如图，∠如图，∠B=B=B=∠C=90°，∠C=90°，∠C=90°，M M 是BC 中点，中点，DM DM 平分∠平分∠ADC ADC ADC，求证：，求证：，求证：AM AM 平分∠平分∠DAB DAB DAB．．例3. 如图，已知△如图，已知△ABC ABC 的周长是2222，，OB OB、、OC 分别平分∠分别平分∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB ACB，，OD OD⊥⊥BC 于D ，且OD=3OD=3，△，△，△ABC ABC 的面积是多少？的面积是多少？角平分线的性质定理和判定第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，如图，已知∠1=∠2，P P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论；？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△如图，△ABC ABC 中，中，P P 是角平分线AD AD，，BE 的交点．的交点． 求证：点P 在∠在∠C C 的平分线上．21NPF CBA【变式练习】如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BAC ．例3.如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE=2cm ，AB=9cm ，BC=6cm ，求△ABC 的面积．的面积．第四部分：思维误区第五部分：方法规律第七部分：巩固练习DAD M A B C N P E D B C A E F ADP7．如图，如图，已知在△已知在△ABC 中，90C Ð=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ^ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC Ð．8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．上．第八部分：中考体验ＢＤＡＥＣA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4A ． 11 B ． 5.5 C ． 7D ． 3.5 3．（2010•鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △=7，A ． 4B ．3 C ．6 D ．5 间的距离为间的距离为 _________ ．2．（2011•恩施州）如图，AD △ABC DF AB F DE=DG △ADG △AED。
角平分线定理的证明方法
角平分线定理的证明方法“哎呀，这道题咋这么难呢？”我看着数学作业上的一道几何题，愁得直挠头。
旁边的同桌凑过来瞅了一眼，说：“这不是角平分线定理的题嘛！”我一脸懵地看着他，“啥是角平分线定理啊？”角平分线定理其实不难理解，就像分蛋糕一样，把一个角平均分成两份。
如果有一个三角形，其中一条角平分线把对边分成两段，那这两段的比就等于这个角的两边之比。
证明这个定理的方法呢，也不复杂。
首先，我们可以画一个三角形ABC，然后画角A 的平分线AD。
接着，我们过C 点作CE 平行于AB，交AD 的延长线于E 点。
这样一来，就会出现一些相等的角啦。
因为CE 平行于AB，所以角BAD 等于角E，角B 等于角ECD。
又因为AD 是角平分线，所以角BAD 等于角CAD。
这样就可以得出角CAD 等于角E，那三角形ACE 就是等腰三角形啦，AC 就等于CE。
然后呢，再看三角形ABD 和三角形ECD，它们相似，所以AB/CE =BD/CD。
而CE 等于AC，所以AB/AC = BD/CD，这不就证明了角平分线定理嘛！那这个定理有啥用呢？用处可大啦！比如说在测量土地的时候，如果知道一个角和它的平分线，就可以用这个定理来计算边长的比例。
这就像我们玩拼图游戏，有了这个定理，就可以更轻松地把图形拼好。
我记得有一次做数学竞赛题，就用到了角平分线定理。
那道题给出了一个三角形，还有一条角平分线和一些边长，让我们求另外一条边的长度。
我一开始不知道该咋办，后来突然想到了角平分线定理，一下子就找到了解题的思路。
哇，那感觉简直太棒了！就像在黑暗中找到了一盏明灯。
角平分线定理真的很神奇，它就像一把万能钥匙，可以打开很多几何难题的大门。
我们一定要好好掌握这个定理，让它在我们的数学学习中发挥更大的作用。
角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A
1.4.1 角平分线的性质与判定
知2－练
1
如图，在 CD 上求一点 P ，使它到边 OA ， OB 的距 离相等，则点P是( A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线 的交点 C．CD与∠AOB的平分线的 )
交点
D．以上均不对
（来自《典中点》）
知2－练
2
如图， AD⊥OB ， BC⊥OA ，垂足分别为 D ， C ，
（来自《典中点》）
知2－练
4
(2015• 永州 ) 如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ CD ，
BA 和 CD 的 延 长 线 交 于 点 E ， 若 点 P 使 得 S△PAB ＝ S△PCD，则满足此条件的点P( A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的平分线 D．组成∠E的平分线所在的 )
等的点在这个角的平分线上． (1)书写格式：如图， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB的平分线上
(或∠AOC＝∠BOC)．
(2)作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相等
或一条射线是角的平分线．
（来自《点拨》）
知2－讲
2．角平分线的判定定理与性质定理的关系：
(1)如图，都与距离有关：即条件PD⊥OA，PE⊥OB都
AD 与 BC 相交于点 P ，若 PA ＝ PB ，则∠ 1 与∠ 2 的 大小关系是( A．∠1＝∠2 B．∠1>∠2 C．∠1<∠2 D．无法确定
（来自《典中点》）
)
知2－练
3
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的 外角的平分线相交于点 F，连接AF，则下列结论正
确的是(
)
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
角平分线判定定理的证明
角平分线判定定理的证明好呀，今天咱们来聊聊一个有趣的数学定理，角平分线判定定理。
听名字就觉得很严肃，其实呢，里面有不少乐趣。
咱们想象一下，数学就像一个派对，角平分线就是那个特别会调解争吵的人，能把一切变得和谐。
你想啊，如果有一个角，把它分成两部分，每一部分都能对得上，那这个分法就是非常棒的。
就像你跟朋友一起分享零食，得分得刚刚好，大家心里都有数，才不会打架。
先说说什么是角平分线。
简单来说，它就是把一个角分成两个相等的角的那条线。
就像你拿着一个大蛋糕，想分给两个小朋友，每个人都想要一份。
你得把蛋糕分得尽量均匀，这样他们才会开心，对吧？数学里的角也是一样，角平分线就是确保每个部分都差不多。
好啦，这条线的神奇之处就在于它能帮我们判断一些事儿。
比如说，你知道吗，角平分线的两边距离是有关系的，或者说是成正比的。
别急，咱们慢慢来揭开这个秘密。
想象一下，咱们在画一个三角形。
这个三角形就像三个朋友，大家都在一起聊得热火朝天。
然后，咱们画一条从一个角到对边的线，这条线就是角平分线。
哎呀，真是个妙招！这个时候，如果这条线把对边分成了两部分，咱们就能看出这两部分的长度和其他两条边的长度是有某种关系的。
想象一下，像是在玩拼图，角平分线就像是拼图中的关键块，只有放对了位置，整个图案才会完美。
咱们来说说证明这个定理。
这个过程就像在做一道菜，得有步骤、有材料。
假设咱们的三角形是ABC，A是角的顶点，B和C是边的两个点。
然后，咱们把角A分成两部分，分别叫做∠BAD和∠CAD。
这个时候，咱们要做的就是看看这条角平分线，它和对边BC的关系。
只要角平分线把BC分成的两段，长度比就等于AB和AC的比。
简单来说，就是如果你把AB当作一块饼，AC当作另一块饼，BC就是那个分饼的刀，刀切得好，饼就均匀。
听起来是不是很有意思？然后，咱们可以运用三角形的相似性。
这个定理的秘密就在于，角平分线能够形成两个新的三角形，这两个新三角形之间的角是相等的。
角平分线性质与判定语言表述
C
P
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的 距离相等。 M
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上 的点到这条线段两 个端点的距离相等
P PA=PB
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分
线上
∴ PA=PB
A
C
B
N
线段的垂直平分线逆定理
逆命题: 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
垂直平分线上。
点P在线 段AB的垂 直平分线 上
P
PA=PB
几何语言叙述: A ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线
C
B
上
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D C P
P到OA的距离 角平分线上的点 P到OB的距离
B
OБайду номын сангаас
E
不必再证全等
角平分线性质的逆定理
（角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距离 相等的点在角的平分线上。
角平分线的性质PPT课件
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
角平分线定理证明的方法
角平分线定理证明的方法
“哎呀，这道题咋这么难呢！”我看着数学作业上的一道几何题，愁得直挠头。
旁边的同桌凑过来瞅了一眼，说：“这不是角平分线定理的题嘛！”我一脸懵，啥是角平分线定理啊？
咱先来说说角平分线定理咋证明。
嘿，你想想哈，角平分线就像一个超级公平的裁判，把一个角分成了两等份。
那要证明角平分线定理呢，就先画一个角，再画它的角平分线。
然后从角的顶点向角平分线上任意一点引一条线，再向角的两边分别引垂线。
这时候你就会发现，这两条垂线的长度是相等的。
为啥呢？这就好比你分蛋糕，从中间切开，两边的大小肯定一样呀！
那这个定理有啥用呢？用处可大啦！比如说在测量土地的时候，如果知道一个角的角平分线，就可以利用这个定理来确定一些长度。
就像我们玩游戏的时候，有了一个厉害的道具，就能更容易地通关。
而且这个定理在建筑设计中也很有用呢，设计师们可以根据角平分线定理来确定建筑物的角度和长度，让房子建得更漂亮更结实。
我给你举个实际案例吧。
有一次我们上美术课，老师让我们画一个对称的图形。
我就想到了角平分线定理，我先画了一条线，然后用角平分线定理确定了图形的对称轴，这样画出来的图形可对称啦！就像两面镜子里
的东西一样，一模一样。
角平分线定理真的超棒！它能帮我们解决很多几何问题，还能在生活中派上用场。
咱可得好好掌握这个定理，以后遇到难题就不怕啦！。
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证明角平分线判定方法
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
下面我给大家带来证明角平分线判定（方法），盼望能关心到大家!
证明角平分线判定方法
角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
因此依据直线公理。
证明：已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB
证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：
OP=OP，PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)
∴∠1=∠2
∴ OC平分∠AOB
方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M，N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3.作射线OP。
射线OP即为所求。
证明：连接PM,PN在△POM和△PON中
∵OM=ON,PM=PN,PO=PO
∴△POM≌△PON(SSS)
∴∠POM=∠PON，即射线OP为角AOB的角平分线当然，角平分线的作法有许多种。
方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD;
2.连接CN与DM，相交于P;
3.作射线OP。
射线OP即为所求。
证明角平分线判定定理
1.在角的内部，假如一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就是这个角的平分线。
2.在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3.两个角有一条公共边，且相等。
定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：假如三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角
形的一条角平分线。
证明角平分线判定性质
在三角形中的性质。
1.三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心 (即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。
2.三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC 。
证明：作CE∥AD交BA延长线于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
即∠ACE=∠E
∴ AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC
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