九年级数学中考知识点归纳复习 第12讲 二次函数的图象与性质 二次函数的应用
中考数学：第12章《二次函数》知识点精讲
★★★
知能图谱
二次函数 一般地，形如 y ax2 bx c a ,b ,c 是常数 , 且a 0 的函数叫做二次函数
的定义
一般形式：y=ax2 bx c a 0
上下平移“上加下减” 图象的平移规律
左右平移“左加右减”
开口方向： a 0，开口向上； a 0，开口向下
顶点坐标：
b 4ac b 2 ,
2a 4a
二次函数 的图象与 性质
图象与性质
对称轴：直线 x=- b 2ax a0x 增减性b , y随x的增大而增大 2a b , y随 x的增大而减小 2a
x
b , y随 x的增大而减小
二
a0 x
2a b , y随x的增大而增大
次
2a
函
数学规律及关系
数 二次函数 解析式的 确定
待定系数法
2
顶点式：y a x h k a 0 一般式：y ax2 bx c a 0 交点式 拓展 : y a x x1 x x2 a 0
根据抛物线与 x轴的交点个数，利用 b 2 4ac求
字母系数的取值或取值范 围
二次函数 y ax2 bx c a 0 的最大值或最小值
第 26 讲 二次函数的定义、图象及性质
知识能力解读
知能解读 ( 一) 二次函数的定义
一般地，形如 y ax 2 bx c ( a, b, c 是常数，且 a 0 ) 的函数叫作二次函数
知能解读 ( 二) 二次函数
y
2
ax a
0 的图象和性质
二次函数 y ax2 a 0 的图象是一条抛物线，它的对称轴是 y 轴，顶点是原点．
y ax2 a 0
a0
a0
图象
开口方向
中考数学复习通用版系列课件专题12二次函数的图象及性质
bx－a的图象可能是
(C )
• 7．(202X·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，
则n的值为
(B )
• A．－2
B．－4
• C．2
D．4
• 8．(202X·凉山)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，有以下结
论：①3a－b＝0；②b2－4ac＞0；③5a－2b＋c＞0; ④4b＋3c＞0.其中
y= 1 x+ 1 上,若抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值
22
范围是
(C )
A.a≤-2
B.a< 9 8
C.1≤a< 9 或a≤-2 8
D.-2≤a< 9 8
思路分析 根据题意,找到二次函数图象上的特殊点(横坐标为-1,1的点)对应
的函数值的取值范围是解决本题的关键.
中考真题汇编
1．[2019·衢州]二次函数 y＝(x－1)2＋3 图象的顶点坐标是( A)
A．(1，3)
B．(1，－3)
C．(－1，3)
D．(－1，－3)
2．对于二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象与性质，下列说法正确的是( B )
A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2
Байду номын сангаас
B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2
二次函数图象的平移
1.平移步骤 (1)将抛物线解析式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标; (2)保持抛物线的形状和开口方向不变,平移顶点即可. 2.平移规律
考点
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
中考数学总复习 第三单元 函数 第12课时 二次函数的图象与性质数学课件
当 x=-1 时,y=a-b+c=0,故②错误;因为该
③b2-4ac<0;④当 y>0 时,-1<x<3.其中正确的个数是 (
)
函数图象与 x 轴有两个交点 A,B,所以
b2-4ac>0,故③错误;因为点 A 与点 B 关
于直线 x=1 对称,所以 A(3,0),根据图象
可知,当 y>时,-1<x<3,故④正确.故选 B.
A.当 a=1 时,函数图象经过点(-1,0)
B.当 a=-2 时,函数图象与 x 轴没有交点
C.若 a<0,函数图象的顶点始终在 x 轴的下方
D.若 a>0,则当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大
高频考向探究
探究二 二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系
[答案] B [解析] 由图象可知,当 x=1 时,
③-3<a+b<3.
大 于 3, 所 以 图 象 不 过 (1,0), 方 程
其中,正确结论的个数为 (
)
ax2+bx+c=2 有 两 个 不 相 等 的 实 数
A.0
பைடு நூலகம்
D.3
根,-3<a+b<3.故选 C.
B.1
C.2
高频考向探究
探究三 二次函数解析式的确定
例 3 根据下列条件求解析式.
(1)抛物线 y=ax2+bx+2 过 B(-2,6),C(2,2)两点,试求抛物线的解析式;
2.抛物线 y=2(x-3)2+1 的顶点坐标是( A )
A.(3,1)
B.(3,-1)
C.(-3,1)
D.(-3,-1)
2020年春沪科版九年级数学下册中考知识点梳理第12讲 二次函数的图象与性质
而增大.
x= b
4ac b2
y 最小＝
.
2a ，
4a
x= b
4ac b2
y 最大＝
.
2a ，
4a
决定抛物线的开口方 向及开口大小 决定对称轴（x=b/2a）的位置
决定抛物线与 y 轴的 交点的位置
当 a＞0 时，抛物线开口向上； 当 a＜0 时，抛物线开口向下.
b2－ 4ac
决定抛物线与 x 轴的 交点个数
b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点; b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点; b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点
（1）比较二次函数函数值大 小的方法：①直接代入求值 法；②性质法：当自变量在 对称轴同侧时，根据函数的 性质判断；当自变量在对称 轴异侧时，可先利用函数的 对称性转化到同侧，再利用 性质比较；④图象法：画出 草图，描点后比较函数值大 小. 失分点警示 （2）在自变量限定范围求二 次函数的最值时，首先考虑 对称轴是否在取值范围内， 而不能盲目根据公式求解. 例：当 0≤x≤5 时，抛物线 y=x2+2x+7 的最小值为 7 .
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6.二次函数
与不等式
抛物线 y= ax2＋bx＋c＝0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应 的 x 的所有值就是不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集；在 x 轴下方的部分点 的纵坐标均为负，所对应的 x 的值就是不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集.
出结果.④2a-b 的符号，需判 断对称轴与-1 的大小.
知识点三 ：二次函数的平移
4.平移与解
析式的关 系
杭州中考复习课件第12课时：二次函数的图象与性质
第12课时┃ 二次函数的图象与 性质(一)
考点聚焦
考点1 二次函数的定义
某工厂 1 月份产值为 200 万元，平均每月的增长率为 x. 则该工厂第一季度的产值 y 关于 x 的函数表达式为 ____y_＝__2_0_0_x_2＋__6_0_0_x_＋__6_0_0_____，这是一个___二__次___函数．
(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点 坐标．
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第12课时┃ 二次函数的图象与 性质(一)
(2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右 平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，求得到的图象对 应的函数的特征数； ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样 的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第12课时┃ 二次函数的图象与 性质(一)
2．[2014·杭州] 设抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过 A(0，2)， B(4，3)，C 三点，其中点 C 在直线 x＝2 上，且点 C 到抛物线的 对称轴的距离等于 1，则抛物线的函数表达式为
y_＝__18_x_2_－__14_x_＋__2_或___y_＝__－__18_x2_＋__34_x_＋__2_．
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第12课时┃ 二次函数的图象与 性质(一)
系数 a 大于 0
最值
增减性
最__小____值 当 当 ___增x_x≤__大___≥ _－_____－ 2__ba__2_时ba__，时y 随，xy的随增大x 而的_减增__小大___而；
数学中考复习第3章 第12课时 二次函数的图象及其性质
特别提醒： 当 b＝0 或 c＝0 或 b、c 同时为 0 时，也是二次函 数．
2．二次函数图象的画法 因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征是：(1)有 开口方向；(2)有对称轴；(3)有顶点．所以，画二次函数的图象通 常采用简化了的描点法——五点法，其步骤是：
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第三章
函数
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标 系中描出顶点 m 并用虚线画出对称轴；
解：y＝－(x＋1)2＋4
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第三章
函数
2．已知抛物线的对称轴为直线 x＝1，且经过 A(－3，0)、B(0， 5)两点，求抛物线的解析式．
解：y＝－13(x－1)2＋136
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第三章
函数
类型二：利用“交点式”求二次函数解析式 3．已知抛物线经过 A(－2，0)、B(1，－9)、C(4，0)三点，求 抛物线的解析式．
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第三章
函数
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第三章
函数
3．c 决定抛物线与 y 轴的交点位置
解：y＝(x＋2)(x－4)＝x2－2x－8
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第三章
函数
类型三：利用“一般式”求二次函数解析式 4．已知抛物线经过 A(1，4)、B(2，3)、C(0，3)三点，求抛物 线的解析式．
解：y＝－x2＋2x＋3
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第三章
函数
5．已知抛物线 y＝－2x2＋bx＋c 经过点 A(－1，0)和点 B(2， 3)，求抛物线的解析式．
都填上)
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第三章
函数
考点 2：二次函数的图象及性质
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第三章
函数
【对点小练】
1．★(2020·淮安)二次函数 y＝－x2－2x＋3 的图象的顶点坐标
中考数学题复习 第12讲 二次函数的图像与性质
决定开口的大小， 越大，开口越小； 如果对称轴在y轴左侧则a、b同号；如果对称轴在 y轴右侧则a、b异号，简称为“左同右异”； Back to
school
3
• 考点梳理：
(2)抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的顶点是(h，k)， 对称轴是直线x＝h.
3．用待定系数法球二次函数解析式的步骤：
(1)已知抛物线上三点的坐标，通常选用代入一般 式y＝ax2＋bx＋c，列出三个方程组成方程组，解 方程组即可求得；
(2)已知抛物线的顶点或对称轴，通常选用顶点式y
＝a(x－h)2＋k.
Back to school
4
• 课堂精讲：
A
2021/8/11
y=2（x+1）
B
B
2021/8/11
• 随堂演练：
A
2021/8/11
y x 62 36
• 随堂演练：
2021/8/11
第1数及其图象： (1) 如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)， 那么，y叫做x的二次函数；
(2)二次函数的图象是一条抛物线，可用描点法(至 少5个点)画出二次函数的图像．
Back to school
2
• 考点梳理：
2．抛物线的顶点、对称轴和开口方向： (1)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点是
• 课堂精讲：
(1,-2) C
2021/8/11
• 课堂精讲：
B
2021/8/11
• 课堂精讲：
D
2021/8/11
• 课堂精讲：
2021/8/11
2021/8/11
2019届冀教版中考《第12讲二次函数的图象与性质》知识梳理
第12讲二次函数的图象与性质值大小的方法：①直接代yc22,1.轴上方的部分点的纵坐ax bx2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在1x ,12,212x +,3xy π,3x y +,1a m +中分式的个数有（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个2．若二次函数2()1y x m =--，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m =B ．1m >C ．1m ≥D ．1m ≤3．立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：则下列关于这组数据的说法，正确的是（ ） A ．众数是2.3 B ．平均数是2.4 C ．中位数是2.5D ．方差是0.014．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.5．将抛物线y ＝x 2﹣2x+3向上平移1个单位，平移后所得的抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝x 2﹣2x+4B ．y ＝x 2﹣2x+2C ．y ＝x 2﹣3x+3D ．y ＝x 2﹣x+36．下列命题是真命题的是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形7．如图，已知四边形ABCO 的边AO 在x 轴上，//,BC AO AB AO ⊥，过点C 的双曲线()0ky k x=≠交OB 于D ，且:1:2OD DB =，若OBC ∆的面积等于3，则k 的值等于（ ）A ．2B ．34C ．65D ．2458．小明沿着坡角为45°的坡面向下走了5米，那么他竖直方向下降的高度为( )A.1米B.2米C.米9．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B ，点 B 的坐标为 (，M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 的圆心C 的坐标是( )A ．1)22B ．1()22- C ．1()22-D ．1()22-- 10．如图，矩形ABCD 中，AB 2=，AD 3=，点E 、F 、G 、H 分别是矩形AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的周长为( )A ．10B ．5C D ．11．下列事件属于必然事件的是（ ） A ．明天我市最高气温为56℃B ．下雨后有彩虹C ．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾D ．中秋节晚上能看到月亮12．某校九年级3月份中考模拟总分760分以上有300人，同学们在老师们的高效复习指导下，复习效果显著，在4月份中考模拟总分760分以上人数比3月份增长5%，且5,6月份的760分以上的人数按相同的百分率x 继续上升，则6月份该校760分以上的学生人数（ ）. A ．()()30015%12x ++人 B ．()()230015%1x ++人 C ．()()3005%3002++人 D ．()30015%2x ++人二、填空题13．如图，矩形ABOC 的面积为3，反比例函数y ＝kx的图象过点A ，则k ＝（ ）A ．3B ．﹣1.5C ．﹣3D ．﹣614．抛物线 221y x =-的顶点坐标是________．15．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．16．分解因式：8a 3﹣2a ＝_____．17．把多项式224m n -因式分解的结果是______． 18x 的取值范围为_____． 三、解答题19．我市今年中考体育测试，男生必考项目是1000米跑，男生还须从以下六个项目中任选两个项目进行考核：①坐位体前屈、②立定跳远、③掷实心球、④跳绳、⑤50m 、⑥引体向上． （1）男生在确定体育选项中所有可能选择的结果有 种；（2）已知某班男生只在①坐位体前屈、②立定跳远、④跳绳中任选两项，请你用列表法或画树状图法，求出两名男生在体育测试中所选项目完全相同的概率．20．为了实现伟大的强国复兴梦，全社会都在开展“扫黑除恶”专项斗争，某区为了解各学校老师对“扫黑除恶”应知应会知识的掌握情况，对甲、乙两个学校各180名老师进行了测试，从中各随机抽取30名教师的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，给出了部分成绩信息．甲校参与测试的老师成绩在96≤x＜98这一组的数据是：96，96.5，97，97.5，97，96.5，97.5，96，96.5，96.5甲、乙两校参与测试的老师成绩的平均数平均数、中位数、众数如下表： 根据以上信息，回答下列问题： （1）m ＝ ；（2）在此次随机抽样测试中，甲校的王老师和乙校的李老师成绩均为97分，则在各自学校参与测试老师中成绩的名次相比较更靠前的是 （填“王”或“李”）老师，请写出理由；（3）在此次随机测试中，乙校96分以上（含96分）的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点为：A （1，1），B （4，4），C （5，1）． （1）若△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点O 成中心对称图形，画出△A 1B 1C 1；（2）在x 轴上存在一点P ，满足点P 到点B 1与点C 1距离之和最小，请直接写出PB 1+PC 1的最小值为 ．22．如图，某校准备给长12米，宽8米的矩形ABCD 室内场地进行地面装饰，现将其划分为区域Ⅰ（菱形PQFG ），区域Ⅱ（4个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区域Ⅲ；点O 为矩形和菱形的对称中心，OP AB ，2OQ OP =，12AE PM =，为了美观，要求区域Ⅱ的面积不超过矩形ABCD 面积的18，若设OP x =米.（1）当3x =时，求区域Ⅱ的面积. （2）计划在区域Ⅰ，Ⅱ分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖，①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好.当x 为多少时，室内光线亮度最好，并求此时白色区域的面积.②三种瓷砖的单价列表如下，,m n 均为正整数，若当2x =米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少费用为7200元，此时m =__________，n =__________.23．为如图，已知女排球场的长度OD 为18米，位于球场中线处的球网AB 的高度2.24米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方2米的C 点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为6米时，到达最高点G ，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；（3）若李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）求二次函数中二次项系数的最大值．24．如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯的位置.（1）在小亮由B 沿OB 所在的方向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为______； （2）请你在图中画出小亮站在AB 处的影子；（3）当小亮离开灯杆的距离 4.2OB m =时，身高（AB ）为1.6m 的小亮的影长为1.6m ，问当小亮离开灯杆的距离6OD m =时，小亮的影长是多少m ？25．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）： 七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98 八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98 整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a ＝ ；m ＝ ；n ＝ ； （2）两个年级中， 年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A 1，A 2，八年级第一、第二名选手分别记为B 1，B 2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．-314．（0，-1）15． 416．2a（2a+1）（2a﹣1）17．（2m+n）（2m-n）18．x≥﹣1且x≠2．三、解答题19．（1）30；（2）16.【解析】【分析】（1）画树状图可得所有等可能结果；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】解：（1）根据题意画图如下：一共有30种不同的情况，故答案为：30；（2）画树状图如下：由树状图知，共有18种等可能结果，其中两名男生在体育测试中所选项目完全相同的有3种结果，所以两名男生在体育测试中所选项目完全相同的概率为31 186.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20．（1）96.5；（2）王；（3）140人．【解析】【分析】（1）根据中位数的定义即可解决问题；（2）利用中位数的性质即可判断；（3）首先确定甲校的96分以上人数为206120⨯=人，再求出乙校的96分以上的人数即可. 【详解】解：（1）中位数96.596.596.52+==，故答案为96.5．（2）根据中位数即可判断，甲校的王老师成绩在各自学校参与测试老师中成绩的名次相比较更靠前．故答案为王．（3）甲校的96分以上人数为206120⨯＝人，所以乙校的96分以上的人数为2120100140⨯-=人．【点睛】本题考查了用样本估计总体，中位数，平均数，众数等，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题关键.21．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）分别作出三角形ABC三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；（2）作点C1关于x轴的对称点C′，连接B1C′与x轴的交点即为所求点P，继而利用勾股定理求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，点P即为所求，PB1+PC1．【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．22．（1）8m2;（2）68m2;(3) 40，8【解析】【分析】（1）根据中心对称图形性质和,OP AB ,12OM AB =,12AE PM =可得42x AE -=,即可解当83x =时，4个全等直角三角形的面积；（2）白色区域面积即是矩形面积减去一二部分的面积，分别用含x 的代数式表示出菱形和四个全等直角三角形的面积，列出含有x 的解析式表示白色区域面积，并化成顶点式，根据04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯，求出自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性即可解答；（3）计算出x=2时各部分面积以及用含m 、n 的代数式表示出费用，因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8. 【详解】（1） ∵O 为长方形和菱形的对称中心，OP AB ，∴142OM AB == ∵12AE PM =，OP PM OM +=，∴42x AE -= ∴当83x =时，41223AE -==，21124468223II S AM AE m =⨯⋅=⨯⨯⨯= （2）∵()2211442422I S OP OQ x x x m =⨯⋅=⨯⋅=，()214(246)2II S AM AE x m =⨯⋅=-∴I IIII I S AB BC S S =⋅--=-()22234672474.254x x x m ⎛⎫++=--+ ⎪⎝⎭，∵04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯ ∴040261246968x x x ⎧⎪<<⎪<≤⎨⎪⎪-≤⨯⎩解不等式组得23x ≤≤，∵40a =-<，结合图像，当34x ≥时，III S 随x 的增大而减小. ∴当2x =时， III S 取得最大值为()2242627268m-⨯+⨯+=（3）∵当2x =时，S Ⅰ=4x 2=16 m 2，246II S x =-=12 m 2，III S =68m 2，总费用:16×2m+12×5n+68×2m=7200,化简得：5n+14m=600,因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8. 【点睛】本题考查中心对称图形性质，菱形、直角三角形的面积计算，二次函数的最值问题，解题关键是用含x 的二次函数解析式表示出白色区面积. 23．（1）p ＝145 （x ﹣6）2+2.8;（2）见解析;（3）154-. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标为（6，2.8），将点（0，2）代入解析式求出即可 （2）利用当x ＝9时，x ＝18时，分别求出p 值即可判断（3）设抛物线的解析式为：p＝a（x﹣6）2+h，将点C代入，此时抛物线的解析式为p＝a（x﹣6）2+2﹣36a，再根据x＝9时，p＞2.24，当x＝18时，p≤0，即可得a的范围，从而取得最大值．【详解】解：（1）由排球运行的最大高度为28米，则顶点的坐标点G为（6，2.8），则设抛物线的解析式为p＝a（x ﹣6）2+2.8∵点C坐标为（0，2），点C在抛物线上∴2＝a（0﹣6）2+2.8解得a＝﹣1 45∴p＝-145（x﹣6）2+2.8则排球飞行的高度p（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式：p＝-145（x﹣6）2+2.8（2）当x＝9时，p＝-145（9﹣6）2+2.8＝2.6＞2.24当x＝18时，p＝-145（18﹣6）2+2.8＝﹣0.4＜0故这次发球可以过网且不出边界（3）设抛物线的解析式为：p＝a（x﹣6）2+h，将点C代入得：36a+h＝2，即h＝2﹣36a∴此时抛物线的解析式为p＝a（x﹣6）2+2﹣36a根据题意，不过边界时有：a（18﹣6）2+2﹣36a≤0，解得a≤-1 54要使网球过网：a（9﹣6）2+2﹣36a≥2.24，解得a≤2 225故李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）二次函数中二次项系数的最大值为154【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．可根据二次函数的解析式的最值作为临界值来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．24．（1）逐渐变短；（2）详见解析；（3）16 7【解析】【分析】(1)根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为变短(2)连接PA并延长交直线BO于点E,则线段BE即为小亮站在AB处的影子(3)根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可【详解】(1)因为光是沿直线传播的,所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为变短;(2)如图所示,BE即为所求(3)先设OP=x,则当OB=4.2米时,BE=1.6米，∴1.6 1.6,4.2 1.6 AB BEOP OE x==+即∴x=5.8米当OD=6米时,设小亮的影长是y米,∴DF CD DF OD OP=+∴1.6 6 5.8 yy=+y=167(米)即小亮的影长是167米。
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第12讲 二次函数的图象与性质 二次函数应用
一、 知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例
1
.一次函
数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二
次函数，那么a的取值范围是
a≠0.
2.
解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中
二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物
线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系
数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析
式.
若已知条件是图象上的三个
点或三对对应函数值，可设一
般式；若已知顶点坐标或对称
轴方程与最值，可设顶点式；
若已知抛物线与x轴的两个交
点坐标，可设交点式.
知识点二 ：二次函数的图象与性质
3.
二次函
数的图象
和性质
图象
（1）比较二次函数函数值大
小的方法：①直接代入求值
法；②性质法：当自变量在对
称轴同侧时，根据函数的性质
判断；当自变量在对称轴异侧
时，可先利用函数的对称性转
化到同侧，再利用性质比较；
④图象法：画出草图，描点后
比较函数值大小.
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二
次函数的最值时，首先考虑对
称轴是否在取值范围内，而不
能盲目根据公式求解.
例：当0≤x≤5时，抛物线
y=x2+2x+7的最小值为7 .
开口 向上 向下
对称
轴
x＝ 2ba
顶点
坐标
2
4,24bacbaa
增减
性
当x>2ba时，y随x的增大而增大；
当x＜2ba时，y随x的增大而减小.
当x>2ba时，y随x的增大而减小；
当x＜2ba时，y随x的增大而增大.
最值
x=2ba，y最小＝244acba. x=2ba，y最大＝244acba.
3.
系数a、
b、c
a
决定抛物线的开口方
向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
① a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±
2时，y的值.
③ 2a+b的符号，需判断对称
轴-b/2a与1的大小.若对称轴
在直线x=1的左边，则-b/2a
＞1，再根据a的符号即可得
出结果.④2a-b的符号，需判
断对称轴与-1的大小.
a、 b
决定对称轴（x=-b/2a）
的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交
点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－
4ac
决定抛物线与x轴的交
点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
x
y
y=ax2+bx+c(a＞0)
O
x
y
y=ax2+bx+c(a＜0)
O
知识点三 ：二次函数的平移
4.
平移与解
析式的关
系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶
点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左
加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平
移2个单位后所得抛物线的解析
式是y=（x－2）2．
知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式
5.
二次函数
与一元二
次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程
ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
例：已经二次函数
y=x2-3x+m(m为常数)的图象
与x轴的一个交点为（1,0），
则关于x的一元二次方程
x2-3x+m=0的两个实数根为
2,1.
6.
二次函数
与不等式 抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
二次函数的应用
二、 知识清单梳理
知识点一：二次函数的应用 关键点拨
实物抛物线
一般步骤
若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，
建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次
函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适
当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便
求二次函数丶表达式和之后的计算求解.
① 据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
③根据图象，结合所求解析式解决问题.
实际问题中
求最值
① 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； ② 研究自变量的取值范围； ③ 确定所得的函数； ④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； ⑤解决提出的实际问题. 解决最值应用题要注意两点：
①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最
小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”
要设为函数；
②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）
的取值是否在自变量的取值范围内.
结合几何图形 ① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； ② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
③ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面
积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样
需注意自变量的取值范围.
平移|k|个单位
平移|h|个单位
向上(k＞0)或向下(k＜0)
向左(h＜0)或向右(h＞0)
y=a(x－h)2＋k
的图象
y=a(x－h)
2
的图象
y=ax
2
的图象