等差数列教学设计案例
等差数列教学设计案例
湘阴五中李卫纯
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析
我所教学的学生是我校高二（6）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、设计思想
1．教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2．学法
引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。
五、教学重点与难点
重点：
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
②理解等差数列是一种函数模型。
关键：
等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。
六、教学过程
教学
环节
情境设计和学习任务学生活动设计意图
创设情景上节课我们学习了数列。在日常生活
中，人口增长、教育贷款、存款利息
等等这些大家以后会接触得比较多的
实际计算问题，都需要用到有关数列
的知识来解决。今天我们就先学习一
类特殊的数列。
倾听课堂引入
探索研究由学生观察分析并得出答案：
在现实生活中，我们经常这样数
数，从0开始，每隔5数一次，可以
得到数列：0，5，___,___,___,___,…
2000年，在澳大利亚悉尼举行的
奥运会上，女子举重被正式列为比赛
项目。该项目共设置了7个级别。其
中较轻的4个级别体重组成数列（单
位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼
类有良好的生活环境，用定期放水清
理水库的杂鱼。如果一个水库的水位
为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，
最低降至5m。那么从开始放水算起，
到可以进行清理工作的那天，水库每
天的水位组成数列（单位：m）：18，
15.5，13，10.5，8，5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付
存款利息的方式为单利，即不把利息
加入本金计算下一期的利息。按照单
利计算本利和的公式是：本利和=本金
×（1+利率×寸期）.例如，按活期存
入10 000元钱，年利率是0.72%。那
么按照单利，5年内各年末的本利和分
别是：
观察分析，发表各自的意见引向课题
数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
发现规律思考：同学们观察一下上面的这四个
数列：
0，5，10，15，20，……①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，
10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
观察分析并得出答案:
引导学生观察相邻两项间
的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，
每一项与前一项的差都等于
5 ；
对于数列②，从第2项起，
每一项与前一项的差都等于
5 ；
对于数列③，从第2项起，
每一项与前一项的差都等于
-2.5 ；
对于数列④，从第2项起，
每一项与前一项的差都等于
72 ；
由学生归纳和概括出，以上
四个数列从第2项起，每一项
与前一项的差都等于同一个常
数（即：每个都具有相邻两项
差为同一个常数的特点）。
通过分析，激
发学生学习
的探究知识
的兴趣，引导
揭示数列的
共性特点。
总结提高[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差
数列。请同学们根据我们刚才分析等
差数列的特征，尝试着给等差数列下
个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列
从第2项起，每一项与它的前一项的
差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差
通常用字母d表示。那么对于以上四
组等差数列，它们的公差依次是5，5，
-2.5，72。
学生认真阅读课本相关概念，
找出关键字。
通过学生自
己阅读课本，
找出关键字，
提高学生的
阅读水平和
思维概括能
力，学会抓重
点。
提问：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？ 由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A 所以就有 2
b a A +=
让学生参与到知识的形成过程中，获
得数学学习
的成就感。 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来，
73645142,a a a a a a a a +=++=+ 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+
深入探究，得到更一般化的结论 引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。 总结提高
[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式： ①这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是n a n 5=
② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(548-+=n a n
③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(5.218--=n a n
学会发现规律，并加以总结。
④这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
)1
(
72
10072-
+
=n
a
n
⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项
1
a和公差d，它的通项公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定
义进行归纳：
21
32
43
,
,
(1)
,
a a d
a a d
n
a a d
-=
?
?-=
?
-?
-=
?
??L
个等式
所以,
1
2
d
a
a+
=
,
2
3
d
a
a+
=
,
3
4
d
a
a+
=
……
引导学生进
行理性分析
与推导，从而
得出公式。
总结提高思考：那么通项公式到底如何表达
呢？
,
1
2
d
a
a+
=
,
2
)
(
1
2
3
d
a
d
d
a
d
a
a+
=
+
+
=
+
=
,
3
)
2
(
1
3
4
d
a
d
d
a
d
a
a+
=
+
+
=
+
=
……
进一步的分
析。
得出通项公式：由此我们可以猜想得
出：以
1
a为首项，d为公差的等差数
列}
{
n
a的通项公式为
d
n
a
a
n
)1
(
1
-
+
=
也就是说，只要我们知道了等差数
列的首项
1
a和公差d，那么这个等差数
列的通项
n
a就可以表示出来了。
思考，并发表各自的意见。让学生有自
主思考的时
空。
应用巩固例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第
20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，
-13，…的项？如果是，是第几项？
让两个学生分别对这两小题加
以分析。
让学生参与
课堂。
分析：
⑴要求出第20项，可以利用通项公式
求出来。首项知道了，还需要知道的
是该等差数列的公差，由公差的定义
可以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题
的一个逆问题。要判断这个数是不是
解：⑴由
1
a=8，d=5-8=-3，n=20，
得49
)3
(
)1
21
(
8
20
-
=
-
?
-
+
=
a
⑵由
1
a=-5，d=-9-（-5）=-4，
得这个数列的通项公式为
,1
4
)1
(4
5-
-
=
-
-
-
=n
n
a
n
由
题意知，本题是要回答是否存
数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。 在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n 的方程，得
n=100，即-401是这个数列的第100项。
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于n a 、1a 、d 、n （独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。
聆听教师点评 通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。
随堂练习：课本 “练习”第1题； 完成练习
讲练结合，有利提高学生的知识应用水平
例2．某市出租车的计价标准为 1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列}{n a 来计算车费.
令1a =11.2，表示4km 处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km 处时，n=11，此时需要支付车费
)(2.232.1)111(2.1111元=?-+=a 答：需要支付车费23.2元。
学以致用，将所学知识应用到具体生活中去，加深对概念的理解。
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
聆听教师点评 通过教师点
评，提高学生对关键问题的认知水平。
随堂练习：课本 “练习”第2题；
完成练习 讲练结合，有
利提高学生的知识应用水平
例 3 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析思考，然后分组讨论，让两组学生代表发表自己的见解。 培养学生分析问题的能力，在小组讨
论中提高组长的组织与归纳组内成员想法的能
力。
分析：判定}{n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--n n a a （n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。
解：取数列}{n a 中的任意相邻两项1-n n a a 与（n ＞1）， 求差得
1()[{1)]n n a a pn q p n q --=+--+
(]pn q pn p q p =+--+= 它是一个与n 无关的数. 所以}{n a 是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项
1,a p q =+公差d p =。由此我们可以知道对于通项公式是形
如q pn a n +=的数列，一定是
等差数列，一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
对所得结论进行更深入一步的探究，激发学生的
学习兴趣。 探索研究
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列q pn a n +=与一次函
数y=px+q 的图象之间有什么关系。 分析：⑴n 为正整数，当n 取1，2，3，……时，对应的n a 可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列q pn a n +=的图象是一次函数y=px+q 的图象的一个子集，是y=px+q 定义在正整数集上对应的点的集合。
学生动手画图，并进行学习小组讨论，发表见解。 通过学生动手作图，并加
以对比，让学生体会数列与函数的内在关系。
该处还可以引导学生从等差数列q pn a n +=中的p 的几何意义去探究。
课堂小结 本节主要内容为： ①等差数列定义：即1n n a a d --=(n ≥2)
②等差数列通项公式：1
(1)n
a a n d =+-d n a )1(1
-+(n ≥1)
推导出公式：d m n a a m n )(-+=
以学习小组为单位，在学习小组中，各自归纳自己对这堂课的收获，后由小组代表总结归纳。
学生自己小结，使学生对
自己所学知识有更深刻的认识。 评价设计 1、已知}{n a 是等差数列.
⑴ 5372a a a =+是否成立？ 5192a a a =+呢？为什么？
⑵ 1121
n n n a a a n -+=+?（）是否成立？据此你能得出什么结论？
21n n k n k a a a n -+=+?（）是否成立？据此你又能得出什么结论？
2、已知等差数列}{n a 的公差为d.求
证：m n
a a d m n -=-
作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。
七、教学反思
本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程，也使本节课的三维目标真正落到实处。
点评：
本设计从生活中的数列模型，如举重级别、水库水位、储蓄的本息计算等问题引入，进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学习的主动性。在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括得出等差数列定义，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程。
本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、到位、适度。如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素材；又如：把通项公式与一次函数发生联系，利用函数这一
“上位”概念，来“同化”等差数列的概念，体现函数思想；还有让学生经历列表、画图象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的联系；此外，用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等。学生在经历过程中，加深了对概念的理解和巩固。
本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。教学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。
值得商讨的问题，在等差数列中，对于任意正整数,,,m n p q ，若
m n p q +=+则q p n m a a a a +=+这一性质的在第一课时提出是否不合时
宜，并且只是这样蜻蜒点水是否忽视了其重要性。
等差数列前n项和公式教育教学案例分析
等差数列前n项和公式教学案例分析
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
《等差数列前n项和公式》教学案例分析教学案例： 一、教学设计思想 本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。 本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。 在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 二、学生情况与教材分析 1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课； 2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。 3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。 三、教学目标 1、知识目标 （1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法； （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2、能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
等差数列的概念教案(1)
等差数列的概念教案 【教学目标】 知识与技能：1、理解等差数列的定义，能根据定义判断一个数列是否为等差数列； 2、了解公差的概念，会求一个给定等差数列的首项与公差； 3、理解等差中项的 概念，会利用等差中项解决相应的简单的等差数列问题。 过程与方法：1、通过对情景问题的分析理解和归纳概括，了解等差数列的简单产生过程； 2、通过解决基本等差数列问题的过程，加深对等差数列概念、公差、等差中项的理解； 情感态度与价值观：1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察能力、分析探索能力激发学生积极思考，追求新知的创新意识； 2、通过解决等差数列概念的基本问题，培养学生分析问题解决问题的能力，提高学生的运算能力。 【教学重点】1、理解等差数列的定义，理解等差中项的概念；2、了解公差的概念，根据给定的等差数列求公差。 【教学难点】探索等差数列定义的形成过程。 【教学方法】情境教学法、自主探究法、讲练结合法 【教学用具】黑板电子白板 【教学课型】新授课 【教学设想】本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生分析出等差数列的特点，从而引出等差数列的定义，进一步引导学生通过定义来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，真正体现课堂教学中学生的主体作用。 【教学准备】1、教师认真备课、制作课件、布置预习内容； 2、学生认真阅读课本内容，标出关键词以及不理解的地方，完成预习内容，做好上课准备。【教学过程】
教学环节学习内容 学生 活动 教师 活动 设计意 图 课前预 习 阅读书本P7-9内容，在等差数列定义中的关 键词下面用彩笔画线 自主 完成 抽查 反馈 了解预 习效果 活动一 创设 情境 、 导入 新课 （5分钟） 在 现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列。 情境1:我们经常这样数数，从0开始，每隔5 数一 次，可以得到数列：0,5,,,,，…。 情境2: 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会 上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置 了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列 （单位：kg）: 48，53, 63。 情境3:水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的 生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂 鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水 位降低2.5m，最低降至5.5m。那么从开始放水算 起，至V可以进行清理工作的那天，水库每天的水 位组成数列（单位：m）： 18，15.5，，，，5.5。 独立 思考 并完 成这 三个 数列 引导 学生 分析 比较 每个 数列 的特 占 通过 具体 问题 引出 等比 数列 的定 义 活动二 数学建构、引入概念（5分钟）观察：上面三个数列有什么共同特点？ 思考：1、等差数列的定义是怎样的？ 2、定义中有哪些关键词？ 3、公差用什么子母表示？ 4、等差数列的定乂如何用符号语言表示？ 结合 课本 定义 独立 思考 后回 答 板书 定义 及注 意点 用彩 色粉 笔画 出关 键词 引导 学生 理解 概念， 让学 生经 历观 察、猜 测、抽 象、概 括、的 思维 过程 活动三 例题精讲 、 探究 知新（10分钟） 例1:下列数列是否为等差数列？若是，写出其首项 及公差。 (1)2, 5, 8, 11，14; (2)1, 1, 1, 1, 1; (3)1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0,……； (4)-3, -2, -1, 1, 2, 3。 例2:求下列等差数列中的未知项。 (1)3, a , 5; (2)3, b , c, -9; 独立 思考 后完 成 巡视 并记 录存 在的 问题 个别 指导 集体 反馈 通过 具体 的例 子， 加深 学生 对等 差数 列概 念的 认识
等差数列教学设计实施方案
教师：利用高斯算法如何求等差数列的前n 项和公式？ 学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于1n a a +。 教师：但是否刚好配对成功呢？ 学生：不一定，需要对n 取值的奇偶性进行讨论。当n 为偶数时刚好配对成功，当n 为奇数时，中间的一项12 n a +落单了。 教师：对于n 的讨论太麻烦了，能否有更好的方法求前n 项和公式呢？ 设计意图：高斯求和众所周知，学生能快速解答。这里用到了等差数列脚标和性质。从高斯算法出发，对n 进行讨论，寻找求和公式思路。对于中间项12 n a +的解决办法，让学 生进一步体会到研究数列就是对脚标的研究。 问题2：图案中，第一层到第21层一共有多少颗宝石？ 借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把全等三角形倒置，与原图补成平行四边形。把不同数求和问题转化为相同数求和。 设计意图：几何直观更直观，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。设计此题的目的在于让学生体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对”算法的改进。 问题3：如何求等差数列{}n a 的前n 项和n S ？ 由前面的铺垫，学生容易得出以下过程：
()() 121112n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L 两式相加得： ()()()()()()()()1211111112222 n n n n n n n n n n n n S a a a a a a S a a a a a a S n a a n a a S -=++++++=++++++=++= L L 又因为()11n a a n d =+-， 所以1(1) 2 n n n S na d -=+ 。 设计意图：在前面数形结合的基础上，让学生自己动手推导求和公式。在获取知识的过程中，进一步体会倒序相加的方法，让学生经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程，同时也加深了对公式的理解与记忆。 问题4：比较这两个公式，说说它们分别从哪些方面反映了等差数列的性质？ 引导学生比较得出结论：若已知等差数列首相为1a ，末项为n a ，项数为n ，可直接 运用公式一() 12 n n n a a S +=求和；若已知等差数列首相为1a ，公差为d ，项数为n ，则 直接运用公式二1(1) 2 n n n S na d -=+ 求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式共包含五个量1,,,,n n a a n d S ，只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量。 设计意图：加深对公式的理解记忆，分析公式的本质，能够在做题的过程中更好的选取适当的公式。 （四）公式的记忆
数列求和公开课教案(1)
《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。
等差数列的前n项和教学案例
等差数列的前n项和 一、教学内容分析 本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书?数学（5）》（人教A版）中笫二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）.本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用?等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法. 二、学生学习情况分析 在本节课之询学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想?高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍. 三、设计思想 建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构.在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法.通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主.合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习.同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的. 四、教学目标 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n 项和公式；了解倒序相加法的原理； 2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质. 五、教学重点和难点 本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得. 六、教学过程设计.V ? ? ? '、 （一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验 世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝??：?：?：?：?：?：?：?：?：？石镶饰而成，共有100 层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
高三数学公开课教案,等差数列的证明与判定
等差数列及其前n 项和（二） 什邡中学数学组 廖美 重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1） 求证：数列{}n b 是等差数列； （2） 求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.
训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+， 则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .
等差数列案例
等差数列 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。 二、学生学习情况分析 我所教学的学生是我校高二（1）(8)班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 三、设计思想 1．教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法 引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。 用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学目标 通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。 五、教学重点与难点
高中数学新课程创新教学设计案例 篇 等差数列的前n项和
46 等差数列的前n项和 教材分析 等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法． 教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成． 教学目标 1. 通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力． 2. 理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力． 3. 在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法． 任务分析 这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用． 对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸． 教学设计 一、问题情景
等差数列概念及通项公式经典教案
等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n
等差数列前n项和优质课教案 doc
（一）教学目标 1知识与技能目标： （1）掌握等差数列前n项和公式， （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 3情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。（二）教学重点、难点 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 （三）教学方法：启发、讨论、引导式。 （四）教具：采用多媒体辅助教学 （五）教学过程 一、复习引入 二、设置情景 1建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法 三探究发现 变式： 问题1若把问题变成求：1+2+3+4+‥‥ +99=？可以用哪些方法求出来呢？ 方法1：原式=（1+2+3+4+‥‥ +99+100）-100
方法2：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98）+99 方法3：原式=0+1+2+3+4+‥ ‥ +98+99 方法4：原式=（1+2+3+4+‥ +49+51+52+‥ 99）+50 方法5：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98+99+99+98+‥ +2+1）÷ 2 方法6 令 S=1+2+3+4+‥ ‥ +99 又 S=99+98+97+‥ +2+1 故 2S=（1+99）+（2+98）+‥ ‥ +（98+2）+（99+1） 从而 S =（100×99）÷ 2 = 4950 问题2：1+2+3+4+‥ ‥ +（n-1）+n=？ 在上面6种方法中，哪个能较好地推广应用于这个式子的求和？ 令 Sn =1+2+3+4+‥ ‥ +n ， 则 Sn =n+（n-1）+‥ ‥ +2+1 从而有 2Sn =（n+1) + （n+1) + （n+1) +‥ ‥ +（n+1) =(n+1)n 上述求解过程带给我们什么启示？ (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示； (2)等差数列中任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和。 问题 3：现在把问题推广到更一般的情形： 设数列 {an }为等差数列，它的首项为a1 ， 公差为d ， 试求 Sn =a1 +a2 + a3 +‥ ‥ + an-1 +an (I) a n =a 1+(n-1)d 代入公式(1)得 Sn=na 1+ 2 ) 1(-n n d(II) 所以 S n = 2 )1(+n n 12321n n n n S a a a a a a --=++++++12321 n n n n S a a a a a a --=++++++12()n n S n a a ?=+1() 2 n n n a a S +?=
必修5教案2.2等差数列的概念(一)
§2.2第1 课时 等差数列的概念 教学目标 （1）能准确叙述等差数列的定义； （2）能用定义判断数列是否为等差数列； （3）会求等差数列的公差及通项公式。 教学重点，难点 等差数列的定义及等差数列的通项公式。 教学过程 一．问题情境 1．情境：观察下列数列：： 4，5，6，7，8，9，10，……； ① 3，0，3-，6-，……， ② 第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③ 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为： 0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++?+? ④ 如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ， …… 12个月，所得的本利和依次为 100001000016.5,1000016.52,1000016.512++?+? ， ⑤ 2．问题：上面这些数列有何共同特征？ 二．学生活动 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3-； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于0.1； 对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于16.5； 规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 三．建构数学 1．等差数列定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥． 思考：
等差数列(教学设计)
等差数列 教学目标 1．明确等差数列的定义． 2．掌握等差数列的通项公式，会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 3．培养学生观察、归纳能力． 教学重点 1、等差数列的概念； 2、等差数列的通项公式 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 启发式教学 (一)复习回顾 1、按一定顺序排列的一列数叫做数列 2、数列最常用的表示：通项公式 （二）新授课 引例：这些数列有什么共同特点呢？ ① 1，4，7，10，13，16,… 4-1=7-4=10-7=13-10=16-13=3 ② 3，0，-3，-6，-9，… 0-3=-3-0=-6-(-3)=-9-(-6)=-3
③101，102，103，10 4，… 分析后导入新课。 出示一组幻灯片举实例 教学过程——创设问题 1、这五个数列有何共同特征？ 2、如何用数学语言给具有这种特征的特殊数列下定义呢？ 回答： 1、从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。 2、给出概念 一、等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 （1） 定义中的关键词是什么？ （2）公差d 是哪两个数的差？ 相邻两项后项与前项之差 例1、判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差数列，说出公差是多少? （1）1，2，4，6，8（不是） （2）2，4，6，8 （ 是 ） （3）1，-1，1，-1（不是） （4）0, 0, 0, 0,…（ 是 ） a a a a a a a a a a n n n n d -=-==-=-=-=+-11342312...2d =0 d =
等差数列(第一课时)教学设计公开课
无为二中公开课 教 学 设 计 课题《2.2等差数列》 执教人：汪桂霞 班级：高一（10）班 时间：2017.3.28（星期二）下午第一节
高一数学必修5 等差数列 第一课时 一、教学目标 （一）知识与技能目标 1.理解等差数列的定义及等差中项的定义 2. 掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式 3.灵活运用等差数列，熟练掌握知三求一的解题技巧 （二）过程与方法目标 1.培养学生观察能力 2.进一步提高学生推理、归纳能力 3.培养学生合作探究的能力，灵活应用知识的能力 （三）情感态度与价值观目标 1.体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神； 2.渗透函数、方程、化归的数学思想； 3.培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。 二、教学重难点 （一）重点 1、等差数列概念的理解与掌握； 2、等差数列通项公式的推导与应用。 （二）难点 1、等差数列的应用及其证明 三、教学过程 （一）背景问题，创设情景 上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空。 思考问题（一）：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，请问你能预测出下次人类观测哈雷彗星的时间吗？ 1682，1758，1834，1910，1986，（2062 ） 特点：后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年 我们把这些数据写成数列的形式：1682，1758，1834，1910，1986，2062...... 思考问题（二）：通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表填写处空格处的信息吗？ 我们把表格中的数据写成数列的形式：28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24....... 学生活动（1）：学生观察下列三个数列具有怎样的共同特征： （1）1682，1758，1834，1910，1986，2062...... （2）28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24....... （3）1,1,1,1,1,1,1,1,1,1...... 共同特征：1.后一项与它的前一项的差等于一个定常数。 2.这个常数可以为正为负，还可以为零。
等差数列的概念、等差数列的通项公式 说课稿 教案
等差数列的概念、等差数列的通项公式 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究. 在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化. 教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题. 教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用; (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7
等差数列教案
公开课等差数列教案 教学目标： 1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 2.能力目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力；在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。 3.情感目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 重点：等差数列的概念及通项公式。 难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 （2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．回忆数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。 2．由生活中具体的数列实例引入 （1）．国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出： （2）某剧场前10排的座位数分别是： 48、46、44、42、40、38、36、34、32、30 引导学生观察：数列①、②有何规律? 引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们
把这样的数列叫做等差数列. （板书课题） 二. 新课探究，推导公式 1. 等差数列的概念． 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。 强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d 一定是由后项减前项所得； ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）； 所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为 0.20 ， -2。 ［练习一］判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a 1和公差d ，如果不是，说明理由。 1.3，5，7，…… √ d=2 2.9，6，3，0，-3，…… √ d=-3 3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0 4. 1，2，3，2，3，4，……；× 5. 1，0，1，0，1，……× 通过练习，加深对概念的理解,由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0 2．等差数列通项公式 如果等差数列｛a n ｝首项是a 1，公差是d ，那么根据等差数列的定义可得： a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d …… 猜想: a40 = a1 +39d 进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d 此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： n=a1+(n-1)d a 2 - a 1 =d a 3 - a 2=d
《等差数列》的教学设计
《等差数列》的教学设计 一．设计思想 数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。这正是新课程所倡导的数学理念。 本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。 二．教材分析 高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 三．学情分析 学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。
高中数学等差数列教案
课 题： 3.1 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面 我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达她打算从今天起不再背单词
了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？） 从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列 是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差 是d ，则据其定义可得： d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=
等差数列前n项和公式教学案例分析
等差数列前n项和公式教学案例分析《等差数列前n项和公式》教学案例分析 教学案例: 一、教学设计思想 本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。 本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。 在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 二、学生情况与教材分析 1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课; 2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。
3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。 三、教学目标 1、知识目标 (1)掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法; (2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2、能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 3、情感目标 通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。四、教学重点、难点 1、等差数列前n项和公式是重点。 2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 五、教学流程图