同济大学课程考核试卷

同济大学课程考核试卷

课号：122109 课名： 数学分析 上 考试考查：考试

一 选择填空题：（每空5分，共40分）

1、011lim sin sin x x x x x →??

+= ???

( B )

A 0

B 1

C 2

D 不存在

2、()f x 在0x x =处有定义是0x x →时()f x 有极限的( D )条件

A 必要

B 充分

C 充要

D 无关

3、写出下列命题的分析表述：

1) ξ是点集A 的聚点：（ ξ的任何邻域内都含有A 中的无穷多点 ）;

2) ()f x 在[,]a b 上非一致连续：（[]000,0,','',,''',(')('')x x a b x x f x f x εδδε?>?>?∈-<->）. 4、若函数f 满足如下条件：（f 在[,]a b 上存在n 阶连续导数，(,)a b 内存在1n +阶导数）， 则对任何(,)x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得

()()1()()()()'()()()()!(1)!

n n n n f a f f x f a f a x a x a x a

n n ξ+=+-+

+-+-+

5、曲线

1x y xy e ++=在(0,0)点的切线斜率为（ -1 ）.

6、求不定积分：

（ (2

a r c t C +

）.

7、求极限1

0lim 3x x x

x

x a b c →??

++ ???，（其中0,0,0a b c >>>）：（ ）.

二 计算与证明题：

1、若0ε?>，()f x 在[],a b εε+-上连续，那么()f x 在(,)a b 内是否连续？()f x 在[,]a b 内是否连

续？是给出证明，不是给出反例.(6分)

是 1分

取()()11min ,22b x x a ε??

=--????

2分

不是 1分

取1

(0,1)0

011

x x y x x ?∈??

==??=??

2分

2、设()f x 的原函数为sin x

x

，求'()xf x dx ?.（8分）

分部积分 ()()()I xdf x xf x f x dx ==-?? 2分

求原函数 sin ()x

I xf x C x

=-+ 3分

写出()f x 表达式 2s i n c o s x

I x C x

=-+ 3分

3、讨论函数2

4(1)

()2x f x x +=-的性态，并绘出函数图形.（16分）

定义域0x ≠

2,0y x =-=渐近线 4分

(2,0)()(,2)(0)()f x f x -↑-∞-+∞↓ 2x =-极小值点； 0x =极大值点 4分

(3,0)(0,)()f x -+∞凸； (,3)()f x -∞-凹 26

(3,)9

--

是拐点 4分

正确图形 4分

4、设0,,lim 0n n n x n N x →∞

>∈=，证明数列{}n x 中存在严格单减的子列{}

k n x 使得lim 0k n k x →∞

=.（10分）

保证k n 严格递增性

在确定1n x 后应从数集{}1n x n n >中找2n x 5分

保证子列严格递减且趋于零，用""ε来控制

令121min ,2n x ε?

?=???

?，使220n x ε<<

231m i n ,3n x ε?

?=???

?，使330n x ε<< …. 5分

5、若无限集A 可以表示为12{,,

,,}n A x x x =，

即可以和自然数集建立一一对应，则称A 为可列集.

用闭区间套定理证明[,]a b 上全体实数不可列.（10分）

设若[,]a b 上全体实数可列，则12[,]{,,

,,}n a b x x x =

[,]a b 三等分，至少一个小区间不含1x ，记为[][]11111,,a b x a b ??

11[,]a b 三等分，至少一个小区间不含2x ，记为[][]22222,,a b x a b ??… 4分

得到闭区间列[]{},n n a b 满足

[][]11,,,n n n n a b a b n N ++??∈

1

()0()3n n n

b a b a n -=

-→→∞ {}[]12,,

,,,n n n x x x a b n N ?∈ 4分

由闭区间套定理，唯一的存在[]0001

,,[,],,n n n n x a b x a b x x n N ∞

=∈

∈≠∈

故区间[,]a b 上全体实数不可列 2分

6、设()f x 在(),a b 内可导（导数有穷），证明()f x 的导函数'()f x 在(),a b 内任一点不可能发生第一类间断.（10分）

证明：只须证0(,)x a b ?∈，'()f x 在0x 处左（右）极限存在，则其必在0x 处左（右）连续。

设对某点00000(,),lim '()'()'()'()x x x a b f x f x f x f x →+

∈=+?+=

[]00,(,)x x x a b +??，()f x 在[]00,x x x +?上满足L-Th 故存在

0000()()

(0,1),

'()f x x f x f x x x

θθ+?-∈=+?? 4分

'0000000()()()()

()lim

lim x x f x x f x f x x f x f x x x

+?→+

?→-+?-+?-==??'00000

()'()lim '()'()x f x f x f x x f x θ-?→===+?=+ 4分

同理可证00'()'()f x f x -= 2分