2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷
一.填空题
1．（3分）函数y＝log（5﹣x）的定义域为．
2．（3分）函数y＝x2+1（x≤﹣1）的反函数为．
3．（3分）已知log23＝a，试用a表示log912＝．
4．（3分）幂函数（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝．
5．（3分）函数的递增区间为．
6．（3分）方程的解是．
7．（3分）已知关于x的方程x2+kx+k2+k﹣4＝0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为．
8．（3分）若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．
9．（3分）已知的反函数为f﹣1（x），当x∈[﹣3，5]时，函数F（x）＝f﹣1（x﹣1）+1的最大值为M，最小值为m，则M+m＝．
10．（3分）对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是．
11．（3分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|＝m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为．
12．（3分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．
二.选择题
13．（3分）若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则命题甲是命题乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分也非必要条件
14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y＝x﹣2C．y＝|log2x|D．
15．（3分）设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：
①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；
②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）
的最大值；
③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值．
这些命题中，真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
16．（3分）已知函数f（x）＝m?2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）
A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）
三.解答题
17．已知函数f（x）＝4x﹣a?2x+1+1．
（1）若a＝1，解方程：f（x）＝4；
（2）若f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围．
18．已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）设集合，B＝{x|f（x）+log2（x﹣1）＜m}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）＝
，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：
（1）求利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
20．若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．
（1）若下列函数的定义域为D＝（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）＝2x﹣1，f2（x）＝2x﹣1．
（2）若函数g（x）＝的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））＝x0，求证：f（x0）＝x0．
21．已知函数，其中a∈R．
（1）若a＝﹣1，解不等式；
（2）设a＞0，，若对任意的t∈[，2]，函数g（x）在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）存在反函数，其反函数记为y＝f﹣1（x），若关于x的不等式f﹣1（4﹣a）≤f（x）+|2x﹣a2|在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（3分）函数y＝log（5﹣x）的定义域为（﹣∞，5）．
【分析】由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．
【解答】解：由5﹣x＞0，得x＜5．
∴函数y＝log（5﹣x）的定义域为（﹣∞，5）．
故答案为：（﹣∞，5）．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
2．（3分）函数y＝x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2）．【分析】由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．
【解答】解：由y＝x2+1（x≤﹣1），得x2＝y﹣1，∴x＝（y≥2），
x，y互换得：（x≥2），
∴函数y＝x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2），
故答案为：（x≥2）．
【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．
3．（3分）已知log23＝a，试用a表示log912＝．
【分析】利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．
4．（3分）幂函数（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝3．
【分析】先利用幂函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果．
【解答】解：∵幂函数（a，m∈N），在（0，+∞）上是减函数，∴a﹣1＝1，且m2﹣2m﹣3＜0，
∴a＝2，﹣1＜m＜3，
又∵m∈N，∴m＝0，1，2，
又∵幂函数f（x）为偶函数，∴m＝1，
∴a+m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．
5．（3分）函数的递增区间为（1，+∞）．
【分析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y＝log3（x2﹣x）的单调递增区间．
【解答】解：函数y＝log3（x2﹣x）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），
令t＝x2﹣x，则y＝log3t，
∵y＝log3t为增函数，
t＝x2﹣x在（﹣∞，0）上为减函数；
在（1，+∞）为增函数，
∴函数y＝log3（x2﹣x）的单调递增区间为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零．
6．（3分）方程的解是x＝1．
【分析】利用对数运算性质解方程．
【解答】解：∵log2（9x﹣5）＝log2（3x﹣2）+2＝log2[4（3x﹣2）]，
∴9x﹣5＝4（3x﹣2），
令3x＝t，则t2﹣4t+3＝0，
解得t＝1或t＝3．
由式子有意义可知，解得3x＞，即t，
∴t＝3．
∴x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题．
7．（3分）已知关于x的方程x2+kx+k2+k﹣4＝0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为（﹣3，0）．
【分析】设函数f（x）＝x2+kx+k2+k﹣4，由题意可得f（2）＜0，解得k的取值范围．【解答】解：令f（x）＝x2+kx+k2+k﹣4，由题意可得f（2）＜0，
即：22+2k+k2+k﹣4＜0，整理：k2+3k＜0，解得：﹣3＜k＜0，
所以实数k的取值范围为（﹣3，0）；
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】考查方程的根的分布，属于基础题．
8．（3分）若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数
a的取值范围是（1，2]．
【分析】当x≤2时，检验满足f（x）≥4．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．
【解答】解：由于函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），
故当x≤2时，满足f（x）＝6﹣x≥4．
①若a＞1，f（x）＝3+log a x在它的定义域上单调递增，
当x＞2时，由f（x）＝3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．
②若0＜a＜1，f（x）＝3+log a x在它的定义域上单调递减，
f（x）＝3+log a x＜3+log a2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．
综上可得，1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．
9．（3分）已知的反函数为f﹣1（x），当x∈[﹣3，5]时，函数F（x）＝f﹣1（x﹣1）+1的最大值为M，最小值为m，则M+m＝2．
【分析】由题意可得换元可得f（t）为奇函数在[﹣4，4]上，所以f﹣1（t）也是奇函数，且值域为[﹣4，4]，F（x）为对称中心为（0，1）的函数且值域为[﹣3，5]，
【解答】解：由题意可得f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）＝﹣f（x），即函数f（x）在R上为奇函数，
当x∈[﹣3，5]，令t＝x﹣1∈[﹣4，4]，则f（x﹣1）＝f（t）＝（3t﹣3﹣t）为奇函数且单调递增
所以反函数f﹣1（t）也是单调递增的奇函数，
所以F（x）＝f﹣1（t）是y＝f﹣1（t）向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心（0，1），
由互为反函数的性质可得M+m＝﹣3+5＝2，
故答案为：2
【点评】考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．
10．（3分）对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是[，2]．
【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．
【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于?a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）＝＝1+，
①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的
三边长，
满足条件．
②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．
③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．
综上可得，≤t≤2，
故实数t的取值范围是[，2]，
故答案为：[，2]
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
11．（3分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|＝m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为（6，）．
【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．
【解答】解：当x≥时，5x﹣≥0，
∵方程（4x+）﹣|5x﹣|＝m，
∴（4x+）﹣（5x﹣）＝m，即﹣x+＝m；
∴m≤．
当0＜x＜时，5x﹣＜0，
∵方程（4x+）﹣|5x﹣|＝m，
∴（4x+）+（5x﹣）＝m，
即9x+＝m；
∵9x+≥6；
∴当m＜6时，方程9x+＝m无解；
当m＝6时，方程9x+＝m有且只有一个解；
当6＜m＜10时，方程9x+＝m在（0，1）上有两个解；
当m＝10时，方程9x+＝m的解为1，；
综上所述，实数m的取值范围为（6，）．
故答案为：（6，）．
【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．
12．（3分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），
若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．
【分析】可求得，，根据题意f（x）max≤g （x）min（x＞﹣2），由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．【解答】解：对函数f（x），当x≤1时，；当x＞1时，
，
∴f（x）在（﹣2，+∞）上的最大值；
对函数g（x），函数g（x）若有最小值，则a＝0，即，
当x∈（﹣2，0）∪（0，+∞）时，，易知函数；
又对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），
∴f（x）max≤g（x）min（x＞﹣2），即，
∴，
∴，即实数k的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．
二.选择题
13．（3分）若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则命题甲是命题乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分也非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，
①若命题甲：x﹣1＝0，则x＝1，lg2x﹣lgx＝lg21﹣lg1＝0，
则命题甲：x﹣1＝0，能推出命题乙：lg2x﹣lgx＝0，成立；
②若命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则lgx（lgx﹣1）＝0，所以lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x
＝10；
命题乙：lg2x﹣lgx＝0，不能推出命题甲：x﹣1＝0成立，
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．
命题甲是命题乙的充分非必要条件；
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y＝x﹣2C．y＝|log2x|D．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
【解答】解：A．函数为偶函数，当x＞0时，f（x）＝，为减函数，不满足条件．B．函数为偶函数，当x≥0时，f（x）为减函数，不满足条件．
C．函数的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．
D．函数为偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数，满足条件
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．
15．（3分）设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：
①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；
②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）
的最大值；
③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值．
这些命题中，真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【分析】利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．
【解答】解：①错．原因：M不一定是函数值，可能“＝”不能取到．
因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值
所以②③对
故选：C．
【点评】本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．
16．（3分）已知函数f（x）＝m?2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）
A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）
【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得
【解答】解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，
∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，
∴f（0）＝0，
即f（0）＝m＝0，
故m＝0；
故f（x）＝x2+nx，
f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，
当n＝0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，
故△＝n2﹣4n＜0，
解得：0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选：A．
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题
三.解答题
17．已知函数f（x）＝4x﹣a?2x+1+1．
（1）若a＝1，解方程：f（x）＝4；
（2）若f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，然后根据f（x）＝4，求出2x的值，再解出x即可；
（2）令t＝2x，则由f（x）＝0可得t2﹣2at+1＝0，再根据t的范围求出a的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝4x﹣2?2x+1．
∵f（x）＝4，∴4x﹣2?2x+1＝4，
∴2x＝3或2x＝﹣1（舍），
∴x＝log23．
（2）当x∈[﹣1，1]时，令t＝2x，则，
∴由f（x）＝0，得t2﹣2at+1＝0，∴．
∵在上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴当x＝1时，；当x＝2或时，，
∴，∴．
【点评】本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档题．
18．已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）设集合，B＝{x|f（x）+log2（x﹣1）＜m}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据f（x）的图象关于原点对称，得f（x）是奇函数，由f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，解得a的值即可．
（2）先解分式不等式，求得集合A；由于A∩B≠?，所以B有解，解得集合B；再根据集合的关系求得m的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵函数的图象关于原点对称，其中a为常数．∴＝﹣＝，
∴，
解得a＝±1．
当a＝1时，＝＝﹣1，与条件矛盾，舍去．
∴a＝﹣1；
（2）∵集合解不等式得A＝{x|3≤x＜7}．
由（1）知，f（x）+log2（x﹣1）＝log2+log2（x﹣1）＜m；
∴，且A∩B≠?，解得1＜x＜2m﹣1；
由于A∩B≠?，所以2m﹣1＞3，解得，m＞2．
故m的取值范围是（2，+∞）．
【点评】本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题．
19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）＝
，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以
述统计规律，请完成下列问题：
（1）求利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
【分析】（1）先求得P（x），再由f（x）＝Q（x）﹣P（x），由分段函数式可得所求；
（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．【解答】解：（1）由题意得P（x）＝12+10x，…（1分）
则f（x）＝Q（x）﹣P（x）＝
即为f（x）＝…（4分）
（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）＝212﹣160＝52万元…6 分当0≤x≤16时，函数f（x）＝﹣0.5x2+12x﹣12
＝﹣0.5（x﹣12）2+60，
当x＝12时，f（x）有最大值60万元．…9 分
所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．…10 分
【点评】本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，正确求出分段函数式，求出各段的最值是解题的关键，属于中档题．
20．若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．
（1）若下列函数的定义域为D＝（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）＝2x﹣1，f2（x）＝2x﹣1．
（2）若函数g（x）＝的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））＝x0，求证：f（x0）＝x0．
【分析】（1）根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．
（3）函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，由此能证明f（x0）＝x0．
【解答】解：（1）在f1（x）＝2x﹣1中，对于定义域D内的任意一个自变量x0，
都有函数值f1（x0）∈（﹣1，1）?D1，
故函数f1（x）＝2x﹣1在D1上不封闭；
在f2（x）＝2x﹣1中，2x﹣1∈（0，1），在D1上封闭．
（2）g（x）＝的定义域为（1，2），对称中心为（﹣2，5），
当a+10＞0时，函数g（x）＝在D2上为增函数，
只需，解得a＝2
当a+10＜0时，函数g（x）＝在D2上为减函数，
只需，解得a∈?．
综上，所求a的值等于2．
证明：（3）∵函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．
x0∈D且f（f（x0））＝x0，
∴根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，
∴f（x0）＝x0．
【点评】本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．
21．已知函数，其中a∈R．
（1）若a＝﹣1，解不等式；
（2）设a＞0，，若对任意的t∈[，2]，函数g（x）在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）存在反函数，其反函数记为y＝f﹣1（x），若关于x的不等式f﹣1（4﹣a）≤f（x）+|2x﹣a2|在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）把a＝﹣1代入函数，分段解不等式即可；
（2）∵a＞0，t∈[，2]，x∈[t，t+2]，∴f（x）＝x+a，g（x）＝，再由复合函数的单调判断出g（x）在[t，t+2]上单调递减，从而得到在t∈[，2]上恒成立，然后用换元法，令m＝2﹣t，构造新函数h（m），再求出该函数的最大值即可；（3）由函数y＝f（x）存在反函数，可得a≥1且f﹣1（x）＝；再令F（x）＝f（x）+|2x﹣a2|，x∈[0，+∞），得其最小值为，然后分类讨论解不等式即可．
【解答】解：（1）当a＝﹣1，f（x）＝，
当x≥0时，f（x）＝|x﹣1|，解得或，所以或；
当x＜0时，f（x）＝，解得x≥﹣2，所以﹣2≤x＜0；
综上所述，不等式的解为．
（2）∵a＞0，t∈[，2]，x∈[t，t+2]，∴f（x）＝x+a，＝，由复合函数的单调判断原则，可知g（x）在x∈[t，t+2]上单调递减，
∴g（x）max﹣g（x）min＝g（t）﹣g（t+2）＝≤1，
化简得，在t∈[，2]上恒成立，
令m＝2﹣t∈，则，
当m＝0时，h（m）＝0，
当时，，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，∴，即，
故实数a的取值范围为；
（3）∵函数y＝f（x）存在反函数，∴y＝f（x）单调，又∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴y＝f（x）在R上必须单调递增，
∴0+a≥20＝1即a≥1，
∴f﹣1（x）＝，
令F（x）＝f（x）+|2x﹣a2|，x∈[0，+∞），
则F（x）＝x+a+|2x﹣a2|＝，
∴，
∵f﹣1（4﹣a）≤f（x）+|2x﹣a2|在x∈[0，+∞）上恒成立，
∴当0＜4﹣a＜1即3＜a＜4时，恒成立，∴3＜a＜4，
当4﹣a≥a即a≤2时，，解得，
综上所述，实数a的取值范围为．
【点评】本题考查函数的综合应用，涉及绝对值函数、指对函数的单调性、函数的恒成立问题，在解题过程中用到换元法、构造法、分类讨论法，考查了学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于难题
复旦附中2018学年第一学期高一上期中考卷
复旦附中2018学年第一学期高一年级 数学期中考试试卷 考试时间：120分钟，满分150分，请将答案写在答题纸上 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 集合{}?的元素个数是_________ 2. 已知()f x = (2)f x -的定义域是__________ 3. 命题“若3x >或2y >，则2 2 4x y +>”的逆否命题是________________________ 4. 函数4 y x x =+ （0x >）的递增区间是____________ 5. 已知()f x 是定义在上的奇函数，若0x <时，()(2)f x x x =-，则0x >时()f x = __________ 6. 若关于x 的方程22 (1)4(1)10a x a x -+++=无实根，则实数a 的取值范围是__________ 7. 函数221()()1 x f x x ++=的值域为_______________ 8. 已知正实数,x y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 9.设集合,A B 是实数集 的子集，[1,0]A C B ?=-，[1,2]B C A ?=， [3,4]C A C B ?=，则A =___________ 10. 已知定义在 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，则下列函数（1）|()|f x ，（2）(||)f x （3） 1 () f x ，（4）()()f x f x -，中在(,0)-∞上递减的是____________ 11. 设函数1(| )2|x f x x += ,区间[,]M a b =（a b <），集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(,)a b 有________对 12. 对任何有限集S ，记()p S 为S 的子集个数。设{1,2,3,4}M =，则对所有满足 A B M ??的有序集合对(,)A B ，()()p A p B 的和为_____________
2020-2021学年上海市复旦附中2020级高一上学期1月期末考试数学试卷无答案
2020-2021学年上海市复旦附中2020级高一上学期1月期末考试 数学试卷 ★祝考试顺利★ (含答案) 一?填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1.函数( )()22f x log x = +-的定义域为____. 2.不等式()()2 233131x x ->+的解集为____. 3.函数()()231f x log x =+,[]0,5x ∈的反函数是____. 4.对于实数a,b,c,d,定义a b ad bc c d -= .设函数()()22111log x f x x log --=,则方程()1f x =的解为____. 5.若函数()1 ax f x x =+在区间()0,+∞是严格增函数,则实数a 的取值范围是____. 6.已知函数()241,f x min log x x ??=+???? ,若函数()()g x f x k =-恰有两个零点,则k 的取值范围为____. 7.已知函数()()15||02 f x x x x =+->,则()f x 的递减区间是____. 8.若函数()232x x f x -=+?的图像关于直线x m =成轴对称图形,则m =____. 9.若关于x 的不等式1|2|02 x x m --<在[]0,1x ∈]时恒成立,则实数m 的取值范围为____. 10.已知函数()()()22815f x x x ax bx c =++++是偶函数,若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解,则实数a 的取值范围是____. 11.若函数()()2201 x x a f x x x ++=+的值域为[),a +∞,则实数a 的取值范围是____.
复旦附中2015级高一上数学期中考试卷
复旦附中2015学年第一学期高一数学期中试卷 2015.11 一. 填空题 1. 函数y =的定义域为 ； 2. 已知,a b R ∈，写出命题“若0ab ≠，则22 0a b ->”的否命题 ； 3. 已知,x y R +∈且2xy =，则当x = 时，224x y +取得最小值； 4. 已知集合3{|1,}1 A x x Z x =≥∈+，则集合A 的子集个数为 个； 5. 已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则当0x <时， ()f x = ； 6. 若函数25()43 kx f x kx kx -=++的定义域是R ，则实数k 的取值范围是 ； 7. 若,a b 为非零实数，则不等式①232a a +>；②4433a b a b ab +≥+；③||a b +≥ ||a b -；④2b a a b +≥中恒成立的序号是 ； 8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足21()()f x g x x x a += ++(0)a >， 若1()3f x =-，则a = ； 9. 关于x 的方程22||90x a x a ++-=()a R ∈有唯一的实数根，则a = ； 10. 对于任意集合X 与Y ，定义：①{|X Y x x X -=∈且}x Y ?；②()X Y X Y ?=- ()Y X - ，X Y ?称为X 与Y 的对称差；已知2{|2,}A y y x x x R ==-∈，{|3B y y =-≤ 3}≤，则A B ?= ； 11. 已知集合2{|(2)10,}A x x m x x R =+++=∈，且A R +=?，则实数m 的取值范围是 ； 12. 若,a b R ∈，且2249a b ≤+≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是 ； 二. 选择题 13. 已知函数(1)y f x =-的定义域为[0,1]，则(1)f x +的定义域为（ ） A. [2,1]-- B. [1,0]- C. [0,1] D. [2,3] 14. 给出三个条件：①22ac bc >；② a b c c >；③||a b >；④1a b >-；其中能分别成为a b > 的充分条件的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
复旦附中2017-2018高一下期末数学卷(答案)
n n n ? 复旦附中 2017-2018 学年高一期末数学试卷 一. 填空题 1. 在等差数列{a n } 中，若a 4 = 0 ， a 6 + a 7 = 10 ，则 a 7 = ?. 答案： 6 2. 在数列1、3、7、15、??? 中，按此规律，127 是该数列的第 项. 答案： 7 3. 已知数列{a } 的前 n 项和 S = n 2 -1，那么数列{a } 的通项公式为 . ?0, n = 1 答案： ? 2n -1, n ≥ 2 4. 若在等比数列{a n } 中， a 1 ? a 2 ?? ??? a 9 = 512 ，则 a 5 = ?. 答案： 2 5. 方程(3cos x -1)(cos x + 1 3 sin x ) = 0 的解集是 . π 答案：{x | x = ±arccos + 2k π , x = - + k π , k ∈ Z } 3 6 6. 若数列{a } 满足 a = 13 ， a - a = n ，则 a n 的最小值为 . n 1 答案： 23 5 n +1 n n 7. 若数列{a } 是等差数列，则数列b = a n +1 + ? ?? + a n +m (m ∈ N * ) 也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项 n n m 数列{c n } 是等比数列，则数列d n = ?也是等比数列 m c n +1 ? c n +2 ?? ??? c n +m 8. 观察下列式子：1+ 1 ≥ 3 ，1+ 1 + 1 + 1 > 2 ，1+ 1 + 1 + ? ?? + 1 > 5 ，…，你可归纳出的不等式是 . 2 2 2 3 4 2 3 8 2 答案：1+ 1 + 1 + ?? ? + 1 ≥ 2 3 2n n + 2 2 9. 在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为 a n = ?. 答案：105n + 23 10. 对于下列数排成的数阵： -1 4 -9 16 -25 36 -49 64 -81 100 ??? ??? ??? 它的第10 行所有数的和为 . 答案： -505 11. 对于数列{a } 满足：a = 1，a - a ∈{a , a ,?? ?, a } (n ∈ N * ) ，其前 n 项和为 S ，记满足条件的所有数列{a } n 1 n +1 n 1 2 n n n
2018-2019学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷 ?填空题（本大题共 12题，满分54分，第1?6题每题4分，第7?12题每题5 分） （4 分）已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0,1, 2）, B = { - 1, 0, 1},则（？U A ） n B = . /,八、” I C A /3+I ）8 （&+8i ）, （4分）化简| 「 = ________ . （4+41/ （4分）从集合{ - 1, 1, 2, 3}随机取一个为m ,从集合{ - 2,- 1 , 1 , 2}随机取一个为 2 2 n ,则方程—，——=1可以表示 __________ 个不同的双曲线. m n （4分）在（亠-肿）6 的展开式中，第4项的二项式系数是 （用数字作答） （4分）已知a, B 表示两个不同的平面， m 为平面a 内的一条直线，则“ a, B 构成直二 面角” 是“ m 丄B 的 ____________ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不 充分也不必要”） （4分）若直线 x - 2y+5 = 0与直线2x+my - 6= 0互相垂直，则实数 m = __________ . （5分）复数i 1 x 10+i 2! x 9+…+i 10! X 1的虚部是 __________ . （5分）已知经停某站的高铁列车有 100个车次，随机从中选取了 40个车次进行统计， 统计结果为：10个车次的正点率为 0.97, 20个车次的正点率为 0.98, 10个车次的正点率 为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 ____________________ （精确到0.001） 「山豐圧A （5分）设A,B 是实数集R 的两个子集，对于x€R ，定义：m = a 诋心 若对任意x€R , m+n = 1，贝U A , B , R 满足的关系式为 _________ . .（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱 柱）高为4,体积为16,则这个球的表面积是 ___________ .（参考公式：球的表面积S = 4uR 2） .（5分）6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》 ，将人们生活中产生 的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害 垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的，那么随机事件“ 4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是 ____________________ .（5分）对于无理数 X ,用V x >表示与x 最接近的整数，如V n>= 3,<叨2>= 2,设 第1页（共18 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. & 9. 10 11 12 %应,
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(有答案解析)
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件 2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是 A. B. C. D. 3.设函数的定义域为R，有下列三个命题： 若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值； 若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值； 若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.已知函数，记集合，集合 ，若，且都不是空集，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5.函数的定义域为______． 6.函数的反函数为______． 7.已知，试用a表示______． 8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则 ______． 9.函数的递增区间为______． 10.方程的解是______． 11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数 k的取值范围为______． 12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是 ______． 13.已知的反函数为，当时，函数的最 大值为M，最小值为m，则______． 14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则 称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．
15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范 围为______ ． 16.已知函数，，若对任意的， ，均有，则实数k的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17.已知函数． 若，解方程：； 若在上存在零点，求实数a的取值范围． 18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数． 求a的值； 设集合，，若，求实数m的取值范围． 19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今 的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为 万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产 销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题： 求利润函数的解析式利润销售收入总成本； 工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
上海市2018-2019学年复旦附中高一上期末数学期末试卷
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷 2019.1 一、填空题 1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1） 2. （19复旦附中高一期末2）函数 y ______. 答案： (],6-∞ 3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=?+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：1 3. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1a a x a x f x x x ?--或1a ≤
8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()() 220log 01x x f x x x ?≤?=?<和()2log 1y x x => D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+ 答案：B 14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数