2019高考全国卷金优数学(理)模拟卷(二)(含答案解析)

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3228-2019金山高三数学二模(官方详解)

解：(1) 由题意， S侧 = 2 AA1 = 16 ，解得 AA1 = 4 ，……………………………2 分
在△AOP 中， OA = OP = 2 ， AOP =120 ，所以 AP = 2 3 ，
在△BOP 中， OB = OP = 2 ， BOP = 60 ，所以 BP = 2 ， ………………4 分
又因为 tan A = 1 ，所以 sin A = 17 ，……………………………………………11 分
4
17
c = AB = 17 ，又
a
=
c
，所以 a = c sin A =
17 17 17 =
2 ．…14 分
sin A sin C
sin C
2
2
18．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
15.
设
F1
、
F2
是双曲线
C
：
x2 a2
y2 −
b2
=1
(a 0,b 0) 的两个焦点， P 是 C 上一点，若
| PF1 | + | PF2 |= 6a ， PF1F2 是△ PF1F2 的最小内角，且 PF1F2 = 30 ，则双曲线 C 的
3.
若关于
x
、
y
的线性方程组的增广矩阵为

m 0
0 3
6 n

，该方程组的解为

x y
= =
−3 4
，
则 m + n 的值是
4. 二项式 (x + 1)7 的展开式中含 x3 项的系数值是

衡水金卷2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷分科综合卷理科数学(一)试题Word版含答案

c 来表示斜边，现已知该图中勾为 3，股为 4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）
A． 25 49
B
． 24 C ． 4
D ．5
49
7
7
4. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S9 6 ，则 tan a5 （）
A． 3 3
B ． 3 C.
3
D．
5. 已知函数 f x x a (a R) ，则下列结论正确的是（ x
D ． c b ac c b ab
9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 n 值为 11，则判断框中的条件可以是（
）
A． S 1022 ? B ． S 2018 ? C.
S 4095 ? D ． S 4095 ?
10. 已知函数 f x 2 sin( x )
0，
的部分图象如图所示，将函数 f x 的图象向左平移
个单位长
2
12
度后，所得图象与函数 y g( x) 的图象重合，则（
）
A． g x 2 sin 2x 3
B ． g x 2 sin 2x 6
B． C. g x 2 sin 2x
D
． g x 2sin 2x
3
A． a R, f (x) 在区间 0，内单调递增
3 3
）
B． a R, f (x) 在区间 0，内单调递减
C. a R, f ( x) 是偶函数
D． a R, f (x) 是奇函数，且 f x 在区间 0，内单调递增
6. 1 x 2 x 4 的展开式中 x 项的系数为（
）
A． -16 B
． 16 C. 48 D
2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

2019年上海市金山区高考数学二模试卷

2019年上海市金山区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数的定义域是．2．（4分）函数y＝（sin x+cos x）2的最小正周期是．3．（4分）若关于x、y的线性方程组的增广矩阵为，该方程组的解为，则m+n的值是4．（4分）二项式（x+1）7的展开式中含x3项的系数值为．5．（4分）已知全集U＝R，集合，＜＜，则∁U P＝．6．（4分）若z1＝1+i，z2＝a﹣i，其中i为虚数单位，且R，则|z2|＝7．（5分）方程（t为参数，t R）所对应曲线的普通方程为8．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则．9．（5分）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是（结果用小数表示）10．（5分）已知函数f（x）＝sin x和的定义域都是[﹣π，π]，则它们的图象围成的区域面积是11．（5分）若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x Z}中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是12．（5分）正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列计算结果一定不等于0的是（）A．B．C．D．14．（5分）在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要15．（5分）设F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2＝30°，则双曲线C 的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0 16．（5分）若实数a、b满足，则的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．，C．，D．，三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知△ABC中，，，．求：（1）角C的大小；（2）△ABC中最小边的边长．18．（14分）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的侧面积为16π，OA＝2，∠AOP＝120°．（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；（2）求直线A1P与底面P AB所成角的大小．19．（14分）从金山区走出去的陈驰博士，在《自然﹣可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年，t N*）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为0．（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？20．（16分）已知椭圆Γ：，过点D（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1）与椭圆Γ交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E．（1）当m＝1且k＝1时，求点M、N的坐标；（2）当m＝2时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；（3）当m＝3时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线l的方程．21．（18分）若数列{a n}、{b n}满足|a n+1﹣a n|＝b n（n N*），则称{b n}为数列{a n}的“偏差数列”．（1）若{b n}为常数列，且为{a n}的“偏差数列”，试判断{a n}是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{a n}是各项均为正整数的等比数列，且a3﹣a2＝6，{b n}为数列{a n}的“偏差数列”，求的值；（3）设，{b n}为数列{a n}的“偏差数列”，a1＝1，a2n≤a2n﹣1且a2n≤a2n+1，若|a n|≤M对任意n N*恒成立，求实数M的最小值．2019年上海市金山区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数的定义域是{x|x≥4}．【解答】解：∵函数，∴x﹣4≥0，可得x≥4，∴函数的定义域为：{x|x≥4}，故答案为：{x|x≥4}；2．（4分）函数y＝（sin x+cos x）2的最小正周期是π．【解答】解：函数y＝（sin x+cos x）2＝1+2sin x cos x＝1+sin2x，故它的最小正周期等于 π，故答案为：π．3．（4分）若关于x、y的线性方程组的增广矩阵为，该方程组的解为，则m+n的值是10【解答】解：由题意，可根据增广矩阵的定义还原成线性方程组为：．∵方程组的解为，∴m＝﹣2，n＝12．∴m+n＝10．故答案为：10．4．（4分）二项式（x+1）7的展开式中含x3项的系数值为35．【解答】解：二项式（x+1）7的展开式的通项公式为T r+1•x7﹣r，令7﹣r＝3，求得r＝4，可得展开式中含x3项的系数值为35，故答案为：35．5．（4分）已知全集U＝R，集合，＜＜，则∁U P＝（﹣∞，1]．【解答】解：由P中y，0＜x＜1，得到y＞1，即P＝（1，+∞），∵全集U＝R，∴∁U P＝（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]6．（4分）若z1＝1+i，z2＝a﹣i，其中i为虚数单位，且R，则|z2|＝【解答】解：a+i，则z1•（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，若R，则a+1＝0，即a＝﹣1，则z2＝a﹣i＝﹣1﹣i，则|z2|，故答案为：7．（5分）方程（t为参数，t R）所对应曲线的普通方程为y＝﹣x2+2x+2【解答】解：由方程消去参数t可得y＝3﹣（x﹣1）2，化简得y＝﹣x2+2x+2，故意答案为：y＝﹣x2+2x+2．8．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则16．【解答】解：Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则•||•||•cos A＝||•||16，故答案为16．9．（5分）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9702（结果用小数表示）【解答】解：生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：p＝（1﹣0.01）（1﹣0.02）＝0.9702．故答案为：0.9702．10．（5分）已知函数f（x）＝sin x和的定义域都是[﹣π，π]，则它们的图象围成的区域面积是【解答】解：的图象为圆心为O半径为π的圆的上半部分，∵y＝sin x是奇函数，∴f（x）在[﹣π，0]上与x轴围成的面积与在[0，π]上与x轴围成面积相同，则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积S π ，故答案为：11．（5分）若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x Z}中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是，【解答】解：∵x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0 且a＞0∴x2﹣2x+2＜a（x+1）令f（x）＝x2﹣2x+2；g（x）＝a（x+1）∴A＝{x|f（x）＜g（x），x Z}∴y＝f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y＝g（x）一次函数，图象是过一定点（﹣1，0）的动直线．又∵x Z，a＞0．数形结合，可得：＜．故答案为：（，]12．（5分）正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是1【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（cosθ，sinθ）的直线的斜率，设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列计算结果一定不等于0的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设长方体的长宽高分别为a，b，c则A（a，0，0），B（a，b，0），C（0，b，0），D（0，0，0），B1（a，b，c），C1（0，b，c），D1（0，0，c），∴（﹣a，0，c），（﹣a，0，﹣c），（﹣a，﹣b，c），（﹣a，b，0），（0，b，0），（﹣a，0，0），∴•a2﹣c2，当a＝c时，•0，•a2﹣b2，当a＝b时，•0，•0，•a2≠0，故选：D．14．（5分）在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分条件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选：A．15．（5分）设F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2＝30°，则双曲线C 的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0【解答】解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴|PF2|2＝|PF1|2+|F1F2|2﹣2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2＝（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c，同时除以a2，化简e2﹣2e+3＝0，解得e，∴c，∴b，∴双曲线C：1的渐近线方程为y±，即0．故选：B．16．（5分）若实数a、b满足，则的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．，C．，D．，【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：则，的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点原点连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由，解得B（，），∴BO的斜率k＝3，由可得A（1，1），OA的斜率k＝1，∴1≤z≤3，则（k）2，．故选：D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知△ABC中，，，．求：（1）角C的大小；（2）△ABC中最小边的边长．【解答】解：（1）∵C＝π﹣（A+B），tan A，tan B，∴tan C＝﹣tan（A+B）1，又∵0＜C＜π，∴C；（2）由tan A，sin2A+cos2A＝1且A（0，），得sin A．∵，∴BC＝AB•．即最小边的边长为．18．（14分）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的侧面积为16π，OA＝2，∠AOP＝120°．（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；（2）求直线A1P与底面P AB所成角的大小．【解答】解：（1）由题意，S侧＝2π•2•AA1＝16π，解得AA1＝4，在△AOP中，OA＝OP＝2，∠AOP＝120°，所以，在△BOP中，OB＝OP＝2，∠BOP＝60°，所以BP＝2，∵AB是圆O的直径，∴AP⊥BP．∴．（2）因为AA1⊥底面P AB，所以∠AP A1是直线A1P与底面P AB所成的角，在Rt△AP A1中，∠，∠，即直线A1P与底面P AB所成角的大小为．19．（14分）从金山区走出去的陈驰博士，在《自然﹣可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年，t N*）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为0．（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？【解答】解：（1）令5，解得t≥4+2ln5≈7.2，…………………………（5分）即需要经过8年，该树的高度才能超过5米；……………………………………（7分）（2）当t N*时，（9分）设e﹣0.5t+2＝u，则u（0，e2]，．令，则．上式当且仅当时，g（u）取得最大值．………………………………………（11分）此时，u＝e﹣0.25，即e﹣0.5t+2＝e﹣0.25，解得t＝4.5．由于要求t为正整数，故树木长高最快的t可能值为4或5，……………………（13分）又，，所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．……………………………………（14分）20．（16分）已知椭圆Γ：，过点D（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1）与椭圆Γ交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E．（1）当m＝1且k＝1时，求点M、N的坐标；（2）当m＝2时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；（3）当m＝3时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线l的方程．【解答】解：（1）当m＝k＝1时，联立，解之得：或，即M（0，1），N（，）；证明：（2）当m＝2时联立，消去y得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由，，且点E的横坐标为0，得x1＝λ（x1+1）、x2＝μ（x2+1）．从而，则，即λ+μ为定值3；解：（3）当m＝3时，椭圆Γ：，假设存在直线l：y＝k（x+1）满足题意，则△MNF的内切圆的半径为，又D（﹣1，0）、F（1，0）为椭圆Γ的焦点，故△MNF的周长为8，从而，消去y，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则．故，即．由（2），得，化简，得17k4+k2﹣18＝0，解得k＝±1，故存在直线l：y＝±（x+1）满足题意．21．（18分）若数列{a n}、{b n}满足|a n+1﹣a n|＝b n（n N*），则称{b n}为数列{a n}的“偏差数列”．（1）若{b n}为常数列，且为{a n}的“偏差数列”，试判断{a n}是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{a n}是各项均为正整数的等比数列，且a3﹣a2＝6，{b n}为数列{a n}的“偏差数列”，求的值；（3）设，{b n}为数列{a n}的“偏差数列”，a1＝1，a2n≤a2n﹣1且a2n≤a2n+1，若|a n|≤M对任意n N*恒成立，求实数M的最小值．【解答】解：（1）{a n}不一定为等差数列，如，则b n＝2为常数列，但{a n}不是等差数列，（2）设数列{a n}的公比为q，则由题意，a1、q均为正整数，因为a3﹣a2＝6，所以a1q（q﹣1）＝6＝1×2×3，解得或，故或（n N*），①当时，，，；②当时，，，；综上，的值为或；（3）由a2n≤a2n﹣1且a2n≤a2n+1得，故有：，，，累加得：，又a1＝1，所以，为奇数，，当n为奇数时，{a n}单调递增，a n＞0，，当n为偶数时，{a n}单调递减，a n＜0，，从而|a n|，所以M，即M的最小值为．。

【优卷】全国通用版2019高考数学二轮复习专题三概率与统计第3讲统计与统计案例学案理2

第3讲统计与统计案例[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.2.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．热点一抽样方法1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体数较少．2．系统抽样特点是将总体平均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．例1 (1)某学校在高一新生入学后为了解学生的体质情况，决定从该校的1 000名高一新生中采用系统抽样的方法抽取50名学生进行体质分析，已知样本中第一个号为007号，则抽取的第10个学生的编号为( ) A ．107 B ．097 C ．207 D ．187 答案 D解析根据题意组距为1 00050＝20，则抽取学生的编号组成以7为首项，20为公差的等差数列，其通项公式为a n ＝7＋20(n －1)，∴a 10＝7＋20()10－1＝187.(2)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________．答案 43解析由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.思维升华 (1)随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的． (2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同．(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．跟踪演练1 (1)(2018·福州检测)为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按年龄段分层抽样D ．系统抽样答案 C解析我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．了解某地区的“微信健步走”活动情况，按年龄段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．(2)(2018·永州模拟)现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位了解他们的数学学习状况，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法所选取的5位同学的编号可能是( ) A ．5,10,15,20,25 B ．3,13,23,33,43 C ．1,2,3,4,5 D ．2,10,18,26,34 答案 B解析由系统抽样方法的概念可知，抽取5位，必须每层都有，则每10个里面有1个，所以符合要求的编号可能是3,13,23,33,43. 热点二用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．例2 (1)一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为( ) A ．－11 B ．3 C ．9 D ．17 答案 C解析设没记清的数为x ，若x ≤2，则这列数为x,2,2,2,4,5,10，平均数为25＋x7，中位数为2，众数为2，所以2×2＝25＋x7＋2，得x ＝－11；若2<x ≤4，则这列数为2,2,2，x,4,5,10，则平均数为25＋x7，中位数为x ，众数为2，所以2x ＝25＋x7＋2，得x ＝3；若x ≥5，则这列数为 2,2,2,4,5，x,10或2,2,2,4,5,10，x ，则平均数为25＋x 7，中位数为4，众数为2，所以2×4＝25＋x7＋2，得x ＝17，所以－11＋3＋17＝9.(2)(2018·齐齐哈尔模拟)某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5，30].根据频率分布直方图可知，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数约是( )A ．68B ．72C ．76D ．80 答案 B解析由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数约是320×(0.02＋0.07)×2.5＝72.思维升华 (1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等．(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．跟踪演练2 (1)为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( )A ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ．x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛答案 D解析由茎叶图可知，甲的平均数是x 甲＝72＋78＋79＋85＋86＋926＝82，乙的平均数是x 乙＝78＋86＋87＋87＋91＋936＝87，所以乙的平均数大于甲的平均数，即x 甲<x 乙，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛．(2)(2018·大庆质检)下面是追踪调查200个某种电子元件寿命(单位：h)的频率分布直方图，其中300～400,400～500的两组数据丢失，下列四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )①寿命在300～400的频数是90； ②寿命在400～500的矩形的面积是0.2； ③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为150×0.1＋250×0.15＋350×0.45＋450×0.15＋550×0.15； ④寿命超过400 h 的频率为0.3. A ．① B．② C．③ D．④ 答案 B解析若①正确，则300～400对应的频率为0.45，则400～500对应的频率为0.15，明显与图不一致，故①不符合原数据；若②正确，则300～400对应的频率为0.4，频数为80，则①错误；电子元件的平均寿命为150×0.1＋250×0.15＋350×0.4＋450×0.2＋550×0.15，则③错误；寿命超过400 h 的频率为0.2＋0.15＝0.35，则④错误，故符合题意．由[400,500)对应的频率明显大于0.15知③，④不符合原数据．热点三统计案例 1．线性回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^称为线性回归方程，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ，(x ，y )称为样本点的中心． 2．随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .例3 (2018·广东省省际名校联考)某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系． (1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)该班一名同学的数学成绩为110分，利用(1)中的回归方程，估计该同学的物理成绩； (3)本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：回归直线的系数b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2，a ^＝y －b ^x . K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，P ()K 2≥6.635＝0.01，P ()K 2≥10.828＝0.001.解 (1)由题意可知x ＝120，y ＝90，∑i ＝15(x i －x)(y i －y )＝(145－120)(110－90)＋(130－120)×(90－90)＋(120－120)(102－90)＋(105－120)(78－90)＋(100－120)(70－90) ＝500＋0＋0＋180＋400＝1 080，∑i ＝15(x i －x )2＝(145－120)2＋(130－120)2＋(120－120)2＋(105－120)2＋(100－120)2＝625＋100＋0＋225＋400＝1 350，故b ^＝1 0801 350＝45＝0.8.a ^＝90－120×0.8＝－6，故线性回归方程为y ^＝0.8x －6.(2)将x ＝110代入上述方程，得y ^＝0.8×110－6＝82.(3)由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的共6人．于是可以得到如下2×2列联表：于是K 2＝60×()24×18－12×6230×30×36×24＝10>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．思维升华 (1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(x ，y )，应引起关注．(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入公式求解K 2即可．跟踪演练3 (2018·河南省中原名校质检)下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码x ＝年份－2013.(1)已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)由题意得x ＝2.5，y ＝200，∑4i ＝1x 2i ＝30，∑4i ＝1x i y i ＝2 355，所以b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝2 355－4×2.5×20030－4×2.52＝3555＝71，所以a ^＝y －b ^x ＝200－71×2.5＝22.5，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝71x ＋22.5. 由于2 019－2 013＝6，所以当x ＝6时，y ^＝71×6＋22.5＝448.5，所以预测2019年该百货零售企业的线下销售额为448.5万元． (2)由题意可得2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝105×()10×30－45×20255×50×30×75≈6.109，由于6.109>5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．真题体验1．(2017·山东改编)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为________．答案 3,5解析甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y ＝5. 又甲、乙两组数据的平均值相等，∴15×(56＋65＋62＋74＋70＋x )＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x ＝3. 2．(2017·山东改编)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑10i ＝1x i ＝225，∑10i ＝1y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为________．答案 166解析 ∵∑10i ＝1x i ＝225，∴x ＝110∑10i ＝1x i ＝22.5. ∵∑10i ＝1y i ＝1 600，∴y ＝110∑10i ＝1y i ＝160. 又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70.∴线性回归方程为y ^＝4x ＋70.将x ＝24代入上式，得y ^＝4×24＋70＝166.3．(2016·全国Ⅲ改编)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下列叙述不正确的是________．(填序号)①各月的平均最低气温都在0 ℃以上； ②七月的平均温差比一月的平均温差大； ③三月和十一月的平均最高气温基本相同； ④平均最高气温高于20 ℃的月份有5个．答案 ④解析由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有七月，八月，故④不正确．4．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案 18解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．押题预测1．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地分别随机调查了10个用户，将满意度的分数绘成茎叶图，如图所示．设甲、乙两地的满意度分数的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙D.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙押题依据从茎叶图中提取数字的特征(如平均数、众数、中位数等)是高考命题的热点题型．答案 B解析甲地用户的平均满意度分数为x 甲＝53＋62＋64＋73＋74＋76＋81＋85＋92＋9510＝75.5，乙地用户的平均满意度分数为x 乙＝51＋56＋62＋64＋73＋73＋81＋82＋83＋9110＝71.6，所以x 甲>x 乙．中位数分别为m 甲＝74＋762＝75，m 乙＝73＋732＝73，所以m 甲>m 乙．2．某校为了解高三学生寒假期间的学习情况，抽查了100名学生，统计他们每天的平均学习时间，绘制成频率分布直方图，如图所示，则这100名学生中学习时间在6至10小时之间的人数为________．押题依据频率分布直方图多以现实生活中的实际问题为背景，对图形的理解应用可以考查学生的基本分析能力，是高考的热点．答案 58解析由题图知，(0.04＋0.12＋x ＋0.14＋0.05)×2＝1，解得x ＝0.15，所以学习时间在6至10小时之间的频率是(0.15＋0.14)×2＝0.58，所求人数为100×0.58＝58.3．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件大约需要多少小时？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x )押题依据线性回归分析在生活中具有很强的应用价值，是高考的一个重要考点．解 (1)散点图如图．(2)由表中数据得∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ^ ＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7， a ^＝3.5－0.7×3.5＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件大约需要8.05小时．A 组专题通关1．(2018·云南省曲靖市第一中学质量监测)我校高三8个学生参加数学竞赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是( )A ．91,9.5B ．91,9C ．92,8.5D ．92,8 答案 A解析由题意，根据茎叶图，可得平均数x ＝18(2×80＋6×90＋8＋5＋1＋5＋4＋2＋0＋3)＝91，方差s 2＝18[(88－91)2＋(85－91)2＋…＋(93－91)2]＝18×76＝9.5.2．(2018·衡水金卷信息卷)A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾，用7,8,9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数： 402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似值为( ) A.14 B.25 C.710 D.15 答案 D解析由随机数表可知，满足题意的数据为978,479,588,779，据此可知，这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为P ＝420＝15.3．(2018·黄山模拟)在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是( )A ．若K 2的观测值k ＝6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌B ．由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌C ．若从随机变量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误D ．以上三种说法都不正确答案 C解析独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．结合所给选项可得若从随机变量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误．4．(2018·昆明质检)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值答案 D解析根据走势图可知，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化，A 错；这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定，B 错；从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的搜索指数的稳定性小于11 月份的搜索指数的稳定性，所以去年10月份的方差大于11 月份的方差，C 错；从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，D 正确． 5．(2018·广州海珠区综合测试)下列说法中正确的是( )①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，相关性越弱；②回归直线y ^＝b ^x ＋a ^一定经过样本点的中心(x ，y )；③随机误差e 满足E (e )＝0，其方差D (e )的大小用来衡量预报的精度； ④相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好． A ．①② B．③④ C．①④ D．②③ 答案 D解析 ①线性相关系数r 是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r |越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，|r |越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回归直线y ^＝b ^x ＋a ^一定通过样本点的中心()x ，y ，②正确；③随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E (e )＝0，③正确；④相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，④不正确，故选D.6．(2018·上海黄浦区模拟)已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________．答案 140解析根据题意可得抽样比为50750＝115，则这次抽样调查抽取的人数是115(450＋750＋900)＝115×2 100＝140. 7．(2018·河北衡水中学模拟)用系统抽样法(按等距离的规则)从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001～160编号，按编号顺序平均分成20组：001～008号，009～016号，017～024号，…，153～160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中抽取的号码是________．答案 002解析由系统抽样法知，抽取的容量为20的样本的编号可视为公差为8的等差数列，设首项为a 1，又a 9＋a 10＝140， ∴2a 1＋17×8＝140，∴a 1＝2， ∴第1组中抽取的号码是002.8．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．答案 30 解析由题意可得40×(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝30，则成绩不低于60分的人数为30.9．某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程为y ^＝1.4x ＋a ^.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用________年．答案 8解析因为x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝1.5＋4.5＋5.5＋6.5＋7.55＝5.1，故代入线性回归方程可得a ^＝5.1－1.4×4＝－0.5，所以线性回归方程为y ^＝1.4x －0.5，当y ＝12时，解得x ≈8.9.10．(2018·全国Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表；(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min ；用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高． (2)由茎叶图知m ＝79＋812＝80.列联表如下：(3)因为K 2＝40(15×15－5×5)220×20×20×20＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．B 组能力提高11．某公司有30名男职员和20名女职员，公司进行了一次全员参与的职业能力测试，现随机询问了该公司5名男职员和5名女职员在测试中的成绩(满分为30分)，可知这5名男职员的测试成绩分别为16,24,18,22,20,5名女职员的测试成绩分别为18,23,23,18,23，则下列说法一定正确的是( ) A ．这种抽样方法是分层抽样 B ．这种抽样方法是系统抽样C ．这5名男职员的测试成绩的方差大于这5名女职员的测试成绩的方差D ．该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数答案 C解析根据抽样方法的特点，可知这种抽样既不是分层抽样，也不是系统抽样，故A ，B 是错误的；由这5名男职员和5名女职员的测试成绩得不出该公司男职员和女职员的测试成绩的平均数，故D 是错误的；根据公式，可以求得这5名男职员的测试成绩的方差为s 21＝8,5名女职员的测试成绩的方差为s 22＝6，所以C 正确．故选C.12．某青少年成长关爱机构为了调查所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1 000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线l .根据图中数据，下列对该样本描述错误的是( )A ．据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关B ．所抽取数据中，5 000名青少年平均身高约为145 cmC ．直线l 的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D ．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线l 上答案 D解析在给定范围内，随着年龄增加，年龄越大身高越高，故该地区青少年身高与年龄成正相关，故A 正确；用样本数据估计总体可得平均数大约是145 cm ，故B 正确；根据直线斜率的意义可知，斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，故C 正确；各取一人具有随机性，根据数据作出的点只能在直线附近，不一定在直线上，故D 错误．13．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算得线性回归方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息，可得表中c 的值为________.答案 6解析 x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋c 5＝14＋c5，代入线性回归方程，得14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.14．(2018·泉州质检)某工厂有两台不同机器A 和B 生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：该产品的质量评定标准规定：鉴定成绩达到[90,100)的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到 [80,90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60,80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．(1)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X 为来自B 机器生产的产品数量，写出X 的分布列，并求X 的期望；(2)完成下列2×2列联表，以产品等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B 机器生产的产品比A 机器生产的产品好；(3)已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A 机器每生产10万件的成本为20万元，B 机器每生产10万件的成本为30万元．该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器．你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？附：(1)独立性检验计算公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .(2)临界值表：。

2019高考全国卷金优历史模拟卷三(含答案解析)

2019高考全国卷金优历史模拟卷三1、赵翼《廿二史札记》载:“自古皆封建诸侯,各君其国,卿大夫亦世其官……汉祖以匹夫起事,角群雄而定一尊。

其君既起自布衣,其臣亦自多亡命……天下变局,至是始定。

”材料反映了( )A.分封制度开始瓦解B.中央集权制度建立C.贵族政治遭到破坏D.察举制度逐渐形成2、中国画注重写意传神,追求“得意忘形”,或者说注重用画面传达主观情致与神韵,并不拘泥于客观景物和人物的逼真摹写。

这种特点可概括为( )A.天人合一B.诗画合一C.情景合一D.知行合一3、唐以前的政治家和都城建筑的设计者,为了确保都城内部的安全,都主张采用封闭式的结构。

在唐宋之际, 都城制度发生了重大的变化,即从封闭式变成了开放式。

出现这一变化的主要原因是( )A.中央集权和君权至上思想的弱化B.领土疆域和城市人口的缩减C.城市经济发展和市民阶层的活跃D.理学思想和土地兼并的盛行4、明太祖朱元璋在洪武三年的诏书中说:“汉唐及宋,取士各有定制,然但贵文学而不求德艺之全。

前元待士甚优,而权豪势要,每纳奔竞之人,夤缘阿附,辄窃仕禄。

其怀材抱道者,耻与并进,甘隐山林而不出。

风俗之弊,一至于此。

自今年八月始,特设科举,务取经明行修、博通古今、名实相称者。

”材料表明朱元璋( )A.深刻认识到了唐宋时期科举制度的弊端B.客观上传承与强化了中国儒家文化传统C.真正以经世致用的思想确立人才选拔方式D.对科举制度考试从内容到形式进行变革5、魏源在《海国图志》对英国有如下描述:“大事则三年一会议,设有用兵、和战之事,虽国王裁夺亦必由巴厘满(议会)议允。

国王行事有失,将承行之人交巴厘满议罚。

”材料表明《海国图志》( )A.主要是介绍西方政治制度B.推动中国近代民主思想的传播C.借以表达反君主专制思想D.对君主制的反思走在时代前列6、陈独秀明确表示,不主张完全否定孔子,并完全承认孔子的历史地位,只是反对以“孔子之道”统一当代中国人思想。

2019高考全国卷金优数学(理)模拟卷(六)

2019高考全国卷金优数学（理）模拟卷六1、设全集 U R =,集合{}1A x x =, {}2|230 B x x x =--≥,则U A C B ⋂= ( ) A. {}|1x x ≤- B.{}|1x x ≤ C. {|11}x x -<≤ D.{}|13x x <<2、设复数z 满足则11zi z+=-,则z 等于( ) A. 1B.C.D. 23、等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a b -=⋅+,则ab= ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.34、曲线y =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.512 B. 1112C. 16D. 125、在平面直角坐标系中,圆22:1O x y +=被直线y kx b =+ (0k >)角a 始边是x 轴的非负半轴,终边过点2(,)P kb ,则tan a 的最小值( )A.B. 1C.D. 26、实数 ,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩,若y W x -=+11,则有( )A.112W ≤< B. 1123W -≤≤C. 12W ≥-D. 113W -≤≤7、如下图,该程序运行后输出的结果为()A.5B.6C.9D.10 8、如图,已知平面四边形ABCD ,AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =,AC 与BD 交于点O ,记 1I OA OB =⋅,2I OB OC =⋅,3I OC OD =⋅,则()A. 123I I I <<B. 132I I I <<C. 312I I I <<D. 213I I I <<9、将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2018项与5的差,即20185a -=( )A.1012×2018B.1012×2017C.2020×2016D.2020×201510、已知椭圆221:113x C y +=,双曲线22222:1(,0)x y C a b a b -=>,若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点,且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,则2C 的离心率是( )A.B. 3C.D. 511、在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1A F 平面1D AE , 记我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为__________．与平面11BCC B 所成的角为θ,下列说法正确的是个数是( )①点F 的轨迹是一条线段 ②1A F 与1D E 不可能平行 ③1A F 与BE 是异面直线④tan θ≤⑤当F 与1C 不重合时,平面11A FC 不可能与平面1AED 平行A.2B.3C.4D.512、设函数()f x 在R 上存在导数()'f x ,对任意x R ∈有()()2f x f x x -+=,且在()0,+∞上,().'f x x >若()()222f a f a a --≥-,则实数a 的取值范围为( )A. [)1,+∞ B. (],1-∞ C. (,2]-∞ D. [)2,+∞13、一个几何体的三视图如图所示,則该几何体的表面积为__________.14、将函数()cos2f x x x =-的图像向左平移 m 个单位()0m >,若所得的图像关于直线6x π=对称,则 m 的最小值为__________15、若向区域{(,)|01,01}x y x y ≤≤≤≤内投点,则该点落在由直线y x =与曲线y =围成区域内的概率为__________ 16、已知数列满足: *111,,1nn n a a a n N a +==∈+,若()111,n n b n a λ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围为__________ 17、已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边,且满足()()sin sin sin sin b c a A B C c B +-++=1.求角A 的大小2.设a =S 为ABC ∆的面积,求cos S B C +的最大值18、在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标 x 和y ,制成图,其中“*”表示甲村贫困户,“+”表示乙村贫困户若00.6x <<,则认定该户为“绝对贫困户”,若0.60.8x ≤≤,则认定该户为“相对贫困户”,若0.81x <≤,则认定该户为“低收入户”;若100y ≥,则认定该户为“今年能脱贫户”,否则为“今年不能脱贫户”1.从甲村50户中随机选出一户,求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率;2.若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户,用ξ表示所选3户中乙村的户数,求ξ的分布列和数学期望E()ξ3.试比较这100户中,甲、乙两村指标的方差的大小(只需写出结论)19、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, AB CD ,90DAB ∠=︒,PA ⊥底面ABCD ,且112PA AD DC AB ====,M 是PB 的中点.1.证明:平面PAD ⊥平面PCD2.求二面角A CM B --的余弦值.20、已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点()()001,0P y y >在椭圆上,且2PF x ⊥轴, 12PF F ∆的周长为6.1.求椭圆的标准方程;2. ,E F 是椭圆C 上异于点P 的两个动点,如果直线PE 与直线PF 的倾斜角互补,证明:直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.21、已知函数()()12ln ,,ln x f x ax a x a R g x ea x x +-=+∈=++,其中e 为自然对数的底数.1.若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过(0,2)-,证明: ()()1f x g x ≤-;2.若函数()y f x =与()2ln y g x x =-的图像有且仅有一个公共点()00,P x y ,证明:074x <. 22、在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为2{1x y ==-+ (t 为参数),以原点为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为ρ=.1.求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程;2.设点()2,1M -,曲线1C 与曲线2C 交于,A B ,求MA MB ⋅的值. 23、已知()|1||21|f x x x =+--.1.求不等式()0f x >的解集;2.若x ∈R 时,不等式()f x x a ≤+恒成立,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：D 解析：2答案及解析：答案：A 解析：3答案及解析：答案：A解析：∵13n n S a b -=⋅+,∴11,2a S a b n ==+≥时, 2123n n n n a S S a --=-=⋅,因为数列是等比数列,∴123a b a +=⨯,即13b a =-,故选A.4答案及解析：答案：A解析：由解析式作出如图所示简图:由图像可知封闭图形面积为曲线与x 轴围成曲边三角形OCB 的面积与ABC ∆的面积之差. 联立两函数解析式,求出交点C 的坐标为: ()1,1,则点B 的坐标为: ()1,0, 求出直线与x 轴交点A 坐标为: ()0.5,0,则曲边三角形的面积为: 12123OCBS x dx =⎰==,ABC ∆的面积为: 1111224ABC S ∆=⨯⨯=,所以两线与x 轴围成图形的面积为: 512.故选A.5答案及解析：答案：B 解析：6答案及解析：解析：7答案及解析：答案：A 解析：8答案及解析：答案：C解析：因为90AOB COD ∠=∠>,所以0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅ (∵OA OC <,OB OD <)选C9答案及解析：答案：B 解析：10答案及解析：答案：A 解析：11答案及解析：答案：C 解析：12答案及解析：答案：B 解析：13答案及解析：解析：由三视图可知,该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,高为1,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的上、下底面积之和,即2(344131)2238.⨯+⨯+⨯+π-π=14答案及解析：答案：6π解析：将函数()πcos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭的图像向左平移 m 个单位,得到()π2sin 226g x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像,依题意,所得图像关于直线6x π=对称,则: πππ22π,662m k k Z ⨯+-=+∈,即()ππ26k m k Z =+∈, ∵0m >, ∴当0?k =时,m 最小值6π15答案及解析：答案：16解析：曲线围成区域面积为: 3121200211)()|326x dx x x =-=⎰16答案及解析：答案：(),2-∞ 解析：17答案及解析：答案：1.∵()()sin sin sin sin b c a A B C c B +-++=∴根据正弦定理,知()()b c a a b c bc +-++=,即222b c a bc +-=-∴由余弦定理,得2221cos 22b c a A bc +-==-.又(0,)A π∈,所以23A π=2.根据a =23A π=及正弦定理可得4sin sin sin b c a B C A ====, 4sin ,4sin b B c C ∴==.11sin 4sin 4sin sin 222S bc A B C B C∴==⨯⨯⨯=()cos sin cos S B C B C B C B C +=+=-,故当3B CB C π=⎧⎪⎨+=⎪⎩,即6B C π==时,cos S B C +取得最大值解析：18答案及解析：答案：1.由图知,在甲村50户中,“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户,所以从甲村50户中随机选出一户,该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P == 2.由图知,“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户,其中甲村6户,乙村4户,依题意, ξ的可能值为0,1,2,3.从而36310201(0)1206C P C ξ====,1246310601(1)1202C C P C ξ====,2146310363(2)12010C C P C ξ====,3431041(3)12030C P C ξ====.所以ξ的分布列为:故ξ的数学期望13112()0123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯== 3.这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差解析：19答案及解析：答案：1.证明:∵PA ⊥面ABCD ,CD AD ⊥, ∴由三垂线定理得: CD PD ⊥.因而, CD 与面PAD 内两条相交直线,AD PD 都垂直, ∴CD ⊥面PAD ,又CD ⊂面PCD , ∴面PAD ⊥面PCD .2.作AN CM ⊥,垂足为N ,连接BN .在Rt PAB ∆中,AM MB =, 又AC CB =, ∴AMC BMC ∆≅∆,∴BN CM ⊥,故ANB ∠为所求二面角的平面角 ∵CB AC ⊥,由三垂线定理,得CB PC ⊥, 在Rt PCB ∆中, CM MB =,所以CM AM =.在等腰三角形AMC 中, AN MC AC ⋅=,∴AN =∴2AB =∴2222cos 23AN BN AB ANB AN BN +-∠==-⨯⨯故二面角A CM B --余弦值为23-. 解析：20答案及解析：答案：1.由题意, ()()121,0,1,0,1F F c -= ∵12PF F ∆,的周长为6,122226PF PF c a c ∴++=+=2,a b ∴==椭圆的标准方程为22143x y +=2.由1知31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,设直线PE 方程: ()312y k x =-+,联立22341232x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎩,消y 得()()22233443241202k x k k x k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭设()(),,,E E F F E x y F x y ∵点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上2234122134E k x k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴⋅=+ ∴22412334E k k x k --=+,32E Ey kx k =+-又∵直线PF 的斜率与PE 的斜率互为相反数,在上式中以k -代k ,22412334F k k x k +-∴=+,32F Fy kx k =-++ ()()222862213424234F E F E EF F E F E k k kk x x k y y k k k x x x x k --⋅+-++-+∴====--+即直线EF 的斜率为定值,其值为12.解析：21答案及解析：答案：1. ()()2','13af x a k f a x=+==, 又()210a k --=-,由32a a =+得1a =,令()()()()1ln 0x F x g x f x e x x -=-=->,则()11'x F x e x-=-,当()0,1x ∈时F′(x)<0,函数()F x 单调递减, 当()1,x ∈+∞时F′(x)>0,函数()F x 单调递增, 故函数()F x 的最小值为()11F =,即()()1f x g x ≤- 2. ()()()12ln 2ln 2x G x g x x f x e x x ax -=--=-+-,由题意函数()G x 有且仅有一个零点,因为()()11211'22,''20x x G x e a G x e x x--=-+-=+>, 则()G x '为()0,+∞上的增函数,且其值域为R ,故()G x '在()0,+∞上有唯一的零点,设为t ,则当()0,x t ∈时()'0G x <,则()G x 单调递减, 当(),x t ∈+∞时()'0G x >,则()G x 单调递增, 从而函数()G x 在x t =处取得最小值, 又函数()G x 有唯一零点0x ,则必有0t x =,所以: ()()000000001'02120021ln 20G x ex a x G x ex x ax x ⎧=--+-=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩---+=⎩ 消去a 整理得: ()0100221ln 0x x e x --+-=,令()()1211ln x H x x ex -=-+-,显然0x 为其零点,而()12120x H x x e x -⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭,故()H x 在()0,+∞上单调递减, 而()34737110,1ln 0424H H e ⎛⎫=>=--< ⎪⎝⎭,所以()H x 在71,4⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点,在7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内无零点, 即074x <解析：22答案及解析：答案：1.曲线1:1C y x =-+;曲线222:14x C y += 2.将22{1x y =-=-+ (t 为参数)代入2C 的直角坐标方程,得2580t -+=,所以1285t t ⋅=; 所以1285MA MB t t ⋅=⋅= 解析：23答案及解析：答案：1.由题意得|1||21|x x +>-,所以22|1||21|x x +>-,化简得3(2)0x x -<,解得02x <<,故原不等式的解集为{|02}x x <<. 2.由已知可得,()a f x x ≥-恒成立,设()()g x f x x =-,则2,11()2,12122,2x g x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩,由()g x 的单调性可知, 12x =时, ()g x 取得最大值1, 所以a 的取值范围是[)1,+∞.解析：。

2019高考全国卷金优数学(文)模拟卷(一)

2019高考全国卷金优数学（文）模拟卷一1、已知集合{}()(){}1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈,则A B ⋃= ( )A. {}1B. {}1,2C. {}0,1,2,3D. {1,0,1,2,3}-2、已知复数21i z i +=- (i 是虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、平行四边形ABCD 中, M 为BC 的中点,若AB AM DB λμ=+,λμ-= ( )A. 1B.23C. 13D. 13- 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 1315310a a a ++=,则9S 的值为( )A.14B.20C.18D.165、设,?a b 是实数,则“0a b +>”是“0ab >”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6、用二分法求函数()()=11f x In x x ++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( )A. 5B. 6C. 7D. 87、在ABC ∆中, 90,30,1C B AC ∠=︒∠=︒=,M 为AB 的中点,将ACM ∆沿CM 折起,使,A B则M 到平面ABC 的距离为( ) A. 32C. 1D. 128、运行如图所示的程序框图,若输出的 s 值为10-,则判断框内的条件应该是()A. 3?k <B. 4?k <C. 5?k <D. 6?k <9、设 n S 是数列{}n a 的前n 项和,且1111,,n n n a a S S ++==-则使22110n nnS S +取得最大值时n 的值为( )A.2B.5C.4D.310、将函数 ()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上每一个点向左平移3π个单位,得到函数()g x 的图像,则函数()g x 的单调递增区间为( )。

2019高考全国卷金优数学(理)模拟卷(八)

2019高考全国卷金优数学（理）模拟卷八1、已知集合{}(){}20,lg 21A x x x B x y x =-≥==-,则A B ⋂= ( ) A. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. []0,1 C. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2、设复数()()2lg 1z m m R =-+∈,则复数z 在复平面内的对应点( )A.一定不在一、二象限B.一定不在二、三象限C.一定不在三、四象限D.一定不在二、三、四象限3、点O 在ABC ∆所在平面内,给出下列关系式:①0OA OB OC ++=;②OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ③()()ACABBCBAOA OB AC AB BC BA ⋅-=⋅-0=④()()0OA OB AB OB OA BC ⋅⋅=+⋅=则点O 依次为ABC ∆的( )A.内心、外心、重心、垂心B.重心、外心、内心、垂心C.重心、垂心、内心、外心D.外心、内心、垂心、重心4、在等差数列{}n a 中,其前n 项和是n S ,若9100,0S S ><,则在912129,,,S S S a a a 中最大的是( )A. 11S a B. 88S a C. 55S a D.99S a 5、“0m <”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥存在零点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )A.18B.24C.30D.367、如图为几何体的三视图,则其体积为()A.243π+ B. 243π+ C. 43π+ D. 4π3+8、已知1234,,,a a a a 成等比数列,且()1234123ln a a a a a a a +++=++.若11a >,则( )。

全国通用-2019年最新高考数学理科二轮复习模拟试题十一及答案解析

最新高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．274．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3=0，则=（）A．3 B．4 C．5 D．66．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．138．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．159．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2 B．8 C．D．10．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为______．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是______．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解对数不等式和指数不等式化简集合A，B，求出∁R A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由＞﹣1=，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A={x|＞﹣1}=（﹣1，1），∴∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B={x|1＜3x＜9}=（0，2），∴（∁R A）∩B=[1，2）．故选：B．2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：==为实数，∴=0，解得a=﹣2．∴实数=﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．27【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项公式可得q．再利用等比中项的定义及其性质即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2=9，a5=243，∴243=9×q3，解得q=3．又a1•a7=，∴a1与a7的等比中项为±a4=±=±9×32=±81．故选：A．4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据系统抽样的定义进行判断，②根据回归直线的性质进行判断，③根据正态分布的概率关系进行判断，④根据概率和不可能事件的关系进行判断．【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40=20；故①错误，②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1=0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率=圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P=0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误，故故选：C5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3=0，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的减法运算，及共线向量基本定理可得到：，所以便可得到，=3．【解答】解：==；∴，∴，∴．故选A．6．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D．7．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】循环结构．【分析】算法的功能是求S=++…+，利用等比数列的前n项和公式即可求得满足条件S的最小的n值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S=++…+==1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1=12，∴输出n=12．故选：C．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由于S6＞S7＞S5，可得：a7＜0，a6+a7＞0，判断S12，S13的符号即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＞S7＞S5，∴a7＜0，a6+a7＞0，∴S12==6（a6+a7）＞0，S13==13a7＜0，∴则满足S n＜0的正整数n的最小值为13．故选：B．9．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2 B．8 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1．利用正方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1．∴该四面体的体积V=23﹣=．故选：C．10．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为f（x）=﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ=﹣，sinθ=），根据当x=θ时，函数f（x）取最小值，可得tanθ的值．【解答】解：∵当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx=（cosx﹣sinx）=﹣（﹣cosx+sinx）=﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ=﹣，sinθ=）取得最小值，则tanθ==﹣，故选：C．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，令t=f（x）﹣xe X，得出f（x）=xe X+t，再由f（t）=te t+t=0求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间，即得正确选项．【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，不妨令t=f（x）﹣xe X，则f（x）=xe X+t，又f（t）=te t+t=0，解得t=0，所以有f（x）=xe X，所以f′（x）=（x+1）e X，令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xe x﹣（x+1）e x﹣x=﹣e x﹣x，可得F（﹣1）=1﹣＞0，F（﹣）=﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为﹣2 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】可解1﹣x2＞0得到﹣1＜x＜1，从而有|x﹣2|=2﹣x，这便得到，而由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），这样即可得到2+x+a=﹣（2﹣x+a），从而可求出a的值．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|=2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴2+x+a=﹣（2﹣x+a）；∴2+a=﹣2﹣a；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式表示的平面区域，将化成1+，即求过点（1，﹣1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解：=1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【考点】球的体积和表面积．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故答案为：4+．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n= （n2﹣2n+3）•2n+1﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】两次利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n=22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n=（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n=（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1=（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n=（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，利用正、余弦定理，得a+b=c，化简整理，即可证明：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）利用a+b+c=1+，a2+b2=c2，根据基本不等式可得1+=a+b+≥2+=（2+）•，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，所以由正、余弦定理，得a+b= c …化简整理得（a+b）（a2+b2）=（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2=c2…故△ABC为直角三角形，且∠C=90°…（Ⅱ）解：因为a+b+c=1+，a2+b2=c2，所以1+=a+b+≥2+=（2+）•当且仅当a=b时，上式等号成立，所以≤．…故S△ABC=ab≤×…即△ABC面积的最大值为…18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）易得=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量为坐标，由向量的夹角公式可得；（Ⅱ）设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夹角公式和二次函数的值域以及余弦函数的单调性可得．【解答】解：以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量，=（0，2，0）．∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，即，令y=1，解得z=1，x=1．∴=（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞==，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），∴cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP==，∴BQ=BP=19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡3次就停止的事件发生的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P==…（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）•=，P（ξ=1）=••=，P（ξ=2）=••=，P（ξ=3）=•+•••+•••=…随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P…．随机变量ξ的均值为E（ξ）=×0+×1+×2+×3=…20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线AF1的方程．（Ⅲ）由，利用弦长公式能求出四边形AA1B1B的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，∴由题意知2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，∵，∴b2=5…∴椭圆方程为…（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…∵，∴y1=﹣2y2③联立①②③消去y1y2，得．∴直线AF1的方程为…（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…=∴四边形AA1B1B的面积为．…21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，单调区间，可得f（x）的最大值为f（1）；（Ⅱ）由题意可得恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，求得导数，令导数小于等于0恒成立，运用参数分离和构造函数法，求出导数和单调区间，可得最值，即可得到所求m的范围；（Ⅲ）结论：＞2n+1．运用构造数列法和等比数列的通项公式，可得a n=．运用对数的运算性质和放缩法，结合裂项相消求和，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max=f（1）=0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）=，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故[t（x）]min=t（1）=﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由==•+得：=，又，知，=，即有a n=．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）==ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n=a1+a2+…+a n＞[ln（21+1）﹣ln（20+1）]+[ln（22+1）﹣ln（21+1）]…[ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）]=ln（2n+1）﹣ln（20+1）=，即＞2n+1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接OA，设OA=r，取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O的半径；（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理证明：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA=r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…又OP=3，Rt△OFP中，OF2=OP2﹣FP2=9﹣2=7，…Rt△OAF中，，…∴r=5证明：（Ⅱ）∵CA=CB，∴∠CAD=∠B又∵∠B=∠E，∴∠CAD=∠E…∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把点P与直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max=9．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）对x讨论，分x≤﹣1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得f（x）的最大值，即有|a﹣1|≤2a，解出a的范围，可得a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…当时，，得，所以成立．…当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|=|a﹣1|，∴f（x）=|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…2016年10月4日。

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1 2019高考全国卷金优数学（理）模拟卷二 1、已知2|log,1Uyyxx,1|,2Pyyxx,则UP ( ) A. 1,2 B. 10,2 C. 0, D. 1,0,2 2、设复数20173i在复平面内对应的点为A,过原点和点A的直线的倾斜角为( ) A. 6 B. 6 C. 23 D. 56 3、如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最长的棱的长度为( )

A. 4 B. 3? C. 23 D. 22 2

4、已知ABC是边长为2的等边三角形, P为平面ABC内一点,则()PAPBPC的最小值是( ) A. 2 B. 32 C. 43 D. 1 5、已知在等差数列na中, 39aa,公差0d,则当前 n项和 nS 取得最大值时自然数n的值为( ) A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在 6、设,mn为非零向量,则“存在负数,使得mn”是“0mn”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7、我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( ) A.12 B.18 C.24 D.48 8、阅读图中所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( )

A.123 B.38 C.11 D.3 9、设na是等比数列,则下列结论中正确的是( ) A.若151,4aa,则32a B.若130aa,则240aa 3

C.若21aa,则32aa D.若210aa,则1322aaa 10、函数2sin1xfxx的图象大致为( )

A. B. C. D. 11、已知双曲线22221(0,0)xyabab上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线2yax

上的两点1122(,),(,)AxyBxy关于直线yxm对称,且1212xx,则m的值为( ) A. 32 B. 52 C. 2 D. 3 12、已知函数,ln24xaaxfxxegxxe,其中e为自然对数的底数.若存在实数0x使003fxgx成立,则实数a的值为( )

A. 1ln2 B. 1ln2 4

C. ln2 D. ln2 13、若定义在,00,上的奇函数 fx在0,?内是减函数,且30f,则0xfx的解集为__________ 14、已知圆2221:4440Cxyaxa和圆2222:210Cxybyb只有一条公切线,若,abR且0ab,则2211ab的最小值为__________

15、已知抛物线 C的方程为220ypxp,直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,且3AFBF,则直线l的倾斜角为 .

16、在棱长为6的正方体1111ABCDABCD中, M是BC的中点,点P是面11DCCD,所在平面内的动点,且满足APDMPC, 则三棱锥PBCD的体积的最大值是_________. 17、某地拟建一主题游戏园,该游戏园为四边形区域ABCD,其中三角形区域ABC为主题活动区,其中

3ACB,4ABC,6ABkm;,ACCD为游客通道(不考虑宽度),且23ADC,通道

,ADCD围成三角形区域ADC为游客休闲中心,供游客休息。

1.求AC的长度 2.求ADC面积的最大值 18、由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从湖口中学随机抽取16名学生,经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如下:

1.指出这组数据的众数和中位数 5

2.若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”,求校医从这16人中随机选取3人,至多有1人是“好视力”的概率 3.以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记表示抽到“好视力”学生的人数,求的分布列及数学期望. 19、如图,直三棱柱111ABCABC中, ,120,ABBCABCQ是AC上的点, 1//AB平面1BCQ

1.确定点Q在AC上的位置; 2.若1QC与平面11BBCC所成角的正弦值为24,求二面角1QBCC的余弦值 20、已知中心在原点的椭圆 E的两焦点分别为双曲线2212xy的顶点,直线20xy与椭圆E交于M、N两点,且2,1M,点P是椭圆E上异于M、N的任意一点,直线MN外的点 Q满足

0MQMP，, 0NQNP.

1.求点 Q的轨迹方程; 2.试确定点 Q的坐标,使得MNQ的面积最大,并求出最大面积. 21、已知函数lnfxxaaR与函数2Fxxx有公共切线.

1. 求a的取值范围; 2. 若不等式2xfxea对于0x的一切值恒成立,求a的取值范围. 22、[选修4-4;坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为112312xtyt (t为参数)在以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为2212cos3p 1.写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; 6

2.设点1,1M.若直线l与曲线c相交于不同的两点,AB,求AMBM的值 23、选修4-5:不等式选讲已知函数fxxxa. 1.若存在x使得不等式31fxa成立,求实数a的取值范围; 2.若不等式31fxa的解集为,3bb,求实数,ab的值.

答案以及解析 1答案及解析：答案：A 解析：

2答案及解析：答案：D

解析：由题意, 20173i3i,对应点(3,1)A,所以过原点和点A的直线的斜率为33,所以直线的倾斜角为5.6

3答案及解析：答案：B 解析：根据三视图得出:该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥OABCD,正方体的棱长为2,,AD为棱的中

点,观察图形可知最长棱为OA,在OAD中, 222222213OAADOD,故选:B 7

【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质,学生的空间思维能力,构造思想,关键是镶嵌在常见的几何体中解决.

4答案及解析：答案：B 解析：如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为 x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标

系,则(0,3)A,(1,0)B,(1,0)C.设(,)Pxy,则(,3)PAxy,1,PBxy,1,PCxy.

所以2233()(,3)(2,2)222()22PAPBPCxyxyxy, 当30,2xy时, ()PAPBPC取得最小值3-2,选B.

5答案及解析：答案：B 解析：∵39,0,aad ∴390aa,即390,0aa, ∴390aa. ∴60a. ∴nS的最大值为5S或6S,故选B. 8

6答案及解析：答案：A 解析：由于m,n是非零向量,“存在负数,使得mn.”根据向量共线基本定理可知m与n共线,由于0,所以m与n方向相反,从而有0mn,所以是充分条件。反之,若0mn,m与n方向相反或夹角

为钝角时, m与n可能不共线,所以不是必要条件。综上所述,可知” mn”是“0mn”的充分不必要条件,所以选A.

7答案及解析：答案：C 解析：

8答案及解析：答案：C 解析：根据程序框图,模拟程序的运行,可得 1a,满足条件10a,执行循环体, 3a,满足条件10a,执行循环体, 11a,不满足条件10a,退出循环,输出a的值为11.

9答案及解析：答案：D 解析：

10答案及解析：答案：A

解析：因22sinsin11xxfxfxxx,则函数是奇函数,排除答案C,D 。

又2π102π12f, 应选答案C. 11答案及解析：答案：A 9

解析：由双曲线的定义知24a,得2a,所以抛物线的方程为22yx 因为点11(,)Axy,22(,)Bxy在抛物线22yx上,所以2211222,2yxyx 两式相减,得1212122()()yyxxxx,不妨设12xx

又,AB关于直线yxm对称,所以12121yyxx 故1212xx，而1212xx,解得1211,2xx 设1122(,),(,)AxyBxy的中点为00(,)Mxy

则120124xxx,2212120225224yyxxy 因为中点M在直线yxm上,所以5144m,解得32m

12答案及解析：答案：A 解析：ln24xaaxfxgxxexe,令ln2yxx, 有'11122xyxx,故ln2yxx在区间2,1内是减函数, 在区间1,上是增函数,故当1x时, y有最小值为1, 而44xaaxee (当且仅当4xaaxee,即ln2xa时等号成立), 故3fxgx (当且仅当ln21xa成立时,等号成立), 故0ln21xa,即1ln2a.

13答案及解析：答案：3xx或3}x 解析：

14答案及解析：答案：9 解析：