2018-2019学年苏教版必修一2.2.1第1课时函数的单调性课件(35张)
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苏教版 高中数学必修第一册 函数的单调性 课件1
设x1,x2为区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)+f
x2 x1
=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f
上是增函数.
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单 调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区 间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在 单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.
跟踪训练1 函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示， 试写出它的单调区间，并指出单调性.
判断函数单调性的常用方法
1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结 论”进行判断. 单调性判断的等价结论:
当x∈D时, f(x)是增函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔ f (x1) f (x2)>0.
x1 x2
当x∈D时, f(x)是减函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ f (x1) f (x2)<0.
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数
的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中 y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]
③若y=f(x)是定义在区间(a,b)或R上的连续函数,则函数y=f(x)的最大(小)值要
根据具体函数而定. (4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个.
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
反函数的单调性判断
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
新教材苏教版高中数学必修第一册5.3函数的单调性 精品教学课件
f(x1)-f(x2)=
1 1 ( 1 1) 1 1 x1 x2 ,
x1
x2
x2 x1 x1x2
因为x1<x2<0,所以x1-x2<0,x1·x2>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)=- 1-1在区间(-∞,0)上是增函数.
x
【拓展延伸】 1.性质法判断函数的单调性 (1)当f(x)>0时,函数y= 1 与y=f(x)的单调性相反,对于f(x)<0也成立.
f (x)
(2)在公共定义域内,两增函数的和仍为增函数,增函数减去一个减函数所得的 函数为增函数. (3)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (4)当c>0时,函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性; 当c<0时,函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.
2.函数y=x+ a (a≠0)的单调性
2
2
≥3m,解 2得m≤0或m≥4,
2
即m的取值范围为m≤0或m≥4.
答案:m≤0或m≥4
备选类型 抽象函数的单调性(数学抽象、逻辑推理) 【典例】(2020·抚顺高一检测)函数f(x)对任意的m,n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1. (1)求证:f(x)是增函数. (2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2. 【思路导引】(1)按照单调性的定义,构造f(x2)-f(x1),再判断符号. (2)将2化为f(x0)的形式,再利用单调性解不等式.
3
1 2
a
a
1
a
《2.2.1函数的单调性(2)》课件1-优质公开课-苏教必修1精品
范围内取值时，求函数的最大值和最小值：
(1)x∈R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．
解 f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.
(1)当x∈R时， f(x)＝3(x－2)2－7≥－7， 当x＝2时，等号成立．
即函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0，2)
要点一
利用图象求函数的最值 x2，－1≤x≤1， 已知函数 f(x)＝1 求 f(x)的最大值、最 ，x>1. x
例1
小值．
解
作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，
f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
2．函数的最值与单调性的关系：
( 1 ) 若函数在闭区间 [ a ， b] 上是减函数，则 f ( x ) 在[ a， b] 上 的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b] 上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f ( a ) ． ( 3 ) 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区
间，则不一定有最大(小)值．
1 跟踪演练 2 已知函数 f(x)＝x＋ . x (1)求证 f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求 f(x)在[1,4]上的最大值及最小值． (1)证明 设 1≤x1＜x2， 1 1 则 f(x1)－f(x2)＝(x1＋ )－(x2＋ ) x1 x2 x1x2－1 ＝(x1－x2)· x x .
规律方法
1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，
最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最
必修一函数的单调性精品PPT课件
x2 x
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 y随x的增大而增大 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
从左至右，图象下降
y=x
f(x1)
1·
O 1· x1 x
此函数在区间（-∞, +∞ ）内y随x的增大而增
大，在区间
y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
O 1· x
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
y = x2
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
f(x1) 1·
x1 O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
函数的单调性课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
有f（x）≤f（x0） （f（x）≥f（x0））成立，也就是说，函数y＝f（x）的图象不能位于直线y＝ f（x0）的上（下）方.
（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数使等号成立，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝ f（x0）
至少有一个交点.
高中数学
示例
必修第一册
配套江苏版教材
1 + 2 +
＝
1 + 2 +
则f（x1）-f（x2）＝
1+
−
1 +
- 1+
−
2 +
＝
− −
− 2 −1
＝
1 + 2 +
1 + 2 +
.
∵ a>b>0，x2>x1>-b，∴ a-b>0，x2-x1>0，x2+b>0，x1+b>0，
∴ f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
f（x）在［0，a］上单调递减，在［a，2］上单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（0）＝-1.
（4）当a>2时，由图可知，f（x）在［0，2］上单调递减，
所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.
综 上 ， f （ x ）
−1, < 0,
综上，函数y＝f （x）在（0， ］上是减函数，在［ ，+∞）上是增函数.
高中数学
必修第一册
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【方法总结】
利用定义证明函数单调性的步骤
（1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.
（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数使等号成立，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝ f（x0）
至少有一个交点.
高中数学
示例
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1 + 2 +
＝
1 + 2 +
则f（x1）-f（x2）＝
1+
−
1 +
- 1+
−
2 +
＝
− −
− 2 −1
＝
1 + 2 +
1 + 2 +
.
∵ a>b>0，x2>x1>-b，∴ a-b>0，x2-x1>0，x2+b>0，x1+b>0，
∴ f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
f（x）在［0，a］上单调递减，在［a，2］上单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（0）＝-1.
（4）当a>2时，由图可知，f（x）在［0，2］上单调递减，
所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.
综 上 ， f （ x ）
−1, < 0,
综上，函数y＝f （x）在（0， ］上是减函数，在［ ，+∞）上是增函数.
高中数学
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【方法总结】
利用定义证明函数单调性的步骤
（1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.
苏教版高中数学必修第一册《函数的单调性---抽象函数、复合函数单调性》名师课件
2
在
−1
2
在[
−1
, = 6 时取得最小值，
典例讲解
例2.求 = − − 的单调递增区间.
解析
的定义域为{| ≥ ，或 ≤ −}，令 = − − ，
则原函数可化为() = ( ≥ 0).
∙ ()具有相反的单调性.
(3)若()恒为正值或恒为负值,则当 > 0时,()与
具有相反的单调
性；当 <
0时,()与
具有相同的单调性.
()
()
(4)若() ≥0，则()与 ()具有相同的单调性.
(5)当() ，()都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则() ∙ ()
2 − 1 = 2 − 1 − 2 + 2 ；
若给出的是积型 () = ⋯ 抽象函数，判定符号时的
2
变形为 2 − 1 = 1 ⋅
− 1 ,
2 − 1 = 2 −
1
1
2 ⋅
2
.
变式训练
2.已知函数 对任意的, ∈ ，总有( + ) = , () ≠ ,且当 > 时，
∴ 1 − 2 =
1
2
⋅ 2 − 2 =
1
2
+ 2 − 2 =
∵ 1 , 2 ∈ (0， + ∞) ，且1 < 2 ，
∴0 <
1
2
< .
∴
1
2
>0
∴ 1 − 2 > 0,即 1 < 2
∴ 在(0， + ∞)上单调递减.
因为 = − − 在 −∞, − 上单调递减，在 3, +∞
函数的单调性ppt课件
在(-∞, 0)
上单调递减
当 ∈ (0, +∞)时， ′ > 0
在(0, +∞)
上单调递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(3)
= 3
o
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 3 2 ≥ 0
在R上单调
递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(1)
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 1 > 0
在R上单调
递增
=
o
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(2)
= 2
o
定义域
导数正负
∈
′ = 2
函数增减
当 ∈(-∞, 0)时， ′ < 0
例2：已知导函数′ 的下列信息,试
画出函数 图像的大致形状：
当 < < 时，′ > ；
当 < ，或 > 时， ′ < ；
当 = ，或 = 时， ′ = .
课后作业
问题1：回顾函数单调性的定义，并思考能否从平均变化
率，瞬时变化率的代数表达式中找到函数单调性与导数正
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(4)
定义域
1
=
o
导数正负
∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
′ = − −2 < 0
函数的概念和图象(第1课时函数的概念)-高一数学教学课件(苏教版2019必修一)
综上所述，结论是：对应 x → 是从A到B的函数.
课本练习
4. 判断下列对应是否为函数：
是
1
2
(1) x→－ x，x∈R；
(2) x→1，x∈R；
是
(3) x→y，其中 y＝∣x∣，x∈R，y∈R；
是
(4) t→s，其中s＝t，t∈R，s∈R；
是
(5) x→y，其中y＝x，x∈ [0，＋∞)，y∈R；
1199
1258
1300
1335
1368
概念归纳
一、函数
(1) 概念：
①定义：一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对
于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有______的实数y和它对应，那么就称f：
唯一
A→B为从集合A到集合B的一个函数.
② 记法：y＝f(x)，x∈A.
③定义域：x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；
(6) x→y，其中y为不大于的最大整数，x∈R，y∈Z.
不是
是
课本练习
5.
1
2
已知函数f(x)＝x－x ，求f(0)，f(1)，f( )，f(n＋1)－f(n).
2
解 ∵f(x) ＝ x－x2；
∴f(0) ＝ 0－02 ＝ 0；
f( ＝ 1－12 ＝ 0；
1
f( )
2
＝
1
1 2
－( )
2
2
＝
国人口的变化情况吗?
表5-1-1 1979~2014 年我国人口数据表
年份
1979
1984
1989
1994
1999
2004
2009
2014
人口数/百万
课本练习
4. 判断下列对应是否为函数：
是
1
2
(1) x→－ x，x∈R；
(2) x→1，x∈R；
是
(3) x→y，其中 y＝∣x∣，x∈R，y∈R；
是
(4) t→s，其中s＝t，t∈R，s∈R；
是
(5) x→y，其中y＝x，x∈ [0，＋∞)，y∈R；
1199
1258
1300
1335
1368
概念归纳
一、函数
(1) 概念：
①定义：一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对
于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有______的实数y和它对应，那么就称f：
唯一
A→B为从集合A到集合B的一个函数.
② 记法：y＝f(x)，x∈A.
③定义域：x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；
(6) x→y，其中y为不大于的最大整数，x∈R，y∈Z.
不是
是
课本练习
5.
1
2
已知函数f(x)＝x－x ，求f(0)，f(1)，f( )，f(n＋1)－f(n).
2
解 ∵f(x) ＝ x－x2；
∴f(0) ＝ 0－02 ＝ 0；
f( ＝ 1－12 ＝ 0；
1
f( )
2
＝
1
1 2
－( )
2
2
＝
国人口的变化情况吗?
表5-1-1 1979~2014 年我国人口数据表
年份
1979
1984
1989
1994
1999
2004
2009
2014
人口数/百万
2017_2018版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1函数的单调性(二)课件苏教版必修1
反思与感悟
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为单调增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最 小值为f(a). (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为单调减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最 小值为f(b). (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区 间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性， 还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)画出f(x)的图象； 解 f(x)的图象如图.
解答
(2)根据图象写出f(x)的最小值.
解
由图知，f(x) 在( －∞ ，－1]上为单调减函数，在 [－1,1]上为常函数，
在[1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(x)min＝2.
解答
类型二
第2章
2.2 函数的简单性质
2.2.1 函数的单调性(二)
学习目标
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.会借助单调性求最值.
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
函数的最大(小)值
思考
在如图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多 少？1为什么不是最小值？
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上为单调减函数，在[1，＋∞)上为单调增函数.
∴当t＝1即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值.
解答
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
解 ∵函数图象的对称轴是x＝a，