最新新人教A版选修1-1高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质公开课教学设计

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高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修1-1

2．1.2 椭圆的简单几何性质
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1
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题型一由椭圆的标准方程求椭圆的方程
例 1 求椭圆 x2＋25y2＝25 的长轴长、短轴长及焦点坐标、顶点坐标、离心率．解析：先将 x2＋25y2＝25 变成标准形式：2x52 ＋y2＝1，可知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，a＝5，b＝1，c＝2 6，所以长轴长 2a＝10；短轴长 2b＝2；焦点(±2 6，0)；顶点坐标：(±5，0)和(0，±1)；离心率 e＝ac＝256. 方法总结：解决这类问题关键是将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系求椭圆的几何性质．
23 A. 2 B. 3
11 C.2 D.3
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8
解析：(1)依题意知 k＞0.若椭圆的焦点落在 x 轴上，则 e＝ac＝ 1－ba22＝ 1－4k＝ 23，故 k＝1；
若椭圆的焦点落在 y 轴上，则 e＝ac＝ 1－ba22＝ 1－4k＝ 23，故 k＝16. 综上所述，k＝1 或故 k＝16，故选 C. (2)方法一 ∵|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝60°，∴|PF1|＝12|PF2|. ∴|PF2|＝43a，|PF1|＝23a. 在 Rt△PF1F2 中，|PF 1|2＋|F1F2|2＝|PF2|2，
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3
变பைடு நூலகம்训练 1．求椭圆 8x2＋9y2＝72 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标．
解析：把已知方程化为标准方程x92＋y82＝1，则 a＝3，b＝2 2，c＝ a2－b2＝ 9－8＝1， ∴椭圆的长轴长 2a 为 6，短轴长为 2b 为 4 2，离心率 e＝ac＝13 焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，顶点坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(0，－2 2)，(0， 2 2)．

高中数学人教版选修1-1：2.1.2-2 椭圆的简单几何性质课件

1.点与椭圆的位置关系
点P在椭圆上
x02 a2
+
y02 b2
=1
点P在椭圆内
x02 a2
+
y02 b2
<1
点P在椭圆外
x02 a2
+
y02 b2
>1
2.点与椭圆的位置关系
相交相切相离
两个一个 0个
△>0 △=0 △<0
3.弦长公式
∣ A B ∣ =1 + k 2 ∣ x 1 - x 2 ∣ =1 + k 2 × ( x 1 + x 2 ) 2 - 4 x 1 x 2 或 ∣ A B ∣ =1 + ( k 1 ) 2 ∣ y 1- y 2 ∣ =1 + ( k 1 ) 2× ( y 1+ y 2 ) 2- 4 y 1 y 2
七、巩固提升课堂练习第41页练习第4、5题课堂作业第42页习题2.1A组第6、7、8题
日出时，努力使每一天都开心而有意义，不为别人，为自己。灾难能证明友人的真实。——伊索种子最后是果实；努力最后是成功；放弃最后是失败。取得成就时坚持不懈，要比遭到失败时顽强不屈更重要。——拉罗什夫科林宥嘉《拥有》：快乐时你不必分心想起我，难过时一定记得联络我。让我分享你的苦，带走你的优愁，我只求这样把你拥有。谁若想在困厄时得到援助，就应在平日待人以宽。——萨迪世界上没有比友谊更美好更令人愉快的东西了；没有友谊，世界仿佛失去了太阳。别说别人可怜，自己更可怜，自己修行又如何？自己又懂得人生多少？就算你的朋友再多，人脉再广，其实真正对你好的人，你一辈子也遇不到几个。所谓惊喜就是你苦苦等候的兔子来了，后面却跟着狼。实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。这个世间只有圆滑，没有圆满的。内外相应，言行相称。——韩非带孩子去旅游，去爬山，去逛公园，去看电影，这都是夸奖孩子最适当的方式。——张石平狂妄的人有救，自卑的人没有救。问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。你只管活你自己的，不必去介意别人的扭曲与是非。忌妒别人，不会给自己增加任何的好处；忌妒别人，也不可能减少别人的成就。

人教A版高中数学选修1-1课件2.1.2《椭圆的简单几何性质》(新)

y
操作打开的几何画板, 演
B
反射镜面
示椭圆镜面工作原理.
E
解建立图2.1 11所示
O
A
F1
F2
x
的直角坐标系, 设所求椭
D
圆方程为ax22

y2 b2
1.
在RtBF1F2 中,
C
透明窗
图2.1 11
| F2B | | F1B |2 | F1F2 |2 2.82 4.52 .
A2
B1
图2.1 8
在椭圆的标准方程里, 令x
0, 得y b, 这说明B1 0,b, B2 0, b 是椭圆与y轴的两个 A1
交点.同理, 令y 0, 得x a,
这说明A1 a,0, A2 a,0是椭
圆与x轴的两个交点图2.1 8.
y
B2
O
x
的椭圆图2.1 12.
由椭圆的性质知,| F1B | | F2B | 2a,所以
a

1 2 (|
F1B | |
F2B |)

1 2
2.8
2.82 4.52 4.1;
B
A
F1
C
y
反射镜面
E
O
F2
x
D
透明窗
图2.1 11
b a2 c2 4.12 2.252 3.4.
所以, 所求的椭圆方程为4x.12 2

y2 3.42
1.
例6 点 M x, y 与定点 F 4, 0 的距离和它到直
25 线 l : x 的距离的比
4 4 是常数 , 求点M的轨迹. 5

高二数学(人教A)选修1-1课件：2-1-2 椭圆的简单几何性质

[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程； ②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质．
[解析] 把已知方程化成标准方程1x62 ＋y92＝1，于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，离心率 e＝ac＝ 47，两个焦点坐标分别是(－ 7，0)，( 7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
2．能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质体会代数方法研究曲线的几何性质，如：对称中心，对称轴，范围等．
重点难点展示
本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．本节难点：椭圆的几何性质的实际应用．
学习要点点拨
1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．
4．涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．
5．离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在 Rt△BF2O 中，cos∠BF2O＝ac，记 e＝ac则 0<e<1，e 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF2O 越大，椭圆越圆．
课前自主预习
1．观察椭圆的图形可以发现，椭圆是中心对称图形，也是轴对称图形．事实上，在椭圆方程ax22＋by22＝1 中以_－__x_、__－__y 分别代替__x_、__y__，方程不变，∴椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)既关于 _x_轴___对称，又关于__y_轴___对称，从而关于_坐__标__原__点__对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的_中__心_____．

高中数学人教版选修1-1 2.1.2椭圆的简单几何性质教案(系列一)

2.1.2椭圆的简单几何性质（二）教学目标：椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）. 重点难点分析教学重点：椭圆的简单几何性质. 教学难点：椭圆的简单几何性质. 教学设计：【复习引入】1．椭圆81922=+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为 26 ，离心率为322 ，焦点坐标为)26,0(± ，顶点坐标为)9,0(±，)0,3(±.【讲授新课】例1 如图，设M (x ，y )与定点F (4，0)的距离和它到直线l ：425=x 的距离的比是常数 54，求点M 的轨迹方程．练习11.求下列椭圆焦点坐标和准线方程：16421162512222=+=+y x y x ）（）（2. 椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5，求M 到右焦点的距离..1525.322的连线互相垂直，使这点与椭圆两焦点上求一点在椭圆P y x =+例2.1),(222200=+by a x y x P 是椭圆设 .)0(1为其左焦点上任意一点，F b a >>求|PF 1|的最小值和最大值. 练习21.点P 与定点F （2，0）的距离与它到定直线x=8的距离之比为1：2，求点P 的轨迹方程.2.点P 与定点F （2，0）的距离与它到定直线x=2的距离之比为1：2，求点P 的轨迹方程.例3 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 1上，片门位于另一个焦点F 2上，由椭圆一个焦点F 1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F 2．已知，21F F BC ⊥cm F F cm B F 5.4||8.2||211==，．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．例4如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)F 2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面439km ，远地点B (离地面最远的点)距地面2384km ，并且F 2、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．例5 求适合下列条件的椭圆的离心率.(1) 从短轴端点看两个焦点，所成视角为直角；(2) 两个焦点间的距离等于长轴的端点与短轴的端点间的距离. 练习31. 已知椭圆mx 2＋5y 2＝5m 的离心率.510m e ，求=，求其标准方程。

[精品]新人教A版选修1-1高中数学2.2.2双曲线的简单的几何性质(2)优质课教案

§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）【学情分析】：1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；【教学目标】：知识与技能1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；情感态度与价值观通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。

【教学重点】：双曲线的简单几何性质的运用【教学难点】：直线与双曲线的位置关系的求解技巧【教学过程设计】：练习与测试：1．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.答案：1922=-y x2．双曲线221x y -=的左焦点为F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关）答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞解析：画出图形，利用数形结合法求解。

3. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________. 解析：双曲线中，a =21=b ，∴F （±1，0），e =ac =2.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为22∴长半轴长为2，短半轴长为1.∴方程为22x +y 2=1.4. （1）试讨论方程（1－k ）x 2+（3－k 2）y 2=4（k ∈R ）所表示的曲线；（2）试给出方程622-+k k x +1622--k k y =1表示双曲线的充要条件.解：（1）3－k 2>1－k >0⇒k ∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆； 1－k >3－k 2>0⇒k ∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；1－k =3－k 2>0⇒k =－1，表示的是一个圆；（1－k ）（3－k 2）<0⇒k ∈（－∞，－3）∪（1，3），表示的是双曲线；k =1，k =－3，表示的是两条平行直线；k =3，表示的图形不存在.（2）由（k 2+k －6）（6k 2－k －1）<0⇒（k +3）（k －2）（3k +1）（2k －1）<0⇒k ∈（－3，－31）∪（21，2）.5. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）A 14322=-y xB 13422=-y x C 12522=-y x D 15222=-y x 答案:D 解析设双曲线方程为2222221,7x y a b a b-=+=1122(,),(,)M x y N x y 分别代入双曲线方程并相减即可求解6.过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．答案：２7.已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P满足条件||||PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（1）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝（x >0）（1）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，B （x 0，OA OB ⋅＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：（1－k 2）x 2－2kbx －b 2－2＝0……………………1︒ 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则222212221224k b 41k b 202kb x x 01k b 2x x 0k 1⎧⎪∆∙≥⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ ＝－（－）（－－）＋＝－＋＝－解得|k|>1又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2综上可知OA OB ⋅的最小值为2设中心为O ，正西的观测点为A ，正东的观测点为B ，正北的观测点为C ，以O 为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M 在AC 的中垂线上，且在以A 、B 为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC 的中垂线：y x =- ① 双曲线：2221680578000x y -= ②解①②得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴巨响位于西北方向，距中心为68m 。

高中数学选修1-1《椭圆的几何性质》

第 1 页共 7 页椭圆的几何性质一、教学目标 (一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．

(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． (三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． (解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)

3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？第 2 页共 7 页

2．椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书． (二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

1．范围

即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的” 呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．

人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2《椭圆的几何性质》PPT(新人教版)

-4
4、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆
就越扁
2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
ec a
a2 b2
x
轴上，所以，椭圆的标准方程为．x2 y2 1
（2）由已知，2，a 20 e c 3 9 4
a5
∴，a ，10∴，c 6
b2 102 62 64
所以椭圆的标准方程为或x2 ． y2 1
100 64
y2 x2 1 100 64
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3 ，0），求椭圆的方程。
a2=b2+c2
标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 a、b、c的关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤a,|y|≤b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b.a>b
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF | | PF | 2a(2a | F F |)
1
2
12
2.椭圆的标准方程是：
x2 y2
当焦点在X轴上时
1(a b 0) a2 b2

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-2《椭圆的简单几何性质》

[解析] c＝4.
x2 y2 如下图所示，由＋＝1，得 a＝5，b＝3， 25 9
所以点 A(4,0)为椭圆一个焦点，记另一个焦点为 F(－ 4,0)．又因为|MA|＋|MF|＝2a＝10，所以|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|，又|BF|＝2 10，所以－2 10＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝2 10.
[点评] 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为
标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝
，求
m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[解析]
x2 y2 把椭圆的方程写成＋＝1. m m m＋3
值．
设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ( 2 A. 2 C．2－ 2
[答案] D
)
2－1 B. 2 D. 2－1
[解析]
x2 y2 设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)如图，
∵F1(－c,0)，∴P(－c，yP)代入椭圆方程得
1．知识与技能
掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c， e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系． 2．过程与方法能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质
会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中
心，对称轴，范围等．
本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性
质．本节难点：椭圆的几何性质的实际应用． 1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根

【数学】2.1.2 椭圆的简单几何性质课件1(人教A版选修1-1)

x y 2 1， 2 5 4
2
2
讲授新课
练习求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
: 解：若焦点在x轴上，设椭圆方程为 x2 y2 2 1(a b 0)， 2 a b
a 2b 依题意有： 16 1 a 2 b2 1
例2 如图，设M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到直
4 25 x 线l：的距离的比是常数， 5 4
求点M 的轨迹方程．
解：设d是点M到直线的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合 P=﹛M︱ MF = 4 ﹜ d 5 由此得
2 （x-4）+y 2 4 = 25 5 -x 4
将上式两边平方，并化简，得，9x2+25y2=225，即
B2
2 2
x y 2 1 (a＞b＞0). 2 a b
A1
F1 O B1 F2
A2
x
讲授新课
3．顶点
只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x轴的两个交点．
y
椭圆有四个顶点： A1(－a, 0)、 A2(a, 0)、 B1(0, －b)、B2(0, b)．
x2 y 2 1. 25 9
所以，点M的轨迹就是长轴、短轴分别为10、6的椭圆.
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。

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2．2．2椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修1-1
◆ 过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要
注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意
对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；
②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的
顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆
的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大
小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）椭圆的简单几何性质

①范围：由椭圆的标准方程可得，222210yxba，进一步得：axa，同
理可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；
②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究
椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中
心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的
交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较
长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率（10e），
椭圆图形越扁时当01a，，b，ce；


椭圆越接近于圆时当a，b，ce00
．

（iii）例题讲解与引申、扩展
例4 求椭圆221625400xy的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,abc．引导学生用椭
圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．

扩展：已知椭圆22550mxymm的离心率为105e，求m的
值．
解法剖析：依题意，0,5mm，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当

焦点在x轴上，即05m时，有5,,5abmcm，∴5255m，得3m；
②当焦点在y轴上，即5m时，有,5,5ambcm，∴
5102553mmm

．

例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口
BAC
是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F上，片门位于另一个焦点2F上，由
椭圆一个焦点1F发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F．已知

12
BCFF
，12.8FBcm，124.5FFcm．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆

的方程．

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221xyab，算出
,,abc

的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,abc的近似值，
原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数
字来决定．
引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进
入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F为一个焦点的椭圆，近地点A距
地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径6371Rkm．建立适当的直角
坐标系，求出椭圆的轨迹方程．
例6如图，设,Mxy与定点4,0F的距离和它到直线l：254x的距离的比是常
数45，求点M的轨迹方程．
分析：若设点,Mxy，则224MFxy，
到直

线l：254x的距离254dx，则容易得点M的轨
迹方

程．
引申：（用《几何画板》探究）若点,Mxy与定点

,0Fc的距离和它到定直线l：2axc的距离比是常数cea
0ac
，则点M的轨

迹方程是椭圆．其中定点,0Fc是焦点，定直线l：2axc相应于F的准线；由椭圆
的对称性，另一焦点,0Fc，相应于F的准线l：2axc．
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现
共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美
观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能
由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同
与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意
图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题
可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按
精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握
利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助
手段的技能．
◆能力目标
（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析
问题和解决问题的能力．
（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转
化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，
培养学生的辩证思维能力．
（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究
解决问题的一般的思想、方法和途径．