【湘教版】高中数学选修2-2(全册)课堂练习全集 (含本书所有课时)

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湘教版数学选修2-2配套课件：4-5-4微积分基本定理

优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。
2019/7/9
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
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－4x，x<－32，
＝6，
－32≤x≤32，
4x， x>32，
∴ (|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝ (－4x)dx＋ 6dx＋
＝－2x2 ＋6x
＋2x2
4xdx ＝45.
再见
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
F(xk))处的切线的斜率，也就是F(x)在xk处的导数F′(xk) ．所以
n－1
这和式越来越接近和式k∑＝0f(xk)Δxk.
而当分点无限加密时，最后的这个和式就成了f(x)在[a，b]上的
定积分．
要点一求简单函数的定积分
例 1 计算下列定积分：
(1)23dx； (2)2(2x＋3)dx；
又∵13x3′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1 ∴原式＝13x30－1 ＋(sin x－x)
＝0＋13＋sinπ2－π2－(sin 0－0) ＝43－π2.
(2)∵|x2－4|＝x42－－x42
x≥2或x≤－2，－2<x<2，
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。

高中数学新湘教版选修2-2 定积分与微积分基本定理

4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )，则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bf (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ； (3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x (x ＋1)d x . [自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (2)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5，所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2，所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1) ＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2.(4)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x . 解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ，则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x .∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ，则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ，取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线 y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3－34x 2－()x 2－4d x ＝⎠⎛－22⎝⎛⎭⎫7－74x 2d x ，取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e－x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e －x d x ，取F (x )＝e x ＋e －x ，则F ′(x )＝e x －e －x ， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为 (1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . (2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )，则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0，则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . 2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433JD ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)．答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163. S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ，取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383. ∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量，将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎡⎦⎤(4－y )－y 22d y . 取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝⎛⎭⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5， ∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9. ∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2，则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3，则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x ，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x ＋2x ＋2e 2x ，所以⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x .解：(1)取F (x )＝2xln 2－2x ，则F ′(x )＝2x －1x . ∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)．取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.。

湘教版数学选修2-2当堂检测6-2-1直接证明分析法与综合法 Word版含解析

．直接证明与间接证明
．直接证明：分析法与综合法
．已知>>，且＋＝，那么
( ) ．<<<．<<<
．<<<．<<<
答案
解析∵>>，且＋＝，∴设＝，＝，
则＝，＝，∴<<<，故选.
．欲证－<－成立，只需证
( ) ．(－)<(－)
．(－)<(－)
．(＋)<(＋)
．(－－)<(－)
答案
解析根据不等式性质，>>时，才有>，
∴只需证：＋<＋，
只需证：(＋)<(＋).
．求证：＋＋<.
证明因为＝，所以左边
＝＋＋
＝＋＋＝(××)＝.
因为<＝，
所以＋＋<.
．已知α＋α)＝，求证：α－α＝( α＋α)．
证明要证α－α＝( α＋α)，
只需证α－α α＋α)＝，只需证α＋α)＝，
只需证－α＝(＋α)，只需证α＝－，
∵α＋α)＝，∴－α＝＋α，
即α＝－.∴α＝－显然成立，
∴结论得证．
．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；
有时却刚刚相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。

湘教版数学选修2-2配套课件：4-1-1问题探索——求自由落体的瞬时速度

要点二求瞬时速度
例2
已知一物体做自由落体运动，s＝
1 2
gt2(位移单位：m，时
间单位：s，g＝9.8 m/s2)．
(1)计算t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段时间内平均速度；
(2)求t＝3 s时的瞬时速度．
解 (1)当t在区间[3,3.1]时，d＝3.1－3＝0.1(s)， s(3.1)－s(3)＝12g×3.12－12g×32＝2.989(m)， v 1＝s3.1d－s3＝2.09.819＝29.89(m/s)．同理，当t在区间[3,3.01]时， v 2＝29.449(m/s)，当t在区间[3,3.001]时， v 3＝29.404 9(m/s)．
高中数学·选修2-2·湘教版
第4章导数及其应用
4．1 导数概念
4．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度
[学习目标]
1．理解并掌握平均速度的概念．
2．通过实例的分析，经历平均速度过渡到瞬时速度的过程．
[知识链接] 1．一物体的位移s与时间t满足函数关系s＝t2，则在时间段[1,2]
内的平均速度 v ＝________. 答案 v ＝222－－112＝3. 2．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋d)中，相应的平均速度等于________．答案 v ＝3＋d3＋2＋d3－－332－3＝6＋d.
者有本质区别．
跟踪演练2 枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口中射
出时所用的时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时
的瞬时速度．
解运动方程为s＝12at2. v(t，d)＝12at＋dd2－12at2 ＝12ad2d＋atd＝12ad＋at. 当d趋于0时，12ad ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为5×105×1.6×10－3 m/s，即800 m/s.

高中数学第五章数系的扩充与复数5.4复数的几何表示当堂检测湘教版选修2-2(2021年整理)

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5．4 复数的几何表示1．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．2．当0<m〈1时，z＝（m＋1）＋（m－1）i对应的点位于（) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案D解析∵0<m<1，∴m＋1〉0，－1<m－1〈0，故对应的点在第四象限内．3．在复平面内,O为原点,向量错误!对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量错误!对应的复数为( ）A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i答案B解析∵A(－1，2）关于直线y＝－x的对称点B（－2,1)，∴向量错误!对应的复数为－2＋i。

4．在复平面内表示复数z＝（m－3)＋2错误!i的点在直线y＝x上,则实数m的值为________．答案9解析∵z＝（m－3)＋2错误!i表示的点在直线y＝x上,∴m－3＝2m，解之得m＝9。

1．复数的几何意义的理解中需注意的问题(1）复数的实质是有序实数对．(2）复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。

2017-2018学年高中数学选修2-2分层训练Word版含解析(打包22套,共117页)湘教版

第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度一、基础达标1．设物体的运动方程s＝f(t)，在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时，其中时间的增量d() A．d>0 B．d<0C．d＝0 D．d≠0答案 D2．一物体运动的方程是s＝2t2，则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量为() A．8 B．8＋2dC．8d＋2d2D．4d＋2d2答案 C解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.3．一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为() A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1答案 D解析v＝3＋2.12－3－220.1＝4.1.4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝18t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 答案 C解析 Δs Δt ＝18(2＋Δt )2－18×22Δt ＝12＋18Δt →12(Δt →0)．5．质点运动规律s ＝2t 2＋1，则从t ＝1到t ＝1＋d 时间段内运动距离对时间的变化率为________．答案 4＋2d解析 v ＝2(1＋d )2＋1－2×12－11＋d －1＝4＋2d .6．已知某个物体走过的路程s (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：s ＝－t 2＋1. (1)t ＝2到t ＝2.1； (2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001.则三个时间段内的平均速度分别为________，________，________，估计该物体在t ＝2时的瞬时速度为________．答案－4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2 s 内完成刹车，其位移 (单位：m)关于时间(单位：s)的函数为： s (t )＝－3t 3＋t 2＋20，求： (1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度．解 (1)刹车后1 s 内平均速度v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201＝－2(m/s)．(2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度为： v 2＝s (2)－s (1)2－1＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1＝－18(m/s)．(3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度为： v 3＝s (1＋d )－s (1)d＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d＝－7d －8d 2－3d 3d ＝－7－8d －3d 2→－7(m/s)(d →0)即t ＝1 s 时的瞬时速度为－7 m/s. 二、能力提升8．质点M 的运动方程为s ＝2t 2－2，则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt答案 A解析 Δs Δt ＝2(2＋Δt )2－2－(2×22－2)Δt＝8＋2Δt .9．自由落体运动的物体下降的距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2，则从t ＝0到t ＝1时间段内的平均速度为________，在t ＝1到t ＝1＋Δt 时间段内的平均速度为________，在t ＝1时刻的瞬时速度为________．答案 12g g ＋12g Δt g解析12g ×12－12g ×021－0＝12g .12g (1＋Δt )2－12g ×12Δt ＝g ＋12g Δt . 当Δt →0时，g ＋12g Δt →g .10．自由落体运动的物体下降距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2，t ＝2时的瞬时速度为19.6，则g ＝________. 答案 9.8解析 12g (2＋Δt )2－12g ×22Δt ＝2g ＋12g Δt . 当Δt →0时，2g ＋12g Δt →2g . ∴2g ＝19.6，g ＝9.8.11．求函数s ＝2t 2＋t 在区间[2,2＋d ]内的平均速度．解 ∵Δs ＝2(2＋d )2＋(2＋d )－(2×22＋2)＝9d ＋2d 2， ∴平均速度为Δsd ＝9＋2d .12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②所示．问：(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设Δs 为s 的增量)?解 (1)由题图①在(0，t ]时间段内，甲、乙跑过的路程s 甲<s 乙，故有s 甲t <s 乙t 即在任一时间段(0，t ]内，甲的平均速度小于乙的平均速度，所以乙比甲跑得快． (2)由题图②知，在终点附近[t －d ，t )时间段内，路程增量Δs乙>Δs 甲，所以Δs 乙d >Δs 甲d 即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快．三、探究与创新13．质量为10 kg 的物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能．解 s (Δt ＋4)－s (4)Δt＝3(Δt ＋4)2＋(Δt ＋4)＋4－(3×42＋4＋4)Δt ＝3Δt ＋25，当Δt →0时，3Δt ＋25→25. 即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为12m v 2＝12×10×252＝3 125(J)4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线一、基础达标1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于() A．2 B．4C．6＋6d＋2d2D．6答案 B2．已知曲线y＝12x2－2上的一点P(1，－32)，则过点P的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°答案 B3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行，则切点坐标为() A．(－1，－8) B．(1,13)C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1，－1)答案 B4．曲线y＝x－2在点P(3,1)处的切线斜率为()A．－12B．0 C.12D．1答案 C解析(3＋Δx)－2－3－2Δx＝Δx＋1－1Δx＝1Δx＋1＋1.当Δx→0时，1Δx＋1＋1→12.5．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为________．答案(1,2)6．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．答案2x－y＋1＝0解析(1＋Δx)2＋2－(12＋2)Δx＝Δx＋2，当Δx→0时，Δx＋2→2.所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y－3＝2(x－1)．即为2x－y＋1＝0.7．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切线方程．解设点P(x0，y0)，f(x0＋d)－f(x0)d＝(x0＋d)2－x20d＝d＋2x0，d→0时，d＋2x0→2x0.抛物线在点P处的切线的斜率为2x0，由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1，即P点坐标为(1,1)，切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝0.二、能力提升8．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案 A解析－1Δx＋1－(－11)Δx＝1－1Δx＋1Δx＝1Δx＋1，当Δx→0时，1Δx＋1→1.曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1×(x－1)，即y＝x－2.9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．答案7解析f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(22＋3×2)Δx＝Δx＋7，当Δx→0时，Δx＋7→7，所以，f(x)在A处的切线的斜率为7.10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7，则A点坐标为________．答案(2,10)解析设A点坐标为(x0，x20＋3x0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)2＋3(x0＋Δx)－(x20＋3x0)Δx＝Δx＋(2x0＋3)，当Δx→0时，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3，∴2x0＋3＝7，∴x0＝2.x 20＋3x 0＝10.A 点坐标为(2,10)．11．已知抛物线y ＝x 2＋1，求过点P (0,0)的曲线的切线方程．解设抛物线过点P 的切线的切点为Q (x 0，x 20＋1)．则(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx ＝Δx ＋2x 0.Δx →0时，Δx ＋2x 0→2x 0.∴x 20＋1－0x 0－0＝2x 0，∴x 0＝1或x 0＝－1. 即切点为(1,2)或(－1,2)．所以，过P (0,0)的切线方程为y ＝2x 或y ＝－2x .即2x －y ＝0或2x ＋y ＝0. 三、探究与创新12．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，求切点的坐标及a 的值．解设切点A (x 0，y 0)，(x 0＋d )3－(x 0＋d )2＋1－(x 30－x 20＋1)d＝3x 20d ＋3x 0d 2＋d 3－2x 0d －d 2d＝3x 20－2x 0＋(3x 0－1)d ＋d 2→3x 20－2x 0(d →0)．故曲线上点A 处切线斜率为3x 20－2x 0，∴3x 20－2x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－13，代入C 的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13，y 0＝2327代入直线l ，当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1时，a ＝0(舍去)，当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13，y 0＝2327时，a ＝3227，即切点坐标为(－13，2327)，a ＝3227.4．1.3 导数的概念和几何意义一、基础达标1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案 B2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定答案 B解析分别作出A、B两点的切线，由题图可知k B>k A，即f′(x B)>f′(x A)．3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为() A．4 B．16 C．8 D．2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x，∴f′(2)＝8.答案 C4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为() A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1答案 A解析分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________．答案33x－y＋1＝0解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝limd→0Δy d＝limd→0(3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，即3x－y＋1＝0.6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为____________．答案4x－y－5＝0解析∵f′(x)＝f(x＋d)－f(x)d＝(x＋d)2－1－(x2－1)d＝2xd＋d2d＝(2x＋d)＝2x.设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解∵f′(3)＝f(3＋d)－f(3)d＝(3＋d)3－33d＝(d2＋9d＋27)＝27，∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12×2×54＝54.二、能力提升8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为() A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5 D．y＝2x答案 A解析－(Δx＋1)3＋3(Δx＋1)2－(－13＋3×12)Δx＝－Δx2＋3.Δx→0时，－Δx2＋3→3.∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.答案 3解析由已知切点在切线上．∴f(1)＝12×1＋2＝52.切线的斜率f′(1)＝12.∴f(1)＋f′(1)＝3.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________. 答案 1 1解析 ∵点(0，b )在切线x －y ＋1＝0上， ∴－b ＋1＝0，b ＝1.又f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝Δx 2＋a Δx ＋b －b Δx ＝a ＋Δx ，∴f ′(0)＝a ＝1.11．已知曲线y ＝x 3＋1，求过点P (1,2)的曲线的切线方程．解设切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋1.(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx2Δx ＝Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴f ′(x 0)＝3x 20，切线的斜率为k ＝3x 20.点(1,2)在切线上，∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12. 当x 0＝1时，切线方程为3x －y －1＝0，当x 0＝－12时，切线方程为3x －4y ＋5＝0.所以，所求切线方程为3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (52，6)的切线方程．解由已知得，Δyd ＝2x ＋d ，∴当d →0时，2x ＋d →2x ，即y ′＝2x ，设此切线过抛物线上的点(x 0，x 20)，又因为此切线过点(52，6)和点(x 0，x 20)，其斜率应满足x 20－6x 0－52＝2x 0，由此x 0应满足x 20－5x 0＋6＝0.解得x 0＝2或3.即切线过抛物线y ＝x 2上的点(2,4)，(3,9)．所以切线方程分别为y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)．化简得4x －y －4＝0,6x －y －9＝0，此即是所求的切线方程．三、探究与创新13．求垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程．解设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x .故切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入y ＝x 3＋3x 2－5得，b ＝－3，即 P (－1，－3)．故所求直线方程为y ＋3＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋6＝0.4．2.3 导数的运算法则一、基础达标1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 2．当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2 答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18 答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升 8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x－12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22 答案 B 解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π4，π)答案 D 解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′ ＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析令t＝e x，则x＝ln t，所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝1x＋1，即f′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x30)．由题意，所求直线方程的斜率k＝x30－0x0－2＝y′|x＝x＝3x20，即x30x0－2＝3x20，解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，∴切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(x20－1)x0＋16，即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，解得x0＝－2，∴切线方程为9x－y＋16＝0.三、探究与创新13．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.4．2 导数的运算4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5 答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0. 6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析∴曲线在点处的切线斜率，∴切线方程为．令x ＝0得；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·＝18，∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1) y ＝7x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫7x 3′＝＝377x 4.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 答案 D解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝______. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案2 2解析根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e x)′＝e x，∴e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为2 2.11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．解∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋π2，k∈Z.12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则y′|x＝x＝2x0＝1，所以x0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为72 8.三、探究与创新13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．解f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.4.3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单调性一、基础达标1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y＝12x2－ln x的单调减区间是()A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)答案 A解析∵y＝12x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－1x，令y′<0，即x－1x<0，解得：0<x<1或x<－1.又∵x>0，∴0<x<1，故选A.3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是() A．增函数B．减函数C．常函数D ．既不是增函数也不是减函数答案 A解析求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的 Δ＝4(a 2－3b )＜0，所以f ′(x )＞0恒成立，故f (x )是增函数． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x答案 B解析显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数；对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1 (x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数．故选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3)6．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．答案(－∞，－1)解析f′(x)＝2x－1x2－x－2，令f′(x)＜0得x＜－1或12＜x＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．解f′(x)＝3x2＋a.∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，令f′(x)＞0，则3x2－75＞0，解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．二、能力提升8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()答案 A解析由f (x )与f ′(x )关系可选A.9．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0， ∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．10．(2013·大纲版)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是________．答案 [3，＋∞)解析因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2x 3－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，则h (x )为减函数，所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，所以a ≥3.11．求下列函数的单调区间： (1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x ，由y ′＞0，得x ＞1；由y ′＜0，得0＜x ＜1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2， ∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－12时，函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增；当y ′＜0，即－1＜x ＜－12时，函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＞0，得x ＜1－2或x ＞1＋2；令f ′(x )＜0，得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．三、探究与创新13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行． (1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2， ∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )＞0，即3mx 2－6mx ＞0，当m ＞0时，解得x ＜0或x ＞2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m ＜0时，解得0＜x ＜2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m＜0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).4.3.2函数的极大值和极小值一、基础达标1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于() A．2 B．3 C．6 D．9答案 D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有() A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值答案 C解析由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0，当－1＜x＜3时，y′<0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a ＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.6．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．答案(1,4)解析y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0，函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a＞0时，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±a，不难分析，当1＜a＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．7．求函数f(x)＝x2e－x的极值．解函数的定义域为R，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且为f (0)＝0；当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2. 二、能力提升8．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则( )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0 答案 C解析 ∵f (x )在x ＝1处存在极小值， ∴x ＜1时，f ′(x )＜0，x ＞1时，f ′(x )＞0.9．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点答案 D解析 x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，并不是最大值点．故A 错；f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象的函数，故－x 0应是f (－x )的极大值点，B 错；－f (x )相当于f (x )关于x 轴的对称图象的函数，故x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系，C 错；－f (－x )相当于f (x )关于坐标原点的对称图象的函数．故D 正确．10.如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号) 答案 ③解析函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理f (x )在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m ＞0)有极大值－52，求m 的值．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0，即527＋a ＜0或a －1＞0，∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0. (1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m.由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． (2)证明当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0. 当m ＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x0＋2，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值一、基础达标1．函数y＝f(x)在[a，b]上() A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值答案 D解析由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．2．函数y＝x e－x，x∈[0,4]的最大值是()A．0 B.1e C.4e4 D.2e2答案 B解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，∴f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴f(1)为最大值，故选B.3．函数y＝ln xx的最大值为()A．e－1B．e C．e2 D.10 3答案 A解析令y′＝(ln x)′x－ln x·x′x2＝1－ln xx2＝0.(x＞0)解得x＝e.当x>e时，y′<0；当0＜x<e时，y′＞0.y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以y max ＝1e .4．函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值答案 C 解析令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x(x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝0，得x ＝±1.当x 变化时，y ′，y 随x 的变化如下表：由上表可知x ＝－1时，y 取极小值也是最小值－2；x ＝1时，y 取极大值也是最大值2.5．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2ln 2－2]解析函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数 g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在 (－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为 (－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需 a ≤2ln 2－2即可．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．答案 π6＋ 3解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3. 7．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在 [－2,2]上的最大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3. 当x ＝0时，f (x )的最大值为3. 二、能力提升8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22 答案 D解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t.当0＜t ＜22时，y ′＜0，可知y 在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减；当t＞22时，y′＞0，可知y在⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增．故当t＝22时，|MN|有最小值．9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是() A．(－∞，3] B．(－∞，5] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞)答案 D解析∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数f(x)在(a，b)上单调递减，则有f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a，b]上恒成立，即有t≥32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[a，b]上恒成立，而函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[1,3]上单调递增，由于a∈[1,2]，b∈(2,3]，当b＝3时，函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x取得最大值，即y max＝32⎝⎛⎭⎪⎫3＋13＝5，所以t≥5，故选D.10．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．答案－1 2解析f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.∵f(0)＝a，f(－1)＝－52＋a，f(1)＝－12＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－52＋a＝－12.11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )＜2|c |恒成立，只要c ＋54＜2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54＜2c ，∴c ＞54；当c ＜0时，c ＋54＜－2c ，∴c ＜－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围． 12．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)，设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．有题设可得F(0)≥0，即k≥1，令F′(x)＝0得，x1＝－ln k，x2＝－2，①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增，故F(x)在x＝x1取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.∴当≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e2)，∴当x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而F(－2)＝0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述，k的取值范围为[1，e2].4.4 生活中的优化问题举例一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8 答案 A解析设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ， ∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( )A ．0.016 2B ．0.032 4C ．0.024 3D ．0.048 6 答案 B解析依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x <0.032 4时，y ′>0；当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 答案 A解析设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<r <l 4.则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0， ∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )A ．120 000 cm 3B ．128 000 cm 3C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 3答案 B解析设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32 (0<x <120)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 cm 时，V 取最大值为128 000 cm 3.。

湘教版数学选修2-2配套课件：4-4生活中的优化问题举例

该广告含有大小相等的左右两个
矩形栏目(即图中阴影部分)，这两
栏的面积之和为18 000 cm2，四周
空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20 cm，y－225 cm，其中x>20，y>25. 两栏面积之和为2(x－20)·y－225＝18 000，由此得y＝1x8－02000＋25.
解收入R＝q·p＝q25－18q＝25q－18q2，利润L＝R－C＝25q－18q2－(100＋4q)
＝－18q2＋21q－100(0<q<200) L′＝－14q＋21 令L′＝0，即－14q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84. 所以产量为位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为xkm，则BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)． ∴y′＝－3a＋ x25＋ax402.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。
2019/7/9
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高等问题，这些问题通常称
为
优化问题．通过前面的学习，
我们知道导数
是求函数最大(小)值的

高中数学第五章数系的扩充与复数5.4复数的几何表示训练湘教版选修2-2(2021年整理)

2017-2018学年高中数学第五章数系的扩充与复数5.4 复数的几何表示分层训练湘教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第五章数系的扩充与复数5.4 复数的几何表示分层训练湘教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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5．4 复数的几何表示一、基础达标1．复数z＝错误!＋i3对应的点在复平面第几象限( ) A．一 B．二 C．三 D．四答案D解析由i2＝－1，z＝错误!－i，对应点坐标为（错误!,－1）．2．当错误!<m〈1时,复数z＝（3m－2）＋（m－1）i在复平面内对应的点位于( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析复数z在复平面内对应的点为Z（3m－2，m－1）．由错误!<m<1,得3m－2>0，m－1〈0.所以点Z位于第四象限．故选D.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B。

若C为线段AB的中点,则点C 对应的复数是（）A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i答案C解析A(6,5），B(－2，3),∵C为AB的中点,∴C（2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.4．已知复数z＝a＋b i（a、b∈R）,当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是（）A．实轴B．虚轴C．原点D．原点和虚轴答案B解析a＝0时，z＝b i，复平面内的点z的轨迹是虚轴．5．已知复数z＝a＋错误!i在复平面内对应的点位于第二象限,且｜z｜＝2，则复数z等于________．答案－1＋错误!i解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a〈0，由｜z｜＝2知，错误!＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋错误!i.6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R）所对应的点在第三象限,则k的取值范围是________．答案(2,错误!）∪（－错误!,－2）解析∵z位于第三象限，∴错误!∴2〈k〈错误!或－错误!<k〈－2。

2017-2018学年湘教版数学选修2-2配套ppt课件(打包25套,共621页)

要点二例2
求瞬时速度
1 2 已知一物体做自由落体运动，s＝ gt (位移单位：m，时 2
间单位：s，g＝9.8 m/s2)． (1)计算t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段时间内平均速度； (2)求t＝3 s时的瞬时速度．
解
(1)当t在区间[3,3.1]时，d＝3.1－3＝0.1(s)，
解 (1)物体在前3 s内的位移为： s(3)－s(0)＝2×32＋2×3－0＝24(m)，故前3 s内的平均速度为 s3－s0 24 ＝ 3 ＝8(m/s)． 3 (2)物体在2 s到3 s内的位移为 s(3)－s(2)＝24－(2×22＋2×2)＝12(m)．故物体在2 12(m/s)． s 到3 s3－s2 s这段时间内的平均速度为＝ 3－2
跟踪演练2 枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
1 2 解运动方程为s＝ at . 2 1 1 2 2 at＋d － at 2 2 v(t，d)＝ d 1 2 ad ＋atd 2 1 ＝＝ ad＋at. d 2 1 当d趋于0时， ad＋at的极限为at. 2 a＝5.0×105 m/s2，t＝1.6×10－3 s， ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为5×105×1.6×10－3 m/s，即800 m/s.
解

1 1 2 2 (1)s(t0＋d)－s(t0)＝2g(t0＋d) －2gt0
1 2 ＝gt0d＋2gd ，在t0到 t0＋d这段时间内，物体平均速度为 1 2 gt0d＋ gd 2 1 v(t0，d)＝＝gt0＋2gd. d (2)由(1)知：t0＝10 s，d＝0.1 s， 1 平均速度为10g＋2g×0.1＝10.05g(m/s)．

高中数学湘教版选修2-2(课件)本章优化总结

2－i (3)3－4i1＋i2.
【解】 (1)12－＋23ii45＝214－1＋3ii45＝12－4·2i32i5
＝－2 ＝
2
12－
3 2i
5
－12＋ 23i 5
＝2－12＋
3 2i
6
＝－1＋
3i.
－12＋
23i
5
(2)21－－3ii52－＋123ii＝－47＋－917i
复数模及其几何意义
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面上的点 Z，则复数的模|z|＝|O→Z|＝ a2＋b2，即点 Z(a， b)到原点的距离．|z1－z2|则表示 z1，z2 对应点间的距离，或|z→1z2|的模．
例3 复数z满足|z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．【思路点拨】利用复数减法的几何意义．
本章优化总结
知识体系网络本章优 Nhomakorabea专题探究精讲
化
总
结
章末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
复数的概念与分类
设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)z 是虚数⇔b≠0，
(2)z
是纯虚数⇔a＝0 b≠0
，(3)z 是实数⇔b＝0.
例1 已知 z 是复数，z＋2i，2－z i均为实数(i 为虚数单位)，对于复数 w＝(z＋ai)2，当 a 为何值时， w 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
＝－13727＋－11772i＝－39318＋232318i.
2－i (3)3－4i1＋
i2＝3－2－4ii
·2i
＝82＋－6ii＝2－i1080－6i＝101－0020i＝110－15i.
【名师点评】解答这类问题，除熟练地掌握四则运算法则外，还有些常用技巧，如(1±i)2＝±2i，ab＋－baii ＝－ba－i2＋aibi＝i，1 的虚立方根 ω＝－12±23i 的性质等，最好记住，这样会给运算带来方便．

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（湘教版）高中数学选修2-2（全册）课堂练习汇总第4章导数及其应用 4．1 导数概念 4．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度 1．一质点的运动方程是s＝4－2t2, 则在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度爲 ( ) A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 答案 D

解析 v(1, d)＝4－21＋d2－4＋2×12d＝－4d＋2d2d＝－2d－4. 2．已知物体位移s与时间t的函数关系爲s＝f(t)．下列叙述正确的是 ( ) A．在时间段[t0, t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度 B．在t1＝1.1, t2＝1.01, t3＝1.001, t4＝1.000 1, 这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等 C．在时间段[t0－d, t0]与[t0, t0＋d](d>0)内当d趋于0时, 两时间段的平均速度相等 D．以上三种说法都不正确答案 C 解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．

3．已知s＝12gt2, 从3秒到3.1秒的平均速度v＝________. 答案 3.05g

解析 v＝12g·3.12－12g·323.1－3＝3.05g. 4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2, 则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．答案 8＋2d

解析 v(2, d)＝s2＋d－s2d＝8＋2d. 1．平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值, 即用时间除位移得到, 而瞬时速度是物体在某一时间点的速度, 当时间段越来越小的过程中, 平均速度就越来越接近一个数值, 这个数值就是瞬时速度, 可以说, 瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”． 2．求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程爲s＝f(t), 则求物体在t时刻瞬时速度的步骤爲:

(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度爲ft＋d－ftd, 其中f(t＋d)－f(t)称爲位移的增量； (2)对上式化简, 并令d趋于0, 得到极限数值即爲物体在t时刻的瞬时速度.

4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线 1．一物体作匀速圆周运动, 其运动到圆周A处时 ( ) A．运动方向指向圆心O B．运动方向所在直线与OA垂直 C．速度与在圆周其他点处相同 D．不确定答案 B

2．若已知函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy), 则Δyd

等于 ( ) A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d 答案 C 解析 Δyd＝21＋d2－1－2×12－1d＝4＋2d. 3．过曲线y＝2x上两点(0,1), (1,2)的割线的斜率爲________．答案 1

解析由平均变化率的几何意义知, k＝2－11－0＝1. 4．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1, －2)及邻近一点(－1＋d, －2＋Δy), 则Δyd＝________. 解析 Δy＝f(－1＋d)－f(－1) ＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2) ＝－d2＋3d.

∴Δyd＝－d2＋3dd＝－d＋3. 答案－d＋3

1．求曲线y＝f(x)上一点(x0, y0)处切线斜率的步骤 (1)作差求函数值增量Δy, 即f(x0＋d)－f(x0)．

(2)化简Δyd, 用x0与d表示化简结果． (3)令d→0, 求Δyd的极限即所求切线的斜率． 2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线“在点(u, v)处的切线方程”和“过点(u, v)的切线方程”．前者以点(u, v)爲切点, 后者点可能在曲线上, 也可能不在曲线上, 即使在曲线上, 也不一定是切点． 3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势, 刻画了曲线在这一区间升降的程度, 而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态, 它实现了由割线向切线质的飞跃． 4．1.3 导数的概念和几何意义 1．f(x)在x＝x0处可导, 则limh→0 fx0＋h－fx0h ( ) A．与x0、h都宥关 B．仅与x0宥关, 而与h无关 C．仅与h宥关, 而与x0无关 D．与x0、h均无关答案 B 2．若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2, 下列选项正确的是 ( ) A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0 C．f′(x0)＝2x0 D．f′(x0)＝d＋2x0 答案 C 3．已知函数y＝f(x)图象如图, 则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是 ( ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定答案 A 4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2), 则在区间[1,1＋d]上的平均变化率爲________, 在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________. 答案 3＋d 3 1．求导数的步骤主要宥三步: (1)求函数值的增量: Δy＝f(x0＋d)－f(x0)；

(2)求平均变化率: Δyd＝fx0＋d－fx0d；

(3)取极限: f′(x0)＝ Δyd. 2．导数的几何意义 (1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快慢的一个量, 其几何意义爲在x＝x0处的切线的斜率． (2)f′(x)是指随x变化, 过曲线上的点(x, f(x))的切线斜率与自变量x之间的函数.

4．2.3 导数的运算法则 1．下列结论不正确的是 ( ) A．若y＝3, 则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1, 则f′(1)＝3

C．若y＝－x＋x, 则y′＝－12x＋1 D．若y＝sin x＋cos x, 则y′＝cos x＋sin x 答案 D 解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项, ∵y＝sin x＋cos x, ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 2．函数y＝cos x1－x的导数是 ( ) A.－sin x＋xsin x1－x2 B.xsin x－sin x－cos x1－x2

C.cos x－sin x＋xsin x1－x2 D.cos x－sin x＋xsin x1－x 答案 C 解析 y′＝cos x1－x′＝－sin x1－x－cos x·－11－x2

＝cos x－sin x＋xsin x1－x2. 3．曲线y＝xx＋2在点(－1, －1)处的切线方程爲 ( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案 A

解析 ∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22, ∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2, ∴切线方程爲y＋1＝2(x＋1), 即y＝2x＋1. 4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线, 则实数b＝________. 答案 ln 2－1 解析设切点爲(x0, y0),

∵ y′＝1x, ∴12＝1x0, ∴x0＝2, ∴y0＝ln 2, ln 2＝12×2＋b, ∴b＝ln 2－1.

求函数的导数要准确把函数分割爲基本函数的和、差、积、商, 再利用运算法则求导数．在求导过程中, 要仔细分析出函数解析式的结构特征, 根据导数运算法则, 联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形, 转化爲较易求导的结构形式, 再求导数, 进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

4．2 导数的运算 4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表

1．已知f(x)＝x2, 则f′(3)＝ ( ) A．0 B．2x C．6 D．9 答案 C 解析 ∵f(x)＝x2, ∴f′(x)＝2x, ∴f′(3)＝6. 2．函数f(x)＝x, 则f′(3)等于 ( )

A.36 B．0 C.12x D.32 答案 A 解析 ∵f′(x)＝(x)′＝12x, ∴f′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y＝sin x上一点P, 以点P爲切点的切线爲直线l, 则直线l的倾斜角的范围是 ( )

A.0，π4∪3π4，π B．[0, π) C.π4，3π4 D.0，π4∪π2，3π4 答案 A 解析 ∵(sin x)′＝cos x, ∵kl＝cos x, ∴－1≤kl≤1,

∴αl∈0，π4∪3π4，π. 4．曲线y＝ex在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积爲________．答案 12e2 解析 ∵y′＝(ex)′＝ex, ∴k＝e2, ∴曲线在点(2, e2)处的切线方程爲y－e2＝e2(x－2), 即y＝e2x－e2.当x＝0时, y＝－e2, 当y＝0时, x＝1.

∴S△＝12×1×||－e2＝12e2.

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数, 其关键是牢记和运用好导数公式．解题时, 能认真观察函数的结构特征, 积极地进行联想化归． 2．宥些函数可先化简再应用公式求导．

如求y＝1－2sin2x2的导数．因爲y＝1－2sin2x2＝cos x, 所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．对于正、余弦函数的导数, 一是注意函数的变化, 二是注意符号的变化．

4.3 导数在研究函数中的应用 4．3.1 利用导数研究函数的单调性