高观点下的初等数学的解题研究
浅谈高等数学在初等数学中的应用
浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。
本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。
高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。
站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。
运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。
标签：初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。
它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。
数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。
本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。
一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。
这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。
二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。
其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。
高观点下初等数学的内涵及实现途径探析
高观点下初等数学的内涵及实现途径探析初等数学是一门基础学科，是培养学生数学思维和逻辑思维能力的重要课程。
在高观点下，初等数学的内涵包括数的认识与运算、代数表达与应用、图形与变换、函数与方程、概率与统计等内容。
实现初等数学教育的途径主要包括教师的引导、教材的设计和教学资源的利用等。
高观点下初等数学的内涵主要包括以下几个方面：数的认识与运算是初等数学的基础。
学生需要通过学习数的基本性质和运算法则来建立数学思维和逻辑思维能力。
他们通过分析和解决实际问题，培养数学推理和运算能力。
代数表达与应用是初等数学的重要内容。
学生需要学习代数表达的方法，通过公式和方程式来解决问题。
这种能力可以培养学生的抽象思维和问题解决能力。
图形与变换是初等数学的重要内容。
学生需要通过学习几何概念和技巧，培养他们的空间想象能力和几何推理能力。
他们还需要学会通过平移、旋转和缩放等变换来解决几何问题。
函数与方程是初等数学的核心内容。
学生需要通过学习函数的概念和性质，了解函数与方程的关系，培养他们的函数思维能力和方程解决能力。
他们还需要学习如何用函数和方程描述和解决实际问题。
教师的引导是实现初等数学教育的重要途径。
教师应该具备深厚的数学知识和丰富的教学经验，能够引导学生主动探索和思考数学问题。
教师应该注重培养学生的数学思维和逻辑思维能力，激发学生对数学的兴趣和热爱。
教学资源的利用是实现初等数学教育的重要途径。
教师可以利用多媒体技术和网络资源来辅助教学，提供更丰富的学习环境和教学资源。
学生可以通过阅读课外书籍、参加数学竞赛等方式来拓宽数学知识和应用能力。
谈谈“高观点下的初等数学”——以基础代数学为例
２１ ０ １年 ２月
大 学 数 学
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以 基 础 代 数 学 为 例
郭 聿 琦 ， 王 正 攀 ， 刘 国新
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大 学 数 学
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构成 实数 域 上 一线性 空 间（
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（ ）一 （ （ ）， ６ ｎ） 是
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其 中 ｘ， 】 则 相 应 于 基 底 的过 渡 （ ） 如 下 的 坐 标 变 换 公 式 ＹＥ Ｐ ， １有
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（ 所有 正实 数构 成 的集合 ） 关于 如下 定义 的加 法和数 乘 （ ＶⅡ，Ｅ ｂ－
《高观点下的初等数学》
《高观点下的初等数学》在数学教学中，吴正宪老师以其独特的视角和深入浅出的教学方式，引领学生从高观点审视周长的本质。
他在执教《认识周长》一课时，通过生动活泼的互动和引人入胜的实例，使学生不仅掌握了周长的基本概念，更重要的是理解了周长背后的数学思想和实际应用。
吴老师在课程开始时，以一个问题情境引导学生进入周长的学习：“大家有没有注意到，我们每天生活的环境中，有很多形状各异的物体，它们都有自己的边界？这个边界就是我们今天要学习的‘周长’。
”他通过展示日常生活中的实例，如树叶、奖牌、瓷砖等，使学生对周长有了直观的认识。
接着，吴老师引导学生进一步思考：“周长是什么？它与什么有关？如何计算？”他通过一系列精心设计的活动，如测量、计算、观察等，帮助学生理解周长的概念及其计算方法。
在这个过程中，吴老师不仅教授了数学知识，更重要的是引导学生主动思考，培养他们的数学思维和问题解决能力。
在课程的最后阶段，吴老师将周长的学习与实际生活相，通过解决实际问题如土地测量、树叶面积计算等，使学生了解到周长在实际生活中的应用。
他鼓励学生将所学的知识应用到实际中，培养他们的实践能力和创新思维。
通过吴正宪老师的这堂《认识周长》课程，学生们不仅掌握了周长的基本概念和计算方法，更重要的是理解了周长背后的数学思想和实际应用。
吴老师的“高观点”引领使得这堂课程充满了探究与发现的气氛，他以其丰富的教育经验和深厚的数学素养为学生们展现了一个生动有趣的数学世界。
在小学数学教学中，高观点视角下的课堂教学设计是提升教学质量和培养学生思维能力的关键。
尤其是在《平行四边形的面积》这一经典内容中，如何从高观点视角驱动课堂教学，培养学生的数学思维和实践能力，是每位数学教师需要深入思考的问题。
高观点视角下《平行四边形的面积》教学设计的意义从高观点视角出发，重新审视《平行四边形的面积》这一经典教学内容，不仅可以优化课堂教学结构，更能有效提升教学质量。
高观点视角下的教学设计，旨在引导学生通过观察、比较、分析、推理等数学思维过程，自主发现平行四边形面积的计算方法，培养他们的探究意识和解决问题的能力。
初等数学解题研究新版
初等数学解题研究西南师大附中戴宇时间：二○一二年二月初等数学解题研究前言恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”这就是说，数学是研究数与形的关系的一门学科，它是以解决客观世界的事物的内在逻辑联系的“问题”为主要目的．在这个意义上来讲，探索解决数学问题的解题规律及解题方法就是十分重要的．通过对数学形态的内在基本结构的分析和研究，从而顺利地解决问题，对提高我们的数学思维方式及解决问题的能力都有十分重要的意义．数学的内容就是由一种形态与另一种形态的对比和关系的转化．要解决好一个数学问题，我认为首要的是要对一个数学问题构成的结构要先有充分的认识，再熟知一些推演关系的基本手段及方法．其次，要善于把问题的假设和结论沟通起来，借助已有的（尽可能多的）数学知识和数学理论，从而顺利地解决问题．解决问题有“通法”和“巧技”，但我们一定要知道“巧”不是解题的大道，只是一条捷径，而捷径不是处处都有的．只有练好解题的基本功，则解题的捷径也就不难找到．要掌握解题的通法，必须要知道一些数学形态的“通性”，即它的内部结构及这些结构的逻辑联系、演化规律．每一种典型的基本结构在数学形态中的作用以及处理它的一些常见的数学方法和数学知识．解题能力的大小，就是你拥有的这种数学知识的体现．它就像要给人治病，必须先了解人体的各部分组成的器官和构成器官的细胞和它们的生命作用．只有这样练好了基本功，就会得到解题的通法，找到处理数学问题的“大道”．这里还有一个数学能力的问题，具体点说，还有人通过对数学问题的研究和学习得到处理数学问题的有效程度的大小和解题能力．能力是一种稳定的个性心理特征，它影响人们的数学学习活动能否顺利完成；影响数学学习活动的效果．正如瑞典心理学家魏德林（I·Werdelin）指出的“数学能力是理解数学的问题、符号、方法和证明的本质的能力；是学会它，在记忆中保持和再现它们，在解数学（或类似的）课题时运用它们的能力．”总之，通过对数学问题的基本结构进行深入的分析，对各种基本结构彼此关联的本质进行探索，掌握好处理数学问题的一般的数学思维方式和方法，才能达到掌握解决问题的本领．把初等数学作为一个系统，用“结构”的观点来进行分析研究，就是本文的目的．所谓“结构”，就是追根溯源，从一个科学体系的最基本的“细胞”开始研究，寻找其内部的联系和规律，从而达到对整个系统的认识，使研究的方法、结果更具科学性和一般性．任何一个科学体系的基本结构，抽象为数学语言，就是我们所谓的“元”．（如心理学上的“原认知”，物理学上的“基本粒子”，化学上的元素，生物学上的DNA等等．）一、简化规则在数学形态转化中的应用认识一个数学问题，对它进行处理，有一个最基本的思想，那就是将这个数学问题简单化，从而发掘出此问题的内在的演化规律，以及它与已有的数学结论之间的联系，从而达到使用最优的逻辑演算和推理方法来解决问题，这就是人们通常说的简单化原则．不管问题的形态多么复杂，但它都由一些基本结构组成，就像一个生命体，它由各种各样的细胞构成，正是这些细胞的相互关联的生命运动，才使生命充满了活力．要认识生命，就必须认识这些细胞．同样地，要解决数学问题，也必须认识数学的一些基本结构，以及这些结构在数学中的作用．按自然辩证法的观点，数学的简单化原理也应该有规律可循．对用数和式组成的数学形态的处理，探求简化规则，就是对规律的一种分析方法．规律是一个抽象的概念，规律往往隐藏在大量复杂的表象后面，它似乎离我们很近，但又很远．需要我们对大量同类问题全方位、多层次的分析比较，才能拨开迷雾，找出它们具有本质的属性．下面我们就对数学最基本的对象：即元的认识开始来展开我们的研究．第一讲 元的认识内容简介：代数一个主要内容是对数符、字符和运算符组合成的代数式进行研究，通过运算、恒等变形、转换形式及数理的逻辑推演，从而达到对客观世界的自然形态的认识和变化规律的认知，使人类改造世界的目标得以实现；初等数学中，代数的基本内容主要是对数的认识、式子的恒等变形的技巧训练、方程的求解、函数观点的确定、不等量的比较等；它对学者有一个最基本的要求就是要建立对“基元”的认识．下面举例说明：例1 化简：)20(24224222222<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--+-a a a a a a a a a a 解：令a x -=2，a y +=2 ∴)(2122x y a -=，)(21222x y +=∴ 原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=222222222222)(2x y x y x y y x y x x y x y x y xy x y y xy x y x1-=+-⋅-+=xy yx x y y x 1．2． 把式子用基元x 、y 表示时，要注意a 和1的表示：对称和次数的认识及分析． 3． 注意与常规的有理化解法比较．例2 化简：17173217325154+-++解：令5=x ，32=y ，17=z ∴222z y x =+∴ 原式5)(222==+--+=+-++-+=+-++=x z y z y x z y zy x z y x z y z y x xy 1．、2．2xyx y z++转化时注意分子、分母次数的统一．例3 化简：2536101528-+--+解：令5=x ，3=y ，2=z ∴ 222z y x +=原式35))(()()(2222+=+=-+-++=-++-+=-+--++=y x zy x z y x y x z y x y x z y x z y x yz xz xy y x 例4 解方程：14)347()347(=-++x x解：令x a )347(+=，x b )347(-= ∴ 1=ab 且14=+b a∴ a 、b 是01142=+-y y 的两根，故⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=347347347347b a b a 或即有221212-==⇒-==x x xx 或或，检验满足原方程． 1． 式子在左边两项为共轭，是为基本结构． 2． 解法为构造方程求解．例5 解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x解：令yx a 1+=，3-+=y x b ∴ 3363122=-=-+++=+y x yx b a ∴ 原方程变为⎪⎩⎪⎨⎧=+-⇒=+=-32)(33222ab b a b a b a∴ 0=ab 即⎪⎩⎪⎨⎧-==30b a （舍）⎪⎩⎪⎨⎧==03b a∴ ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1412331y x y x y x y x 或1． 确定元后，注意两元的关系，并用其表示第二个方程． 2． 注意有意义的范围． 例6 求：100237⎪⎭⎫⎝⎛·2004200420042004735153++解：令10027=x ，10023=y ，10025=z ∴ 原式122222222=⋅=⋅=++⋅=x yy x xy y xxz x z y y yx此式的元由质因子及方幂确定，故71002、31002、51002分别为元．例7 对一切不为0的实数x ，总有2)1(3)(2x xf x f x =+⋅成立，求)(x f ．解：由于2)1(3)(2x x f x xf =+ ① 将x 换成x1得：x x f x f x xx f x x f 1)1(2)(31)1(2)(32=+⋅⇒=+ ②23⨯-⨯①②得 223)(5x x x f x -=⋅ 即x xx f 5253)(2-=1． 式中有二个元，即1()()f x f x和，但只有一个方程则需转化为二个方程．2． 注意元的任意性的代换．例8 分解因式：333)()()(cz ax cz by by ax ---+-解：令by ax m -=，cz by n -= ∴cz ax n m -=+故原式322333)())(()(n m n mn m n m n m n m +-+-+=+-+= )3)(()2)((2222mn n m mn n m n mn m n m -+=---+-+= ))()((3cz ax cz by by ax ----= 换元使问题简化，从而可知其内在规律．例9 分解因式：3723222-+---b a b ab a解：原式)3)(12()13(2372)13(2222b b a b a b b a b a --++-=-+-+-= )32)(12(-++-=b a b a1． 多字母认定主元后，其余字母作常数，且字母次数低的应作主元． 2． 此法可用作不超过二次式的分解的运算．例10 已知：521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++．解：令1-=a x ，2-=b y ，3-=c z得：a x =+12，b y =+22，c z =+32条件式变为：5)3(213423222-+-=--++z z y x y x029321)44()12(222=+-++-++-⇒z z y y x x 22211(1)(2)(3)0223x x y z y z =⎧⎪⇒-+-+-=⇒=⎨⎪=⎩∴ 2069416222=+++=+++=++z y x c b a 将根式作元，则无理式可变化成整式的运算．例11 已知：x ，y ，z R +∈且1222x y z x y z++=+++．求证：2221222x y z x y z ++≥+++．证（一）：令2 + x = a ，2 + y = b ，2 + z = c由已知：2221a b c a b c ---++=即1111a b c++= 则2111()()(111)9a b c a b c a b c ++=++++≥++=，即9a b c ++≥故222222(2)(2)(2)222x y z a b c x y z a b c---++=+++++ 1114()1294121a b c a b c=+++++-≥+-=证（二）：设2x a x =+，则21ax a=-（a > 0，1a ≠） 再设2y b y =+，2z c z =+，得21b y b =-，21cz c=- 则1a b c ++=（a ，b ，c R +∈）222222222222111x y z a b c A x y z a b c=++=+++++--- 由 221(1)212a a a a +-≥-，即2251122a a a ≥--同理：2251122b b b ≥--，2251122c c c ≥-- 故5353()12222A a b c ≥++-=-=此题2x x +，2y y +，2zz+作元也是好的 注意：1．分母为单项式比多项式简单，故选2 + x ，2 + y ，2 + z 作元，使式子变简单．2．变换后由于有a + b + c ，而条件为111a b c++，故考虑用柯西不等式．例12恒成立的a 的范围．解：由a ≥，令u =，v =∵ 221u v +=（00u v ≥≥，）又令sin u θ=，cos v θ=（[0]2πθ∈，）∴sin cos ()4t u v πθθθ=+=++∴max t = 故所求a的范围是a ≥在不能观察出最本质的元时，可以分次逐步取元．例13 已知：(0)2x π∈，，求()tan cot sec csc f x x x x x =+++的最小值．解：令sin cos t x x =+ ∵ (0)2x π∈，∴(1)t ∈ ∴ 22sin cos 1x x t =-∴ 22sin cos 11sin cos sin cos ()cos sin cos sin sin cos x x x x x xf x x x x x x x +++=+++=21211(1)2t t t +==-- ∴t =min [()]21)f x =1． 有正、余弦的和与积，一般将和作元．2． 也可用tan 2x作元，用万能公式．3． 更一般设有n 个数和、平方和、积……等等时，以和或积作元．例14 设a 0为常数，且1123n n n a a --=-+（n N +∈）．证明：对任意1n ≥，101[3(1)2](1)25n n n n n n a a -=+-⨯+-g ．解：设101[3(1)2](1)25n n n n n n n b a a -=-+---则101[3(1)2](1)25n n n n n n n a b a -=++-+-故112111101011[3(1)2](1)22{[3(1)2](1)2}355n n n n n n n n n n n n n b a b a --------++-+-=++-+-+整理得：12n n b b -=-，而000001[32]05b a a =---=∴ 0n b =，即101[3(1)2](1)25n n n n n n a a -=+-+-注意：1．此题按递推关系来求通项十分麻烦，而且学生不易掌握和举一反三． 2．用数列作元可将问题化为常数列的问题，使问题简单化． 3．此题可取11325n n n n n a b b b -=+⨯⇒=-而得到结果．4．此题也可由11221333n n n n a a ---=-+g ，令12133n n n n a b b b -=⇒=-+也能求出结果．例15 求证：2n ≥时，2227233(1)!2!3!!n n n --≤+++<-L ．证明：设22722!3!!n n a n -=+++L （2n ≥）则221272(1)22!3!!(1)!n n n a n n +-+-=+++++L ∴ 21(1)223(1)!!(1)!n n n n n a a n n n ++-++-==-++ 再令2!n n n b a n +=+，即2!n n n a b n +=- ∴ 21132(1)20(1)!!(1)!n n n n n n n b b b b n n n +++++---+=⇒-=++即1n n b b +=，而2241232!b a =+=+= ∴ 3n b =，故233!n n a n +=-< 则222233!(1)!(1)!!n n n a n n n n ++=-=-+---22233(1)!!(1)!n n n n -=-+≥--- 注意：1．由2(1)21222123(1)!!(1)!!(1)!!!(1)!n n n n n n n n n n n n n +-++++=-=--=-++++ ∴ 132()()0(1)!!n n n n a a n n ++++-+=+得数列变换2!n n n b a n +=+2．此题中22722!3!!n n -+++L 的通项222112!(1)!!(1)!!k k k k c k k k k k --+==-=---1111[][](2)!!(1)!!k k k k =-+---累加求和221111[][](2)!!(1)!!n nn k k a k k k k ===-+---∑∑1112213(1)!!!!n n n n n +=--+-=--也可证明．所以拆项十分重要．例16 已知：i m R +∈（i = 1，2，…n ），p ≥2，p N +∈，且121111111p p pn m m m +++=+++L ．求证：12n m m m L ≥(1)npn -．证明：设11i p i x m =+（i = 1，2，…n ）∵ i m R +∈，p ≥2，p N +∈∴ 01i x <<，由已知 x 1 + x 2 + … + x n = 1∴ 11p i i m x =-，则1212111(1)(1)(1)p p p n nm m m x x x =---L L231312121212111n n nn n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++--==L L L g L g L12(1)n nn =-∴12n m m m L ≥(1)npn -1． 积变小不适用基本不等式，而且分式比整式复杂，故认11pi m +作元． 2． 换元后转换，并注意分式的分子、分母次数的统一及与基本公式的比较与转化．综上，我们知道，一种数学形态中元就是其最基本的结构，而这些元中通常是有内在关联的．通过对元的确定，至少可以使式子变得简单，变得与学过的知识更靠近，解决问题更方便．练 习：1． 已知：a b b a -=+-+11111，求ab++11． 2． 实数a 、b 、c 满足14261412--++++=++c b a c b a ，求)()()(b a c a c b c b a +++++的值．3． 若22221996199619951995+⋅+=a ，求证：a 是一个完全平方数． 4． 分解因式：（1）yz xz xy z y x 8108343222+++++（2）2327322-+-++b a b ab a （3）abc c b a 3333-++第二讲 主元及常用的元内容简介：在一个数学形态中，可作元的基本结构很多，有些元是已知的，有的元是未知的；有的元处于主导地位，有的元处于从属地位；有些元互相关联，有些元之间关系不太明朗；所以应用方面技巧性特别强．处理这类问题时，留心观察，认真比较，仔细分析，反复思考，对解决问题、学好数学尤为重要．在一个问题的众多元中，选择主元十分重要．而诸元在一个问题中地位平等（即元之间具备某种对称关系）时，解决问题采用的变形手段也是有一定的规律可遵循的．在初等数学中，由内容的限制，一些元是经常使用的，我们应当特别留意．例1 已知：0<a ，0<b ，且0111=--+b a b a ，求ab ． 解：设k a b=，由已知0>k ，∴ ak b =，代入条件： 0)1()1()1(011110111=---+-⇒=--+⇒=--+k k kk k k k k ak a ak a010)1()1(2=-+⇒=--+-⇒k k k k k k 解得：215-=k ，即215-=ab． 注意：分式中b a 作元，比11a b ，作元好，它可使问题化作一元问题．分式ba作元，是中学常用的． 例2 已知：3)2(22=+-b a ，求ab 1-的最大值和最小值． 解：设k ab =-1，则1+=ak b 代入条件整理得：02)2(2)1(22=+--+a k a k 62620240)1(8)2(4222+-≤≤--⇒≤-+⇒≥+--=∆k k k k k ∴ 26max -=k ，62min --=k ．例3 已知：0>a ，比较2122-+=a a x 与21-+=a a y 的大小．解：令a a t 1+=， ∴ )2(21222≥++=t aa t∴ 222--=t x ，202+=⇒≥-=y t t y故22422)2(22222-++=--+=--=y y y t x2)2(2)224()2(22-+≥--++=y y y y y =-+=22 即y x ≥1． 由2211a a a a ++和构成的式子，1a a+作元，也是一种常用的方法．2． x 向y 转换时，注意x 为根式，目标元y 为整式，应配成完全平方（主要由次数来看）． 例4 解不等式：92)211(422+<+-x x x ．解：设021≥⇒+=y x y 且122-=y x ，1≠y原不等式变形为：22222222)1)(8()1(8)1()1(-+<-⇒+<--y y y y y y 即：2700720)]8()1[()1(222<≤⇒<-⇒<+-+-y y y y y 且1≠y 这时：8452111244912027120<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤⇒<+≤x x x x 且0≠x 1． 以根式为元，可将式子换成整式构成的方程． 2． 注意新元的范围．3． 在有根式和整式的数式中，根式是常用的元． 例5 已知：d cb a <<0，比较b d a bcd ++与的大小． 解：设1k b a =，2k dc=，由已知210k k <<，则b k a 1=，d k c 2= ∴111b a b k =++，211d c d k =++ 由于212111111111k k k k +>+>⇒+<+< ∴ b da b c d>++例6 分解因式：z y xy xyz y x z x x 222232242-++--解：原式)2()2(2)2(2)2(2)2(22232z x x y z x x y z x z x x y x z x y z x -+---=-+-+-= 222))(2()2)(2(x y z x x xy y z x --=+--=注意：1．多字母，认定一个不超过二次的字母为主元，其余视为常数，然后按二次三项式来处理． 2．这里z 作主元也是一样．例7 已知：常数a 、b 均不为0，且22222)(cos sin b a b a +=θ+θ，求θθ4343cos sin b a +．解：设θ=2sin x ，θ=2cos y ∴ 1=+y x由已知得：222222222)()(xyb xyab xya b a xy xb ya b a yb x a ++=+=+⇒+=+ 0)(022)()(2222222=-⇒=-+⇒=-+-⇒bx ay xyab b x a y xyab b xy x a xy yb a a x bx ay +=⇒=⇒，ba by +=故原式3222323)()()(b a b a b b a a yb x a +=+++=+=1． 注意条件与结论元的次数关系，从而选择元，可使解法简单． 2． 此法可使多元向一元转化． 例8 已知：+∈R c b a ,,，求证：1888222≥+++++=abc c acb b bca a A ．证明：设bca a x 82+=，acb b y 82+=，z =∴ 2222228118181abcx a bc a bc a x =-⇒+=+= 同理得：22811b acy =-，22811c ab z =- ∴ 32228)11)(11)(11(=---zy x 若1<++z y x ∴1,,0<<z y x 这时：)1)(1)(1(1)11)(11)(11(512222222222z y x z y x z y x ---⋅=---= ])][()][()[(1222222222z z y x y z y x x z y x z y x -++-++-++>))()()()()((1222z y z y x x y x z z y x z x z y y x z y x ++++++++++++=51282413222344443222==⨯≥z y x z x y z y x 矛盾故1≥++z y x ，即原不等式得证．1． 注意a 、b 、c对称，且各项齐次，所以它们作元．2． 注意常数可化作任意次，这里需变为2次．3． 由512 = 28，所以用基本不等式的项数应为偶数项（即注意系数的关系）． 4． 此题中的8可改为k ，且08k <≤即可．让我们再回到常数与变数的问题上来，如果解决问题时，将常数和变数都视为地位平等的“元”，许多问题将迎刃而解． 例9 解方程：（1）0214413233=---λλλ；（2）0424911763233=-+-x x x ．解：（1）令34=a ，43=a∴ 0240211223323=---⇒=---λλλλλλa a a a a 令y a =λ ∴ 0)22)(1(024223=--+⇒=---y y y y y y 3102212±=⇒=---=⇒y y y y 或 ∴ 33323143143141-=+=-=λλλ（2）令a ，则a 3 = 7∴ 原方程化为：322611420x ax a x -+-= 06)1(11)1(6)1(23=-+-x ax a x a 再令x ay 1=∴ 3210)65)(1(06116223===⇒=+--⇒=-+-y y y y y y y y y 或或 33323173727===⇒x x x1． 常数作元可看出各项及各因子的次数的关系，从而化为整数，可得有理根． 2． （2）的元是显然的．3. 让我们再回到常数与变数的问题上来，如果解决问题时，将常数和变数视为低位平等的“元”，许多问题迎刃而解。
高观点下初等数学的内涵及实现途径探析
例如，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九称这个三角形为“杨辉三
角”，揭示了二次项（a + b）n （ n =1，2，3，4，5）展开后的系数
规律，即
（a + b)1 = a + b ˄a + b)2 = a2 + 2ab + b2
˄a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ˄a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
关键词：高观点 初等数学 实现途径 数学核心素养
一、“高观点下初等数学”的研究背景 随着数学在现实生活和科技发展中的广泛应用，提高学生的 数学素养引起了数学教育研究的普遍关注[1]。落实发展学生数学素 养，关键是要帮助学生学会“用数学的眼光观察现实世界、用数学 的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”。为了有效地 进行数学素养培养，“我们必须掌握学生的数学思维活动的一般方 法和规律，而这又需要有关于数学思维活动的一般方法和规律的理 论指导，即需要数学方法论的指导”[2]。“‘贯彻数学方法论的教育 方式’并非在课堂上向学生讲授数学方法论或数学观，而是把数学 观、数学方法论的思想有机地融入数学教学中”。“克莱因强调要用 近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积 分的教学，改革和充实代数的内容，倡导‘高观点下的初等数学’ 意识”[3]。即追求“高观点下初等数学”的教学，“教师在向学生传 授具体数学知识的过程中，要注意发挥数学知识中所包含的数学思 想方法的作用，向学生充分展示数学知识的获得过程”。建构“高 观点下初等数学”教学，是为了让学生经历相应的数学思维活动过 程，发展学生数学核心素养。 二、“高观点下初等数学”的概念界定 “高观点”不是狭隘的大学数学知识，而是将经典高等数学和现 代数学的知识、思想以及方法融入进去，用高等数学的视角看待中 学数学，用更高层次的思想方法剖析中学数学产生的问题”[4]。本 文把高观点下的初等数学理解为：用简单或通俗易懂的方法介绍并 且适当补充与初等数学知识密切相关的现代数学内容，用较高的视 角或较高的观点研究初等数学，分析相关概念、思想和方法及现代 数学与初等数学之间的联系。具体来说，高观点下初等数学能深入 研究疑难问题、简化复杂问题；引导学生对数学思想方法的挖掘和 应用；能居高临下地看待初等数学中的具体问题。这样，教师在数 学教学过程中，要以“高观点初等数学”为背景，努力引导学生对 数学学习过程中所包含数学思想方法的领会，从而既能使教学变得 更有成效，又能更好地发挥学生的认知潜能。 三、高观点下初等数学教学实现的途径 “高观点视角下剖析初等数学问题，将会使问题显得更加清晰、 透彻”。能帮助学生“从本质上看问题，对于复杂的事物、现象， 有意识地区分主要因素与次要因素、本质特征与表面现象”，从而 培养数学核心素养中的数学抽象。教师在常规教学中，“如何运用 高等数学的知识，从更高的层面重新认识初等数学中重要的概念、 理论及背景，如何运用高等数学的方法统一解决初等数学中一类 问题，更深刻地认识初等数学与高等数学之间的内在联系”。以期 在“高观点”指导下，“使学生通过特定学科知识、技能的学习，思 想、价值的熏染而获得面对自我、他者以及世界所应具备的重要思
初等数学解题研究
初等数学解题研究近年来，在初等数学教育中，培养学生解决实际问题的能力变得越来越重要。
尤其是在审视数学问题和解决数学问题的过程，以及如何将知识应用于实际应用中，一直是学术界、教育界和社会密切关注的焦点。
为此，对初等数学解题研究，尤其是从解题行为分析的角度进行研究越来越重要。
以解题为例，以往的初等数学教育研究一般采用任务本体性研究方法，这种方法在确定教学行为目标之后，以客观、实用的方式提供初等数学解题的理论和实践指导，从而探讨解题行为知识体系的结构特点和解决过程的过程特点。
从认知角度看，初等数学解题行为可以概括为两个步骤：解决问题的过程步骤和结果步骤。
前者指的是学生根据问题的要求，将其组织起来，找出有效的策略，给出正确的结果；后者指的是学生能够审查结果，确定解题过程中是否存在错误，并及时纠正错误。
从认知解释的角度看，初等数学解题行为可以被解释为学生有能力去理解和控制复杂的问题及其解决过程。
在解决问题的过程中，学生要控制自己的情绪，把握思考过程，理解问题的本质，选择有效的解题策略，正确分析复杂问题，并根据解题结果进行检验。
从发展角度看，初等数学解题行为也有一定的发展规律。
首先，小学阶段，学生对于数学解题行为具有较强的操作性，可以按照步骤操作，指导老师介绍的方法来解决问题；中学阶段，学生对于数学解题行为的理解能力可能增强，可以把握解题过程的规律性，自主判断问题的类型，根据不同的解题策略进行解决；与此同时，随着年龄增长，学生可以自己控制自己的情绪，提高解题速度和效率，在更复杂的解题过程中保持良好的思维活动。
另外，社会环境也会影响初等数学解题行为的发展，学校的管理和考试制度，家庭环境和学习氛围，领导老师和家长的教育方式，以及师生之间的交流等，都是影响学生解决实际问题的能力的重要因素。
总之，初等数学解题研究会对学校教育有重要的意义，可以加强学生解决实际问题的能力，增强学生自主性学习和独立性思考的能力，加深学生对数学的激发以及理解，帮助学生发展良好的数学概念，加深和拓展其解决问题的过程。
初等数学与解题研究解析
5．有理数集是可数集．
一切能与正整数集建立一一对应关系的集合叫做可数集．把一切正 有理数写成既约分数m/n的形式，按以下的方法来排列所有的有理数：
(1)0排在最前边；
(2)对于正分数，按照它的分子与分母的和的大小排列，较小的和排在 前边，较大的和排在后边．如果和相等，分子大的排在前边；
(3)对于负分数，把它紧排在与它的绝对值相等的正分数的后边；
1．有理数集是一个数域(记为Q)，且是最小数域． 2．有理数域是有序域． 3．有理数域具有阿基米德性质．
“阿基米德性质”——即设a，b为任意两个自然数，则存 在自然数n，使得nb＞a 有理数域具有阿基米德性质，即对于任意的正有理数a，b， 必存在n∈N，使na＞b．
4．有理数域具有稠密性．
有理数域具有稠密性，即任意两个有理数a，b(设a＜b)之 间总存在无限多个有理数．
备选内容
• 华罗庚金杯试题分析（小学、初中） • 希望杯试题分析（初中） • 五羊杯试题分析（初中）
要求
• 选取全国各地典型题目 • 分析命题特征 • 解答分析 • 解读试题的解答方法策略、难点突破 • 编制模拟试题（不能使用已有题目）
五一前中期检查（典型题目确定，并有相关的解 答）
期末考试前汇报，并提交ppt和word文档。
• 因此，数学教育中解题教学几乎成了实现数学教 学目的的必不可少的手段。
解题教学是模仿教学，还是思维教学
• 解题教学是模仿教学？？？？
• 模仿教学，简单地说，就是解题教学以教 师课堂解例题为示范，学生课后模仿练习 为主，把教学建立在学生的模仿性、被动 性和依赖性上，实质是一种接受学习。
• 17 世纪捷克教育家夸美纽斯
• 解题教学不仅要向学生暴露“怎样解题”的思维 过程，还要向他们展示“为什么这样解”以及 “怎样学会解”的解题认知结构建构的思维方法， 教师应尽量让学生的解题思维活动显性化，也就 是多让学生进行交流思考，使学生清晰地认识到 自己解决问题的依据、步骤、原因和所产生的思 维障碍。换言之，解题教学的金科玉律是达到对 学生思维训练的目的，因而，解题教学本质上应 该是一种思维教学。
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高观点下的初等数学的解题研究
用大学所学的数学分析、代数学和线形代数等现代数学的思
想方法解释和理解中学数学，用通俗易懂的语言揭示现代数学的
解题的思想方法，找出现代数学与中学数学的结合点，从高观点
来引领初等数学，让学生认为数学并不是孤立的学问，并把解数
学题当做一种兴趣，一种挑战。
“解题”不同于“题海战术”。波利亚认为，一个数学教师，
如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就
扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展„．”因此他主张，
与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有
意义但又不太复杂的题目，去帮助学生深入发掘题目的各个侧
面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新
的天地。
在解数学问题时，学生往往把它看做很多知识的复杂体，所
以总是把一个个公式定理一字不漏的背下来，其实我们应该把数
学看做一个整体，把做数学题目当做一种游戏，数学的知识就像
一个蜘蛛网一样是连起来的，而不是一个单独的知识个体。而数
学问题可以由四部分组成，那就是：条件、目标、运算、依据。
用简单的话来说就是：从一道题目中我们首先找到已知的条件，
然后看题目要我们求什么即目标，接着就是具体操作，也就是计
算推到等，最后分析运用了什么定理。
从数学在科学起源及发展中的巨大作用来看，随着重大数学
问题的解决，使得科学堡垒一个又一个地攻克，加速了社会的发
展，造就了人类的高度文明。解题当然离不开方法，研究解题离
不开研究解题方法，解题实践告诉我们，方法是人们为达到认识
世界、改造世界的某种目的而采取的手段或操作的总和。方法比
借助于它丽获得的具体结果更为重要，具体的结果都有其有限的
适应范围和界限，而方法，只要运用得当，则可产生一个又一个
的新结果。任何有限的结果都会历史地消逝．而作为工具或手段
的方法则要相对长期地保存下来，成为人类文化中具有长效价值
的珍贵财富。因此，掌握了方法将使人们终身受益．解题的主要
日的之一。也就在于掌握一定的方法以形成有利于今看解决实际
问题的迁移能力．因此，对于解题方法在解题中所处的地位的中
心性我们不能仅仅是知道或认识，在数学解题研究中，一定要真
正体现这个中心系统，围绕这个中心而展开工作，研究其系统建
构，还要研究这个中心系统中的轴心系统及其系统建构。
例如：如果 0123ax是关于一元一次方程，那么a的值是
多少？
这道题中方程不管有多复杂，但从已知出发就容易发现题目
能迎刃而解了，一元一次方程含有2个信息，第一是只含有一个
未知数，第二是未知数的指数都是1。这道题的中心思想就是一
元一次方程的概念，不管方程怎么复杂只要掌握并理解了一元一
次方程的概念都能迎刃而解，题目都是万变不离其宗的！
为学会解题打题海战术只是机械的记住题目，解题最重要的
一点就是掌握题目的核心思想，从题目的已知出发慢慢剥开，找
到题目的根源，解题时才能举一反三！