《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛训练题(1)
高中竞赛奥林匹克数学训练题
数学奥林匹克高中训练题 第一试 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．(训练题34)对于一切实数x，所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜b)的值恒为非负实数. 则a+b+cM=b-a的最小值是(D)． (A)21 (B)31 (C)2 (D)3 2．(训练题34)已知曲线y2=ax与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点. 如果过这两个交点的直线的倾斜角为45°，那么实数a的值是(A)． (A)2 (B)4 (C)21 (D)41 3．(训练题34)已知△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2－a－2b－2c=0，a+2b－2c+3=0. 则△ABC最大内角的度数是(B)． (A)150° (B)120° (C)90° (D)60° 4．(训练题34)设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为常数. 如果f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，那么1[f(4)+f(0)]4的值是(C)． (A)1 (B)4 (C)7 (D)8 5．(训练题34)设函数22()(1xxnyfxxRxx且*1,)2nxnN的最小值为an，最大值为bn，记cn=(1－an)(1－bn). 则数列{cn} (C)． (A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为1的等比数列 (C)是常数列 (D)不是等差数列也不是等比数列 6．(训练题34)设M是集合S={1，2，3，…，1998}的子集，且M中每一个正整数（元素）仅含有一个0. 则集合M所含元素最多有(D)． (A)324个 (B)243个 (C)495个 (D)414个
二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题34)已知关于x的实系数方程x2－2x+2=0和x2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面内对应的点共圆，则m取值的集合是 311,,2mmorm
．
2．(训练题34)已知33sinαcosαkπ==3(a,kZ)ππ4sin(-3α)cos(-3α)66. 则tan2α
华杯赛高中试题及答案
华杯赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_2 = 2，且a_n = 3a_(n-1) - 2a_(n-2)，求a_3的值。
A. 4B. 5C. 7D. 8答案：B3. 若复数z = 1 + i满足|z| = √2，求z的共轭复数。
A. 1 - iB. -1 + iC. -1 - iD. 1 + i答案：A4. 对于函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数f'(x)。
A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β = ______。
答案：56. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (1, 2)，求向量a与向量b的数量积。
答案：-47. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(x)的最小值。
答案：08. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a = 2，b = 1，求该双曲线的渐近线方程。
答案：y = ±x/2三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求证f(x)在区间[1, 2]上单调递增。
证明：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令f'(x) = 0，解得x = 1 或 x = 2/3。
当x ∈ (1, 2)时，f'(x) > 0，说明f(x)在区间[1, 2]上单调递增。
答案：证明完毕。
10. 已知椭圆方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a = 3，b = 2，求该椭圆的离心率。
专题02 高一学科素养能力竞赛不等式专题训练(解析版)
第2讲 高一学科素养能力竞赛不等式专题训练【题型目录】模块一：均值不等式 模块二：柯西不等式 模块三：权方和不等式 模块四：培优试题精选模块五：全国高中数学联赛试题精选 【典例例题】 模块一：均值不等式1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=（1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：2n n G a =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：2nn a Q n++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈【例1】0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______. 【答案】32m ≤【解析】因为21a b +=，所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭1122a b b b a b +=++++322a b b b a b+=+++333222≥+=+=+ 当且仅当2a b bb a b+=+，即1)a b =时，取等号， 因为不等式1102m b a b +-≥+恒成立，所以m 小于等于112b a b++最小值，所以32m ≤ 【例2】若， ，则的最小值为__________． 【答案】232+【解析】因为3=+n m ，所以21=+-n m ，所以1221=+-nm ，所以232232112212111221112112+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-n m m n n m m n n m n m n m当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-3211n m n m m n，等号成立.【例3】若b a ,是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为 ． 【答案】322+【解析】因为1=+b a ，所以()b a b a b a a b a ab b a a ab a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=++=+1212111111322322122+=+⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+++=b a a b b a a b ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=12b a b aa b ，等号成立.【例4】设2=+b a ，0>b ，则ba a ||||21+的最小值是 ． 【答案】43 【解析】因为2=+b a ，所以1,0m n >>3m n +=211m n+-14412444421+=+≥++=++=+aa a ab a a b a a b a a b a b a a ， 当0>a 时，45141||||21=+≥+b a a ，当当0<a 时，43141||||21=+-≥+b a a 【例5】已知正实数x ，y 满足211x y +=，则436xy x y --的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得2xy x y =+，则4362xy x y x y --=+，再由乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：由0x >，0y >且211x y +=，可得2xy x y =+，所以43648362xy x y x y x y x y --=+--=+()2142448y x x y x y x y ⎛⎫=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即4x =，2y =时取等号． 故选：C【例6】若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】对已知条件和要求最值的代数式恒等变形之后应用均值不等式即可求解 【详解】()()232111a b a b +=⇒-+-=因为12a >，1b >，所以210a ->，10b -> 又221111112211211211a b a b a b a b a b -+-++=+=++------ 所以()()1111211211211a b a b a b ⎛⎫+=+-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭21122224121a b b a --=++≥+=+=-- 当且仅当23211121a b a b b a +=⎧⎪--⎨=⎪--⎩即34a =，32b =时，取等号所以21126211211a b a b a b +=++≥---- 故选：A【例7】已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是( )A ．49B ．50C ．51D ．52【答案】B 【解析】 【分析】将1a 中分子1替换为a +b ，将8b中分子8替换为8(a +b )，化简即可利用基本不等式求该式子的最小值． 【详解】由已知，得188********a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭916262650b a a b =++≥+， 当且仅当916b a a b =，即37a =，47b =时等号成立． 因此，1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是50．故选：B ．【例8】设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．1. 【解析】 【分析】两次运用“1”进行整体代换，结合基本不等式，即可得结果. 【详解】因为1x y +=，所以2211122222222x x x y x x x y x yxy xy y y x y y x+++++==++=++1122222x x y y y x =++++1112x y y x =++≥=当且仅当1,2x y ==212x xy+1，1.【例9】已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】 由题得313a b b a+=+，再利用基本不等式求出2(3)a b +的最小值即得解. 【详解】解：由题得331(3)3,3a b ab a b a b a b ab b a++=+∴+==+，所以23133(3)()(3)101016a b a b a b b a b a +=++=++≥+=. (当且仅当1a b ==时取等)因为34a b +≥，所以3a b +的最小值为4. 故答案为：4【例10】若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥++------当且仅当2111x y =--，即11x y ==“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+. 故选：D【例11】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z ++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.【例12】已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为 ________．【解析】 【详解】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴1315{{43225λλμλμμ=+=⇒+==，∴111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b+++=+⋅+++=++++++++35≥21{2(3)34343a b a b a b a b a b+=++⋅++时，等号成立，即11343a b a b +++考点：基本不等式求最值．【思路点睛】用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件． 【例13】对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（ ） A. 1x y +≤ B. 2x y +≥- C. 222x y +≤ D. 221x y +≥【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=+++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当x y ==时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误． 故选：BC ．模块二：柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. （2）已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >=则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++ （3）已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++ 【例1】（柯西不等式）实数x 、y 满足223412x y +=，则2z x =+的最小值是（ ） A ．5- B ．6-C ．3D ．4【答案】A【解析】实数x 、y 满足223412x y +=，22143x y ∴+=，()()222169243x y x⎛⎫∴++≥+ ⎪⎝⎭，525x -≤≤， 当且仅当8y =时取等号，2z x ∴=的最小值是5-.故选：A. 【例2】若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ） A ．14 B ．114C ．29D ．129【答案】B【解析】根据柯西不等式：()()2221492231x y z y z ++++≥++=，即222114x y z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立.故选：B. 【例3】已知：221a b +=，221x y +=，则ax by +的取值范围是（ ） A ．[]0,2B ．[]1,1-C ．[]22-,D ．[]0,1【答案】B 【分析】利用柯西不等式，可得()21ax by ≥+,解不等式即可. 【详解】解:利用柯西不等式，得221a b +=,()()()222221xb a b y ax y =+≥++，解得11ax by -≤+≤. 故选:B 【点睛】本题是一道求代数式取值范围的题目，关键是掌握柯西不等式.【例4】已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．【答案】C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题. 【例5】若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ） A ．14 B ．114C ．29D ．129【答案】B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y z y z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.【例6】“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac+bd ）2当且仅当ad＝bc （即a bc d=）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()f x =的最大值及取得最大值时x的值分别为（ ）A 215B 215C 6113D 6113【答案】A 【分析】将【详解】由柯西不等式可知：()22222215⎡⎤++=⎣⎦所以≤=x ＝215时取等号，故函数()f x =的最大值及取得最大值时x 215， 故选：A ． 【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。
高中奥赛高一试题及答案
高中奥赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a=(3,-1)，b=(2,1)，则向量a+b的坐标为：A. (5,0)B. (5,1)C. (1,0)D. (1,1)3. 函数y=x^3-3x的导数为：A. y'=3x^2-3B. y'=x^2-3xC. y'=3x^2+3D. y'=x^3-34. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，则A的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，若双曲线C的渐近线方程为y=±(√3)x，则双曲线C的离心率为：A. √3B. 2C. √2D. 36. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则该数列的前n 项和Sn为：A. 2^n-1B. 2^(n+1)-2C. 2^n-1D. 2^(n+1)-17. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f'(x0)=0，则x0的值为：A. 0B. 1C. -1D. 28. 已知直线l的方程为y=kx+b，若直线l与圆x^2+y^2=1相切，则k的取值范围为：A. -1≤k≤1B. -√2≤k≤√2C. -1<k<1D. -√2<k<√29. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)在区间[1,3]上单调递减，则该区间的取值范围为：A. [1,2]B. [2,3]C. [1,3]D. [0,3]10. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则该数列的第n 项an为：A. 3n-1B. 3n+2C. 3n-1D. 3n+2二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f(-1)的值为：________。
高一数学竞赛培训教材试题
高一数学竞赛培训教材(一)集合与容斥原理集合是一种根本数学语言、一种根本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的根底。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的程度上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或者不等式(组)的解、表示充要条件，描绘排列组合，用集合的性质进展组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(一样或者不一样)数加起来得到的一个和数，此题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.那么X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：〔1〕一切奇数属于M;〔2〕4k-2(k∈Z)不属于M;〔3〕M中任意两个数的积仍属于M。
3.函数f〔x〕=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)假设A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素确实定例2．集合M ＝{X ，XY ，lg(xy)}，S ＝{0，∣X ∣，Y}，且M ＝S ，那么(X ＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2021＋1/Y2021)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出X 和Y 的值，而X 和Y 分别是集合M 与S 中的元素。
高一希望杯数学竞赛试题
高一希望杯数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求\( f(-2) \)的值。
A. 3B. -1C. 1D. -32. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，求\( \cos 30^\circ \)的值。
A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{6}}{3} \)D. 15. 若\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值。
A. -1B. -2C. 1D. 26. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
A. 32B. 35C. 38D. 41二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。
2. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \)，且\( xy = 12 \)，求\( x - y \)的值。
3. 将\( 3x^2 - 6x + 2 \)分解因式，结果为______。
4. 一个正六边形的内角为______度。
5. 若\( \log_{2}8 = 3 \)，求\( \log_{4}8 \)的值。
三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：\( |x - 3| < 2 \)。
2. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \)。
专题02 高一学科素养能力竞赛不等式专题训练(原卷版)
第2讲 高一学科素养能力竞赛不等式专题训练【题型目录】模块一：均值不等式 模块二：柯西不等式 模块三：权方和不等式 模块四：培优试题精选模块五：全国高中数学联赛试题精选 【典例例题】 模块一：均值不等式1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=（1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：12nn n G a a a =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：22212nn a a a Q n+++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a bab +≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈【例1】0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______. 【例2】若， ，则的最小值为__________． 【例3】若b a ,是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为 ．【例4】设2=+b a ，0>b ，则ba a ||||21+的最小值是 ． 1,0m n >>3m n +=211m n+-【例5】已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12【例6】若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2【例7】已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是( )A ．49B ．50C ．51D ．52【例8】设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．【例9】已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.【例10】若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ） A ．3 B ．562C ．36D ．322+【例11】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【例12】已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为 ________．【例13】对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（ ） A. 1x y +≤ B. 2x y +≥- C. 222x y +≤ D. 221x y +≥模块二：柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. （2）已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >=则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++ （3）已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++ 【例1】（柯西不等式）实数x 、y 满足223412x y +=，则23z x y =+的最小值是（ ） A ．5- B ．6-C ．3D ．4【例2】若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ） A ．14 B ．114C ．29D ．129【例3】已知：221a b +=，221x y +=，则ax by +的取值范围是（ ） A ．[]0,2 B ．[]1,1-C ．[]22-,D ．[]0,1【例4】已知a ，0b >，5a b +=13a b ++ ） A ．18 B ．9C ．32D ．23【例5】若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ） A ．14 B ．114C ．29D ．129【例6】“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac+bd ）2当且仅当ad ＝bc （即a bc d=）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()254f x x x =--的最大值及取得最大值时x 的值分别为（ ） A 521,5B 213,5C 1361,13D 6129,13【例7】已知x ，y ∈R ，且3x y +=22124x y ++______.【例8】已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为______．模块三：权方和不等式二元：已知,,,x y a b R +∈，则有：2a b a bx yx y+≥+（当且仅当:x y a b =时，等号成立）.一般形式：设,i i a b R ∈＋(1,2,,i n =⋅⋅⋅)，实数0m >，则11111()()nm m i ni i nm mi ii i a a bb ++===≥∑∑∑，其中等号当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时成立.称之为权方和不等式. 【例1】已知1x >-，0y >且满足21x y +=，则121x y++的最小值为________．【例2】已知20a b >>，1a b +=，则142a b b+-的最小值为 .【例3】 已知x ＞0，y ＞0，且1x y +=则2221x y x y +++的最小值是 ．【例4】已知()0,3x ∈，则28132x y x x-=+-的最小值为 .【例5】已知正实数x ，y 满足x +y ＝xy ，则19+11y x y --的最小值是 ．模块四：培优精选试题【例1】已知实数a ，b 满足2214ab -=，则232a ab +的最小值为（ ）A ．642+B ．82C ．462+D ．622+【例2】已知00a b >>，，且4a b ab +=，则下列不等式不正确的（ ） A ．16ab ≥B ．2642a b +≥+C ．0a b -<D ．2211612a b +≥ 【例3】已知正实数x ，y 满足()()2224111x x y y ++=，则2x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．32【例4】已知正数x ，y 满足()()382232x y y x y x +=++，则xy的最小值是（ ）A ．58B ．54 C ．43D ．74【例5】若对任意实数0,0x y >>，不等式()x xy a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A 21- B 21 C 21 D 21+【例6】若a ，b R ∈，0ab >，则4441aba b ++的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【例7】已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（ ）A ．2299x x ++的最小值为2 B ．若20ab a b --=，则28a b +≥C ．若2a b +=，则149a b +≥D ．若111123a b +=++，则146ab a b ++≥+【例8】已知x ，y 是正实数，则下列选项正确的是（ ）A ．若2x y +=，则11x y +有最小值2 B ．若3x y +=，则(1)x y +有最大值5C ．若41x y +=，则2x y 2D ．214x y x y ++有最小值94【例9】已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是（ ） A ．xy 的最大值为625B 32x y 5C ．32x y +的最小值为52D ．22xy +的最大值为10013【例10】已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为14 B ．2b a b +的最小值为22C ．221155a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为15D ．2221a b a b +++的最小值为14【例11】已知正数,a b 满足34318a b a b+++=，则3a b +的最大值是___________.【例12】若实数m ，n 满足2241m n +=，则421mnm n +-的最小值是___________.【例13】已知正数a b ，满足1a b +=，R c ∈，则222313a c bc b abc ab++++的最小值为__________.【例14】已知223640+-+=a b b ，则2(3)64+-a b b 的最大值为________．【例15】已知实数0,0x y z ≥>>，则234222x y z xx y y z+++++的最小值为_________．【例16】设0a b c >>>，则221121236()a ac c ab a a b ++-+-最小值为________【例17】设x y z w R +∈、、、，则2222xy yz zwx y z w +++++的最大值为________.模块五：全国高中数学联赛试题精选【例1】（2020甘肃预赛）设,x y 均为正数，则433x yM x y x=++的最小值为 .【例2】设n 为自然数，b a ,为正实数，且满足2=+b a ，则nn ba +++1111的最小值是 ．【例3】【2019年省数学竞赛】已知实数a,b,c 满足a 2+b 2+c 2=1,求()c b a abc M ++=的最大值.【例4】【上海数学竞赛】对一切正实数x,y ，都有()()ky x y xxy132222≤++，则k 的最大值为 .【例5】已知正数c b a ，，满足1=++c b a ，求cb c b a P +++=22222的最小值.【例6】已知正数c b a ，，满足1=++c b a ，求cabc ab bcP +++=1的最小值.【例7】设n 为自然数，对于任意实数z y x ,,，恒有())(4442222z y x n z y x ++≤++成立，则n 的最小值是 ．【例8】已知n a a a ,,,21 是n 个正数，满足121=n a a a ．求证：()()()nn a a a 322221≥+++ ．【例9】设n x x x ,,,21 都是正数，求证：n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 211221322221．【例10】已知a ，b ，c 是正数，求证：()().32424242333a c c b b a c b a ++≥++。
全国高中数学竞赛试模拟训练习题
加试模拟训练题（ 19） 1、给定一个半圆周， 其直径为 AB ，圆心为 O ，一直线与半圆周相交于点 C , D ，且与 AB 的延长线交于点 M ，其中 MB MA, MD MC 。设 AOC , BOD 的外接圆 O1 ,O2 的第二
个交点为 K ，证明 MKO 是直角。
2、 设 a 0, n N , 求证 1 a 2 a4 a 2n n 1 (5)
a a3 a2 n 1 n
3、 一个国际社团的成员来自六个国家，共有成员 1978 人．用 1，2，3， ， 1977，1978 编号，请证明，该社团至少有一个成员的编号数，与他的两个同胞的编号数之和相等，或是一个同胞的编号数的二倍．
4、设 a、 b、c 为满足不等式 1＜a＜ b＜ c 的整数，且（ ab-1 ）（ bc-1 ）（ ca-1 ）能被 abc 整除，求所有可能数组（ a， b， c） .
加试模拟训练题（ 19） 1、给定一个半圆周， 其直径为 AB ，圆心为 O ，一直线与半圆周相交于点 C , D ，且与 AB
的延长线交于点 M ，其中 MB MA, MD MC 。设 AOC , BOD 的外接圆 O1 ,O2
的第二
K MKO 证明 法一 连 OO1交 O1于点 P ， OO2 交 O2 于点 Q ，因为 O1O
2 OK, PQ
∥
O1O2 ，且 K 在 PQ 上，所以只要证 P,Q , M 三点共线。由于 OP 是 O1 的直径，因此 PA 与
O 相切。同理 PC , QB, QD 也均与 O 相切。过 P 作 QD 的平行线，与 DC 的延长线交于
点 E，则 CEP MDQ ECP ，所以 PE PC PA ，即 PAE 与 QBD 均是等腰 三角形，且对应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即 P,Q, M 三点共线。
法二 设 AC,BD 交于点 N ， AD,BC 交于点 H ，则 H 为 NAB 的垂心。连 MH ，分 别交 AC,BD 于点 X ,Y ，则 N,C, X , A及 N,D,Y,B 为调和点列，所以 MH 是 N 关于 O 的 极线，于是 ON MH 。同理 OM NH ，且O是 HMN 的垂心。由蒙日定理得 OK 过点 N ， 于是有MH OK。设 NH与 AB 交于点 T ，则 NH NT NC NA NK NO，所以
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高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com 京翰教育http://www.zgjhjy.com/ 《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛训练题（一） 竞赛命题组 为适应当前中学数学教育改革的新形势，积极推进基础教育课程改革，实施素质教育，引导中学师生共同开展数学创新能力、数学实践能力、数学阅读理解能力等课题的研究和实践，为教师的教学研究提供新的素材，为学生提供展示才能的舞台，第一届《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛将于2002年5月举行。竞赛命题组编制了两套训练题，于双号的第6、第8期刊出，并在今年6月份的第12期上刊出竞赛试题与解答，欢迎大家订阅。
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每题给出的四个选项中，有且仅有一个是符合题目要求的。请将你认为符合题目要求的选项的代表字母填在题后的括号内。不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设集合}5,2{A，则满足}5,2{BA的集合B的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 [答]（ ） 2．已知)n(f是关于正整数n的命题。小张证明了命题)3(f),2(f),1(f均成立，并对任意的正整数k，在假设f(k)成立的前提下，证明了)mk(f成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明)n(f对一切正整数n均成立，则m的最大值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 [答]（ ）
3．函数xsin1xsin1y的单调递增区间是
（A）Zk],k,2k[。 （B）Zk],2k,k[ （C）Zk],2k,42k[ （D）Zk],42k,2k[ 高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com 京翰教育http://www.zgjhjy.com/ [答]（ ） 4．某电视台的颁奖礼盒用如下方法做成：先将一个奖品放入一个正方体内，再将正方体放在一个球内，使正方体内接于球；然后再将该球放入一个正方体内，球内切于该正方体，再将正方体放入一个球内，正方体内接于球，„„如此下去，正方体与球交替出现。
如果正方体与球共有13个，最大正方体的棱长为162cm。奖品民羽毛球拍、蓝球、乒乓球拍、手表、项链之一，则奖品只能是
（构成礼品盒材料的厚度忽略不计） （A）项链 （B）项链或手表 （C）项链或手表，或乒乓球拍 （D）项链或手表，或乒乓球拍，或蓝球。 [答]（ ）
5．平行移动抛物线x3y2，使其顶点的横坐标非负，并使其顶点到点)0,41(的距离比到y轴的距离多41，这样得到的所有抛物线所经过的区域是 （A）xOy平面 （B）x2y2 （C）x2y2 （D）x2y2 [答]（ ） 6．现有长为7.4m的圆钢一根，要将它截成长为2.9m，2.1m和1.5m的三种圆钢若干根，使材料的利用率超过95%，则不同的截取方案有（注：截断时截口的损耗忽略不计）
（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种 [答]（ ）
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分。要求直接将答案写在题中的横线上。 高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com 京翰教育http://www.zgjhjy.com/ 7．已知f(x)是一个函数，对于任意整数x，有3)2x(f))x(f(f。又3)4(f,4)1(f，则)5(f=____________。
8．一个人在山水相连的湖边游玩，当他走到一高出水面5m的山坡上正要观看水中的景色时，突然发现水中有只老鹰，此时，他观看的俯角约60°，他马上抬头搜索，当仰角约为45°时，他看到了老鹰，那么老鹰距水面约_________
米。（732.13，答案保留一位小数）
9．如图，在正四面体A-BCD中，E，F，G分别是三角形ADC，ABD，BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影可能是____________（把所有可能的图的序号均填上）
10．设正实数m,x,y,z都不等于1，实数a,b,c互不相等。给出下面三个论断：
①a,b,c成等差数列； ②x,y,z成等比数列； ③-0log)(log)(log)(zbayacxcbmmm。 以其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的所有命题______________________。（用序号和“”组成答案）
三、解答题：本大题共5小题，共100分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。 高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com 京翰教育http://www.zgjhjy.com/ 11．（本题15分）如图，以矩形ABCD的AB边为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，P是x轴上方一点，使得PC，PD与线段AB分别交于点11D,C，且|BC||,CD||,AD|1111成等比数列，求动点P的轨迹方程。
12．（本题15分）菱形ABCD的边AB=5，对角线BD=6，沿BD折叠得四面体ABCD，已知该四面体的体积不小于8，求二面角A-BD-C的取值范围。
13．（本题20分）在（0，1]上定义函数.1 ,1,121 ),1(2,210 ,2()时当时当时当xxxxxxf 又利用f(x)定义一个数列：取]1,0(x0，令,...n,...,3,2,1i),x(fx),x(fxi1i01 1）当1.0x0时，写出这代上数列； 2）当3.0x0时，写出这代上数列； 1）当)1,0(x0，且由0x产生的数列从某一项开始以后均为常数，求0x。 14．（本题25分）某人现有6万元人民币，他准备存入银行以备6年后买房。银行有以下几种定期储蓄方式可供选择：1年期，年利率为2.3%；2年期，年利率为2.6%；3年期，年利率为2.7%；5年期，年利率为2.9%。设银行定期储蓄的年利率在6年中保持不变。年利率为p的n年存款a元期满时的利息为高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com 京翰教育http://www.zgjhjy.com/ npa。若提前兑取，将按活期计算利息（年利率为0.99%）。又国家规定银行利息要交纳利息税，税率为20%，由银行代扣。问此人到银行选择什么样的存款方法最好？6年后他最多可取出多少钱买房？（计算过程均保留3位小数）
（以下数据可供使用：
)263.1081.1 ,169.1081.1083.1027.1 ,055.1027.1164.1052.1 ,107.1052.1080.1026.1 ,053.1026.1071.1023.1 ,047.1023.13232323232
15，（本题25分）设x>1,y>1，设)xy(logkxlogylogH,xlogylogt2y2x4y4xyx。
1）将H表示为t的函数)t(fH，并求出此函数的定义域； 2）若关于t的方程0)t(f有且仅有一个实数根，求k的取值范围。
答案与提示 一、D C A B B C 1．B是A的子集，故B可能为φ，}5,2{},5{},2{。 2．根据数学归纳法的基本原理知m的最大值为3。 3．因y>0，易证y与2y具有相同的单调区间。.|xcos|22xsin12xsin1xsin1y22
而|xcos|的周期为π，故只需研究2y在[0，π]内的单调性，在[0，π]内2y
的单调区间为,2，从而2y的单调增区间为)Zk](k,2k[，故y的单调增区间为)Zk](k,2k[。 4．因正方体的中心与外接球的中心相同，设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，则 高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com 京翰教育http://www.zgjhjy.com/ 4a3R,a3R42222即
。
而半径为R的球的外切正方体的棱长R2b，所以相邻两个正方体的棱长之
比为3R32R2ab。因为有7个正方体，设最小正方体的棱长为t，则,t27)3(t1626得)cm(6t。故礼品为手表或项链。
5．首先求出到点)0,41(的距离比到y轴的距离多41的点的轨迹。设P（x,y）是合条件的点，则,41|x|41x2 两边平方并整理得,x21|x|21y2.xy,0x2 即到点0,41的距离比到y轴的距离多41的点的轨迹是xy2。设平移后抛物线的顶点为)a,a(2，平移后抛物线的方程为
),ax(3)ay(22 按a整理得0yx3ya2a222。 0)yx3(8)y2(,Ra22，化简得x2y2。
6．将截取的方案全部列举如下： 2.9m的根数 2.1m的根数 1.5m的根数 利用率 2 0 1 99% 1 2 0 97% 1 1 1 88% 1 0 3 100% 0 3 0 85% 0 2 2 97%