《高等代数与解析几何》第二章 行列式专题练习
第二章 行列式专题练习
一、选择题
1、行列式102211
3
21的代数余子式13A 的值是( )
（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．行列式01
1102
1
2
=-k k
的充分必要条件是 ( ) （A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k or 3
3．方程09
3
142
112
=x x
根的个数是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )
（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项
（A ）2!n （B ）2
2n （C ）2n （D ）2)1(-n n
6．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )
（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负
7．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )
A 行列式主对角线上的元素全为零
B 三角形行列式主对角线上有一个元素为零
C 行列式零的元素的个数多于n 个
D 行列式非零元素的个数小于n 个
8．如果03332
31
232221
131211
≠==M a a a a a a a a a D ，则33
32
31
23222113
12111222222222a a a a a a a a a D = = ( ) （A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M
9．如果13332
31
232221
131211
==a a a a a a a a a D ，33
32
3131
2322212113
1211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( ) （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24
10．若1
11111111
1111
01)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )
（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-
11．4阶行列式
4
4
3322110
0000
00a b a b b a b a 的值等于( ) （A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果
122
21
1211=a a a a ，则方程组 ??
?=+-=+-0
22221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )
（A ）22
2
1211a b a b x =，2
21
1112b a b a x =
（B ）22
2
1211a b a b x -
=，2
21
1112b a b a x =
（C ）22
21211a b a b x ----=
，2
211112b a b a x ----=
（D ）22
21211a b a b x ----=
，2
211112b a b a x -----
=
13、设A 为 n 阶可逆阵，且A = 2，则1
-A = （ ）
（A ）2 （B ）0.5 （C ）2 4 （D ）2 3
14、三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( B )
（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-7
15．如果方程组 ??
?
?
?=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( ) （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3
二、填空题 1、
12
11=--k
k ，则k= ； 2．排列36715284的逆序数是 ；
3．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 ；
4．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = ， j = ；
5. 行列式
=111
11011011
0111 ； 6．若方程2
2
514321434
3314
321x x --= 0 ，则x= ；
7．行列式
=2
1
1
2100
121
012 ； 8. 1
223054
03-- 中元素3的代数余子式是 ；
9. 设行列式4
32163021
111
8751=
D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式， 则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= ；
10. 若方程组??
?
??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx
仅有零解，则k ；
11. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解
12. 设A 为五阶矩阵，2=A ，*
A 为伴随矩阵，则=*
A ；
13. 设A 为三阶矩阵，3=A ，则=-A 2 .
三、计算题
1．598413
1
11 2．1
322133
21
３．
y
x
y
x x y x y y x y x
+++ ４．
00110000010
0100
５．0
001
0000
2000
010
n n - ６．
1
1
,221
11,111
n n n n a a a a a a --
7．
260
5232112131412- 8．
3
21421431432
4321
9.计算
3
11113111
1311
113. 10.计算D=
a
10
1a
100
1a 1
001a ---
11.计算D=4
4
332211a 0
b 0a b 00b a 0b 00a
12. 1
2125431
432321-=n n n
D n
13.
64
278116
9414
3211
111
14、2
001
5
2010
421
1
111=
A 15、
3
32
132
2132
113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++
16．
x
a a
a
x a a
a x
17. =n D 12111111111n a a a +++
18、解方程013
2
1
3221
3211
3
21
=-+-+-+-x
b b b b b b x b b b b b b x b b b b b b b n n n n n
19.解方程：2
2x 913251323
2x 213211--=0.
20.已知齐次线性方程组 ??????
???=++=++=++0
x x px 0x x 2x 0
x x x 321321321 ,当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时
有非零解？
21.用克莱姆规则解方程组??
?
??=+=++=+
+137x 4x 5x 1066x 2x 2x 528x x x 2321321321
四、证明题
已知：向量组，321,,ααα线性无关，证明：321211,,αααααα+++线性无关。
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业 第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式 4 4?=ij a D 中,含 24 a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设.21 22221 11211d a a a a a a a a a nn n n n n = 则._____1 221 22 211 12 1=n n nn n n a a a a a a a a a (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 11111---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 则 12 111222212 1 n n n nn n a a a a a a a a a =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 则d a a a a a a a a a n nn n n n -=112112122221 （ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ）√ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）×
行列式试题库
一．判断题 （易）1、n 阶行列式 11121212221 2n n n n nn a a a a a a a a a ??????????????是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）． 答案：× （较容易）2、6216 210 0000000λλλ=λλλΛΛ M M M M M ΛΛ． （ ）． 答案：× （较容易）3、8218 210 0000000k k k k k k ΛΛ M M M M M ΛΛ=．（ ）． 答案： √ （较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √ 二．填空题 （中等）1.设12345 77733 324523332246523 =A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________ 答案：0，0 （中等）2.1234 243141321432 = D , 求11213141+++A A A A =________ 答案：0 （较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3 （较容易）4.d b a c d b c a b d c a b d a c = ． 答案：0
（较容易）5. y x y x x y x y x y x x y x 323222 +++++= ． 答案：)(2y x xy +- （较容易）6. 621 7213424435431014327 427246-= 答案：510294?- （中等）7．已知三阶行列式 9 876543 21 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ）， 则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为 ． 答案： 9 873 21 c b a （中等）8． 设行列式3 0402222,07 5 3 22 D = -- 则第四行各元素余子式之和的值为 . 答案：–28 （较容易）9． 1111001 1110 y y y x x x --= ． 答案：22 x y （中等）10． 行列式 1 1 1 1 111111111111 --+---+---x x x x = ． 答案：4x （较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组??? ??=+μ+=+μ+=++λ0 200 321 321321x x x x x x x x x 有非零解． 答案：1，0
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
行列式经典例题及计算方法
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
高等代数作业第二章行列式答案
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高等代数第四次作业 第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式4 4?=ij a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设 .21 22221 11211 d a a a a a a a a a nn n n n n = 则 ._____1 221 22 211 121=n n nn n n a a a a a a a a a (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 111 11 ---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 则 12 111222212 1 n n n nn n a a a a a a a a a =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 则d a a a a a a a a a n nn n n n -=11211 2122221 （ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ）√ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）× 9. n n a a a a a a 212 1 = （ ）× 10. 0 1000 2000 010 n n -=n ！ （ ）× 三、选择题
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
行列式检验测试题(有规范标准答案)
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
高等代数作业第二章行列式答案
高等代数第四次作业 第二章行列式§—§4 —、填空题 1 ?填上适当的数字,使72__43__1为奇排列.6 , 5 2 ?四阶行列式D a j 44中,含a24且带负号的项为__________ a i1 a24a33a42 , a i2a24a3i a4 3 , a i3a2 4 a32a41 a11 a12 a1n a1n a12 a11 3 .设a21 a22 a2n d.则a2n a22 a21 a n1 a n2 a nn a nn a n2 a n1 n( n 1) (1)Fd 1 4 ?行列式11 1 1 x的展开式中,x的系数是 二、判断题 1.若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 ( a11 a12 a1 n a12 a1n L a11 2.设d = a21 a22 a2n 则a22 a2n L a21 L L L L a n1 a n2 a nn a n2 a nn L a n1 )x a11 a12 a1n a21 a22 a2n 3.设d = a21 a22 a2n 则 a n1 a n2 a nn d ( a n1 a n2 a nn a11 a12 a1 n 0 0 0 a x y z a )x 0 0b 4. 0 c y d z z abed () y z )x 6. abed 0 0 e f 0 0 g h 0 0 x y 7.如果行列式D的元素都是整数，则D的值也是整 数。 8.如果行列D的元素都是自然数，则 9. a1 a2 a1 a2 a n a n 、选择题 1 2 ()x 10. =n!()x 0 0 0 n 1 n 0 0 0 D的值也是自然数。()x
行列式-矩阵练习题
行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)
第二章 行列式作业活页
第二章行列式 第一节 二阶与三阶行列式 一、填空题 1.2315-=- _______；2 2a a b b = ______. 2.124031142--= _______；a b c b c a c a b =_____. 二、解答题 1.用对角线法则计算下列行列式 （1）cos sin sin cos αα αα-= （2）201 141183 --=- 2.解方程111 12 1.16 x x = 解： 第二节 n 阶行列式的定义及性质 & 第三节 行列式的计算 一、填空题 1．243324=--_____;1 24 031142 --=__. 2.若,a b 均为整数，而=_____;=_______0 00,10001 a b b a a b -=- ．
3.设A 为3阶方阵，若||3A =，则|2|A =____. 4.123 456789 的代数余子式21A 应表示为____． 5.ij 1 23456784A 2348 6789 若阶行列式为；为其代数余子式，13233343210412_______A A A A +++= ． 二、解答题 1.利用行列式的性质，计算下列行列式： （1）3215332053 7228472184． 解： （2）1111 1111 11111111 --- 解： ．
（3）1324 2131 32142101 解： ． 2.利用行列式展开定理，计算下列行列式： （1）1214 0121 10130131 -． 解：原式 ． （2）5 48723547 2856 393--------． 解：原式 ． ，
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （ ）. （A ）! n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2 213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 14 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =
行列式经典例题
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +
高等代数作业第二章行列式答案
第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式4 4?=ij a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设.21 22221 112 11 d a a a a a a a a a nn n n n n =Λ ΛΛΛΛ ΛΛ 则._____1 2 21 22211 121=n n nn n n a a a a a a a a a Λ Λ ΛΛΛΛ Λ (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 则1211122221 21 n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ21 22221 11211 则 d a a a a a a a a a n nn n n n -=11211 2122221ΛΛΛ ΛΛΛ ΛΛ（ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ） √ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）× 9. n n a a a a a a ΛN 212 1 = （ ）× 10. 0 10000 2000 010 Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛn n -=n ！ （ ）× 三、选择题
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式：
行列式练习题
《线性代数》第一章练习题 一、填空题 1、_____________)631254(=N 2、要使排列（3729m14n5）为偶排列，则m =_______, n =_________ 3、关于x 的多项式x x x x x 22111---中含2 3 ,x x 项的系数分别 是 4、 A 为3阶方阵，2=A ，则__ __________3* =A 5、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41 322314a a a a ）一项的符号为 6、求行列式的值 (1) 4692469234 1234=_____； （2） 13 14102 4 2 121=____ ； (3) 2005 000200410020030102002 200120001--=_______; (4) 行列式2 4 3 012 321---中元素0的代数余子式的值为 _______ 7、 64 8149712551 = ； 125 2786425941653241111--= 8、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=______，|2A |=_____，|1 -A |= 9、 11101110= ； =0 001003102222210 。 10、若方程组 ?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到 另一列的对应元素上，行列式 。 12、行列式 中 在项的项共有214312344214231144 43 42 41 3433323124 23222114131211,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，
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行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行 列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号． 答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为 ； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.
阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i 第二章 行列式专题练习 一、选择题 1、行列式1 02211 3 21的代数余子式13A 的值是( ) （A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．行列式01 1102 1 2=-k k 的充分必要条件是 ( ) （A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k or 3 3．方程09 3 142 112 =x x 根的个数是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( ) （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项 （A ）2!n （B ）22n （C ）2 n （D ）2) 1(-n n 6．若55443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( ) （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 7．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( ) A 行列式主对角线上的元素全为零 B 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 C 行列式零的元素的个数多于n 个 D 行列式非零元素的个数小于n 个 8．如果033 32 31 232221 131211 ≠==M a a a a a a a a a D ，则33 32 31 232221 13 12111222222222a a a a a a a a a D = = ( ) （A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M《高等代数与解析几何》第二章 行列式专题练习