未知激励下框架结构系统辨识的特征系统实现算法

第２９卷第８期　振动与冲击　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨ０ＣＫ　

未知激励下框架结构系统辨识的特征系统实现算法　李炜明　一，朱宏平　，吴贤国　，夏勇　（１．华中科技大学土木工程与力学学院，武汉４３００７４；２．华中科技大学控制结构湖北省重点实验室，武汉４３００７４）　

摘　要：在激励未知的情况下，基于试验加速度数据，对某三层框架进行了结构系统参数的辨识。引入了特征系　统实现算法，在实验室条件下，基于模拟环境激励的框架结构的自由振动加速度响应，生成了Ｈａｎｋｅｌ矩阵，计算了相应的　互相关函数；运用奇异值分解求得了系统的特征值，通过计算指标ＭＡＣ、ＥＭＡＣ、ＭＰＣ、ＣＭＩ，剔除了系统的虚假模态，得到　了结构的相应频率与阻尼，与实测数据以及有限元计算结果的比较分析表明，未知激励下，特征实现算法能较准确地对结　构的动力参数进行辨识。　关键词：框架结构；系统辨识；特征系统实现算法；加速度响应　中图分类号：ＴＵ３１１；０３２７　文献标识码：Ａ　

基于振动测试的土木工程结构的系统辨识，已有　不少研究成果　卜　；同时，土木工程结构常常由于体量　巨大、体系复杂，传统的激励方式下，响应可能不明显；　而采取大能量的激励方式，可能会对结构造成永久性　损伤。此外，测试环境噪声水平相对较高，又受到结构　物运用功能的限制（如一般不能经常性地完全停止对　桥梁结构上车辆的运营），这样，结构的激励不易准确　获得。因此，对于土木工程结构，基于环境振动（Ａｍｂｉ．　ｅｎｔ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ，ＡＶＭ）的测试手段逐渐受到重视。　对于基于环境振动的测试手段，从结构系统辨识　（Ｓｙｓｔｅｍ　Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ）的角度，不同于传统输入已知的　方法，属于激励未知的范畴；而系统输入信息的缺失，　增加了系统的未知量，扩大了系统的解的空间，对系统　辨识的精度及稳定性都提出了较高的要求，这些使基　于传统结构振动的方法也受到限制。因此，未知激励　下，结构系统参数辨识问题的研究能为基于环境激励　的工程测试提供理论及工程的依据。　特征系统实现算法（Ｅｉｇｅｎｓｙｓｔｅｍ　Ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ　Ａｌｇｏ—　ｒｉｔｈｍ，ＥＲＡ）是一种典型的基于环境振动的测试方法。　在１９８４年，美国ＮＡＳＡ的Ｌａｎｇｌｅｙ研究中心的Ｊｕａｎｇ和　Ｐａｐｐａ提出了ＥＲＡ，并被用于大型结构的模型辨识和飞　行器在轨的辨识；Ｐａｐｐａ与Ｊｕａｎｇ对ＥＲＡ的理论及应用　进行了持续的研究　－ｓ］。１９９７年Ｐｅｔｅｒｓｏｎ开始将ＥＲＡ　引入土木工程领域，来对一个４层桁架结构的动力特　性进行辨识　；１９９９年，Ｌｕｓ讨论了传感器个数与位置　对辨识结果的影响¨　。　近年来国内已有一些相关研究，重点多在结果的　描述，计算的数据多来自于数值模拟，或较为简单工程　基金项目：囝家杰出青年科学基金（５０９２５８２８）；国家自然科学基金　（５０７７８０７７，５０６０８０３６）；中国博士后科学基金（２００９０４６０９５３）　收稿Ｅｔ期：２００９—０９—２８修改稿收到日期：２０１０—０３—２２　第一作者李炜明男，博士，１９７６年生　通讯作者朱宏平男，博士，教授，博士生导师，１９６５年１１月生　辨识结果的描述，而直接基于试验数据的研究相对少　见¨。。　。同时，对于基于环境激励的ＥＲＡ算法，复杂　土木工程结构的实测辨识结果，缺乏相应技术手段的　验证；而基于数值数据的实现（如基于ＦＥＭ的响应数　据的ＥＲＡ实现，与ＦＥＭ计算的模态数据的比较），也需　要相应方法的验证。进一步，如果分析ＥＲＡ算法的计　算过程，可以发现其在模型定阶、虚假模态剔除等步骤　上，存在一定的主观性，计算理论也相对复杂。　因此，可以认为，未知激励下基于试验数据的土木　工程结构的系统特征实现算法，具有一定的理论与工　程意义。　对此，本文基于试验数据，实现未知激励下的框架　结构的系统辨识；计算、分析了ＥＲＡ辨识过程中的频　率、阻尼．，以及ＭＡＣ、ＥＭＡＣ、ＭＰＣ、ＣＭＩ指标，从而剔除　了虚假模态，对模型进行了定阶；将ＥＲＡ辨识结果与　实测数据、ＦＥＭ计算数据，进行了比较。　

１　系统特征实现算法　结构的振动微分方程为：　Ｍｗ　４－Ｃｗ　４－Ｋｗ＝ｆ（ｔ）　（１）　Ｍ，Ｃ，Ｋ分别为系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩　阵，且均为ｎ×ｎ的对称矩阵。　，　，　为物理坐标描述　的ｎ列加速度向量、速度向量与位移向量。　引人辅助恒等式将多自由度常微分方程组改为一　阶微分方程组，有：　

｛：）＝（一　一　一　一　ｃ）｛：：）＋｛　０一。　ｃ　ｃ２，　

其中：　Ａ＝（一０．．一ｘ￣－Ｉ１）Ｍ　Ｋ　Ｍ　Ｃ，　＼一　＿。　一　

｛　．），　＝　㈩　其中，　、　为输出向量即位移和速度向量，Ａ为系统矩　第８期　李炜明等：未知激励下框架结构系统辨识的特征系统实现算法　阵、　为控制矩阵。　则可得空间状态方程：　ｔ『　（ｆ）＝ａｘ（　）＋　（￡）　，４）　Ｌｙ（￡）＝Ｇ　（￡）　

其中，Ｇ为观测矩阵，输出向量Ｙ结构加速度响应。　则式（４）的离散时间状态空间模型为：　ｆ　（　＋１）＝Ａｌ　（　）＋曰　（　）　【　（　）＝Ｇｘ（　／　、　＼一　

式（５）中：　为采样点序号，　（矗）是第　时刻的系统的　状态向量，Ｙ（　）是第ｊｃ　时刻的系统的实测响应向量；　Ａ　，曰　，Ｇ分别为时间离散域的系统矩阵、控制矩阵和　观测矩阵；［Ａ　，曰，，Ｇ］为离散系统的一个实现。　由Ｍａｒｋｏｖ参数即脉冲响应数据构造广义Ｈａｎｋｅｌ　矩阵如下：　

ｈ（七）　ｈｆ后＋１）　ｈ（　＋　一１）　

ｈ（　＋　）　

ｈ（尼＋Ｏｔ一１）ｈ（　十Ｏｔ）ｈ…（　＋　＋　一２）　式中：ＯＬ＝Ｉ，２，３，…，　：１，２，３，…，矩阵中每一个元素　均为ｍ　Ｘ　ｎ维矩阵，因而矩阵　（　一ｆ）的阶数为０／／７／，　×　ｎ。　当　＝１时，上式变为：　日（０）＝　（１）ｈ（２）　ｈ（２）ｈ（３）　（　）ｈ（１＋Ｏ／）　ｈ（｜Ｂ）　ｈ（１＋　）　

ｈ（　＋　一１）　对日（０）进行奇异值分解：　Ｈ（０）：Ｒ　ｙ　Ｓ　』＿　其中：Ｒ　和Ｓ　分别为Ｒ和Ｓ前ｎ列形成的矩阵，则：　

日（０）＝Ｒ，　∑Ｓ　

其中：　∑＝　：）　

∑＝ｄｉａｇ［ｏｒ１，　２，…，　，盯　＋１，…，ｆ，　］　其中　为单调的非增量，即：　ｆ≥　２≥…≥　＋ｉ≥…≥　２　０　由奇异值分解定阶后的结果得到系统的最小实　现，有：　１／２　—１／２　＝∑Ｒ　Ｈ（１）ｓ　∑　

Ｊ／２　１／２　＝∑　ＴＥ　＝　Ｔ　∑　

［　］中～表示估计量，以区别于真实量值。　

矩阵　，的特征矢量咖　应与矩阵Ａ　的相同，而Ａ　的特征值矩阵为八＝ｄｉａｇ（Ａ　，Ａ　，…，Ａ　），则Ａ　的特　征值矩阵为：　Ｚ＝ｅ　Ｚ＝ｄｉａｇ（　１，　２，…，　）　则无阻尼固有频率：　

＝√（ｚ　）　十（　１　）　阻尼比：　＝Ｒｅ（　）／（ｏ　其中：　

，　：　综上，对于基于框架模型加速度响应的特征实现　算法，其主要步骤为：　（１）由实测响应构造Ｈａｎｋｅｌ矩阵。　（２）对Ｈａｎｋｅｌ矩阵进行奇异值分解。　（３）进行系统定阶，建立并确定系统的最小实现　［Ａ１，曰１，Ｇ］。　（４）对矩阵Ａ。进行特征值分解，计算特征值和特　征向量矩阵，并计算模态参数。　（５）计算指标ＭＡＣ、ＥＭＡＣ、ＭＰＣ、ＣＭＩ（参见文　献　¨　），判断、剔除系统虚假模态，得到结构的模态　参数。　

２　未知激励下的框架结构试验　本文通过实验室　中一框架模型的自由　振动来模拟环境激励　下结构的振动。试验　模型参见图１，其具体　尺寸参见文　。每　一楼层的质量为ｍ＝　２３１ｋｇ，其１～３层层间　刚度分别为　：４．８４　Ｘ　１０　Ｎ／ｍ，　２：５．７４　×１０　Ｎ／ｍ，　－｛＝５．９５　Ｘ　１０　Ｎ／ｍ；在每层框　图１试验框架模型　

Ｆｉｇ．１　Ｆｒａｍｅ　ｍｏｄｅｌ　架楼板处，安装加速　度计，获取相应位置的结构加速度相应。　

３　未知激励下的框架结构参数辨识　可由图２中的３通道的加速度响应获取结构的　Ｈａｎｋｅｌ矩阵，并相对通道３的加速度响应计算互（自）　相关函数如图３。　计算所得Ｈａｎｋｅｌ矩阵的奇异值分布如图４，其中　纵坐标为对数坐标。　本文辨识过程中的频率、阻尼分布如图５，图６。　

：　一　一　．．　＼　一　＋＋；　Ｈ　２３０　振动与冲击　２０１０年第２９卷　图５中，虚线部分为结构实测频率３．３６９　Ｈｚ。　９．７０４　Ｈｚ，１４．２８２　Ｈｚ，由图５可知，ＥＲＡ辨识结果与实　测值吻合较好；图６中的辨识阻尼将在表１中进一步　进行阐述。　指标ＭＡＣ、ＥＭＡＣ、ＭＰＣ、ＣＭＩ对应的各系统阶数的　值如表１；各指标阈值分别取３０％，２０％，９０％，５％，剔　除系统虚假模态，得到结构的实际模态如表１的最后　一列，分别确认结构的第１、第２、第３、第４阶频率，及　其对应的各阶阻尼。以ＥＭＡＣ指标为例，将其对应的　各阶系统模态时的ＥＭＡＣ值进行计算，可以得到图７；　其中，７阶系统模态时，ＥＭＡＣ的值相对最为接近于１。　本文考虑到其他指标的综合值，计算的系统模态为２０　阶。因为ＥＲＡ中间的系统模态的定阶，通常认为需要　多次尝试计算，并带有一定的主观性，对此，本文不展　开讨论。　需要指出的是，因为试验中加速度的采集频率为　３００　Ｈｚ，所以，表１中第２０阶系统模态对应的１５０　Ｈｚ　存在一定的特殊性，非结构实际模态。　将ＥＲＡ辨识频率与实测频率以及有限元计算值　进行比较，并计算与实测频率的误差，有表２；可以看到　各阶辨识频率的误差最大为０．３０％，同时可以辨识出　实测频率以外的第４阶频率，并与ＦＥＭ计算值较好　吻合　

１　图２各加速度传感器的典型响应　Ｆｉｇ．２　Ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ｓｅｎｓｏｒｓ　∥Ｈ　图５辨识频率与系统阶数　Ｆｉｇ．５　Ｓｙｓｔｅｍ　ｒａｎｋ　ａｎｄ　ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ　闰　吲　表１　未知激励下框架结构的参数辨识过程　Ｔａｂ．１　Ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｗｉｔｈ　ｕｎｋｎｏｗｎ　ｉｎｐｕｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｒａｍｅ　响应’　应２　●　蜥　Ｉ　ｔ　图３各响应与响应３的互（自）相关函数　Ｆｉｇ．３　Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｓｅｎｓｏｒ　３　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　垛　图６辨识阻尼与系统阶数　Ｆｉｇ．６　Ｓｙｓｔｅｍ　ｒａｎｋ　ａｎｄ　ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ　ｄａｍｐｉｎｇ　特征值序号　图４　Ｈａｎｋｅｌ矩阵的奇异值分布　Ｆｉｇ．４　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｈａｎｋｅｌ　ｍａｔｒｉｘ　

图７　ＥＭＡＣ与系统阶数　Ｆｉｇ．７　Ｓｙｓｔｅｍ　ｒａｎｋ　ａｎｄ　ＥＭＡＣ