特殊四边形复习课2
《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】 要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形 S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】 类型一、矩形1、（常州期末）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，AE ∥BC ，DE ∥AB ． 试说明： （1）AE=DC ；（2）四边形ADCE 为矩形．【思路点拨】（1）根据已知条件可以判定四边形ABDE 是平行四边形，则其对边相等：AE=BD ．结合中点的性质得到AE=CD ；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE 是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论． 【答案与解析】证明：（1）如图，∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；（2）∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论．2、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入Rt△AEF中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出EF的值．【答案与解析】解：设EF＝x，由折叠可得：DE＝EF＝x，CF＝CD＝6，又∵在Rt△ADC中，22AC+=．6810∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即222(8)4x x -=+，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，222DC FC DF +=，解得x ＝85，BF ＝DE ＝3.4，则DEF 1=DE AB 2S ⨯△＝12×3.4×3＝5.1.类型二、菱形3、（遵义）在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF∥BC 交BE 的延长线于点F ． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF 是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．【答案与解析】（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线， ∴AE=DE，BD=CD ， 在△AFE 和△DBE 中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.4、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝12（BC－AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C；【解析】解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF＝12CD，FG＝12AB，GH＝12CD，HE＝12AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是矩形，错误；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，∴EN＝12BC，GN＝12AD，∴EG＝12（BC－AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．故选C．【总结升华】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB＝CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．类型三、正方形5、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【思路点拨】（1）问通过证明三角形全等来证明角相等；（2）先证明四边形MPND是矩形，再证明一组邻边相等，从而证明四边形MPND是正方形.【答案与解析】证明：(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB＝∠CDB.(2) ∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形.【总结升华】熟记正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形.6、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式1】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)AC＝BD，理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝12BD，HG＝12AC，得EH＝GH，故四边形EFGH为菱形．(2)AC⊥BD，理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形．易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．【变式2】（黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．【答案】65°.提示：∠ABE=90°-20°=70°，由正方形的性质知，∠BAC=45°，∴∠AEB=180°-45°-70°=65°，由正方形的对称性可知，∠AED=∠AEB=65°.【巩固练习】一.选择题1.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．22.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°3.（武进区一模）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．32B232．75D24. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角5.正方形具备而菱形不具备的性质是（）A. 对角线相等；B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角；D. 对角线互相平分.6.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．207.（桂林模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.48. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a二.填空题9.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是_______.10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________. 11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．12.如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于_______.13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.cm，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．14．已知菱形ABCD的面积是12215.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是_________．16.（昆明校级期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．三.解答题17.如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE＝AF．求证：BE＝BF．18.（无棣县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．（1）证明：四边形ADCE是矩形．（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．19.（崂山区一模）已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．（1）求证：AE=CE；（2）若将△ABE沿AB对折后得到△ABF；当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝CO＝DO，进而得到等腰三角形．2.【答案】B；【解析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF＝∠DCF，四条边都相等可得BC＝CD，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，根据等边对等角求出∠ABF＝∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF＝∠CBF．3.【答案】D；4.【答案】D；5.【答案】A；6.【答案】B；【解析】根据矩形性质求出AO＝BO＝4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．7.【答案】B；【解析】解：如图，连接CD．∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=BC•AC=AB•CD，即×8×6=×10•CD，解得CD=4.8，∴EF=4.8．故选B．8.【答案】C；【解析】OE＝a，则AD＝2a，菱形周长为4×2a＝8a.二.填空题9.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE 是矩形，得出FC ＝EG ，FE ＝CG ，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG ＝∠B，推出EG ＝BG ，同理AF ＝EF ，求出矩形CFEG 的周长是CF ＋EF ＋EG ＋CG ＝AC ＋BC ，代入求出即可． 10．【答案】24；11．【答案】).2,22(+；【解析】过D 作DH ⊥OC 于H ，则CH ＝DH ＝2，所以D 的坐标为).2,22(+ 12.【答案】4；【解析】根据菱形的性质得出OA ＝OC ，根据三角形的中位线性质得出OE ＝12AB ，代入求出即可．13.【答案】16；【解析】证△ABE ≌△ADF ，四边形AECF 的面积为正方形ABCD 的面积. 14．【答案】13； 【解析】设BD ＝x ，1412,62x x ⨯==，所以边长＝222313+=. 15.【答案】832cm ；43cm ；【解析】由题意知△ABC 为等边三角形，AE ＝23，面积为832cm ，BD ＝2AE ＝ 43cm .16.【答案】6.【解析】∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3，∴S 四边形ABCD =AB×3=BC×3， ∴AB=BC，∴平行四边形ABCD 是菱形，即四边形ABCD 是菱形． 如图，过A 作AE⊥BC，垂足为E ， ∵∠ABC=60°，∴∠BAE=90°﹣60°=30°， ∴AB=2BE，在△ABE 中，AB 2=BE 2+AE 2， 即AB 2=AB 2+32， 解得AB=2， ∴S 四边形ABCD =BC•AE=2×3=6．故答案是：6．三.解答题17.【解析】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC ，∠A＝∠C， ∵在△ABF 和△CBE 中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CBE（SAS ）， ∴BF＝BE ． 18.【解析】 证明：（1）∵AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD⊥BC，且BD=CD ， ∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE 是平行四边形， ∴四边形ADCE 是矩形；（2）∵四边形ADCE 是矩形， ∴OA=OC，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD∥AB 且OD=12AB. 19.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CB ，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°， 在△ABE 和△CBE 中，，∴△ABE ≌△CBE （SAS ）， ∴AE=CE ．（2）解：点E 在BD 的中点时，四边形AFBE 是正方形；理由如下：由折叠的性质得：∠F=∠AEB ，AF=AE ，BF=BE ， ∵∠BAD=90°，E 是BD 的中点， ∴AE=BD=BE=DE ， ∵AE=CE ，∴AE=BE=CE=DE=AF=BF ，∴四边形AFBE 是菱形，E 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴AE ⊥BD ，∴∠AEB=90°，∴四边形AFBE是正方形．20.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．∵AE ＝ AF，∴Rt RtABE ADF△≌△．∴BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA ＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF. 即CE＝CF．∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．A DB EFOC。
四边形复习课(三上)
3+12=15(厘米 15×2=30（厘米） 厘米) × 厘米 （厘米）
周长是16厘米，长和宽分别为多少呢？ 你能求出它的周长吗？ 你能画一个周长是12厘米的长方形吗？
2. 有一块边长为 分米的正方形铁皮，在 有一块边长为50分米的正方形铁皮 分米的正方形铁皮， 任意边上剪去一个长20分米 分米， 任意边上剪去一个长 分米，宽15分米的 分米的 长方形，这个铁皮的周长变成多少分米？ 长方形，这个铁皮的周长变成多少分米？
50分米
2. 有一块长方形铁皮，在任意边上剪去一 有一块长方形铁皮， 个长20分米 分米， 分米的长方形， 个长 分米，宽15分米的长方形，这个铁 分米的长方形 皮的周长变成多少分米？ 皮的周长变成多少分米？
50分米 20分米
50分米 50×4=200(分米) 50×4=200(分米) 分米 15× =30（分米） 15×2=30（分米） 200+30=230(分米) +30=230(分米 200+30=230(分米) 这个铁皮的周长变成230分米。 230分米 答 ：这个铁皮的周长变成230分米。
3 厘
米
6厘3 厘
米
6厘米
①
②
周长：封闭图形一周的长度
①
4 厘 米
为 什 么 ？
左 边 两 个 图 形 的 周
6
长 一 样 长 吗 ？
①
4 厘 米
为 什 么 ？
左 边 两 个 图 形 的 周 长 一 样 长 吗 ？
6
①
4 厘 米
为 什 么 ？
左 边 两 个 图 形 的 周
1. 一个长方形的宽是4分米，长是宽的5倍， 这个长方形的周长是多少分米？
多边形、平行四边形复习 (2)
第六章多边形、平行四边形回顾与思考一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面的学习中已经掌握了全等三角形的性质和判定，在本章前几节课中，又对平行四边形的判定、性质做了进一步学习，通过一定题量的练习，学生已经对有关内容得以掌握。
在本章后面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，学生在初一时已经掌握了三角形内角和定理，本章学生也掌握了多边形的内角和、外角和公式，对如何探究内角和、外角和的问题有了一定的认识。
学生的能力基础：在相关知识的学习过程中，学生对推理证明的基本要求、基本步骤和基本方法已经掌握，已经能利用平行四边形的判定和性质解决特殊四边形的有关命题，并且也能利用有关知识对探究型题目加以分析和证明。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。
掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。
二、教学任务分析本章的定理较多，在系统掌握平行四边形的性质及判定等的基础上，学生还学习了多边形的内角和、外角和公式，为了让学生进一步掌握这些定理，并能熟练应用，为此，本节课的教学目标是：（1）能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。
（2）掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。
（3）会熟练应用所学定理进行证明。
体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
（4）学会对证明方法的总结。
（5）通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。
三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：教师和学生一起回顾本章的主要内容；第二环节：随堂练习，巩固提高；第三环节：回顾小结，共同提升；第四环节：分层作业，拓展延伸；第五环节：课后反思。
第五章_平行四边形复习课_课件2--124
BC＝ 9
㎝；AD＝ 9
㎝。
2）若∠A＝70°，则∠B＝ 110 ° 。 ∠C＝ 70 ° ； ∠D＝ 110 ° 。
3）若∠A＋∠C=80°， 则∠A＝ 40 ° ； ∠D＝ 140 ° 。
7、已知, ＡＢＣＤ的周长是２８，对角线ＡＣ,ＢＤ 相交于点Ｏ，且△ＯＡＢ的周长比△ＯＢＣ的周长大４， 则ＡＢ＝
三.巩固练习: 1、某人到瓷砖商店去购买一种多边形 形状的瓷砖，用来铺设无缝地板．他 购买的瓷砖形状不可以是（ C）． （A）正三角形 （B）正四边形 （C）正八边形 （D）正六边形
2.在平行四边形ABCD中,AC=10,BD=8, 则AB的取值范围是( B ) A、2 <AB<18 C、AB>2 B、1 <AB< 9 D、AB< 9
3.平行四边形一边长为 10 ,则它的两条 对角线可以是( C ) A、6 ,8 B、8, 12
C、8, 14
D、6, 14
4、如图，已知矩形ABCD，R，P分别是DC， BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点．当点 P在BC上从点B向点C移动而点R不动时,那么下 列结论成立的是（ ）． C （A）线段EF的长逐渐增大 （B）线段EF的长逐渐减少 （C）线段EF的长不变 （D）线段EF的长不能确定
例 2.已知:如图, 平行四边形的对角线AC,BD交于 点O.过点O作直线EF,分别交AD, BC于点E, F. 求证:OE=OF. D
C
E
O F
A 若已知 AD=6cm,AB=5cm,OE=2cm,则四 边形ABEF的周长是_____cm.
B
典 题 3:
例3. 已知:如图,在平行四边形ABCD中,过AC的中点O 的直线分别交CB, AD的延长线于点E, F. 求证: BE=DF. F D O A E C
八年级数学下册18平行四边形复习课教案2[华东师大版]
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18章
一、复习总结
本章知识结构图
二、典例解析
题组二（判定应用）
已知：如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．（用两种证法）
题组三（综合应用）
四边形AB CD和四边形CEFH都是正方形，连接AF，M是AF中点，连接DM和EM.探究线段DM与EM的位置关系，并求的值.小聪同学的思路是：延长DM交EF于点N，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
让学生通过自主探究，发现问题并学会分析解决问题。
鼓励学生自主总结归纳知识，加强理解并帮助记忆.
B A
C
D
F
E
（1）如图，当点B、C、H在一条直线上时，线段DM与EM的位置关系
是，DM
EM = ；
（2）如图，当点B、C、F在一条直线上时，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.
三、巩固练习
1. 如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是_________________.
2. 如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF.求证：DE=BF.
四、课堂小结
五、课后作业
教材95页9-14
通过例题讲解和纠错，加深学生对知识的理解，使学生灵活应用.
通过练习巩固知识，提高难度，使学生学会应用并得到发展.
M E
F H
D A
C B。
问题引领课堂促进深度思维——“特殊平行四边形”单元复习课教学思考
2021 年第 4 期 （下）中学数学研究21问题引领课堂促进深度思维**福建省“十三五”中小学名师名校长培养工程专项课题“初中数学关键教学点教学策略研究”（课题编号:DTRSX2019016）和福建省三明市初中“壮 腰”工程研究专项课题“利用思维导图优化数学课堂教学的研究”（课题编号:ZXKTC-1919）的阶段研究成果“特殊平行四边形”单元复习课教学思考福建省三明市列东中学（365000）詹高晟 陈冠文摘要 通过对教学案例‘特殊平行四边形'单元复习课”的分析，探索实施数学单元复习课的有效教学策略.高效的数学单元复习课可通过恰当的问题引领驱动知识建构，在问 题探究中力求深度思维，要以生为本，用好课堂生成,增强教 学的有效性.问，而是请这位同学在黑板画 出图形（图2）,先让学生自已 去感悟.图形画出后，同学们很快流露出明白的眼神,这时, 笔者追问：大家会解释这种画图2关键词 单元复习课;问题引领;问题探究;课堂生成法的依据吗?数学单元复习课除了帮 助学生巩固必要的基础知识、基本技能外，更重要的是促进学生学会融会贯通，让解题能 力得到提升，应用意识得到增强，数学思维得以发展，数学素养得以落实⑴.然而单元复习 课没有明确的课标定位,也不像新课教学那样有现成的教材支撑，如何做到复而不重，让学生既见树木又见森林，促进深 度思维，值得每一位教师认真思考.2019年9月笔者开设了 “特殊平行四边形”单元复习课,课后就这节课的教学展开了深入的讨论,也引发笔者的进一步思考,现整理成文,与同行交流.1教学过程简述及评注片断一问题1:如图1,是一张平行四边形纸片,你能否用剪刀沿着一条直线剪一次，将这张纸片分成面积相等的两部分？并说明你这样做的理由.问题给出后,学生很快回答可以沿对角线AC 或BD 裁剪，也可以沿过对边中点的直线进行裁剪，并且会进行正确的说理.在学生说理过程中，笔者顺势引导学生梳理平行四 边形的主要性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等,对角线互相平分.教师：除此之外，还有其它裁剪方法吗？学生1:经过对角线交点的任意一条直线都可以,有无数 种的裁剪方法.学生1的回答在班上引起一阵骚动，笔者没有马上追学生2: 可以证明 A AOH = A COE ,那么S 四边形ABEF = S ^ABC = 1 ^7ABCD ,这就说明EF 分出的两部分面积相等.教师：说得好！通过全等，利用割补的方法把四边形ABEF 的面积转化为A ABC 的面积•还有不同的说理方法吗？学生3:不用这么复杂，因为平行四边形是中心对称图形,如果把它绕点O 旋转180°,四边形ABEF 就到了四边 形CDFE 的位置，他们会完全重合，就说明面积相等.笔者借助几何画板演示学生3的说法，让学生有更加直观的认识，加深印象.然后笔者引导学生归纳这些方法的共 同点，并指出：经过对角线裁剪或是沿着过对边中点的直线 进行裁剪是这些方法的特殊情况.【评注】通过一个开放性的操作问题，以问题带动知识, 激发学生的学习兴趣，让学生在问题解决中自然唤醒平行四 边形的有关性质.由于这个问题解决方法的多样性,有利于培养学生思维的发散性，此题又能做到多解归一，通过归纳不同方法的共性来培养学生数学思维的深刻性•此外，对于 学生1的回答，教师没有马上表明自己的态度，而是留出时 间让学生去理解、去感悟,在问题理解中提升数学思维能力.片断二问题2:如图3, 在平行四边形纸片ABCD 中，AB 丄 AC , AB = 1,BC =長.对角线AC , BD相交于点O ,将直线AC 绕点图3O 点顺时针旋转，分别交BC , AD 边于点E , F ,连接AE,22中学数学研究2021年第4期（下）CF,求证：四边形AECF是平行四边形.到的”揭示思维过程，体现以培养学生数学思维为导向的教学生4:通过证明=A COE,可得AF=CE,利用判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF为平行四边形.学生5:也可以通过OA=OC,OE=OF来证明四边形AECF为平行四边形.笔者肯定他们的做法，然后提出以下问题.问题3:小亮认为，在旋转过程中，四边形AECF能成为矩形•请你帮助小亮完成证明，并求出此时AE的长.笔者引导学生先尝试画出符合条件的图形，再来完成证明.学生6:作AE丄BC,垂足为E,然后画直线EO,交AD于点F,就找到四边形AECF了（图4）.教师:你认为画图的关键是什么？你如何想到这样画图?学生6:因为要成为矩形，就一定要有一个直角,所以就 先去做垂直，找到直角，又因为刚刚证过四边形AECF是平行四边形,就能说明这时四边形AECF是矩形.教师:很好！那又如何求出此时AE的长？通过师生交流，大家认为可以利用面积S^abc= 1AB-AC=j BC-AE,从而得到AE=乎•正当笔者完成该问题的小结，准备进入下一个教学环节时,有位学生举手发言.学生7:我画四边形AECF的方法跟学生6不同，我是以O为圆心，以OA为半径画弧，交BC于点E,这样找到 点E,然后画直线EO,找到四边形AECF.笔者马上意识到这种做法的可行性，并且是一种非常好的方法，为自己备课时没有做这样的预设，内心感到自责，马上追问：你是怎么想到的？学生7:是学生6的想法提醒了我,还可以用“对角线相等的平行四边形是矩形”来找到矩形，所以我就想去画与AC 相等的对角线.教师：非常好！现学现用,在别人的基础上提高自己！【评注】本环节延用问题1的图形，通过增加条件，引出新的问题,先借助题目复习平行四边形的判定，再自然过渡到矩形性质与判定方法的复习，思维层次不断提高.无论是在画图探究环节，还是在证明环节,教师不为预设所左右，而是充分利用课堂生成，从多个角度、利用多种方法解决问题,学生思维得到充分展示,真正体现生本课堂.在学生找到画图方法后，教师没有就此“滑过”，而是通过追问“你是怎么想学理念.片断三问题4:在旋转过程中，四边形AECF能成为菱形吗？若能，求出此时AE的长；若不能，请说明理由.图5与问题3的教学处理方式类似，笔者也由学生先尝试画图,再完成证明.学生8:取BC的中点E,画直线EO,交AD于点F,这时的四边形AECF就是菱形（图5）.教师:你是如何想到的？学生&因为要得到菱形，就要有邻边相等，而A ABC 是直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，就有AE=EC.笔者让学生独立完成证明，并求出此时AE的长.接着追问：你们还有其它画图方法吗？学生9:只要过点O作AC的垂线，与BC交于点E,与AD交于点F,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”就能得证.笔者肯定学生的做法，并顺势归纳梳理菱形知识体系,然后提出问题5.问题5:在旋转过程中，四边形AECF能成为正方形吗?学生10:因为正方形是“菱形+矩形”，所以只要看图4中的菱形AECF是不是正方形就可以.教师：说得对，要成为正方形,就一定是菱形，那么，大家能判断图5中的菱形AECF是否是正方形吗？学生11：不是,因为如果菱形AECF是正方形话，就有AE丄BC,根据前面画图知道E为BC的中点，这就要求AB=AC,而由题目可知AC=2=AB,产生矛盾,所以四边形AECF不可能成为正方形.教师：说得好，你采用了反证法的说理思路去说明这个菱形不可能成为正方形•有不同看法的吗？学生12:利用图4也能说明，只要说明此时的矩形AECF不是菱形就可以了.教师：如何说明？学生12:可以通过勾股定理计算出EC的长，EC= /AC2-AE2=22-彰=竿,发现EC=5AE,因而矩形AECF不可能是正方形.笔者肯定学生12的做法，并由此归纳正方形的判别方法及性质.在问题1至问题5的分析解决过程中，用问题带2021年第4期（下）中学数学研究动知识的归纳，渐次形成如下板书，完善本章知识结构.矩形菱形正方形性边対边平行且相尊对边平行，四边木睹対边平行，四边祁等角四个角都罡直角对角相等四个毎都是直角対角线互相册且龄互相垂直平分，且毎条对角线平沪组对角互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角判定★有三个角是直角，★是平行四边形且有一个角是直角；★是平行四边形且两条对角线相等”★四边相等的四边形；★是平行四边形且有_组邻边蹄負是平行四边形且两条对角线互相垂直。
授导型教案设计：课 题：特 殊 四 边 形 复 习
授导型教案设计：课题：特殊四边形复习教材内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第十九章“四边形”——单元复习课。
教材背景：同三角形一样，四边形也是基本的平面图形。
这是本学段“空间与图形”的主要研究对象。
四边形是学习了平行线和三角形等知识的基础上，教材安排了这个章内容。
因为学生前面学段已经接触过了一些四边形，所以本章没有从一般的四边形讲起，而是在引言后直接进入了特殊的四边形的学习。
也能够说是在已有知识的基础上进一步较系统的整理和研究，反复使用了平行线和三角形的知识。
从这个角度上来看，本章的内容也是前面平行线和三角形等内容的使用和深化。
认知起点：本章内容这样安排更适合学生的认知特点。
学生学了三角形的相关知识之后，很容易发问：四边形有什么性质？平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形，这都是四边形，但它们都和四边形不一样，那么它们之间到底有着怎样的区别和联系呢？所以将这些内容紧密联系，层层递进，容易激发学生的学习兴趣，也有利于整体把握这些内容。
认知体系：通过对四边形的学习，使学生能够经历从一般到特殊的一个理解过程，从而体会事物之间总是互相联系又是互相区别的，进一步培养学生的辩证唯物主义观点。
学法指导：利用图示的方法引导学生梳理各种四边形的从属关系，以及特殊四边形的性质和判定方法。
过程设计：5．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合）且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是 2.5 ．(学生分析并回答)通过这道题，提醒学生注意：平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等．6．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且 DP =OC ，连结CP ，试判断四边形CODP 的形状．(学生板演) 解：四边形CODP 是菱形 ∵ DP ∥OC ， DP =OC ，∴ 四边形CODP 是平行四边形．∵ 四边形ABCD 是矩形 ， ∴ CO =DO ．∴ 四边形CODP 是菱形 ． （变形练习）如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？5、变形训练能够激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，对发展学生的思维水平有好处，在教学中设计的6题对学生的启发得到了体现。
浅探希沃白板中数学画板在数学复习课的运用——以“特殊平行四边形的复习”为例
浅探希沃白板中数学画板在数学复习课的运用——以“特殊平行四边形的复习”为例摘要：在核心素养教育的当下，对教育的要求越来越高，要想提高课堂教学效率，就要先转变教育教学手段。
单纯的紧靠课堂上的讲与练相结合的教学模式已不适合当今的教育教学理念。
核心素养的初中数学教学理念提倡学生学以致用，因此在教学过程中，适当转变观念，改进教育教学手段，在数学复习课中起到事半功倍的效果。
关键词：数学画板初中数学复习课运用正文：前苏联国家元首加里宁曾说过：“数学是思维的体操。
”数学思维的形成不能局限于课堂上的讲和练，而在于将抽象的知识具体化、直观化，达成思维逻辑更高层次的进阶，即能灵活的将数学知识与数学方法进行知识迁移和转化。
在这个过程中，借助现代化教育信息技术手段，是提高教育教学效率的必备之选。
在初中数学的教学过程中，特殊平行四边形的性质与判定是学生学习的难点之一。
笔者以希沃白板中的学科教学工具——数学画板为例，谈谈如何在“特殊平行四边形”数学复习课中运用希沃白板中数学画板辅助教学进行复习，突破学生特殊平行四边形的判定中抽象思维能力转化的难点，让学生在几何学习过程中愈加自信。
1.教学目标1.知识与技能：①进一步理解平行四边形、矩形、菱形正方形的概念及其相互联系；②掌握特殊平行四边形的性质与判定，并能推理运算解决问题。
2.过程与方法：利用几何画板的动态图，进一步梳理平行四边形、矩形、菱形正方形的概念及其相互联系；结合典例进一步理解特殊平行四边形的性质与判定，并能较灵活地运用性质、判定解决有关问题。
3、情感、态度与价值观：通过复习，激发学生的观察、探究和发现数学问题的兴趣，在探究过程中合作交流，在分析过程中渗透分类讨论思想，培养学生多角度考虑问题的习惯和选择恰当方法解决问题的能力。
1.教学重难点重点：整体梳理特殊平行四边形的性质与判定，实现知识体系的重组并选择适当的知识解决问题。
难点：特殊平行四边形性质与判定的结构化整理和选择性应用。
特殊的平行四边形的判定定理-课上传
特殊的平行四边形基础复习 1、矩形 ① 定义：有一个角是______的平行四边形叫矩形。 注：矩形是特殊的平行四边形，有一个角是直角的四边形不一定是矩形。 ② 性质 （1）矩形是特殊的平行四边形，具有一般平行四边形的所有性质。对边______，对角______，邻角______，对角线______，是中心对称图形，____________是它的对称中心，过对称中心的任意一条直线可将它的面积分成______的两部分。
（2）矩形是特殊的平行四边形，具有特殊的性质 矩形的四个角都是______。 矩形的对角线______。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的______。 （3）矩形是______，其对称轴是经过一组对边中点的直线，矩形有______对称轴。 ③ 矩形的判定 （1）定义：有一个角是______的平行四边形是矩形。 （2）有三个角都是______的四边形是矩形。 （3）对角线______的平行四边形是矩形。 （4）对角线互相平分且______的四边形是矩形。 2、菱形 ①定义：有一组______的平行四边形是菱形。 注：菱形是特殊的平行四边形，有一组邻边相等的四边形不一定是菱形。 ② 性质 （1）菱形是特殊的平行四边形，也具有一般平行四边形的所有性质。 （2）菱形的特殊性质。 菱形的______都相等。 菱形的对角线____________，且每条对角线平分______。 （3）菱形既是中心对称图形也是轴对称图形，其对称中心是对角线的______，对称轴
正平行四边形矩形菱形方
形是两条对角线所在的______。 ③ 菱形的判定 （1）定义判定 （2）四条边都______的四边形是菱形。 （3）对角线______的平行四边形是菱形。 3、正方形 ① 定义：有一个内角是______且一组邻边______的平行四边形是正方形。 ② 性质 正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。 它的性质可归纳如下： 对边平行，______边都相等，______个角都是直角，对角线互相垂直，平分相等，每一条对角线平分一组对角，既是______对称图形，又是______对称图形，每条对角线所在的直线以及过每组对边中点的直线都是对称轴。
【本地研发】浙江省杭州市浙教版初中八年级下册数学特殊平行四边形复习(教师版)
特殊平行四边形复习__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1．理解矩形、菱形的概念，知道它们之间的关系以及它们与平行四边形的关系；2．掌握矩形、菱形的性质与判定并能运用这些性质与判定进行有关的证明和计算．3．理解正方形的概念；4．掌握正方形的性质与判定并能运用这些性质与判定进行有关的证明和计算．（此环节设计时间在10-15分钟）教法说明：首先回顾上次课的预习思考内容，归纳总结矩形和菱形的性质与判定．1．回顾矩形和菱形除了具备平行四边形的性质以外的特殊性质，完成下表；2．总结一下矩形和菱形的判定，完成下表；3.在下图箭头上填上适当条件4.总结一下正方形所具备的性质：例题1：已知：在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠AOD ＝120°，求：∠BOE教法说明：由矩形ABCD ，得到OA ＝OB ，根据AE 平分∠BAD ，得到等边三角形OAB ，推出AB ＝OB ，求出∠OAB 、∠OBC 的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB ＝BE ，根据三角形的内角和定理即可参考答案：∠BOE ＝75°EOABC D边 角 对角线对称性正方形两组对边平行 四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等 每一条对角线平分一组对角中心对称 轴对称平行四边形矩形菱形正方形例题2：如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '边交AD 于E ，8AD =， 4CD =．（1）求AE 的长； （2）BED △的面积参考答案：（1）∵△BDC ′是由△BDC 沿直线BD 折叠得到的，∴∠C ′BD ＝∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠CBD ＝∠EDB ， ∴∠C ′BD ＝∠EDB ， ∴BE ＝DE ；设AE ＝x ，则BE ＝BE ＝8—x ，在Rt △ABE 中 2224(8)x x =+-； 解得3x = （2）△BED 的面积为：10说明：证明BE ＝DE 还可以通过证明△ABE ≌△C ’DE例题3：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 分别是∠DAB 、∠CBA 的角平分线，AE 、BF 交于O点，与DC 分别交于E 、F 两点。
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课 题 特殊四边形习题课2 授 课 人
授课时间
周
课 型 复习课 主 备 人 审 核 人
学 习
目 标
1．掌握菱形、正方形的概念和性质，理解与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用菱形、正方形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
重 点
菱形、正方形的性质．
难 点
菱形、正方形的性质的灵活应用．
集体备课内容 个案补充
教 学 过 程 自
主
学
习
一、典例1分析：
例1
已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC
于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
由师生共同分析，学生自己完
成证明过程
【练一练】
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
2．四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）
对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
”教学模式导学
时间： 年 月 日
集体备课内容 个案补充
教 学 过 程 导
学
合
作
二、典例2分析：
例2 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E
是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正
方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，
AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，
根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
【练一练】
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____
____．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
教学反思
基础训练 启发提高
教 学 过 程 成
果
检
验
二、成果检测
1．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的
延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
3．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平
分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：
四边形CFDE是正方形．
4、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和
CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
学后记