中考数学几何压轴题的走向与分析

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中考数学几何压轴题的走向与分析
中考数学压轴题是对学生所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力的全面考查，它
具有很强的导向作用；由于压轴题的知识覆盖面广，综合性强，难度系数大，既考查基础知
识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，特别是注重发展学生的创造能力方面，有
较大的区分度，因此，它是中考选拔功能的集中体现．
纵观近两年的中考数学压轴题，从知识结构分析可分为两大类型：一类是以几何图形为
主干的综合题，另一类是以函数图象为主干的综合题．它们均跨越代数、几何、三角等多个
知识点，囊括了整个初中数学的重要思想和方法．在毕业卷和升学卷分开考试的省市中，这
两类综合题已分别作为毕业卷的压轴题和升学卷的压轴题出现；而在两考合一的中考卷中，
不少省市已将这两种综合题同时采用．笔者预见，随着素质教育的不断深入，以上两类试题
同时做为压轴题的试卷将会越来越多，并将成为今后中考命题的走向．解决这类问题宜采用
化大为小、各个击破的策略．现从近两年中考压轴题中选取几则典型题进行分析，供大家参
考．
一、以几何图形为主线的中考压轴题
例1、(徐州市)如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，
MN∥AB，AB=6，BC=4，CD=3，设DM=x．
(1)设MN=y，用x的代数式表示y；
(2)设梯形MNCD的面积为S，用x的代数式表示S；
(3)若梯形MNCD的面积S等于梯形ABCD的面积的，求DM．
评析：本题是以梯形和面积为主线的综合题．考查的主要知识点有：梯形的性质，平面
图形面积的计算，勾股定理，相似三角形的性质，几何图形中函数关系式的建立，一元二次
方程的解法等．考查的数学思想方法有：分析、综合、转化等思想方法以及比较、观察、推
理等数学能力．
(1)过D作DE⊥AB于E，交MN于F，由勾股定理，得AD=5．由△DMF∽△DAE，得，
即，
∴y=x+3(0＜x＜5)
(2)由平行线的性质可得DF=x，根据梯形的面积公式可得
S=x2+x(0＜x＜5)
(3)∵S梯形ABCD=(6+3)×4=18，
∴S=×18=6
∴x2+x=6，
解得x=-5±5
∵x＞0，∴取x=5-2，
即DM=5-5
例2、(黄石市)如图2，在△ABC中，O为BC上一点，以O为圆心的⊙O分别切AC、
AB于点C、E，交BC于另一点D，若BD=1，sinB=．

(1)求⊙O的半径R及四边形ACOE的面积；
(2)若M为CB上一点，MN⊥AB，设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式(不要求
写出自变量x的取值范围)；
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(3)线段CB上是否存在点M，当M在BC上运动时，有S四边形ACOE=4S四边形OMNE，
若存在，满足条件的点有几个？若不存在，请说明理由．
评析：本题是一道以直线与圆的位置关系为主线的探索型试题，它考查了切线的判定与
性质，圆幂定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数、面积的探讨与计算，函数关系
式的建立与求解；数形结合、转化、分类等思想方法以及演绎、运算、探索、推理等数学能
力．
(1)R=，S四边形ACOE=
(2)当M在线段OB上时，y=x+3；
当M在线段OC上时，y=-x+3；
(3)当M在线段OB上时，OM=;
当M在线段OC上时，OM=．
因0＜＜，0＜＜，故满足条件的点有两个．
例3、如图3，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60°，点M从点A以每秒1个单位
长的速度沿着AD边向点D移动，设点M移动的时间为t秒(0≤t≤10)．

(1)点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割
成面积相等的两部分？并说明理由；
(2)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移
动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大？并求出面积的最大值；
(3)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒a(a≥2)个单位长的速度沿着射线BC方向
(可以超过C点)移动，过点M作MP∥AB，交BC于P，当△MPN≌△ABC时，设△MPN与
菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，并求当S=0时a的值．
评析：本题既是一道动态型探索题，又是一道“问题图形”推进式综合题．它以菱形和面
积为主线，函数为纽带，集代数、几何、三角于一体，综合考查了轴对称图形的性质、全等
三角形的性质、锐角三角函数、面积关系式的建立与求解，函数极值的应用等知识，着重考
查学生思维的灵活性与缜密性．
(1)如图3-1，因菱形是中心对称图形，过对称中心的任一直线均将图形分割成面积相等
的两部分，故在点M由A到D的移动过程中，一定存在一个时刻，使得线段MN过菱形的
对称中心．

(2)如图3-2，过B作BE⊥AD于E，则BE=10sin60°=5，
∴S梯形ABNM=t，
∵2t≤10，∴t≤5，
∴t=5时，S梯形ABNM最大，最大面积．
(3)如图3-3，重叠部分MPCF为梯形．∵△ABC是腰长为10的等腰三角形，
∴当△MPN≌△ABC时，MP=10，PN=BC=10，MP=PN
∴NC=PN-PC=BC-PC=PB
∴PC=10-t，NC=t
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过P作PG⊥DC于G，则PG=PCsin60°=(10-t)，又FC=NC=t，
∴S=(t+10)×(10-t)=-t2+25
当S=0时，-t2+25=0，解得t=10(舍去负值)
∵BN=at，且BN=PB+PB=10+t，∴at=10+t，将t=10代入得a=2
二、以数形结合为主线的中考压轴题
例4、(泰州市)如图4，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2厘米，点
A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过A和B，且12a+5c=0．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如果点P由A开始沿AB边以2厘米/秒的速度向点B移动，同时点Q由点B开始
沿BC边以1厘米/秒的速度向C移动．
①移动开始后第t秒时，设S=PQ2(厘米2)，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t
的取值范围；
②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、R、Q为顶点的四边形是
平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
评析：本题是以二次函数为主干的综合题，考查的主要知识点有：函数解析式的求法，
函数关系式的建立，函数极值的应用，平行四边形的性质，勾股定理，点的坐标的求解与讨
论．考查的数学思想方法有：数形结合思想、分类讨论思想和待定系数法、配方法以及转化、
分析、推理等数学能力．

(1)由待定系数法，得
y=x2-x-2
(2)①PB=2-2t，BQ=t，S=PQ2=PB2+BQ2=(2-2t)2+t2，
即S=5t2-8t+4(0＜t≤1＝
②由配方法，得S=5(t-)2+．
∵5＞0，∴当t=时，S最小值=，这时PB=2-=，BQ=，∴CQ=．假设存在满足条件的点R，
则OR=PB或PR=BQ，这时R点的坐标为(-，-)或(，-)．把它们分别代入抛物线的解析式知
点(，-)在抛物线上，点(，-)不在抛物线上，所以存在点R，其坐标是(，-)．
例5、(咸宁市)已知二次函数y=-x2+2mx-(m2+4m-8)，m为正整数，它的图象与x轴交
于A、B两点(A点在B点左边)．
(1)求二次函数的解析式，并画出草图；
(2)求以A、B为圆心，分别以OA、OB为半径的⊙A、⊙B异于y轴的一条外公切线的
解析式；
(3)求(2)中⊙A、⊙B的外部与一条公切线围成的图形的面积．
评析：本题以函数为主线，根的判别式，相似三角形的性质，切线的性质，圆与圆的位
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置关系，勾股定理，面积的计算为桥梁，综合性强，区分度大，既考查了学生思维的广阔性、
深刻性和创造性；又考查了数形结合、整体等重要思想及待定系数法、分析、归纳、综合等
能力．
(1)由△=(2m)2-4(m2+4m-8)＞0，得m＜2．又∵m为正整数，∴m=1，∴所求二次函数解
析式为y=-x2+2x+3．
(2)设两圆的一条外公切线分别切⊙A、⊙B于P、Q两点，交x轴于M，交y轴于N，
连结PA、QB，
由(1)知A(-1，0，B(3，0)，由Rt△PMA∽Rt△MQB，得MA=2，
∴∠PMA=30°，∴ON=
∴M(-3，0)，N(0，)
由待定系数法可得直线PQ的解析式为y=-x+；
由对称性可求得另一条外公切线的解析式为y=-x-．
(3)由(2)知PA=1，QB=3，∴PQ=2．
∴S梯形PABQ=4，S扇形PAO=π，S扇形OBQ=π
∴所求面积S=4-π-π=4-π
由以上数例我们不难发现，在素质教育观下的初中数学教学，“数学模型式”是培养学生
创新意识和创造能力的核心；而“问题解决”则是处理压轴题的关键，并以此为培养学生持续
发展能力提供思维空间．