高中数学课程标准——概率与统计1
浅谈高中数学“概率与统计”的教学方法与策略
浅谈高中数学“概率与统计”的教学方法与策略摘要：“概率与统计”是高中数学新课程的重要组成部分，也是最能反映数学应用性的课程。
统计学注重的是数据的收集、整理、分析，概率论是研究随机现象的科学。
它们都与我们的日常生活紧密相连。
本文从“概率与统计”的教学方法和策略来分析阐述高中“概率与统计”的教与学。
通过案例和数据的分析以及概率模型的建立，让学生更好地体会“概率与统计”的思想。
关键词：高中数学概率与统计教学一、高中数学新课程概率与统计的背景和地位2003年5月出台的《普通高中课程标准》提出要将概率与统计作为高中数学课程的必修内容，并提出明确的要求、说明与建议。
在我国，“概率统计”内容从几进几出到如今作为《标准》中的必修内容，既满足信息时代对数学教学的要求，又是数学课程发展的必然。
高中必修课程由五大模块组成，在“概率与统计”模块中，学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。
学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算模拟估计简单随机事件发生的概率。
通过对概率统计的学习，学生可以充分体会到数学与我们的日常生活是紧密相连的，这样可以大大激发学生学习数学的兴趣，发展数学应用意识和创新意识，开阔学生的数学视野。
二、“概率与统计”的教学方法和策略1.突出统计思维的特点和作用统计的特征之一是通过部分数据来推测全体数据的性质。
因此，统计结果具有随机性，统计推断是有可能犯错误的，这一点与确定性思维不同。
但同时，统计思维又是一种重要的思维方式，它和确定性思维一样成为人们不可或缺的思想武器，由不确定的数据进行推理也是同样有力而普遍的方法。
因为在自然界和人类事物中，随机现象是大量存在的，概率统计正是对随机变化的数学描述，它能够帮助我们做出合理的决策，并能告诉我们犯错误的概率。
普通高中数学课程标准
普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准一、课程目标普通高中数学课程旨在培养学生灵活运用数学方法解决实际问题的能力，提高他们的逻辑思维、分析推理和创造性思维能力。
通过数学学习，学生应当能够熟练掌握数学基本概念、方法和定理，具备良好的数学素养，并能将数学知识运用到实际生活中。
二、课程内容1. 数与代数（1）数系与数的性质：包括自然数、整数、有理数、无理数等数系的概念、性质及运算法则。
（2）代数ic：包括代数式、方程、不等式的概念、运算性质及解法。
（3）函数与方程：包括函数的概念、性质和图像，方程的根与解等内容。
2. 几何与变换（1）平面几何：包括点、线、平面、角度等基本几何概念，以及几何图形的性质和关系，平面几何的证明方法等。
（2）立体几何：包括空间几何的基本概念和性质、多面体、球体等内容。
（3）几何变换：包括平移、旋转、对称、相似等几何变换的概念和性质。
3. 概率与统计（1）概率：包括随机事件、概率的概念和性质、计数原理、组合与排列等内容。
（2）统计：包括统计调查、统计场合与统计分布、统计图和统计分析等内容。
4.数学应用（1）数学建模：培养学生分析和解决实际问题的能力，包括数学模型的建立、推导和评价等内容。
（2）数学思想与方法的应用：将数学知识与其他学科进行交叉应用，推动学生全面发展。
三、教学方法普通高中数学课程应该采用多样化的教学方法，注重培养学生的自主学习能力和合作学习能力。
包括但不限于传统课堂教学、案例教学、探究式学习、实验教学等方法，以培养学生的数学思维和问题解决能力。
四、课程评估普通高中数学课程评估应综合考察学生的知识水平、能力与素养。
采用多样化的评估方式，包括考试、作业、调查、实际操作、数学建模等，既注重考察学生的记忆和应用能力，也注重考察学生的创新和解决问题的能力。
综上，普通高中数学课程通过系统、科学、创新的教学，旨在培养学生的数学素养和问题解决能力，为其未来的学习和工作奠定坚实的数学基础。
高中数学备课教案概率与统计的推导与证明
高中数学备课教案概率与统计的推导与证明在高中数学备课教案中，概率与统计是一个重要的章节。
本文将介绍概率与统计的推导与证明，旨在帮助教师们更好地备课和教学。
概率与统计是数学中的一门重要学科，它研究事物发生的可能性以及通过实证和推算来对事物进行统计。
概率与统计的推导与证明有助于提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
一、概率的推导与证明概率是指对事件发生的可能性进行量化的数学方法。
在推导概率时，我们常用的方法有频率法、几何法和古典概型法等。
1. 频率法频率法是指通过实验和实测来确定事件发生的概率。
在实际操作中，我们可以通过重复实验并记录事件发生的次数，然后计算事件发生频率来估计概率。
2. 几何法几何法是指利用几何图形来推导概率。
例如，在掷硬币的问题中，我们可以通过构造一条直线或者一个线段，将所有可能的情况表示在平面上，然后计算事件发生的几何概率。
3. 古典概型法古典概型法是指利用古典概型来推导概率。
在古典概型中，每个事件发生的可能性相等。
例如，在掷硬币的问题中，硬币正反面出现的概率都是1/2。
二、统计的推导与证明统计是指通过对事物进行观察、测量、整理和分析，得出有关事物的数量和规律的方法。
在推导统计时，我们常用的方法有样本调查法、抽样调查法和直方图等。
1. 样本调查法样本调查法是指通过对一部分代表性样本的调查和观察来推导总体的统计规律。
在实际操作中，我们可以通过设计合理的问卷或者实地观察，对样本进行调查并进行数据统计。
2. 抽样调查法抽样调查法是指通过对一部分样本的随机抽取来推导总体的统计规律。
在实际操作中，我们可以使用随机数表或随机数发生器进行抽样，然后对样本进行调查和测量。
3. 直方图直方图是一种统计图表，用矩形的高度表示统计数据的频率或数量，并将各个矩形连在一起形成连续的条带。
通过观察直方图的形状和分布情况，我们可以推导出统计的一些规律和特征。
通过以上的概率与统计的推导与证明方法，教师们可以更加有针对性地备课和教学，帮助学生更好地理解和掌握概率与统计的知识。
高中数学统计与概率知识点归纳
高中数学统计与概率知识点归纳高中数学中的统计与概率是两个非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。
本文将对这些知识点进行归纳和总结，以便读者更好地理解和掌握。
首先，让我们来看看统计。
统计是研究如何从数据中获取有用信息的学科。
在高中数学中，统计的主要内容包括以下三个方面：1、概率分布：这是统计的基础知识，它描述了各种可能结果出现的概率。
例如，投掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率为0.5。
2、参数估计：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的方法。
例如，通过样本的平均值来估计总体的平均值。
3、假设检验：假设检验是用来检验一个假设是否成立的统计学方法。
例如，我们想要检验某种新药的疗效是否优于安慰剂，可以通过比较实验组和对照组的数据来进行假设检验。
接下来，让我们来看看概率。
概率是描述事件发生可能性大小的数学工具。
在高中数学中，概率的主要内容包括以下三个方面：1、事件的关系和运算：事件的关系包括互斥、独立、不独立等，事件之间的运算包括并、交、差等。
2、概率的性质和计算：概率的性质包括加法定理、乘法定理、全概率公式等，概率的计算方法包括直接计算、利用公式计算等。
3、概率分布：概率分布描述了随机变量的取值概率，例如伯努利分布、二项分布、正态分布等。
在应用方面，统计与概率的知识点可以应用于很多领域，例如金融、医学、工业、农业等。
例如，在金融领域，可以通过统计方法来分析股票数据的规律和趋势；在医学领域，可以通过概率方法来预测疾病的发病率和死亡率。
总之，统计与概率是高中数学中非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。
通过对这些知识点的归纳和总结，我们可以更好地理解和掌握它们，从而更好地应用于实际问题的解决中。
高中数学概率与统计知识点总结高中数学：概率与统计知识点总结一、前言在现实生活中，我们经常需要处理各种与概率和统计相关的问题。
例如，在掷骰子时计算点数、在班级中选取学生、或者在评估天气预报的准确性。
高中概率与统计数学知识点归类
高中概率与统计数学知识点归类概述概率与统计是数学中重要的分支，它们研究随机事件的发生规律和数据的收集与分析。
在高中数学教育中，概率与统计也是重要的内容之一。
本文将对高中概率与统计的数学知识点进行归类。
概率基本概念- 样本空间与事件：样本空间是随机试验中所有可能结果的集合，事件是样本空间的一个子集。
样本空间与事件：样本空间是随机试验中所有可能结果的集合，事件是样本空间的一个子集。
- 事件的概率：事件发生的可能性大小，用0到1之间的一个数表示。
事件的概率：事件发生的可能性大小，用0到1之间的一个数表示。
- 事件的互斥与对立：互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是在一次试验中一定会出现其中一个的事件。
事件的互斥与对立：互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是在一次试验中一定会出现其中一个的事件。
概率计算- 等可能概型：所有结果发生的可能性相同的概率实验。
等可能概型：所有结果发生的可能性相同的概率实验。
- 计数法则：通过计数已知条件下的可能结果数来计算事件的概率。
计数法则：通过计数已知条件下的可能结果数来计算事件的概率。
- 加法法则：计算多个事件的并、交或对立事件的概率。
加法法则：计算多个事件的并、交或对立事件的概率。
- 条件概率：已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率：已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
- 乘法法则：计算多个独立事件同时发生的概率。
乘法法则：计算多个独立事件同时发生的概率。
- 贝叶斯定理：通过已知的一些概率信息推测出其他概率信息。
贝叶斯定理：通过已知的一些概率信息推测出其他概率信息。
随机变量与概率分布- 随机变量：用来描述随机现象的数学量。
随机变量：用来描述随机现象的数学量。
- 离散型随机变量：取有限或可列个值的随机变量。
离散型随机变量：取有限或可列个值的随机变量。
- 连续型随机变量：取任意实数值的随机变量。
连续型随机变量：取任意实数值的随机变量。
- 概率分布：描述随机变量取各个值的可能性大小。
高中数学的归纳概率与统计中的常见问题与方法
高中数学的归纳概率与统计中的常见问题与方法数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中归纳概率与统计是数学中的重要分支。
在高中的数学课程中，学生会接触到许多与概率和统计相关的问题，本文将介绍高中数学中常见的归纳概率与统计问题，并探讨解决这些问题的方法。
一、概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。
在高中数学中，概率与统计的学习从基本的概率开始。
常见的问题包括计算事件发生的概率、求解条件概率以及利用概率模型进行预测。
1.计算事件发生的概率在解决概率问题时，首先需要确定所给问题中的随机试验和事件。
随机试验是指具有多种可能结果，并且每种结果发生的概率是已知的。
而事件则是试验中我们感兴趣的结果。
通过计算事件发生的概率，可以帮助我们更好地理解问题并做出合理的判断。
2.条件概率的求解条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
计算条件概率需要根据已知条件确定事件的可能结果，并使用条件概率公式计算。
3.利用概率模型进行预测概率模型是基于统计数据建立的模型，用于预测未来事件的发生概率。
在高中数学中，常常使用概率模型进行预测，例如使用频率作为估计概率的方法。
二、统计的基本概念统计是研究数据收集、分析和解释的学科。
在高中数学中，学生将学习如何通过统计方法来处理和分析数据，并从中得出结论。
常见的统计问题包括数据收集、数据整理、描述性统计和推论性统计。
1.数据收集和整理在解决统计问题时，首先需要进行数据的收集和整理。
数据可以是从实际情况中获得的，也可以是通过观察和实验得到的。
数据整理的目的是为了方便进行后续的数据分析。
2.描述性统计描述性统计是指通过统计学方法对数据进行总结和描述。
常见的描述性统计方法包括计算数据的中心趋势和离散程度，例如平均值、中位数、众数、标准差等。
描述性统计可以帮助我们更好地了解数据的特征和分布情况。
3.推论性统计推论性统计是指根据样本数据对总体进行统计推断。
推论性统计常常使用抽样方法来获取样本数据，并利用样本数据来进行总体的推断。
_新教材高中数学第五章统计与概率
5．3.5 随机事件的独立性【课程标准】结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一随机事件的独立性对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．状元随笔事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是相互独立的．事实上，对于A与B̅，因为A＝AB∪A B̅，而且AB与A B̅互斥，所以P(A)＝P(AB∪A B̅)＝P(AB)＋P(A B̅)＝P(A)P(B)＋P(A B̅)，所以P(A B̅)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P(B̅).由事件的独立性定义，A与B̅相互独立．知识点二相互独立事件性质及计算公式若事件A，B相互独立，则P(AB)＝________；若事件A1，A2，…，A n相互独立，则P(A1A2…A n)＝__________________．基础自测1．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的是( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥事件 C ．A 与B̅是不相互独立 D ．A 与B̅是相互独立事件 2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )A ．1425 B ．1225 C ．34 D ．353．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )A ．13 B ．23 C ．12 D ．14．两个相互独立的事件A 和B ，若P (A )＝12，P (B )＝14，则P (AB )＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 相互独立事件的判断[经典例题] 例1 (1)判断下列事件是否是相互独立事件．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1人参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．状元随笔 解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立．(3)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K ”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J ”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？①A 与B ；②C 与A .依据互斥事件、对立事件、独立事件的定义来逐一判断．方法归纳(1)两个事件是否相互独立的判断方法①直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．②定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(2)对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．跟踪训练1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥状元随笔(1)甲、乙击中目标相互不影响，所以相互独立，甲击中目标、乙击中目标，可以同时发生，所以不互斥．(2)同理可判断A、B的关系．题型2 相互独立事件同时发生的概率[经典例题]例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：若A 、B 相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B) (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率． 方法归纳解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B̅，A 与B ̅也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练2 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率．状元随笔 (1)3个独立事件直接利用乘法公式计算．(2)可以分类求1人被选中，2人被选中，3人被选中，再用概率加法公式求概率；也可以先求三人均未被选中的概率，再利用对立事件概率公式求解．题型3 独立性事件的应用例3 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．状元随笔 先求出甲、乙两人超过三小时且不超过四小时的概率(1)再由租车费用相同求概率；(2)先根据租车费之和为4，得出可能的情况，再求概率．方法归纳求较复杂事件概率的一般步骤如下：(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．跟踪训练3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．状元随笔 两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生．5．3.5 随机事件的独立性新知初探·自主学习知识点二P (A )P (B ) P (A 1)P (A 2)…P (A n )[基础自测]1．解析：∵A 与B 是相互独立事件， ∴P (AB )＝P (A )P (B )，∴P (A B̅)＝P (A )－P (AB )＝P (A )－P (A )P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝P (A )P (B ̅)， ∴事件A 与B ̅是相互独立事件．故选D. 答案：D2．解析：设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，根据题意知，P (A )＝810＝45，P (B )＝710，且A 与B 相互独立，故他们都命中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝45×710＝1425.答案：A3．解析：设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”． 根据题意，知事件A 和B 相互独立， 且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ， 则C ＝A B̅∪A ̅B ，且A B ̅和A ̅B 互斥，故P (C )＝P (A B ̅∪A ̅B ) ＝P (A B̅)＋P (A ̅B ) ＝P (A )P (B̅)＋P (A ̅)P (B ) ＝12×(1−13)+(1−12)×13＝12. 答案：C4．解析：∵A 、B 是相互独立事件，P (A )＝12，P (B )＝14， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×14＝18. 答案：18课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)①由于事件A 为“抽到K ”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件： 抽到K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．②从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件．跟踪训练1 解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2，4，6}，事件B ＝{3，6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}．所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．答案：(1)A (2)B例2 【解析】 设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A̅与B ，A 与B ̅，A ̅与B ̅为相互独立事件． (1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B̅发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A ̅B 发生)．根据题意，事件A B ̅与A ̅B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式．所求的概率为P (A B̅)＋P (A ̅B )＝P (A )·P (B ̅)＋P (A ̅)·P (B ) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )十[P (A B̅)＋P (A ̅B )]＝0.72＋0.26＝0.98. (4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况． 故所求概率为P ＝P (A̅B ̅)＋P (A B ̅)＋P (A ̅B ) ＝P (A̅)·P (B ̅)＋P (A )·P (B ̅)＋P (A ̅)·P (B ) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.跟踪训练2 解析：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)3人同时被选中的概率P 1＝P (ABC ) ＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)方法一 3人中有2人被选中的概率P 2＝P (AB C̅＋A B ̅C ＋A ̅BC )＝25×34×(1－13)＋25×(1－34)×13＋(1－25)×34×13＝2360.3人中只有1人被选中的概率P 3＝P (A B̅C ̅+A ̅B C ̅+A ̅B ̅C )＝25×(1－34)×(1－13)＋(1－25)×34×(1－13)＋(1－25)×(1－34)×13＝512.故3人中至少有1人被选中的概率为P 1＋P 2＋P 3＝110+2360+512＝910.方法二 三人均未被选中的概率P ＝P (A ̅B ̅C ̅)＝(1－25)×(1－34)×(1－13)＝110. 所以3人中至少有1人被选中的概率为1－P ＝910.例3 【解析】 甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14−12＝14，1－12−14＝14.(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况，租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18.租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116.所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516.(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14+12×14+14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516.跟踪训练3 解析：设A 1，A 2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B 1，B 2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立性假定，得P (A 1)＝2×34×14＝38，P (A 2)＝(34)2＝916.P (B 1)＝2×23×13＝49，P (B 2)＝(23)2＝49.设A ＝“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A ＝A 1B 2∪A 2B 1，且A 1B 2与A 2B 1互斥，A 1与B2，A2与B1分别相互独立，所以P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝38×49+9 16×49＝512.因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512.11。
(最全)高中数学概率统计知识点总结
高中数学-概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数：①、常规平均数：12nx x x x n++⋅⋅⋅+=②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。
4、方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+- 二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数2、频率之和：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数： 112233n nx x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。
4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-四、线性回归直线方程：ˆˆˆybx a =+ 其中：1122211()()ˆ()nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxybx x x nx ====---∑∑==--∑∑ , ˆˆay bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ；2、ˆ0:b>正相关；ˆ0:b <负相关。
3、线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
五、回归分析1、残差：ˆˆi i i ey y =-（残差=真实值—预报值）。
分析：ˆi e 越小越好； 2、残差平方和：21ˆ()ni i i y y=-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221ˆˆˆˆ()()()()ni i n n i y yy y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑ 3、拟合度（相关指数）：22121ˆ()1()ni i i ni i y yR y y ==-∑=--∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高；4、相关系数：()()nni i i i x x y y x y nx yr ---⋅∑∑==分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②．犯错误上界P 对照表3、独立性检验步骤①．计算观察值k ：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k ；③．下结论：0k k ≥：即犯错误概率不超过P 的前提下认为： ,有1-P 以上的把握认为： ; 0k k <：即犯错误概率超过P 的前提认为： ,没有1-P 以上的把握认为： ;【经典例题】题型1 与茎叶图的应用例1（2014全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50位市民。
高中数学规范答题示范课——概率与统计解答题
P(Y＝1)＝CC14C58 44＝114，P(Y＝2)＝CC24C58 43＝37，P(Y＝3)＝CC34C58 42＝73，P(Y＝4)＝CC44C58 41＝114.
∴Y的分布列为
Y
1
2
3
4
P
1 14
3
3
7
7
1 14
∴数学期望 E(Y)＝1×114＋2×73＋3×73＋4×114＝52.
本节内容结束
法一 考虑 6 只小白鼠的排列顺序，若 A1 发生，则需从 2 只患病小白鼠中选择 1 只排在第一位，其他位置可随意排，故符合条件的排列顺序共有 C12A55种.
若 A1 与 X＝3 同时发生，则 2 只患病小白鼠一定排在第一、第三两个位置，其他 位置可随意排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有 A22A44种.
根据条件概率的定义及古典概型可知， P(X＝3|A1)＝PP（（AA1A1）3）＝AC2212AA4455＝51. 法二 根据题意可知，在 A1 发生的条件下，X＝3 发生的充要条件是：第二次验
血的小白鼠不患病，且第三次验血的小白鼠患病， 故 P(X＝3|A1)＝P(A－2|A1)P(A3|A1A－2)＝54×41＝15.
②解 由①得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＋p0＝48－3 1p1. 由于 p8＝1，故 p1＝48－3 1，
9分 10 分
所以 p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＋p0 ＝44－3 1p1＝2517.
(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求均值、方差； (6)会套用求b^，K2 的公式，再作进一步求值与分析.
_新教材高中数学第五章统计与概率
D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率
都是0.1
【答案】
D
(2)我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，则连
续抛掷质地均匀的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次反
面向上”呢？
【解析】 不一定．这是因为统计规律不同于确定的数学规律，对于具体的一
次试验而言，它带有很大的随机性(即偶然性)，通过具体试验可以知道除上述结
状元随笔 (1)正确理解频率与概率之间的关系
随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一
定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种
摆动的幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的
概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件
发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个
事件的概率．
(2)概率与频率的区别与联系：
频率
概率
频率反映了一个随机事件发 概率是一个确定的值，它反映
区别
生的频繁程度，是随机的 随机事件发生的可能性的大小
频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越
联系
接近概率
基 础 自 测
(2)将“60分～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；
(3)将“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
题型3 频率分布直方图的应用[经典例题]
例3 (1)在某次赛车中，50名参赛选手的成
绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和
1
，是指试验次数相当
1 000
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主题三概率与统计
本主题是课程中概率与统计内容的延续，将学习计数原理、概率、统计的相关知识。
计数原理的内容包括两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理。
概率的内容包括随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布。
统计的内容包括成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2X2列联表。
【内容要求】
内容包括：计数原理、概率、统计。
1.计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理。
本单元的学习，可以帮助学生理解两个基本计数原理，运用计数原理探索排列组合、二项式定理等问题。
内容包括：两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理。
（1）两个基本计数原理
通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。
（2）排列与组合
通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列公式、组合公式。
（3）二项式定理
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理（参见案例17，18），会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题。
2.概率
本单元的学习，可以帮助学生了解条件概率及其与独立性的关系，能进行简单计算；感悟离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象；理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布；感悟服从正态分布的随机变量，知道连续性随机变量；基于随机变量及其分布解决简单的实际问题。
内容包括：随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布。
（1）随机事件的条件概率
①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率；
②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系；
③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率；
④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率。
了解贝叶斯公式；
⑵离散型随机变量及其分分布列
①通过排具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其
数字特征（均值、方差）。
②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的
实际问题；
③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题。
⑶正态分布
①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量。
通过具体实例，借助频率直方图的
几何直观，了解正态分布的特征。
②了解正态分布的均值、方差及其含义。
3.统计
本单元的学习，可以帮助学生了解样本相关系数的统计含义，了解一元线性回归模型和2x2列联表，运用这些方法解决简单的实际问题。
会利用统计软件进行数据分析。
内容包括：成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2x2列联表。
(1)成对数据的统计相关性
①结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向
量夹角的关系。
②结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性。
(2)一元线性回归模型
①结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了
解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件。
②针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测。
(3)2x2列联表
①通过实例，理解2x2列联表的统计意义。
②通过实例，了解2x2列联表独立性检验及其应用。
【教学提示】
教师应通过典型案例开展教学活动，案例的情景应该是丰富的、有趣的、学生熟悉的。
在案例教学中要重视过程，层次清楚，从具体到抽象，从实际到理论。
在计数原理的教学中，应结合具体情境，引导学生理解许多计数问题可以归结为分类和分步两类问题，引导学生根据计数原理分析问题、解决问题。
在概率的教学中，应引导学生通过具体实例，理解可以用随机变量更好地刻画随机现象，感悟随机变量与随机事件的关系；理解随机事件独立性与条件概率之间的关系；通过二项分布、超几何分布、正态分布的学习，理解随机变量及其分布。
在教学
过程中，应在引导学生利用所学知识解决一些实际问题的基础上，适当进行严格、准确的描述。
在统计的教学中，应通过具体案例，引导学生理解两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析；理解利用一元线性回归模型可以研究变量之间的随机关系，进行预测；理解利用2x2列联表可以检验两个随机变量的独立性。
在教学过程中，应通过具体案例引导学生参与数据分析的全过程，并鼓励学生使用相应的统计软件。
【学业要求】
能够结合具体实例，识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其作用，并能够运用这些原理解决简单的实际问题。
能够结合具体实例，理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理推导排列、组合、二项式定理的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题。
能够结合具体实例，理解随机事件的独立性和条件概率的关系，理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用，掌握两个基本概率模型及其应用，了解正态分布的作用，进一步深入理解随机思想在解决实际问题中的作用。
能够解决成对数据统计相关性的简单实际问题。
能够结合具体实例，掌握运用一元线性回归分析的方法。
掌握运用2x2列联表的方法，解决独立性检验的简单实际问题。
重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养。