2015年高考数学分类汇编——函数与导数
专题06 导数的几何意义—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.2. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PABA B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.3.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()yf x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =-- 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．4.【2014广东理10】曲线25+=-x e y在点()0,3处的切线方程为 .【答案】53y x =-+或530x y +-=. 【解析】55x y e -'=-，所求切线的斜率为55y e =-=-，故所求切线的方程为35y x -=-，即53y x =-+或530x y +-=. 【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点()0,3处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．5.【2014江苏理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2by ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-． 【考点定位】导数与切线斜率．6.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.试题解析：（Ⅰ）由题意又，所以，因此 曲线在点处的切线方程为，即 .（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为，令则所以在上单调递增.因为(0)0,m =所以 当时，()0,m x >当0x <时，(1)当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以 当时取得极小值，极小值是 ；(2)当时，由 得 ，①当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时取得极大值.③当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.力、基本计算能力、分类讨论思想等。
2015届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数教学
第二章 函数与导数第9课时 指数函数、对数函数及幂函数(3)第三章 (对应学生用书(文)、(理)24～25页)考情分析考点新知① 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现，目的是结合其他章节的知识，综合进行考查.②幂函数的考查较为基础，以常见的5种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点．① 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点.②知道对数函数是一类重要的函数模型.③了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 的相互关系(a>0，a ≠1).④了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x －2的图象，了解它们的变化情况.1. (必修1P 112测试8改编)函数f(x)＝log a x(a>0，a ≠1)，假设f(2)>f(3)，那么实数a 的取值X 围是________．答案：(0，1)解析：因为f(2)>f(3)，所以f(x)＝log a x 单调递减，那么a ∈(0，1)．2. (必修1P 89练习3改编)假设幂函数y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫9，13，那么f(25)＝________． 答案：15解析：设f(x)＝x α，那么13＝9α，∴α＝－12，即f(x)＝x －12，f(25)＝15.3. (必修1P 111习题15改编)函数f(x)＝ln 1－x1＋x 是________(填“奇〞或“偶〞)函数．答案：奇解析：因为f(－x)＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln1－x1＋x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 4. (必修1P 87习题13改编)不等式lg(x －1)<1的解集为________. 答案：(1，11)解析：由0<x －1<10，∴ 1<x<11.5. (必修1P 87习题14改编)对于任意的x 1、x 2∈(0，＋∞)，假设函数f(x)＝lgx ，那么f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2与f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的大小关系是______________________.答案：f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 解析：(解法1)作差运算；(解法2)寻找f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的几何意义，通过函数f(x)＝lgx 图象可得．1. 对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2. 对数函数的图象与性质a>1 0<a<1 图象性质(1) 定义域：(0，＋∞)(2) 值域：R(3) 过点(1，0)，即x＝1时，y＝0(4) 当x＞1时，f(x)>0；当0＜x＜1时，f(x)<0(4) 当x＞1时，f(x)<0；当0＜x＜1时，f(x)>0 (5)是(0，＋∞)上的增函数(5)是(0，＋∞)上的减函数3. 幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．4. 幂函数的图象5. 幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R{x|x≥0} {x|x∈R且x≠0}值域R{y|y≥0} R{y|y≥0} {y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(1，1)[备课札记]题型1 对数函数的概念与性质例1 (1) 设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差是12，那么a＝________；(2) 假设a ＝log 0.40.3，b ＝log 54，c ＝log 20.8，用小于号“<〞将a 、b 、c 连结起来________；(3) 设f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，那么使f(x)<0的x 的取值X 围是________；(4) 函数f(x)＝|log 2x|，正实数m 、n 满足m<n 且f(m)＝f(n)，假设f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，那么m 、n 的值分别为________.答案：(1) 4 (2) c ＜b ＜a (3) －1＜x ＜0 (4) 12，2解析：(1) ∵ a>1，∴函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上是增函数，∴ log a 2a －log a a ＝12，∴ a ＝4.(2) 由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a.(3) 由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－1，那么由lg 1＋x1－x<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1－x>0，1＋x1－x<1，解得－1<x<0.(4) 结合函数f(x)＝|log 2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn ＝1，所以f(m 2)＝|log 2m 2|＝2，解得m ＝12，所以n ＝2. 变式训练(1) 设log a 23＜1，那么实数a 的取值X 围是________；(2) 函数f(x)＝lg(x 2＋t)的值域为R ，那么实数t 的取值X 围是________；(3) 假设函数f(x)＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，那么函数f(x)的单调减区间是________；(4) 假设函数f(x)＝log 12(x 2－2ax ＋3)在(－∞，1]内为增函数，那么实数a 的取值X 围是________．答案：(1) 0＜a ＜23或a ＞1 (2) a ≤0 (3) (－1，＋∞) (4) [1，2)解析：(1) 分a ＞1与a ＜1两种情形进行讨论． (2) 值域为R 等价于x 2＋a 可以取一切正实数．(3) 函数f(x)的图象是由y ＝log a |x|的图象向左平移1个单位得到，∴ 0<a<1.(4) 令g(x)＝x 2－2ax ＋3，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，g 〔1〕>0，解得1≤a<2. 题型2 幂函数的概念与性质例2 幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数．(1) 求m 的值；(2) 求满足不等式(a ＋1)－m 3<(3－2a)－m3的实数a 的取值X 围．解：(1) 因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －9<0，所以m<3. 因为m ∈N *，所以m ＝1或2.又函数图象关于y 轴对称，所以3m －9是偶数，所以m ＝1. (2) 不等式(a ＋1)－m 3<(3－2a)－m 3即为(a ＋1)－13<(3－2a)－13.结合函数y ＝x －13的图象和性质知：a ＋1>3－2a>0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a. 解得a<－1或23<a<32，即实数a 的取值X 围是a<－1或23<a<32.备选变式〔教师专享〕 幂函数y ＝f(x)经过点⎝⎛⎭⎫2，18. (1) 试求函数解析式；(2) 判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间． 解：(1)由题意，得f(2)＝2a ＝18a ＝－3，故函数解析式为f(x)＝x －3.(2)定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，关于原点对称， 因为f(－x)＝(－x)－3＝－x －3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数． 其单调减区间为()－∞，0，()0，＋∞. 题型3 指数函数、对数函数的综合问题例3 函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R )是偶函数． (1) 求k 的值；(2) 设g(x)＝log 4⎝⎛⎭⎫a·2x －43a ，假设函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，某某数a 的取值X 围．解：(1) 由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴ log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴ k ＝－12.(2) 函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫a·2x －43a 有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x ＝a·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，那么方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a ≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.假设a ＝34t ＝－2，不合题意，假设a ＝－3t ＝12；③a ≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即－1a －1<0a>1.综上，实数a 的取值X 围是{－3}∪(1，＋∞)．备选变式〔教师专享〕函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1) 求函数y ＝f(x)的定义域；(2) 在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； (3) 当a 、b 满足什么关系时，f(x)在区间()1，＋∞上恒取正值．解：(1) 由a x －b x >0，得⎝⎛⎭⎫a b x >1，因为a>1>b>0，所以ab >1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2) 设x 1>x 2>0，因为a>1>b>0，所以ax 1>ax 2，bx 1<bx 2，那么－bx 1>－bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，于是lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)，即f(x 1)>f(x 2)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y ＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使得直线AB 平行于x 轴，即x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y ＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴．(3) 由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a －b)≥0，即a －b ≥1，所以当a ≥b ＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．1. (2013·南师大模拟)函数f(x)＝log 2x －2log 2(x ＋c)，其中c>0，假设对任意x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，那么c 的取值X 围是________．答案：c ≥18解析：由题意，⎩⎨⎧c>0，x 〔x ＋c 〕2≤2在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以c ≥18. 2. (2013·某某)函数f(x)＝ln ()1＋9x 2－3x ＋1，那么f(lg2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝________． 答案：2解析：f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋ln(1＋9x 2＋3x)＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝2，所以f(lg2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2. 3. (2013·某某检测)x 13＋(log 130.5)－y<(－y)13＋(log 130.5)x ，那么实数x 、y 的关系为________．答案：x ＋y<0解析：由x 13＋(log 130.5)－y <(－y)13＋(log 130.5)x ，得x 13－(log 130.5)x <(－y)13－(log 130.5)－y .设f(x)＝x 13－(log 130.5)x ，那么f(x)<f(－y)，由于0<log 130.5<1，所以函数f(x)是R 上的增函数，所以x<－y ，即x ＋y<0.4. (2013·某某密卷)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧22－x ，x<2，log 3〔x ＋1〕，x ≥2，假设对任意的x ∈R ，af 2(x)≥f(x)－1成立，那么实数a 的最小值为________．答案：14解析：易得x ∈R ，f(x)>0，由af 2(x)≥f(x)－1，得a ≥f 〔x 〕－1f 2〔x 〕＝1f 〔x 〕－1f 2〔x 〕＝14－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f 〔x 〕－122≤14(当且仅当f(x)＝2时等号成立)，所以实数a 的最小值为14.1. 假设函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x ≠12时，有f(x)＝f(1－x)，那么a ＝________．答案：2解析：由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝12对称，而f(x)＝log 2⎪⎪⎪⎪x －1a ＋log 2|a|，从而1a ＝12，所以a ＝2. 2. 函数f(x)＝x 23，x ∈[－1，8]，函数g(x)＝ax ＋2，x ∈[－1，8]，假设存在x ∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，那么实数a 的取值X 围是________．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，14∪[1，＋∞) 解析：分别作出函数f(x)＝x 23，x ∈[－1，8]与函数g(x)＝ax ＋2，x ∈[－1，8]的图象．当直线经过点(－1，1)时，a ＝1；当直线经过点(8，4)时，a ＝14.结合图象有a ≤14或a ≥1.3. 函数f(x)＝|lgx|，假设0<a<b ，且f(a)＝f(b)，那么a ＋2b 的取值X 围是________．答案：(3，＋∞)解析：因为f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a ＝b(舍去)或b ＝1a ，得a ＋2b ＝a ＋2a.又0<a<b ，所以0<a<1<b.令f(a)＝a ＋2a ，那么f′(a)＝1－2a 2＜0，所以f(a)在a ∈(0，1)上为减函数，得f(a)>f(1)＝1＋2＝3，即a ＋2b 的取值X 围是(3，＋∞)．4. 两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1()m>0，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求ba的最小值．解：由题意得x A ＝⎝⎛⎭⎫12m ，x B ＝2m ，x C ＝⎝⎛⎭⎫1282m ＋1，x D ＝282m ＋1，所以a ＝|x A －x C |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12m －⎝⎛⎭⎫1282m ＋1，b ＝|x B －x D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －282m ＋1，即ba ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －282m ＋12－m －2－82m ＋1＝282m ＋1·2m ＝282m ＋1＋m. 因为82m ＋1＋m ＝12(2m ＋1)＋82m ＋1－12≥212〔2m ＋1〕×82m ＋1－12＝72，当且仅当12(2m ＋1)＝82m ＋1，即m ＝32时取等号．所以，ba 的最小值为272＝8 2.1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件，是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的，如果底数含有参数，一般需分类讨论．2. 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1) 确定定义域；(2) 把复合函数分解为几个初等函数； (3) 确定各个基本初等函数的单调区间；(4) 根据“同增异减〞判断复合函数的单调性．请使用课时训练〔B 〕第9课时〔见活页〕.。
2015届高考数学总复习配套题型精练：压轴题目突破练——函数与导数(共34张PPT)
第十二页，编辑于星期五：十点 十七分。
A组 专项基础训练
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9．(2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
切的直线方程是
(A )
A．3x＋y＋2＝0
B．3x－y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0
D．x－3y－2＝0
解析 设切点的坐标为(x0，x30＋3x02－1)，
则由切线与直线 2x－6y＋1＝0 垂直，
可得切线的斜率为－3，
又 f′(x)＝3x2＋6x，故 3x02＋6x0＝－3， 解得 x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，
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9．(2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
由点(0,6)在切线上可得 6－16a＝8a－6，故 a＝12. (2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6ln x(x>0)， f′(x)＝x－5＋6x＝x－2xx－3.
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3．三次函数 f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第二章+函数、导数及其应用 第1节 函数及其表示
变式训练 1 (1)(2013·重庆高考)函数 y＝log21x－2的定
义域是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞)
D．(2,4)∪(4，＋∞)
(2)已知函数 f(2x)的定义域为[－1,1]，则 f(x)的定义域为 ________．
考向 3 分段函数
【例 3】 (1)(2014·潍坊模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足
f(x)＝lfoxg－241－－xfx－2
x≤0， x>0， 则 f(3)的值为( )
A．－1
B．－2
C．1
D．2
(2)(2014·无 锡 模 拟 ) 已 知 实 数 a≠0 ， 函 数 f(x) ＝
2x＋a，x＜1， －x－2a，x≥1.
5．(2013·浙江高考)已知函数 f(x)＝ x－1.若 f(a)＝3，则 实数 a＝________.
【解析】 因为 f(a)＝ a－1＝3，所以 a－1＝9，即 a＝ 10.
【答案】 10
第十四页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
考向 1 求函数的定义域
【例 1】
(1)(2013·山东高考)函数 f(x)＝
1－2x＋
1 x＋3
的定义域为( )
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
第十五页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
(2)(2013·大纲全国卷)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则
函数 f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1)
第二十五页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
2015届高三二模理科数学分类汇编(导数)
北京各区二模理科数学分类汇编导数(2015届西城二模)18．（本小题满分13 分）已知函数则211)(ax x x f +-=，其中a ∈ R ．⑴ 当41-=a 时，求 f (x )的单调区间； ⑵ 当a ＞ 0时，证明：存在实数m ＞ 0，使得对于任意的实数x ，都有｜ f (x )｜≤m 成立． 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当14a=-时，函数21()114xf x x -=-， 其定义域为{|2}x x ∈≠±R . ……………… 1分求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--， ……………… 4分 所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减. ……………… 5分（Ⅱ）证明：当0a >时，21()1x f x ax -=+的定义域为R .求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ……………… 6分令()0f x '=，解得110x =，211x =+>， ……………… 7分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：……………… 10分 所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01x f x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤. ……………… 12分记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ，2()||f x中最大的数，综上，当0a>时，存在实数[,)m M∈+∞，使得对任意的实数x，不等式|()|f x m≤恒成立.………………13分(2015届海淀二模)（18）（共13分）解：（Ⅰ）令()0f x=，得ex=.故()f x的零点为e. ………………1分22231()(1ln)22ln3'()()x x x xxf xx x-⋅--⋅-==（0x>）. ………………3分令'()0f x=，解得32ex=.当x变化时，'()f x，()f x的变化情况如下表：()f x32(0,e)32e32(e,)+∞'()f x-0+()f x↘↗所以()f x的单调递减区间为32(0,e)，单调递增区间为32(e,)+∞. ………………6分（Ⅱ）令ln()xg xx=.则2211ln1ln'()()x x xxg x f xx x⋅-⋅-===. ………………7分因为11()44ln244622f=+>+⨯=，(e)0f=，且由（Ⅰ）得，()f x在(0,e)内是减函数，所以存在唯一的1(,e)2x∈，使得00'()()6g x f x==.当[e,)x∈+∞时，()0f x≤.所以 曲线ln xy x=存在以00(,())x g x 为切点，斜率为6的切线. ………………10分 由0021ln '()6x g x x -==得：200ln 16x x =-. 所以20000000ln 161()6x x g x x x x x -===-.因为012x >, 所以12x <，063x -<-. 所以00()1y g x =<-. ………………13分(2015届东城二模)（18）（本小题共13分）已知函数()e x f x x a -=+⋅．（Ⅰ）当2e a=时，求()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x ∈-，有0()f x a >.（18）（共13分） 解：（Ⅰ）当2e a=时，2()e x f x x -=+，]3,1[∈x .因为2'()1e x f x -=-，由0)(='x f ，2=x .则x ，)(x f '，)(x f 关系如下：所以当2=x 时，)(x f 有最小值为3. ………5分（Ⅱ）“存在实数0[3,3]x ∈-，有a x f >)(”等价于()f x 的最大值大于a .因为'()1e x f x a -=-，所以当0≤a 时，]3,3[-∈x ，0)('>x f ，)(x f 在)3,3(-上单调递增，所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=.所以当0≤a 时命题成立.当0>a时，由0)(='x f 得a x ln =.则x ∈R 时，x ，)(x f '，)(x f 关系如下：（1）当3e a ≥时 ，3ln ≥a ，)(x f 在)3,3(-上单调递减，所以()f x 的最大值(3)(0)f f a ->=.所以当3e a≥时命题成立.（2）当33e e a -<<时，3ln 3<<-a ，所以)(x f 在)ln ,3(a -上单调递减，在)3,(ln a 上单调递增.所以()f x 的最大值为(3)f -或(3)f .且a f f =>-)0()3(与a f f =>)0()3(必有一成立，所以当33e e a -<<时命题成立.（3） 当30e a -<≤时 ，3ln -≤a ，所以)(x f 在)3,3(-上单调递增，所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=.所以当30e a -<≤时命题成立.综上：对任意实数a 都存在]3,3[-∈x 使a x f >)(成立. ……13分(2015届丰台二模) 20.（本小题共13分） 已知函数ln 1()ax f x x+=(0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）； （Ⅲ）证明：当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<． 20.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}xx >．因为ln 1()ax f x x+=， 所以2ln ()axf x x-'=． 因为0a >，所以当()0f x '=时，1x a=． 当1(0,)x a∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)a 上单调递增；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，()f x 在1(,)a +∞上单调递减．所以当1xa=时，1()()f x f a a ==最大值． ……………………6分（Ⅱ）当01b <<时，方程ln 1x bx +=有两解． ……………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得ln 11x x +≤，变形得11ln x x-≤，当1x =等号成立．所以 11ln 22-<，231ln 32-<，……11ln 1k kk k --<-， 所以得到 当*N k ∈且2k≥时，1111ln 234k k+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………10分由（Ⅰ）得ln 11x x+≤，变形得 ln 1x x ≤-，当1x =等号成立．所以 33ln 122<-， 44ln 133<-， 55ln 144<-， ……11ln1k k k k++<-， 所以得到 当*N k ∈且2k ≥时，11111ln2234k k+<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+． 又因为1lnln 22k k +<，所以当*N k ∈且2k≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………13分(2015届昌平二模) 18.（本小题满分13分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；(II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间；(III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分13分） 解：（I ）2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R 定义域为(0,)+∞'1()2,.f x x a a x=-+∈R依题意，'(1)0f =.所以'(1)30f a =-=，解得3a = ……………4分（II ）3a=时，2()ln 3f x x x x =+-，定义域为(0,)+∞，21123()23x xf x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >时,()0f x '>， 当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2.----8分（III ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立，令2ln ()x x g x x+=，则221ln ()x xg x x +-'=令2()1ln h x x x =+-，则2121()20x h x x x x -'=-=> ()h x 所以在(1,)+∞为增函数，()(1)20h x h >=> .故()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞为增函数.()(1)1g x g >=，所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分解法二：2112()2x axf x x a x x+-'=+-=令2()21g x xax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即a -<<时，()0f x '>恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(a ∈-；(ii)当0∆=，即a=±()0f x '≥恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a =-(iii)当0∆>，即a<-a >方程()0g x =有两个实数根12x x ==若a<-120x x <<，当1x >时，()0f x '>，()f x 所以在(1,)+∞上单调递增，则()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a <-；若a>()0g x =的两个根120x x <<，()10f x a =-<因为，且()f x 在(1,)+∞是连续不断的函数所以总存在01x >，使得0()0f x <，不满足题意.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分（2015届朝阳二模）19.（本题14分）已知函数R a e a x x f x∈-=,)()(2。
2015高考数学一轮课件：第3章 3.1 导数的概念及其运算
题型二
导数的运算
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 求下列函数的导数：
(1)y＝ex·ln x；
(2)y＝xx2＋x1＋x13；
(3)y＝sin22x＋π3
；
(4)y＝ln(2x＋5).
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十四页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
题型分类·深度剖析
题型二
导数的运算
思维启迪 解析 思维升华
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第五页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) × (3) √ (4) ×(5) × (6) ×
2 ±1
2
1 3
解析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第六页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)几何意义
函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x) 上点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 .相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) . 3.函数 f(x)的导函数 若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数
题型三
导数的几何意义
思维启迪
解析 思维升华
【例 3】 已知函数 f(x)＝x3－
4x2＋5x－4.
(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处
的切线方程；
(2)求经过点 A(2，－2)的曲线
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第二章+函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最大(小)
变 式 训 练 2 设 f(x) ＝ x2 － 2ax(0≤x≤1) 的 最 大 值 为 M(a)，最小值为 m(a)．试求 M(a)及 m(a)的表达式．
【解】 f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，x∈[0,1]． 当 a≤0 时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝f(0)＝0； 当 0＜a≤12时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝－a2； 当12＜a≤1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝－a2； 当 a＞1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝f(1)＝1－2a.
两点注意 1.单调区间是定义域的子区间，求单调区间定义域优
先． 2．函数的单调区间要分开写，两个(或两个以上)同一类
单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”连接，如函数 y ＝1x单调减区间为：(－∞，0)，(0，＋∞)．
第二十八页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
三个结论 1.奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区 间上的单调性相反． 2．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函 数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． 3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
①对于任意的 x∈I，都 有 f(x)≤M ； 条件 ②存在 x0∈I，使 得 f(x0)＝M .
①对于任意的 x∈I，都 有 f(x)≥M ； ②存在 x0∈I，使 得 f(x0)＝M .
结论 M 是 y＝f(x)的最大值 M 是 y＝f(x)的最小值
第四页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”， 错误的打“×”)
第十页，辑于星期五：十一点 五十五分。
【尝试解答】 (1)由 x2－1＞0 得 x＞1 或 x＜－1，即函 数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
2015届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数教学
第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数(2)第三章 (对应学生用书(文)、(理)22～23页)考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质，以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．① 了解指数函数模型的实际背景. ②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点. ③知道指数函数是一类重要的函数模型.1. (必修1P 110复习9改编)函数y ＝a x －3＋3恒过定点________． 答案：(3，4)解析：当x ＝3时，f(3)＝a 3－3＋3＝4，∴ f(x)必过定点(3，4)． 2. (必修1P 110复习3改编)函数y ＝8－16x 的定义域是________． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，34 解析：由8－16x ≥0，所以24x ≤23，即4x ≤3，定义域是⎝⎛⎦⎤－∞，34. 3. (必修1P 67练习3)函数f(x)＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值X 围是________________．答案：(－2，－1)∪(1，2)解析：由0＜a 2－1＜1，得1＜a 2＜2，所以1＜|a|＜2，即－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2. 4. (必修1P 71习题13改编)函数f(x)＝a ＋14x ＋1是奇函数，那么常数a ＝________.答案：－12解析：由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5. (原创)函数y ＝1＋⎝⎛⎭⎫45|x －1|的值域为__________. 答案：(1，2]解析：设y′＝⎝⎛⎭⎫45u ，u ＝|x －1|. 由于u ≥0且y′＝⎝⎛⎭⎫45u 是减函数， 故0<⎝⎛⎭⎫45|x －1|≤1，那么1＜y ≤2.1. 指数函数定义一般地，函数y ＝a x (a>0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R ． 2. 指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质(1) 过定点(0，1)，即x ＝0时，y＝1(1) 过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1(2) 当x ＞0时，f(x)>1；x ＜0时，0<f(x)<1(2) 当x ＞0时，0<f(x)<1；x ＜0时，f(x)>1(3) 在(－∞，＋∞)上是增函数(3) 在(－∞，＋∞)上是减函数[备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1x ∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫2－x －122＋34.∵ x ∈[－3，2], ∴14≤2－x ≤8.那么当2－x ＝12，即x ＝1时，f(x)有最小值34；当2－x ＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57.备选变式〔教师专享〕9x －10×3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0， 解得1≤3x ≤9，∴ 0≤x ≤2.令(12)x ＝t ，那么14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4(t －12)2＋1， 当t ＝12即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.题型2 指数型函数的图象例2 函数f(x)＝|2x －1－1|. (1) 作出函数y ＝f(x)的图象；(2) 假设a<c ，且f(a)>f(c)，求证：2a ＋2c <4.(1) 解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－1，x ≥1，1－2x －1，x<1，其图象如下图．(2) 证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.假设c ≤1，那么2a <2，2c ≤2，所以2a ＋2c <4；假设c>1，那么由f(a)>f(c)，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，所以2a ＋2c <4.综上知，总有2a ＋2c <4.备选变式〔教师专享〕画出函数y ＝||3x －1的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程||3x －1＝k 无解？有一个解？有两个解？解：.由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k ≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．题型3 指数函数的综合运用例3 函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a ≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值X 围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 解：(1) 由于a x －1≠0，那么a x ≠1，所以x ≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}． (2) 对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝(1a －x －1＋12)(－x)3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x＋12x 3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (3) ① 当a>1时，对x>0，所以a x >1，即a x －1>0，所以1a x －1＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)， 那么当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立． ②当0<a<1时，f(x)＝〔a x ＋1〕x 32〔a x －1〕，当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意； 当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值X 围是a>1. 变式训练设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性； (3) 求函数的值域．解：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)， 于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(13x 2＋x 1－1)．因为3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3) 因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．1. (2013·某某一检)函数y ＝a x －1a(a>0，a ≠1)的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：当a>1时，y＝a x－1a为增函数，且在y轴上的截距0<1－1a<1，故①②不正确；当0<a<1时，y＝a x－1a 为减函数，且在y轴上的截距1－1a<0，故④正确．2. (2013·某某二模)以下函数中满足f(x＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)①f(x)＝lnx；② f(x)＝e x；③ f(x)＝e x－x；④ f(x)＝e x＋x.答案：④解析：假设f(x)＝e x＋x，那么f(x＋1)＝e x＋1＋x＋1＝e·e x＋x＋1>e x＋x＋1＝f(x)＋1.3. (2013·某某)设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.假设实数a、b满足f(a)＝0，g(b)＝0，那么g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．答案：g(a)<0<f(b)解析：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．4. (2013·某某)设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1) 记集合M＝{(a，b，c)|a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，那么(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2) 假设a、b、c是△ABC的三条边长，那么以下结论正确的选项是________．(填序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边长；③假设△ABC为钝角三角形，那么x∈(1，2)，使f(x)＝0.答案：(1) {x|0<x≤1}(2) ①②③解析：(1) 因为c>a>0，c>b>0，a＝b且a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，所以0<2a ≤c ，所以ca ≥2.令f(x)＝0，得2a x＝c x，即⎝⎛⎭⎫c a x＝2，即x ＝log c a 2，1x ＝log 2ca ≥1，所以0<x ≤1.(2) 由a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，知a ＋b>c ， 因为c>a>0，c>b>0，所以0<a c <1，0<bc <1，当x ∈(－∞，1)时， f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x －1 >c x ⎝⎛⎭⎫a c ＋b c －1＝c x ·a ＋b －c c >0，①正确；令a ＝2，b ＝3，c ＝4，那么a 、b 、c 可以构成三角形，而a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16不能构成三角形，②正确；由c>a ，c>b ，且△ABC 为钝角三角形，那么a 2＋b 2－c 2<0.因为f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确．1. 函数f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，那么f(x)的值域是________．答案：⎣⎡⎭⎫－32，－12∪⎝⎛⎦⎤12，32 解析：因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a ＝－12，所以f(x)＝－12－12x －1，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，f(x)∈⎣⎡⎭⎫－32，－12.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是⎣⎡⎭⎫－32，－12∪⎝⎛⎦⎤12，32. 2. f(x)＝(e x －1)2＋(e －x －1)2，那么f(x)的最小值为________．答案：－2解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(e x ＋e －x )2－2(e x ＋e －x )－2，令t ＝e x ＋e －x ， 那么g(t)＝t 2－2t －2＝(t －1)2－3，t ∈[2，＋∞)， 所以，最小值为－2.3. 设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕，f 〔x 〕≤K ，K ，f 〔x 〕>K.取函数f(x)＝2－|x|.当K ＝12时，函数f K (x)的单调递增区间为________．答案：(－∞，－1) 解析：函数f(x)＝2－|x|＝⎝⎛⎭⎫12|x|，作图易知f(x)≤K ＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．4. 假设函数f(x)＝a x (a>1)的定义域和值域均为[m ，n]，某某数a 的取值X 围．解：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝m ，a n ＝n ，即方程a x ＝x 有两个不同的解，设f(x)＝a x －x ，f ′(x)＝a x lna －1，令f′(x)＝0，得x ＝log a 1lna＝－log a lna ，分析得f(－log a lna)<0即可，∴ 1<a<e 1e .1. 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是高考必考内容．本部分知识在高考中主要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性)．2. 将指数函数y ＝a x (a>0，a ≠1)的图象进行平移、翻折，可作出y －y 0＝f(x －x 0)，y ＝|f(x)|，y ＝f(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．3. 对可转化为a 2x ＋b·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元〞的X 围．请使用课时训练〔A 〕第8课时〔见活页〕.[备课札记]。
高考导数分类汇编
全国高考理科数学分类汇编——函数与导数1.（北京）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f（x）=sinx．【解答】解：例如f（x）=sinx，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）=sinx．2.（北京）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x．由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x=（x﹣2）（ax﹣1）e x，若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（，+∞）．3.（江苏）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．4.（江苏）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，故答案为：5.（江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减；f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．6.（江苏）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．7.（全国1卷）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）DA．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．8.（全国1卷）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）CA．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．9. （全国1卷）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．10.（全国1卷）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，设g（x）=x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2﹣4，①当0＜a≤4时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：（0，）（，）（，+∞）综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则=﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．11.（全国2卷）函数f（x）=的图象大致为（）BA．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．12.（全国2卷）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）CA．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．13.（全国2卷）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．14.（全国2卷）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）≥h（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递增，当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．15.（全国3卷）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）DA．B．C．D．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，排除C，故选：D．16.（全国3卷）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）BA．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【解答】解：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=，∴=，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．17.（全国3卷）曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=﹣3．【解答】解：曲线y=（ax+1）e x，可得y′=ae x+（ax+1）e x，曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．18.（全国3卷）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．，，可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h″（x）单调递减，①令h″（0）=0，解得a=﹣．∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（0）=0，∴h（x）单调递减，又h（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0，∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0，∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1，∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．综上，a=﹣．19.（上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．20.（上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．21.（上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：622.（上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）B A．B．C．D．0【解答】解：设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，故f（1）=cos=，故选：B．23.（上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24.（天津）已知a=log2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）DA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a=log 2e＞1，0＜b=ln2＜1，c=log=log23＞log2e=a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．25.（天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是（4，8）．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，由g（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h（x）＞0得x＞4，此时递增，由h（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）26.（天津）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=a x﹣xlna，有h′（x）=a x lna﹣lna，令h′（x）=0，解得x=0．由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由f′（x）=a x lna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为lna．由g′（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．∵这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得log a x2+x1+2log a lna=0，∴x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y=g（x）在点（x2，log a x2）处的切线l2：．要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，即只需证明当a≥时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u（x）=，既要证明当a≥时，函数y=u（x）存在零点．u′（x）=1﹣（lna）2xa x，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，又u′（0）=1＞0，u′=＜0，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即．由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）．∵，故lnlna≥﹣1．∴=．下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，由（Ⅰ）可得a x≥1+xlna，当时，有u（x）≤=．∴存在实数t，使得u（t）＜0．因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0．∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．27.（浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）DA． B． C．D．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．28.（浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=8，y=11．【解答】解：，当z=81时，化为：，解得x=8，y=11．故答案为：8；11．29.（浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3] ．【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则λ∈（1，3]．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]．30.（浙江）已知函数f（x）=﹣lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣lnx，∴x＞0，f′（x）=﹣，∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，∴=﹣，∵x1≠x2，∴+=，由基本不等式得：=≥，∵x1≠x2，∴x1x2＞256，由题意得f（x 1）+f（x2）==﹣ln（x1x2），设g（x）=，则，∴列表讨论：∴g（x）在[256，+∞）上单调递增，∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2，∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．（Ⅱ）令m=e﹣（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，f（n）﹣kn﹣a＜n（﹣﹣k）≤n（﹣k）＜0，∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h′（x）==，其中g（x）=﹣lnx，由（1）知g（x）≥g（16），又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0，∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根，综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．。
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第二章+函数、导数及其应用 第12节 导数的综合应用
记 H(x)＝sin x－x，则当 x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1<0， 所以 H(x)在[0,1]上是减函数，则 H(x)≤H(0)＝0，即 sin x≤x.
综上， 22x≤sin x≤x，x∈[0,1]．
第二十四页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
第十二节 导数的综合应用
考纲传真 会用导数解决实际问题．
第一页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优 化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内 只有一个极值点，那么该点也是最值点．
2．生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路：
第二页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
A．13 万件
B．11 万件
()
C．9 万件
D．7 万件
第五页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
【解析】 y′＝－x2＋81，令 y′＝0 得 x＝9 或 x＝－ 9(舍去)．
当 x∈(0,9)时，y′>0，当 xபைடு நூலகம்(9，＋∞)时，y′<0， 则当 x＝9 时，y 有最大值． 即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件，故 选 C. 【答案】 C
【答案】 (－1，＋∞)
第九页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
考向 1 导数在方程(函数零点)中的应用 【例 1】 (2013·陕西高考改编)已知函数 f(x)＝ex，x∈ R. (1)求 f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程； (2)证明：曲线 y＝f(x)与曲线 y＝12x2＋x＋1 有唯一公共点． 【思路点拨】 (1)确定反函数，利用导数的几何意义求 解；(2)将两曲线的公共点个数问题转化为函数零点个数问题 来解决．
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1．（安徽）（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 （A）ycosx （B）ysinx （C）ynlx （D）21yx 答案：A 2.（安徽）9、函数2axbfxxc的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A）0a，0b，0c （B）0a，0b，0c （C）0a，0b，0c （D）0a，0b，0c
3.（安徽） 15. 设30xaxb，其中,ab均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号） (1)3,3ab；(2)3,2ab；(3)3,2ab；(4)0,2ab;(5)1,2ab.
4.（北京）7．如图，函数fx的图像为折线ACB，则不等式2log1fxx≥的解集是
AB
Ox
y-122C
A．|10xx≤ B．|11xx≤≤ C．|11xx≤ D．|12xx≤
答案C 5.（北京）8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案D
6.（福建）2、下列函数为奇函数的是
A.yx B.sinyx C.cosyx D.xxyee 答案：D 7.(福建) 10、若定义在R 上的函数fx 满足01f ，其导函数fx 满足
1fxk ，则下列结论中一定错误的是
A.11fkk B.111fkk C.1111fkk D. 111kfkk 答案：C 8.（新课标1）12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的
整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( ) A.[32e，1) B. [33,24e) C. [33,24e) D. [32e，1) 答案：D 9.（新课标1）(13)若函数f(x)＝xln(x＋2ax)为偶函数，则a＝ 答案：1
10.（新课标2）（5）设函数f（x）=则f（-2）+f（）= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12
11.（新课标2）（12）设函数f’(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，x f’(x)- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（ ） （A）（，-1）∪（0,1） （B）（，0）∪（1,+）
（C）（，-1）∪（-1,0） （D）（，1）∪（1,+） 12.（广东）3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A．21yx B．1yxx C．122xxy
D．xyxe 13.（湖北）6．已知符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xxxx ()fx是R上的增函数，()()()(1)gxfxfaxa，则 A．sgn[()]sgngxx B．sgn[()]sgngxx C．sgn[()]sgn[()]gxfx D．sgn[()]sgn[()]gxfx 答案：B 14.（湖北）12．函数2π()4coscos()2sin|ln(1)|22xfxxxx的零点个数为 ．
答案：2 15.（湖南）5.设函数()ln(1)ln(1)fxxx，则()fx是（ ）
A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案：A
16.（湖南）15.已知32,(),xxafxxxa，若存在实数b，使函数()()gxfxb有两个零点，则a的取值范围是 . 答案：（,0）（1,）
17.（江苏）13.已知函数|ln|)(xxf，1,2|4|10,0)(2xxxxg，则方程1|)()(|xgxf实根的个数为 。答案4 18. （山东）（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a的
取值范围是（） （A）[,1]（B）[0,1] （C）[（D）[1, + 答案：C 19.（山东）(14)已知函数()(0,1)xfxabaa 的定义域和值域都是1,0 ，则ab
答案：32 20.（陕西）9.设()ln,0fxxab，若()pfab，()2abqf，1(()())2rfafb，则下列关系式中正确的是
A．qrp B．qrp C．prq D．prq 答案：B 21.（陕西）12.对二次函数2()fxaxbxc（a为非零整数．．），四位同学分别给出下列结
论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A．-1是()fx的零点 B．1是()fx的极值点 C．3是()fx的极值 D.点(2,8)在曲线()yfx上
答案：A 22.（陕西）15.设曲线xye在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yxx上点p处的切线垂直，
则P的坐标为 答案：（1,1） 23.（四川）9. 如果函数21281002fxmxnxmn，在区间122，单调递减，则mn的最大值为 （A）16 （B）18 （C）25 （D）812 答案：B 24.（四川）13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：C）满足函数关
系bkxey（718.2e为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0C的保鲜时间设计192小时，在22C的保鲜时间是48小时，则该食品在33C的保鲜时间是 小时。 答案：24 25.（四川）15.已知函数xxf2)(，axxxg2)(（其中Ra）。对于不相等的实数21,xx，
设2121)()(xxxfxfm，2121)()(xxxgxgn， 现有如下命题： （1）对于任意不相等的实数21,xx，都有0m； （2）对于任意的a及任意不相等的实数21,xx，都有0n； （3）对于任意的a，存在不相等的实数21,xx，使得nm； （4）对于任意的a，存在不相等的实数21,xx，使得nm。 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。 答案：①④ 26.（天津）（7）已知定义在R 上的函数21xmfx （m 为实数）为偶函数，记0.52(log3),log5,2afbfcfm ，则,,abc 的大小关系为
（A）abc （B）acb （C）cab （D）cba 答案：C
27.（天津）（8）已知函数22,2,2,2,xxfxxx 函数2gxbfx ，其中bR ，若函数yfxgx 恰有4个零点，则b的取值范围是
（A）7,4 （B）7,4
（C）70,4 （D）7,24 答案：D 28.（浙江）7.存在函数()fx满足，对于任意xR都有（ ）
A. (sin2)sinfxx B. 2(sin2)fxxx C. 2(1)1fxx D. 2(2)1fxxx 答案：D 29.（安徽）21.设函数2()fxxaxb.
（1）讨论函数(sin)22fx在(-,)
内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）记20000(),(sin)(sin)fxxaxbfxfx求函数在22(-,)上的最大值D； （3）在（2）中，取2000,D14aabzb求满足时的最大值。
30.（北京）18．（本小题13分） 已知函数1ln1xfxx． （Ⅰ）求曲线yfx在点00f，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当01x，时，323xfxx；
（Ⅲ）设实数k使得33xfxkx对01x，恒成立，求k的最大值． 解：（I）因为()fx=ln（1+x）-ln（1-x），所以 ()fx=1111xx，(0)f=2.
又因为(0)f=0，所以曲线y= ()fx在点（0 ，(0)f）处的切线方程为y=2x. （Ⅱ）令()gx=()fx-2(x+33x)，则
()gx=()fx-2（1+2x）=4221xx.
因为()gx>0（0所以()gx>(0)g=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，()fx>2(x+33x).
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k《2时，()fx>k(x+33x)对x∈（0，1）恒成立. 当k>2时，令()hx=()fx- k(x+33x)，则 ()hx=()fx-k（1+2x）=4221kxkx.
所以当420kxk时，()hx<0，因此()hx在区间（0，42kk）上单调递减. 当420kxk时，()hx<(0)h=0，即()fx< k(x+33x).
所以当K>2时，()fx> k(x+33x)并非对x∈（0，1）恒成立. 综上可知，k的最大值为2。 31.（福建）20.已知函数f()ln(1)xx=+，(),(k),gxkxR=
(1)证明：当0xxx>(2)证明：当1k,使得对0(0),xxÎ任意，恒有f()()xgx>；