随机误差出现的规律
第二章 误差及分析数据的统计处理
第二章误差及分析数据的统计处理§2-1 定量分析中的误差定量分析的任务是准确测定试样中组分的含量。
但是，即使是技术很熟练的分析工作者，用最完善的分析方法和最精密的仪器，对同一样品进行多次测定，其结果也不会完全一样。
这说明客观上存在着难以避免的误差。
因此，我们在进行定量测量时，不仅要得到被测组分的含量，而且还应对分析结果作出评价，判断其准确性（可靠程度），找出产生误差的原因，并采取有效的措施，减少误差。
一、误差的表示：从理论上说，样品中某一组分的含量必有一个客观存在的真实数据，称之为“真值”。
测定值（x）与真实值（T）之差称为误差(绝对误差)。
误差 E = X - T误差的大小反映了测定值与真实值之间的符合程度，也即测定结果的准确度。
测定值> 真实值误差为正测定值< 真实值误差为负分析结果的准确度也常用相对误差表示。
相对误差E r = E / T×100%= (X-T) / T×100%用相对误差表示测定结果的准确度更为确切。
二、误差的分类根据误差的性质与产生原因，可将误差分为：系统误差、随机误差和过失误差三类。
（一）系统误差系统误差也称可定误差、可测误差或恒定误差。
系统误差是由某种固定原因引起的误差。
1、产生的原因（1）方法误差：是由于某一分析方法本身不够完善而造成的。
如滴定分析中所选用的指示剂的变色点与化学计量点不相符；又如分析中干扰离子的影响未消除等，都系统的影响测定结果偏高或偏低。
（2）仪器误差：是由于所用仪器本身不准确而造成的。
如滴定管刻度不准（1ml刻度内只有9个分度值），天平两臂不等长等。
（3）试剂误差：是由于实验时所使用的试剂或蒸馏水不纯造成的。
例如配制标准溶液所用试剂的纯度要求在99.9%；再如：测定水的硬度时，若所用的蒸馏水含Ca2+、Mg2+等离子，将使测定结果系统偏高。
（4）操作误差：是由于操作人员一些主观上的原因而造成的。
比如，某些指示剂的颜色由黄色变到橙色即应停止滴定，而有的人由于视觉原因总是滴到偏红色才停止，从而造成误差。
第二章 误差分析
1.57 1.64 1.69 1.62 1.55 1.53 1.62 1.54 1.68
1.60 1.63 1.70 1.60 1.52 1.59 1.65 1.61 1.69
1.63 1.67 1.58 1.57 1.54 1.62 1.65
1.66 1.60 1.60
频率分布表和绘制出频率分布直方图 1. 算出极差： R=1.74－1.49=0.25
三．标准正态分布由于μ， 不同就有不同的 正态分布，曲线也就随之变化，为使用方便， 作如下变换：
1 y f(x) e 2 dx du
u
xm
(x m )2 2
2
1 y f ( x) e 2 u2 1 2 f ( x)dx e du (u) du 2
x
sx s n n (n )
6.极差：R＝xmax－xmin
三． 准确度与精密度的关系
系统误差 准确度 随机误差
甲 乙 丙
精密度
T
x
精密度高、准确度低 精密度高、准确度高
精密度低 精密度低、准确度低
丁
结 论：
① 高精密度是获得高准确度的前提条件，准确 度高一定要求精密度高 ② 精密度高，准确度不一定就高，只有消除了 系统误差，高精密度才能保证高的准确度
Xi 10.0 10.1 9.3 10.2 9.9 9.8 10.5 9.8 10.3 9.9
第二批数据 X i- X (Xi-X)2 0.00 ± 0.0 +0.1 0.01 -0.7* 0.49 +0.2 0.04 -0.1 0.01 -0.2 0.04 +0.5* 0.25 -0.2 0.04 +0.3 0.09
误差的分类及特点
误差的分类及特点
误差从性质上分类、特点
误差从性质上可分为三大类，即：
系统误差
随机(偶然)误差
疏失误差（粗大误差、过失误差）
系统误差
系统误差：系统误差是指按一定规律出现的误差；在同一条件下，多次重复测试同一量时，误差的数值和正负号有较明显的规律。
系统误差通常在测试之前就已经存在，而且在试验过程中，始终偏离一个方向，在同一试验中其大小和符号相同。
例如，电压表示值的偏差等。
特征：有其对应的规律性，它不能依靠增加测量次数来加以消除，一般可通过试验分析方法掌握其变化规律，并按照相应规律采取补偿或修正的方法加以消减。
随机误差（偶然误差）
随机误差（偶然误差）：在同一条件下，对某一量多次重复测量时，各次的大小和符号均以不可预定的规律变化的误差，谓之随机误差或偶然误差。
是具有不确定性的一类误差。
它的产生是由测量过程中出现的各种各样不显着而又难于控制的随机因素综合影响所造成。
特征：个别出现的偶然性而多次重复测量总体呈现统计规律，服从高斯。
误差产生的原因分析
测定次数 3
Q0.90
0.94
Q0. 95
0.98
4
0.76
0.85
5
0.64
0.73
6
0.56
0.69
7
0.51
0.59
8
0.47
0.54
9
0.44
0.51
10
0.41
0.48
（4） 将Q计与Q表（如Q 0.90）相比， 若Q计Q表舍弃该数据, （过失误差造成）
若Q计≤Q表保留该数据, （随机误差所致）
26
2、平均值的置信区间
总体平均值
x 有限次测量均值
（1）由单次测量结果估计μ的置信区间
x u
（2）由多次测量的样本平均值估计μ的置信区间
x u x u
n
（3）由少量测定结果均值估计μ的置信区间
xts xt s
n
x tp, f s
1
u2
e 2 du (u)du
2
即y (u)
1
u2
e2
2
注：u 是以σ为单位来 表示随机误差 x -μ
以u ～y作图
8
（B）偶然误差的区间概率
偶然误差的区间概率P—用一定区间的积分面积表示 该范围内测量值出现的概率
从－∞～＋∞，所有测量值出现的总概率P为1 ，
即
RE %
2
0.01 100%
0.1%
V
V 20mL
3．增加平行测定次数，一般测3～4次以减小偶然误差 4．消除测量过程中的系统误差
1）校准仪器：消除仪器的误差 2）空白试验：消除试剂误差 3）对照实验：消除方法误差 4）回收实验：加样回收，以检验是否存在方法误差
测量技术基础
测量技术基础机械加工车间工作的机械加工工人必须掌握的多种测量技术，量具、量仪以游标卡尺、千分尺、和百分表为主。
对于某一测量对象，一般有多种测量技术可供选择，而某一种测量技术又往往可用于不同的测量对象。
用于同一测量对象，不同测量技术的效果可能大致相同，也可能大不相同。
按照测量的进行方式，测量技术可分为以下两种。
①直接比较测量技术：在测量中，将被测量与已和其值的同一种量相比较。
其测量不确定度主要取决于标准量值的不确定度和比较器的灵敏度和分辨力，它可克服由于测量装置的动态范围不够和频率响应不好所引入的非线性误差。
替代法、换位法等属于这一类。
②非直接比较测量技术：不是将被测量的全值与标准量值相比较的比较测量。
微差法、符合法、补偿法、谐振法、衡消法等属于这一类。
在建立计量标准的测量中，经常采用基本测量技术，即绝对测量技术。
这是通过对有关的基本量的测量来确定被测量值。
其测量不确定度一般是通过实验、分析和计算得出，精度高，但所需装置复杂。
第一讲概述课题：1. 测量技术的概念2. 长度基准与尺寸传递3．量块的基本知识4．形位公差值及有关规定课堂类型：讲授教学目的：1.了解测量技术的基本概念及尺寸传递2.重点掌握量块的使用方法。
教学重点：量块的使用方法。
教具：量块教学方法：例举习题讲解量块的使用，使学生掌握其主要内容教学过程：一、引入新课题由提问学生长度单位的意义引入新课.二、教学内容4.1 概述4.1.1测量技术的概念1.测量是指为确定被测量值而进行的一组操作过程。
其实质是将被测的量L与具有计量单位的标准量E进行比较，从而确定比值q的过程，即q= L/E测量过程包括以下四个要素:（1）测量对象主要指几何量，包括长度、角度、表面形状和位置误差、表面粗糙度以及螺纹、齿轮的各种参数等。
（2）计量单位长度单位为米（m），在机械制造中常用单位为毫米（mm）、微米（μm）;角度单位是弧度（rad），实用中常以度（°）、分（′）、秒（″）为单位。
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
随机误差的正态分布.
测量值出现的区间
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
概率
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在 (1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于 2.00%的概率。
解：(1)
u x x 1.75% 0.15% 1.5
0.10% 0.10%
(2) 属于单边检验问题： u x 2.00% 1.75% 2.5
0.10%
阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率 为 0.5000 ， 故 阴 影 部 分 以 外 的 概 率 为 0.5000 － 0.4938=0.62% ， 即 分 析 结 果 大 于 2.00% 的 概 率 为 0.62%。
概率P为： p
(u) du
1
eu2 / 2du
2
大多数测量值集中在算术平均值的附近； 小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，
特大误差出现的几率极小； 绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相
等。
表3-2 正态分布概率积分表
图 7-5 正态分布概率积分图
y f (x)
1
e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系 统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。
σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差
概率
误差的分类及特点
误差的分类及特点
误差可以分为三类：系统误差、随机误差和粗大误差。
1. 系统误差：也称为可测误差或恒定误差，是指在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真实值之差。
这种误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化。
2. 随机误差：也称为偶然误差或不可测误差。
这种误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定的方式变化。
随机误差的产生原因包括环境条件误差、仪器误差和人员操作误差等。
随机误差遵从正态分布，即大小相近的正负误差出现机会相等，小误差出现的概率大，大误差出现的概率小。
3. 粗大误差：也称为过失误差，是由一些不应有的错误造成的，如读数错误、记录错误等。
这种误差在一定条件下，测量值会显著偏离其实际值。
一经发现，必须及时纠正。
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随机误差出现的规律
随机误差是在测量或实验过程中不可避免的一种误差。
它是由于各种不确定因
素的影响导致的测量结果与真实值之间的偏差。
虽然"随机"一词暗示了它的无规律性，但实际上随机误差具有一定的规律。
首先，随机误差呈现出正态分布的特点。
正态分布是一种常见的概率分布模式，也被称为高斯分布。
它的特点是将大量的观测值分布在均值附近，并向两侧逐渐减少。
在测量中，随机误差的分布通常符合这种形态。
其次，随机误差的出现通常受到多个因素的影响。
例如，环境条件的变化、测
量仪器的精度、实验人员的技巧水平等因素都可能对随机误差产生影响。
这些因素相互作用，使得随机误差不可完全预测和消除。
另外，随机误差具有独立性。
这意味着一个测量值的误差与其他测量值的误差
之间是相互独立的。
也就是说，一个误差的出现并不会直接导致其他误差的出现。
这种独立性使得我们能够通过多次测量来减小随机误差的影响，通过取平均值等方法提高测量结果的精确度。
最后，随机误差具有一定的范围和趋势。
尽管它的出现是随机的，但通过大量
的数据分析，我们可以发现误差值的范围和变化趋势。
这可以帮助我们更好地理解和处理随机误差，提高测量和实验的可靠性。
总结来说，随机误差虽然是一种难以避免的误差，但其出现具有一定的规律性。
通过理解和掌握随机误差的规律，我们可以采取相应的措施来减小其影响，提高测量结果的准确性和可信度。