连续动态系统
第二章 连续系统的时域分析
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
5
第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
20
第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
21
第二章 连续系统的时域分析
离散事件动态系统
.
3 计算机控制单元 FMS的控制中心 基本功能包括：对工件流向的控制，加工任务的调度，运 行状态的监控，物流小车的调度等 4 分布于各加工中心前的缓冲区。 缓冲区存放暂时不加工的工件，设置缓冲区的目的在于改 善由于各加工中心在作业时间上的不同而造成的物流不均 衡性，避免出现阻塞。
离散事件动态系统
.
研究背景
随着信息处理技术,计算机技术和机器人技术等的发展 和应用,在通信,制造,交通管理,军事指挥等出现了大量 的人造系统,如柔性制造系统,大规模计算机通信网 络,C3I系统等. 这些人造系统中,对系统行为起决定作用的是离散事件, 所遵循的是一些人为的规则.对这些人造系统的行为的 研究,推动了离散事件动态系统的形成和发展.
代数层次:主要在物理时间层次上研究DEDS的代数特性 和运动过程,主要方法是极大极小代数.
统计性能层次:主要在性能层次上研究随机情况下DEDS 的各种平均性能及其优化,主要方法有排队论,广义半马 尔柯夫过程等
.
建模与分析的困难
离散事件的不连续本质,计算可行性 大多数性能指标的连续本质 不确定性
.
排队系统
3 离散事件是研究DEDS的主体,对DEDS的分析归结为确定离 散事件交互影响所导致的系统状态的演变.对DEDS的控制就是 禁止不期望事件的发生或使事.件按照期望的时序发生
离散事件
柔性制造系统:工件到达机床,工件等待加工,工件加工 完毕等 排队网络:顾客到达服务中心,等待,接受服务,离开等 计算机通信网络:信息到达网络,信息传递及其传递结 束
排队系统的组成
混杂系统理论及其在电力系统的应用前景
关键词 混杂 系统理论 ；连续动态系统； 离散 事件动态 系
统：混杂电力系统
事件动态系统描述包括 Ｆ Ｃ Ｓ设备的投切、有载 ＡＴ 变 压器 分接头 的调 节和 继 电保 护动 作 等。 当电力系
统受 到大 的扰动 或发 生故 障时 ， 系统 的动态特 性通
中囝分类号：Ｔ １ Ｍ７
文献标识码：Ａ
驱 动 的离 散动态 行 为 ， 且连续 动态 和 离散动态 相 连续 动态 和离 散事 件动 态 。 混 杂动态 系统 （ ｂｉ 而 “ Ｈｙｒ ｄ 互 影响相 互 作用 国 际上对 混杂 系 统 的研 究 自 ２ Ｄ ｎｍｉ Ｓ ￣ ｍ） 指 的是 具有连 续 的动态 行 为和 ０ ｙａ ｃ ｙ ｅ ” 世纪 ９ Ｏ年代 兴起 ，ｌ 年 的大量研 究 已经初 步地 离散事件驱动 动态行 为 以及这 两种 行为相互 作用构 Ｏ余
杂动态系统理论在 电力系统的应用前景
１ 混杂 系统理论 引 言
１ 混杂系统 的基本概念 ０ ． １ 对一个复杂系统的研究， 其动态演化过程通常 “ 混杂 （ ｙｒ ） Ｈ ｂｉ ”一词， ｄ 通常意味着具有两种 由其连续时间的物理过程来描述， 即微 分方程或差 主 要不 同类 型的对象和方法 的混合 。“ 混杂 系统 分方程 ， 而实际的物理系统的动态过程的演化是非 （ ｂ ｄ ｙｔｍ） 可理解 为具 有 两种不 同特 性行 为 Ｈｙｄ ｓ Ｓ ｅ ” 常复杂 的 ，除 了连续 动态 变 化外 ， 存在 基于 事件 的系统 。在控 制系 统 中，这种 不 同特性行 为表 现为 还
建立 了混杂动态系统理论框架 ， 而且在应用方面也 成 的系 统 。 续动态 数学 描述一 般 为微 分方程 或差 连 取得 了很大进展 ， 如在 自动高速公路系统 ， 航空 分方程， 而离散事件动态系统由离散事件动态理论 交通管理系统 以及制造业 等的应用 。混杂动 来描 述 态系统的研究在工程控制 、 计算机科学与数学之间
Simulink常用库模块介绍
Simulink常用库模块介绍1. Sources Library（源库）：该库提供了一些用于输入信号的模块，如步进信号、正弦信号、随机信号等。
用户可以根据自己的需求选择适合的信号类型。
2. Sinks Library（输出库）：该库提供了一些用于输出和记录信号的模块，如作用在信号上的示波器、记录信号的Scope等。
3. Continuous Library（连续库）：该库提供了一些用于连续时间系统的模块，如积分器、微分器、比例积分微分控制器（PID）等。
这些模块可以用于建立和仿真连续时间动态系统。
4. Discrete Library（离散库）：该库提供了一些用于离散时间系统的模块，如采样器、保持器、差分器等。
这些模块可以用于建立和仿真离散时间动态系统。
5. Logic and Bit Operations Library（逻辑和位运算库）：该库提供了一些用于逻辑运算和位运算的模块，如AND门、OR门、XOR门、移位器等。
这些模块可以用于建立和仿真逻辑和位运算系统。
6. Math Operations Library（数学运算库）：该库提供了一些用于数学运算的模块，如加法器、减法器、乘法器、除法器等。
这些模块可以用于建立和仿真数学运算系统。
7. Lookup Tables Library（查找表库）：该库提供了一些用于查找表操作的模块，如一维和多维插值查找表、查找表与插值、查找表与线性插值等。
这些模块可以用于建立和仿真查找表系统。
8. Control Systems Library（控制系统库）：该库提供了一些用于控制系统的模块，如PID控制器、状态空间模型、传递函数等。
这些模块可以用于建立和仿真控制系统。
9. Signal Routing Library（信号路由库）：该库提供了一些用于信号路由的模块，如切换器、多路复用器、分支器等。
这些模块可以用于控制信号的路由和选择。
10. Simulink Extras Library（额外功能库）：该库提供了一些Simulink中的辅助模块，如信号生成器、信号调整器、时间尺度转换器等。
动态系统理论解读非线性动力学行为
动态系统理论解读非线性动力学行为动态系统理论是研究系统随时间变化的数学理论，在物理学、生物学、经济学等领域广泛应用。
非线性动力学是动态系统理论的一个重要分支，研究的是非线性系统的行为。
非线性动力学行为指的是系统中存在非线性因素导致的复杂行为，这些行为通常无法通过简单的线性理论来解释。
非线性动力学行为的研究领域包括混沌理论、奇异吸引子、分岔现象等。
混沌理论是非线性动力学行为的重要组成部分。
混沌现象指的是一个看似没有规律的、极为敏感的动态行为，它对初始条件极为敏感，微小的初始条件差异可能会导致系统最后的行为完全不同。
混沌现象的典型例子是著名的“蝴蝶效应”，即一个蝴蝶在巴西扇动翅膀可能最终引起美国得克萨斯州发生龙卷风的现象。
奇异吸引子是一种特殊的吸引子，它具有分岔结构。
吸引子是动态系统中一组确定的状态，而奇异吸引子则是一种分维度小于系统自身维度的吸引子。
奇异吸引子的特点是具有分形结构，即在不同尺度上具有相似的形状。
分岔现象是非线性动力学中的一个重要现象，它表示系统参数改变时出现的定性变化。
在分岔现象中，随着参数的改变，系统从一个稳定状态转变为多个稳定状态或不稳定状态。
这种转变可以是突然的、跳跃的或连续的，而且是可逆的。
非线性动力学行为的研究对于理解现实世界中复杂系统的行为模式具有重要意义。
在物理学中，非线性动力学行为可以帮助解释天体运动、流体力学等现象。
在生物学中，非线性动力学行为可以解释生物系统中的自组织、自适应等特性。
在经济学中，非线性动力学行为可以用来解释经济周期、市场波动等现象。
非线性动力学行为的研究方法包括数学建模、理论分析和计算机模拟等。
数学建模是非线性动力学研究的基础，可以将系统的动力学行为用方程或规则来描述。
理论分析通过数学方法对系统的动态行为进行解析，寻找系统的稳定状态和边界条件等。
计算机模拟则可以通过计算机程序对系统进行模拟，观察系统的行为变化。
然而，非线性动力学行为的研究也面临着一些挑战。
信号与系统名词解释
1. 信号：是信息的载体。
通过信号传递信息。
2. 系统：是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体3. 数字信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号。
4. 模拟信号：在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号。
5. 连续系统：若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号。
6. 离散系统：若系统的输入信号和输出信号均是离散信号。
7. 动态系统：若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关。
8. 即时系统：不含有记忆元件(电容、电感等)的系统。
9. 线性系统：满足线性性质的系统。
10. 因果系统：零状态响应不会出现在激励之前的系统。
11. 连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ012. 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k<0 或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ013. 稳定系统：一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应y f (.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定。
14. 时不变系统：满足时不变性质的系统称。
15. 时不变性质：若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间。
16. 零状态响应：当系统的初始状态为零时，仅有输入信号f(t)/f(k)的响应。
17. 零输入响应：是激励为零时仅有系统的初始状态{x(0)}所引起的响应。
18. 自由响应：齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关19. 强迫响应：特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
20. 冲激响应：当初是状态为零是，输入为单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应。
21. 阶跃响应：当初是状态为零是，输入为单位阶跃函数所引起的零状态响应。
22. 正交：定义在(t 1，t 2)区间的两个函数ϕ 1(t)和ϕ 2(t),若满足 23. 完备正交函数集：如果在正交函数集{ϕ1(t)， ϕ 2(t)，…， ϕ n (t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足⎰=210d )()(t t i t t t ϕϕ ( i =1，2，…，n)。
现代控制理论作业题.
⎡− a
0 ⎤ ⎡0⎤
⎢
(2)
x&
=
⎢ ⎢
−b −c
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u,
y = [1
0
0
0]x。
⎥ ⎢1⎥
⎢ ⎣
0
−
d
⎥ ⎦
⎢⎣1⎥⎦
2.17 试判断下列系统的可观测性：
⎡−1 − 2 − 2⎤ ⎡2⎤
(1)
x&
=
⎢ ⎢
0
−1
1
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u,
y = [1 1
0]x
⎢⎣ 1 0 −1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
4
⎥ ⎦
x
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
Y (s) = s +1 U (s) s 2 + 3s + 2
试写出系统可控不可观测、可观测不可控、不可控不可观测的动态方程。 2.21 设被控系统状态方程为
⎡0 1 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
x& = ⎢⎢0
−1
1
⎥ ⎥
x
+
⎢ ⎢
0
⎥⎥u
⎢⎣0 −1 10⎥⎦ ⎢⎣10⎥⎦
⎡1 2 0⎤
⎡0⎤
A = ⎢⎢3 −1 1⎥⎥, b = ⎢⎢0⎥⎥, c = [−1 1 1]
⎢⎣0 2 0⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
试检查可观测性，设计（n－q）维观测器，并使所有极点配置在 －4。 2.25 试用李雅普诺夫第二法判断下列线性系统平衡状态的稳定性：
(1) x&1 = −x1 + x2 , x&2 = 2x1 − 3x2 (2) x&1 = x2 , x&2 = 2x1 − x2
第八章 状态方程
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
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1 第三章 连续动态系统 讨论可以用数学模型描述的系统，分为确定性模型（演化方程表示为状态变量的函数）、随机性模型（演化方程（动力学方程—状态变量的导数对状态变量的依赖关系，例速度、位移表达式）可用一个随时间变化的随机变量描述），每一类模型又分连续型和离散型两种。例，离散与连续的形象解释。
1．连续动态系统的数学描述 在系统科学中，迄今真正成熟的主要是线性系统理论，但系统科学重点研究非线性系统。 1.1 线性动态系统 用线性数学模型描述的系统，线性系统的基本特征是满足叠加原理。满足叠加原理是线性操作区别于非线性操作的基本标志。所谓叠加原理指加和性（和的函数等于函数的和）和齐次性（常数项直接提取到函数外）。例，判断axy与baxy是否属于线性操作。 线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，即 nnxaxax11111 nnnxnnxaxax1 矩阵形式：AXX 据ija的取值随时间的变化情况，分为常系数方程、变系数方程，本章讨论常系数方程。 1.2 非线性动态方程 如果函数关系不满足叠加原理，则称函数是非线性函数。线性函数本质上只有一种，即： axy
不同线性函数只是比例系数不同，经过平移（？）旋转等数学变换，可以完全重合。而非线性函数关系有无穷多种定性性质不同的可能形态，例抛物线、指数、对数或三角函数，不可能由一种或几种形式经过简单变换产生出来。非线性的这种特点是现实系统无限多样性、差异性和复杂性的主要根源。 非线性连续系统的动力学方程一般形式如下： ),,;,,(1111mnccxxfx ),,;,,(1122mnccxxfx ),,;,,(11mnnnccxxfx 矩阵形式：),(CXFX nff,,1中至少应有一个为非线性。),,(1nxx称为状态变量，),,(1mcc称为控制参量。
动力学方程是动力学中的术语，在系统科学中，通常称为演化方程。据演化方程对系统分类，系统分为线性与非线性、自由与强迫系统（是否包含外来作用，)(),(tCXFX）、自治与非自治系统（是否明显包含时间变量，),,(tCXFX）。非自治系统的两个特例，一是变系数系统，二是强迫系统。强迫系统、非自治系统分别可以转化自由系统、自治系统，所以为本章主要讨论自由、自治系统。 有了演化方程，有三种方法研究非线性系统的行为特性： ① 解析方法 一般地，解析求解不可能，只在某些特殊情形下才可以。例)(xf具有适当形式时，用分离变量法获得解析方程。 ② 几何方法 2
分析系统的定性性质，从方程结构和参数中直接提取系统的定性信息。 ③ 数值计算方法 使用计算机进行数值计算，求得方程的近似解。例，有关混沌动力学的几个重大发现，都是通过计算机实验得到的。 3）系统科学是关于非线性的科学，但线性系统理论仍是系统科学中不可忽视的内容？ 这不仅因为线性理论的成熟和体系化，还在于线性理论是非线性理论必要的基础性知识准备，例构造非线性方程的解往往要利用线性方程的解，并且非线性可做到线性化处理： ① 非线性因素微弱，允许忽略不计，演化方程近似满足叠加原理； ② 非线性系统的局部线性化处理，关心系统的局部性质，非线性模型又满足连续性和光滑性要求。 线性化的实质是忽略非线性因素，而非线性因素正是系统产生多样性、奇异性和复杂性的根源，线性化所“化”掉的恰好是这种根源。
2．轨道、暂态、定态 线性动态系统只要求出方程的解析解，从给定的初始条件出发，既可预见系统的一切未来状态，也能回溯过去的所有状态，达到对系统行为特性的全面而定量的把握。但非线性动力学方程能够获得解析解的情形极少，求解析解不是处理非线性系统的普适方法，对于一般非线性系统，可行的方法是定性描述，即在状态空间和参量空间中用几何方法等定性手段来研究。 2.1 状态空间、参量空间 由系统所有状态构成的集合，称为系统的状态空间又称相空间。设系统有n个独立状态变量，记做nxxx,,,21，以状态变量为轴支撑起来的几何空间，就是系统的状态空间，每一组具体的数值
),,,(21nxxx代表系统的一个具体状态或相，n是状态空间的维数，n可以取任何正整数，例
3,2,1n，其状态空间可以画出来，4维以上的属于抽象空间，n是决定系统行为特性的重要参数。
状态空间是在控制参量（常数项）给定的条件下建立的，但控制参量也是可变的。以控制参量mccc,,,21为轴构造的m维空间称为参量空间。参量空间的每个点都对应一个确定的系统，所以在参
量空间研究的是演化方程结构相同的无穷多系统构成的系统族，例cxy2或cxxy322。 2.2 轨道 演化方程的每个解代表状态空间的一个点集合，称为一条相轨道。状态在相空间沿轨道运动可以形象地比喻为物理空间的水流，一个解就是一个流。演化方程的解无穷多，空间的轨道亦无穷多。状态空间不是分别研究每个轨道，而是考察全部可能轨道及其分布，从而达到整体把握系统的动态特性。 2.3 暂态、定态 状态空间包含系统的所有可能状态，有关系统动态特性的所有信息都蕴藏于其中，如何提取这些信息，虽然状态空间有无穷多个状态，但在系统学意义上可以划分为很少的几类，它们显示不同性质，代表系统不同动力学行为特性，所以在状态空间研究系统归结为划分不同类型的状态，动态系统有两类可能的状态。 ① 暂态 系统在某个时刻可能到达但不借助外力就不能保持或不能回归的状态； ② 定态 系统到达后若无外部作用驱使将保持不变的状态。 状态空间几乎全是由暂态点填充的，定态只是其中极其微小的一部分，例：图3-1 3
图3－1 系统定态直观例子 系统的定性性质是由定态决定的，不同的定态代表不同的定性性质。暂态只是系统为了确立某种定性性质所必须的量的积累。 相变：系统从一种定态到其它定态的变化反映的是系统从一种定性性质向另一种定性性质的转变。 动态系统有以下几种定态： ① 平衡态 在数学上用不动点来刻划，所有状态变量的导数都为0，状态不再发生变化，表明系统处于平衡运动，即021nxxx ② 周期态 设)(t是演化方程的一个解，满足条件)()(tTt，T为常数，则称)(t是演化方程的一个以T为周期的周期解。周期解由相空间的一条闭曲线表示，代表系统的一条周期轨道，数学上称为极限环，图3-2、图3-3分别表示平面极限环、空间极限环，特点是当t无穷大时附近的相轨道以该闭合曲线为极限。
图3-2 平面极限图 图3-3 空间极限图 ③ 拟周期态 由多个不同周期且周期比为无理数的周期运动叠加在一起形成的复杂运动形式。 ④ 混沌态 复杂有序运动体制（确定性方程描述的非线性动态系统的一种尚未认识的定态）。 定态与状态维数有密切关系。
表1 定态与状态维数的关系
维数 1维 2维 3维 状态空间 直线或直线段 平面 复杂 定态 平衡态 平衡、周期态 四种定态 2.4 初态、终态 初态：起始时刻的系统状态称为系统的初始状态。 终态：当时间趋于无穷大时系统的极限状态，即系统终了时刻到达的状态。 研究动态系统，主要关注的是系统的终态。 4
3．稳定性 系统不可避免地承受来自环境和系统自身的各种扰动，扰动会使系统的结构、状态、行为有所偏离，小扰动引起的是否为小偏离，出现偏离后系统能否恢复原样，就是稳定性研究要回答的基本问题。 系统是稳定性与不稳定性的统一？ 一个系统的状态空间如果没有任何稳定定态，必定是物理上不可实现的，系统理论无需讨论它。从应用角度看，一个不稳定的系统无法正常运行，无法实现其功能目标。因而是没有用的。从演化角度看，如果一个系统的所有状态在所有条件下都是稳定的，它就没有变化、发展、创新的可能。只有原来的状态、结构、行为模式在一定条件下失去稳定性，系统才有可能向新的结构、状态、行为模式演化，即系统有发展创新的可能，不稳定性在系统演化理论中具有非常积极的建设性作用。 例，基因的复制与突变是稳定性与不稳定性的统一。 所有生命的遗传因子都储存在细胞核中的DNA上，人类的遗传因子储存在一条长长的由1010个碱基对组成的信息磁带上。在每次细胞分裂期间，所有这些碱基对必须精确复制并传递到下一个细胞时代中。难以想象这项如此复杂、看上去似乎不可完成的精确工作是如何完成的。而突变的产生是轻而易举的。产生突变的内因是细胞分裂过程中有限的复制精度，产生突变的外因也广泛存在，例，高能辐射、紫外线照射、化学制品作用。然而，生命却依然故我地稳定存在。 生命之稳定全因DNA不断地得到修复。遗传信息同时储存在两条核酸链上，当突变在其中一条链上出现的时候，一支“修理队”立即赶赴现场，并识别出异常所在，这支“修理队”不是一虚构事物，修复酶不停地沿着DNA双链巡逻，检查双螺旋是否仍井然有序。碱基对的每个差错都被双链几何构型的改变所显示，“修理队”一下子就能将它识别出来，并替换有毛病的部位。在人类的基因组中，1010个碱基对每年只有15对发生置换，这是一件难以想象的精确工作，精度达到1109。 突变率之低是由于选择机制的作用。选择机制滤出合适的突变体，并抛弃不合适的个体。进化就是这样一个从大量突变获得的可能性中不断进行滤除的过程，这个滤除过程把某些有利的性状成功选择出来，这将有利于提高该个体在一个特定的自然生态位置生存的机会。 动态系统理论的稳定性研究围绕状态及由状态构成的轨道这两个概念进行。暂态轨道的稳定性可以归结为定态轨道的稳定性问题，一个定态轨道的稳定性判定后，它周围的暂态轨道的稳定性也确定了。 3.1 定态的稳定性 稳定性：系统行为在受到扰动后能否消除偏离的问题。 一个定态是否稳定可以通过它周围的所有轨道的终态走向来判别。 2维系统不动点（导数为0）的稳定性分下列4种类型： ① 焦点型不动点 周围布满螺旋形的相轨道。 稳定的焦点轨道：螺旋式地向不动点收缩，随时间的无限延伸，演化方程衰减为0，如：