整式的乘除与因式分解知识点归纳

整 式 的 乘 除 及 因 式 分 解

知识点归纳：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

5、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：________3=?a a ；________32=??a a a

532)()()(b a b a b a +=+?+，逆运算为：

6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=-

幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==

如：23326)4()4(4==

例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()

334)()(a a = 7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???-

________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a

8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷

________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a

9、零指数和负指数；

10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p a

a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如：8

1)21(233==- 10、科学记数法：如：0.00000721=7.21610-?（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）

11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：=?-xy z y x 3232

y x 32? )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -? 2232)()(b a b a ?-

12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。] 如：)(3)32(2y x y y x x +--

)532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--

13、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+

14、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；

()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；

构造平方差公式的形式进行简便运算：

))((z y x z y x +--+

15、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±

公式特征：左边是一个二项式和的完全平方，其运算结果有三项，就是首平方+尾平方+首尾乘积的2倍。

例如：()____________522=+b a ； ()_______________32

=-y x ()_____________22=+-ab ； ()______________122

=--m 构造完全平方公式的形式进行简便运算

（x-2y+z ）2

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

如：b a m b a 242497÷-； y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106?÷?

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)(

()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-

()b a b a b a 232454520÷- c c b c a 212122

2÷??

? ??-

18、化简求值：要点，一定要先化简，再代入求值，减去一个多项式的时候一定要给多项式加上括号！

例如：(2x+y)(2x-y)-(2x+3y)2,其中x=-1，y=2.

19、因式分解：

（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．

(2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.

(3)分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.。

20、分解因式的方法

1、有公因式的多项式的分解---------------------提公因式法

(1)公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式.

(2)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

(1)公因式的构成：

①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有的相同字母及最低次幂.

4y xy - 3

2x x + 6x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m )a 1()1(-+-n a m

2、平方差式多项式的分解------------- a 2－b 2=(a ＋b)(a －b)

12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+

3、完全平方式多项式的分解-------------222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-

442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a

4、综合性多项式的分解------------1提2看3分解4检查

注意：综合性的多项式分解有公因式必学先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.

282-x 161442+-m m 14-x n mn n m 271832

-+-

4、十字相乘法

一般地，用十字交叉线表示

x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、3x 2－10x －8