知识讲解函数全章复习与巩固 基础

《函数》全章复习与巩固

【学习目标】

1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.

2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；

4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；

5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；

6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：关于函数的概念 1．两个函数相等的条件

用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．

2．函数的常用表示方法

函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

3．映射

设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x （原象），在集合B 中都有唯一确定的元素()f x （象）与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．

4．函数的定义域

函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：

（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ?的定义域，其实质是由()x ?的取值范围，求出x 的取值范

围；

（3）已知[]()f

x ?的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ?的取值范围．

5．函数的值域

由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：

（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；

（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值

域（注意0t ≥）；

（3）形如(0)ax b

y c cx d

+=

≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ??≠

???

?

； （4）形如22ax bx c

y mx nx p

++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．

6．函数的解析式

函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．

求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．

要点二：函数的单调性

（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．

（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．

（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．

与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大

小、判断某些超越方程根的个数等．

要点三：函数的奇偶性

（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．

（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．

（3）奇、偶性图象的特点

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．

要点四：图象的作法与平移

（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数

(0)y kx b k =+≠，其中y k x

?=

?． 2．二次函数

二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2

(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的

开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．

对于二次函数2

2

24()()24b ac b f x ax bx c a x a a

-=++=++．

当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b a

a ??-- ?

??；对称轴为2b

x a =-；()f x 在,2b a ??-∞- ???上是单调递减的，在,2b a ??

-+∞????

上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值2

44ac b a

-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b a

a ??-- ?

??；对称轴为2b

x a =-；()f x 在,2b a ??-∞- ???上是单调递增的，在,2b a ??

-+∞????

上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值2

44ac b a

-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）

（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；

（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；

（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

要点七：函数与方程

（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．

（2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．

（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且

()()0f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这

个0x 也就是方程()0f x =的根．

（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．

判断函数在某区间有零点的依据：

对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．

对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．

（5）在实数范围内，二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．

①0?>，方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0?=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0?<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】

类型一：映射

例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--．

（1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；

（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．

【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【解析】

（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，

于是34xy x y -=??-=-?，解得13x y =-??=?或31x y =-??=?

，

∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ），

应满足 xy a x y b -=??-=?

①②

由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．

∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．

（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．

举一反三：

【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2

{4,1}M a a =--，2

{41,2}N b b =-+-，

:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】 D

【解析】 由已知可得M=N ，故222

2

42420

411420a a a a b b b b ??-=--+=?????-+=--+=???

?，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．

类型二：函数的概念及性质

【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )

A ．12(||)(||)f x f x <

B ．21()()f x f x ->-

C ．12()()f x f x <-

D ．12()()f x f x -> 【答案】D

【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．

【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．

举一反三：

【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2

y x =-

C ．1

y x

=

D ．||y x x =

【答案】D

【解析】奇函数有1

y x

=

和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确． 【变式2】 定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有

2121

()()

0f x f x x x -<-，

则（ ）

A ．(3)(2)(1)f f f <-<

B ．(1)(2)(3)f f f <-<

C ．(2)(1)(3)f f f -<<

D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A

【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．

例3．设偶函数()f x 满足3

()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2} 【答案】 B

【解析】 当x ＜0时，－x ＞0， ∴3

3

()()88f x x x -=--=--， 又()f x 是偶函数，

∴3

()()8f x f x x =-=--，

∴338, 0

()8, 0

x x f x x x ?-≥?=?--

∴33

(2)8, 0(2)(2)8, 0

x x f x x x ?--≥?

-=?---?或3

0(2)80x x ?

． 解得x ＞4或x ＜0，故选B ．

例4．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）

A ．－2

B ．－4

C ．－8

D ．不能确定 【答案】 B

【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且

12()()0f x f x ==，2

2140)x x b ac a

-=

->-，()f x =的最大值是

=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍????中的每一

个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即

相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有0a =>-，

a -=a ＜0，因此a=－4，选B 项．

举一反三：

【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)

()1

f x

g x x =

-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B

【解析】 要使()g x 有意义，则022

10

x x ≤≤??-≠?，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．

例5．已知函数y =M ，最小值为m ，则

m

M

的值为（ ）

A ．

14 B ．1

2

C ．2

D ．2

【答案】 C

【解析】 函数的定义域为[－3，1]．

又2

444y =+=+=+

而02≤

，∴4≤y 2≤8．

又y ＞0，∴2y ≤≤．∴M =m=2．

∴

2

m M =．故选C 项．

举一反三：

【变式1】函数2

21

x y x =+（x ∈R ）的值域是________．

【答案】[0，1）

【解析】（1）注意到x 2≥0，故可以先解出x 2，再利用函数的有界性求出函数值域．由221

x

y x =+，

得2

1y x y

=

-，∴01y

y ≥-，解之得0≤y ＜1．故填[0，1）． 例6．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；

（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．

【解析】 （1）由于25, 2

()23, 3x x f x x x -+

，则函数()y f x =的图

象如图所示．

（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当1

2

a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1

(,2)[,)2

-∞-+∞．

举一反三：

【变式1】 直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 【答案】 514

a <<

【解析】 如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足1

14

a a -<<，解得514

a <<．

类型三：函数的零点问题

例7．若函数()y f x =在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程()0f x =在（－2，2）上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -?的值（ ）

A ．大于0

B ．小于0

C ．等于0

D ．无法确定 【答案】D

【解析】根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0f f -?<，则

()f x 在（－1，1）内必有零点，即方程()0f x =在（－1，1）内

有根；反之，若方程()0f x =在（－2，2）内有实根，不一定有

(1)(1)0f f -?<，也有可能(1)(1)0f f -?>．

【总结升华】若(1)(1)0f f -?<，则()f x 在（－1，1）内必

有零点，但当()f x 在（－1，1）内有零点时，却不一定总有(1)(1)0f f -?<．

举一反三：

【变式1】（2014 福建莆田月考）二次函数2

y ax bx c =++中，若ac ＜0，则函数的零点个数是 个．

【思路点拨】有a ?c ＜0，可得对应方程20ax bx c ++=的判别式240b ac ?=->，可得对应方程有两个不等实根，可得结论．

【答案】2

【解析】∵ ac ＜0，∴ 240b ac ?=->，

∴对应方程2

0ax bx c ++=有两个不等实根，故所求二次函数与x 轴有两个交点．

故答案为：2

【总结升华】本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x 轴的交点的横坐标．

根据偶函数的性质先求出a ，b ，然后利用二次函数的性质确定函数的单调性．

【变式2】若函数()0f x ax b =+=有一个零点是2，那么函数2

()g x bx ax =-的零点是 ． 【答案】1

0,2

-

类型四：函数性质的综合应用 例8. 已知函数2

()a

f x x x

=+

（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．

【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．

【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），2

2

()()()f x x x f x -=-==，

∴()f x 为偶函数．

当a ≠0时，2

()a

f x x x

=+

（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，

∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，

22

12121212121212

()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+

--=?+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．

∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立． 又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．

解法二：当a=0时，2

()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数．

当a ＜0时，反比例函数a

x

在[2，+∞）上为增函数， ∴2

()a

f x x x

=+

在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．

【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．

举一反三：

【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1

()f x kx x

=-

，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；

（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【解析】（1）

(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1

()2f x x x

∴=-，定义域为：()

(),00,-∞+∞．

（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则

121212

11()()22f x f x x x x x -=-

-+ =1212

1

()(2)x x x x -+

121212

1

,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<

所以函数1

(2)2f x x

=-

在()0,+∞上单调递增． 类型五：函数的实际应用

例9．（2014 福建南安期中）某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90

元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．

（Ⅰ）设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为()f x 元()1540x ≤≤，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为()g x 元()1540x ≤≤．试求()f x 和()g x ．

（Ⅱ）问：小张选择哪家比较合算？为什么？

【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：(1)甲家每张球台每小时5元；(2)乙家按月计费，有标准；(3)比较哪家更合算问题．解决本题可先分别求出两家的解析式，从中找出x 在不同的取值范围内，选择哪家的问题，建立函数模型，进而解决问题．

【答案】（Ⅰ）()()51540f x x x =≤≤；()90,1530,

230,3040.x g x x x ≤≤?=?+<≤?

（Ⅱ）详见解析

【解析】由题意，（Ⅰ）()()51540f x x x =≤≤,

()90,1530,

230,3040.x g x x x ≤≤?=?+<≤?

（Ⅱ）由()()f x g x =得1530,590

x x ≤≤??

=?或3040,

5230x x x <≤??=+? 即18x =或10x = (舍)．

当1518x ≤<时，()()5900f x g x x -=-<,

()()f x g x ∴<,即选甲家．

当18x =时，()()f x g x ∴=,即选甲家和乙家都可以． 当1830x ≤≤时，()()5900f x g x x -=->,

()()f x g x ∴>,即选乙家．

当3040x <≤时，()()()52303300f x g x x x x -=-+=->,

()()f x g x ∴>,即选乙家．

综上所述:当1518x ≤<时，选甲家;当18x =时，选甲家和乙家都可以； 当1840x <≤时，选乙家．

【总结升华】本题考查生活中的实际问题，需要建立数学模型，转化为数学问题．关键是分段进行讨论．

举一反三：

【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？

【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值． 【答案】4

【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，

则 80001

50022y n c n =+??+ 800016

500500()n c n c n n

=++=++

2

4000c

=++，

=

，即n=4时，y 取得最小值且y min =4000+c ． 所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．

【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16

y x x

=+在（0，+∞）上的单调性求最值．