(高二下数学期中15份合集)陕西省西安市高二下学期数学期中试卷合集

高二下学期期中数学试卷一、选择题1．在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60° B．60°或120°C．30° D．30°或150°2．椭圆的离心率为（）A．B．C．D．3．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣14．ac2＞bc2是a＞b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．16．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.47．若数列{a n}中，a n=43﹣3n，则S n取得最大值时，n=（）A．13 B．14 C．15 D．14或158．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题9．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣ D．210．若直线（t为参数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k=（）A．7 B．5 C．4 D．611．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．12．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．二、填空题13．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．14．曲线f（x）=x3+x在（1，f（1））处的切线方程为．15．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为．16．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是．三、解答题17．已知命题p：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p且q”是真命题，求实数a 的取值范围．18．随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝．（I ）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询． ①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率； （Ⅱ）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？19．已知f （x ）=2sin x ，集合M={x||f （x ）|=2，x ＞0}，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n }，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n =，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证T n ＜．20．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在该椭圆上（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切圆的方程．21．已知函数f （x ）=（k 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x ）在点（1，f（1））处的切线与x 轴平行． （1）求k 的值；（2）求f （x ）的单调区间．22．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l 的参数方程为（t 为参数）当直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||参考答案与试题解析一、选择题1．在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60° B．60°或120°C．30° D．30°或150°【考点】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．【解答】解：由正弦定理可知=，∴sinB==∵B∈（0，180°）∴∠B=60°或120°故选B．2．椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程可知，a，b，c 的值，由离心率e=求出结果．【解答】解：由椭圆的方程可知，a=5，b=4，c=3，∴离心率 e==，故选A．3．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．【解答】解： =，则复数的虚部是1，故选：C4．ac2＞bc2是a＞b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】R3：不等式的基本性质；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ac2＞bc2，可得a＞b，反之若a＞b，则ac2≥bc2，故可得结论．【解答】解：若ac2＞bc2，∵c2＞0，∴a＞b，∴ac2＞bc2是a＞b的充分条件若a＞b，∵c2≥0，∴ac2≥bc2，∴ac2＞bc2不是a＞b的必要条件∴ac2＞bc2是a＞b的充分不必要条件故选A．5．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为：P，即P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为直角坐标方程：x+y﹣6=0，∴点P到直线的距离d===1．故选：D．6．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.4【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，【解答】解：由表中数据可得=165， =55，∵（，）一定在回归直线方程上，∴55=0.92×167+a，解得a=﹣96.84．故选：A．7．若数列{a n}中，a n=43﹣3n，则S n取得最大值时，n=（）A．13 B．14 C．15 D．14或15【考点】85：等差数列的前n项和；82：数列的函数特性．【分析】由a n=43﹣3n，可得 a1=40，故S n=是关于n的二次函数，图象的对称轴为n=，又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，由此求得结果．【解答】解：∵数列{a n}中，a n=43﹣3n，故该数列为递减数列，公差为﹣3，且a1=40，∴S n=是关于n的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n=，又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故S n取得最大值时，n=14．故选B．8．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知中命题“p或q”是真命题，命题“非p”是假命题，易根据复合命题真假的真值表，判断出命题p与命题q的真假，进而得到答案．【解答】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，又∵命题“非p”也是假命题，∴命题p为真命题．故命题q为可真可假．故选D9．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣ D．2【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=﹣m 解得 5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以 m=故选C．10．若直线（t为参数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k=（）A．7 B．5 C．4 D．6【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】首先，将参数方程化为普通方程，然后，利用直线与直线的垂直关系，确定k的值．【解答】解：∵直线（t为参数），消去参数，得x﹣y+2=0，∵x﹣y+2=0与直线4x+ky=1垂直，∴k=4，故选：C．11．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．12．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和正弦定理求出a：b：c，结合条件求出a、b、c的值，代入公式求出△ABC的面积．【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），所以由正弦定理得，a：b：c=（﹣1）：：（ +1），又△ABC的周长为2+，则a=（﹣1）、b=、c=（+1），所以△ABC的面积S====，故选：A．二、填空题13．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B14．曲线f（x）=x3+x在（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣2=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）=x3+x的导数为f′（x）=3x2+1，可得在（1，f（1））处的切线斜率为4，切点为（1，2），即切线的方程为y﹣2=4（x﹣1），即为4x﹣y﹣2=0．故答案为：4x﹣y﹣2=0．15．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为410 ．【考点】EI：流程图的作用．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S 的值，将程序运行过程中，各变量的值的变化情况，列表如下，不难分析出程序的运行结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：S i 是否继续循环循环前 0 1/第一圈 2 3 是第二圈 6 5 是第三圈 26 7 是第四圈 102 9 是第五圈 410 11 否故最后输出的值为：410．故答案为：410．16．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是[0，2] ．【考点】7C：简单线性规划；9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时， =﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时， =﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时， =﹣1×0+1×2=2故和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．三、解答题17．已知命题p：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，利用“p且q”是真命题，即可求a的取值范围．【解答】解：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．则a≤x2，∵1≤x2≤4，∴a≤1，即命题p为真时：a≤1．若“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a2+a﹣2≥0，解得a≥1或a≤﹣2，即命题q为真时：a≥1或a≤﹣2．若“p∧q”是真命题，则p，q同时为真命题，即解得a=1或a≤﹣2．实数a取值范围是a=1或a≤﹣2．18．随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝．（I ）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询．①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；（Ⅱ）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？【分析】（I ）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式计算概率；（II ）计算K 2，与2.072比较大小得出结论．【解答】解：（Ⅰ）①7×=2． ②在抽取7个宝宝中，出生在市第一医院的二孩宝宝由2人，出生在市妇幼保健院的二孩宝宝有1人． 从7个宝宝中随机抽取2个的可能事件共有=21个，其中两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的基本事件有=2个．∴两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率P=． （Ⅱ）列联表如下：，故没有85%的把握认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关．19．已知f （x ）=2sinx ，集合M={x||f （x ）|=2，x ＞0}，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n }，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证T n ＜． 【考点】8E ：数列的求和．【分析】（1）根据题意求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果．【解答】解：（1）f（x）=2sin x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，则：解得：x=2k+1（k∈Z），所以M={x|x=2k+1，k∈Z}把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，∵M={1，3，5，…，2k+1}，k∈Z，所以：a n=2n﹣1．证明：（2）记b n=，数列{b n}的前n项和为T n，=所以：T n=b1+b2+…+b n++…+）=20．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，）在该椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．又点（1，）在该椭圆上，所以根据椭圆的定义可求出a的值，从而求出b．（2）首先应考虑直线l⊥x轴的情况，此时A（﹣1，﹣），B（﹣1，），△AF2B的面积为3，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，），s△AF2B=．设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，用弦长公式可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得圆F2的半径r=，这样根据题中所给面积可求出k的值，从而求出半径，进而得到圆的方程为．【解答】解：（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．又点（1，）在该椭圆上，所以．所以a=2，b2=3．所以椭圆C的方程为．（2）①当直线l⊥x轴时，可得A（﹣1，﹣），B（﹣1，），△AF2B的面积为3，不符合题意②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得圆F2的半径r=，∴△AF2B的面积=|AB|r=，化简得：17k4+k2﹣18=0，得k=±1，∴r=，圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．21．已知函数f（x）=（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）因为函数，所以=，因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，所以f′（1）=0，即，解得k=1；（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由，令g（x）=，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．22．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数）当直线l与曲线C相交于A，B两点，求||【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，去分母即可得到直角坐标方程；（2）写出直线l参数方程的标准形式，代入曲线C的普通方程，根据参数的几何意义得出|AB|．【解答】解：（1）∵ρ=，∴ρ2sin2θ=6ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．（2）直线l的参数方程可化为，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0．解得t1=﹣2，t2=6．∴||=|t1﹣t2|=8．高二下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知函数f（x）=|x|，在x=0处函数极值的情况是（）A．没有极值 B．有极大值C．有极小值 D．极值情况不能确定2．复数=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．设函数f（x）在x0可导，则=（）A．f′（x0）B．﹣2f′（x0）C．4f′（x0）D．不能确定4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程 D．没有出错5．观察下列（如图）数表规律，则数2007的箭头方向是（）A．B．C．D．6．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为（）A．或B．C．D．以上都不对7．给出下列命题①dx=dt=b﹣a（a，b为常数且a＜b）；②x2dx=x2dx；③曲线y=sinx，x∈[0，2π]与直线y=0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A．B．﹣C． +D．9．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．410．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=（）x，a，b∈R+，A=f（），B=f（），C=f（），则A、B、C的大小关系为（）A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A12．使函数y=xsinx+cosx是增函数的区间可能是（）A．（，） B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数= ．14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为15．已知函数f（x）=x3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．则下列说法中不正确的编号是．（写出所有不正确说法的编号）（1）当x=时函数取得极小值；（2）f（x）有两个极值点；（3）c=6；（4）当x=1时函数取得极大值．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22每题12分，共70分．）17．（1）求曲线y=在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为S=+2t2，求t=3时的速度．18．求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．19．已知a、b、c＞0，且a+b+c=1，求证：（1）a2+b2+c2≥（2）．20．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．21．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．22．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知函数f（x）=|x|，在x=0处函数极值的情况是（）A．没有极值 B．有极大值C．有极小值 D．极值情况不能确定【考点】6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】由在x=0处左侧的导数小于零，在x=0处右侧的导数大于零，根据极值的定义可知在x=0处函数取极小值．【解答】解：当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）为减函数，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为增函数，根据极值的定义可知函数f（x）=|x|，在x=0处函数取极小值，故选C2．复数=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．【解答】解： =．故选B．3．设函数f（x）在x0可导，则=（）A．f′（x0）B．﹣2f′（x0）C．4f′（x0）D．不能确定【考点】6F：极限及其运算．【分析】由题设条件可知=，然后利用导数的定义求解．【解答】解：∵函数f（x）在x0可导，∴====f′（x0）+3f′（x0）=4f′（x0）．故选C．4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程 D．没有出错【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，故选A．5．观察下列（如图）数表规律，则数2007的箭头方向是（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意，图中数字所处的位置呈周期性变化，可以观察出位置变化以4为周期，可选定1为开始位置，由周期性即可计算出2012所处的位置，即可选出正确选项【解答】解：选定1作为起始点，由图看出，位置变化规律是以4为周期，由于2007=4×501+3，可知第2007个数在3的位置，则发生在数2007附近的箭头方向是和3的方向相同；故选D．6．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为（）A．或B．C．D．以上都不对【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用函数值，函数的导数列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，可得：，解得或，当时，f′（x）=3x2﹣6x+3≥0恒成立，x=1不是极值点．当时，f′（x）=3x2+8x﹣11，△=196＞0，导函数有两个解，x=1是极值点．满足题意；故选：B．7．给出下列命题①dx=dt=b﹣a（a，b为常数且a＜b）；②x2dx=x2dx；③曲线y=sinx，x∈[0，2π]与直线y=0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】67：定积分；6G：定积分在求面积中的应用．【分析】根据的定积分的计算，分别求出①②③的结果，问题得以解决．【解答】解：① dx=b﹣a≠dt=a﹣b，故①错，而y=x2是偶函数其在[﹣1，0]上的积分结果等于其在[0，1]上的积分结果，故②正确，对于③有S=2=﹣2cos=4．故③错，故选：B8．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A．B．﹣C． +D．【考点】RG：数学归纳法．【分析】求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为++…+，当n=k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：+﹣=﹣．故选B．9．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】F3：类比推理．【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r 即OM，从而可验证结果的正确性．【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：310．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．【考点】62：导数的几何意义．【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．11．已知函数f（x）=（）x，a，b∈R+，A=f（），B=f（），C=f（），则A、B、C的大小关系为（）A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点；7F：基本不等式．【分析】先明确函数f（x）=（）x是一个减函数，再由基本不等式明确，，三个数的大小，然后利用函数的单调性定义来求解．【解答】解：∵≥≥，又∵f（x）=（）x在R上是单调减函数，∴f（）≤f（）≤f（）．故选A12．使函数y=xsinx+cosx是增函数的区间可能是（）A．（，） B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对给定函数求导后，把选项依次代入，看哪个y′恒大于0，就是哪个选项．【解答】解：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，当x∈（，）时，恒有xcosx＞0．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数= i ．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，由，解得a=0，b=﹣1，所以z=﹣i，=i，故答案为i．14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为【考点】F1：归纳推理．【分析】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．由长方形中“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，（线面关系），我们可以推断长方体中相关的（面体关系）【解答】解：平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．由长方形中“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，我们可以推断长方体中“表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为”故答案为：表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为15．已知函数f（x）=x3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．则下列说法中不正确的编号是（1）．（写出所有不正确说法的编号）（1）当x=时函数取得极小值；（2）f（x）有两个极值点；（3）c=6；（4）当x=1时函数取得极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出原函数的导函数，导函数是二次函数，由导函数的图象可知原函数的单调区间，从而判出极值点，结合导函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，得到c的值，然后注意核对4个命题，则答案可求．【解答】解：由f（x）=x3+bx2+cx，所以f′（x）=3x2+2bx+c．由导函数的图象可知，当x∈（﹣∞，1），（2，+∞）时f′（x）＞0，当x∈（1，2）时f′（x）＜0．所以函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）减区间为（1，2）．则函数f（x）在x=1时取得极大值，在x=2时取得极小值．由此可知（1）不正确，（2），（4）正确，把（1，0），（2，0）代入导函数解析式得，解得c=6．所以（3）正确．故答案为（1）．。